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2008 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 4
Curso
Profesor
Ciclo
:
:
:
A
ESTADÍSTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
VI
1. Considerando la siguiente población de utilidades mensuales de dos años consecutivos:
Año 1:
Trimestre
Mes
Utilidad (en miles de $)
1
42
1
2
44
3
48
4
50
2
5
51
6
49
7
50
3
8
47
9
49
10
50
4
11
49
12
53
1
52
1
2
51
3
51
4
50
2
5
53
6
51
7
50
3
8
53
9
54
10
51
4
11
52
12
53
Año 2:
Trimestre
Mes
Utilidad (en miles de $)
Obtenga la utilidad media muestral, a partir de una muestra de 6 utilidades mensuales,
explicando el procedimiento empleado si el muestreo es:
a. aleatorio simple.
N = 24 y n = 6
Por ejemplo:
(2,0 puntos)
luego, se debe emplear la función: (Ran #)× 24 mínimo seis veces
(Ran #)× 24
Mes
Utilidad
11,544
12
53
1,92
2
44
20,664
21
54
19,368
19
50
13,752
14
51
4
50
4,416
b. estratificado.
∴ Utilidad Media Muestral= 50,333
Nota: considere que cada año es un estrato.
(2,0 puntos)
Como cada estrato tiene el 50% de los datos, entonces en la muestra cada estrato
debe mantener el mismo porcentaje, luego, de debe elegir aleatoriamente 3 meses
del primer año y 3 meses del segundo, de la siguiente forma:
Año 1:
Año 2:
(Ran #)× 12
Mes
Utilidad
2,88
3
48
6,504
7
50
5,844
6
49
(Ran #)× 12
Mes
Utilidad
2,64
3
51
0,912
1
52
9,156
9
54
∴ Utilidad Media Muestral= 50,666
_
2. Si X es la media de una muestra aleatoria simple de tamaño 16 seleccionada de una
población infinita normal N(4, 81),
_
a. Calcule la media y desviación típica de la distribución muestral de X.
μX = μ = 4
(2,0 puntos)
σ X = σ / √ 16 = σ /4 = 9/4
_
b. Determine el valor de c tal que P[X > c] = 0,1587.
(2,0 puntos)
_
Tipificando la variable:
P[(X – μX) /σ X > (c – 4)/(9/4)] = 0,1587
Por tabla:
(c – 4)/(9/4) = 1 → (c – 4) = 9/4 → c = 9/4 + 4 → c = 25/4
_
3. Sea X una variable aleatoria cuyos valores equiprobables son: 1, 2, 5 y 8. Determine la
distribución muestral de X para las muestras de tamaño dos seleccionadas con
sustitución. Calcule la media y desviación típica de la población y distribución. (3,0 puntos)
μ=4
σ ≈ 2,739
Muestras:
1,1 1,2 1,5 1,8
x
f(x)
Medias:
1,0 1,5 3,0 4,5
2,1 2,2 2,5 2,8
1,5 2,0 3,5 5,0
5,1 5,2 5,5 5,8
3,0 3,5 5,0 6,5
8,1 8,2 8,5 8,8
4,5 5,0 6,5 8,0
1
1/16
1,5
2/16
Por fórmula: μX = 4
2
1/16
3
2/16
3,5
2/16
4,5
2/16
5
3/16
6,5
2/16
8
1/16
σ X = σ /√ 2 ≈ 1,936
4. Suponga que los sueldos (en miles de soles) de una población es una variable aleatoria
X con la siguiente distribución de probabilidades:
x
f(x)
1
0,3
2
0,4
3
0,2
4
0,1
si se toman al azar 36 sueldos de igual número de empleados (con reposición):
a. Encuentre la media y la varianza poblacional.
(2,0 puntos)
μ = 1(0,3) + 2(0,4) + 3(0,2) + 4(0,1) = 0,3 + 0,8 + 0,6 + 0,4 = 2,1
σ 2 = [12 (0,3) + 22 (0,4) + 32 (0,2) + 42 (0,1)] – (2,1) 2 = [ 0,3 + 1,6 + 1,8 + 1,6 ] – 4,41 = 0,89
b. Encuentre la media y la varianza del promedio de los sueldos de la muestra. (2,0 puntos)
μX = 2,1
σ 2X = σ 2 /n = 0,89/36 ≈ 0,025
→
σ X ≈ 0,157
c. Calcule la probabilidad de que la media de sueldos de la muestra esté entre 2,05 y
(2,0 puntos)
2,15.
