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El positronium es un estado ligado de un electrón y de un positrón
a) ¿Cuál es la masa reducida del positronium?
b) Dar una expresión para los niveles de energía del positronium
c) ¿Cuál es el radio promedio del estado base del positronium?
Solución
a) Para un átomo hidrogenoide la masa reducida está dada como
1
1
1
=
+
mR
mnúcleo
me
para el positronium la masa del núcleo, un positrón, es igual a la del electrón, por tanto,
1
1
1
2
=
+
=
mR
me
me
me
es decir,
me
mR =
2
b) Los niveles de energía para un átomo hidrogenoide están dados como
mR e4 Z 2
En =
n = 1; 2; 3; :::
2}2
n2
Así que en este caso con
me
mR =
y Z=1
2
se tiene
me e4 1
n = 1; 2; 3; :::
En =
4}2
n2
La energía del estado base es
me e4
En =
;
4}2
es decir, la mitad de la del átomo de hidrógeno, que es 13.6 eV.
c) La función de onda del estado base de un átomo hidrogenoide es
3=2
1
ZmR e2
ZmR e2
j100i = p
exp
r
}
}
que en el caso del positronium se reduce a
3=2
1
me e2
me e2
j100i = p
exp
r
2}
2}
Ahora
hri = h100j r j100i
es decir,
3 Z1
3 Z1
me e2
me e2
1 me e2
me e2
me e2
2
r exp
r3 exp
r r dr = 4
r dr = 4
hri = 4
2}
2}
2}
2}
2}
así que
0
0
3
6}4
m4e e8
12}
= 12a
me e2
donde a es el radio de Bohr.
Por tanto, el radio promedio de la orbita del estado base del positronium resulta doce veces más grande que el de Bohr
5:29 10 9 cm .
hri =
1