_
P[2,05 ≤ X ≤ 2,15] = P[(2,05 – 2,1)/0,157 ≤ Z ≤ (2,15 – 2,1)/ 0,157]= P[ – 0,32 ≤ Z ≤ 0,32]=
2 P [ 0 ≤ Z ≤ 0,32] = 2 (0,1255) = 0,251
5. Una población normal está conformada por 16 elementos, de los cuáles 12 poseen la
característica que se considera éxito. Si se seleccionan aleatoriamente todas las
muestras de tamaño 4, determine la media y la desviación típica de la distribución
muestral de proporciones, si el muestreo se realiza sin reposición.
(3,0 puntos)
N = 16
μP = μ = ¾
n=4
p = 12/16 = ¾
σ = √ (¾)(¼) = √ 3 /4
σ P = σ /n = (√ 3 / 4). √ (16 – 4) = 3 ≈ 0,335
√ 4 √ (16 – 1) 4√ 5
EL PROFESOR
2008 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
PRÁCTICA CALIFICADA Nº 4
Curso
Profesor
Ciclo
Fecha
:
:
:
:
ESTADÍSTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
VI
LUNES, 28 DE ABRIL
Aula
:
B
C - 607
1. Considerando la siguiente población de utilidades mensuales de dos años consecutivos:
Año 1:
Trimestre
Mes
Utilidad (en miles de $)
1
42
1
2
44
3
48
4
50
2
5
51
6
49
7
50
3
8
47
9
49
10
50
4
11
49
12
53
1
52
1
2
51
3
51
4
50
2
5
53
6
51
7
50
3
8
53
9
54
10
51
4
11
52
12
53
Año 2:
Trimestre
Mes
Utilidad (en miles de $)
Obtenga la utilidad media muestral, a partir de una muestra de 6 utilidades mensuales,
explicando el procedimiento empleado si el muestreo es:
a. sistemático.
(2,0 puntos)
N = 24 y n = 6
obtenemos la constante de selección: k = 24/ 6 = 4
luego, elegimos al azar uno de los 4 primeros: (Ran #)× 4
por ejemplo: 2,232 → 2
el resto de elementos se obtiene sumando 4 al resultado obtenido, hasta completar la
muestra.
Mes
Utilidad
2
44
6
49
10
50
14
51
18
51
22
51
∴ Utilidad Media Muestral= 49,333
b. por conglomerados. (2,0 puntos) Nota: considere que cada trimestre es un conglomerado.
Como cada conglomerado tiene 3 meses, se necesitan elegir al azar 2 de los 8
conglomerados, de la siguiente forma:
(Ran #)× 8 Trimestre
Meses
Utilidad
6,808
19
50
20
53
21
54
13
52
14
51
15
51
4,704
7
5
∴ Utilidad Media Muestral= 51,833
_
2. Si X es la media de una muestra aleatoria simple de tamaño 25 seleccionada de una
población infinita normal N(6, 64),
_
a. Calcule la media y desviación típica de la distribución muestral de X.
(2,0 puntos)
μX = μ = 6
σ X = σ / √ 25 = σ /5 = 8/5
_
b. Determine el valor de c tal que P[X > c] = 0,0228.
(2,0 puntos)
_
Tipificando la variable:
P[(X – μX) /σ X > (c – 6)/(8/5)] = 0,0228
Por tabla:
(c – 6)/(8/5) = 2 → (c – 6) = 16/5 → c = 16/5 + 6 → c = 46/5
_
3. Sea X una variable aleatoria cuyos valores equiprobables son: 0, 4, 5, 6 y 10. Determine
la distribución muestral de X para las muestras de tamaño dos seleccionadas sin
sustitución. Calcule la media y desviación típica de la población y distribución. (3,0 puntos)
μ=5
σ ≈ 3,225
Muestras:
0,4 0,5 0,6 0,10
x
f(x)
Medias:
2,0 2,5 3,0 5,0
4,0 4,5 4,6 4,10
2,0 4,5 5,0 7,0
5,0 5,4 5,6 5,10
2,5 4,5 5,5 7,5
6,0 6,4 6,5 6,10
3,0 5,0 5,5 8,0
10,0 10,4 10,5 10,6
5,0 7,0 7,5 8,0
2
2/20
2,5
2/20
Por fórmula: μX = 5
3
2/20
4,5
2/20
5
4/20
5,5
2/20
7
2/20
7,5
2/20
8
2/20
σ X = (σ /√ 2)( √ 3/√ 4) ≈ 1,975
4. Suponga que los sueldos (en miles de soles) de una población es una variable aleatoria
X con la siguiente distribución de probabilidades:
x
f(x)
1
0,1
2
0,2
3
0,4
4
0,3
si se toman al azar 36 sueldos de igual número de empleados (con reposición):
a. Encuentre la media y la varianza poblacional.
(2,0 puntos)
μ = 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,3) = 0,1 + 0,4 + 1,2 + 1,2 = 2,9
σ 2 = [12 (0,1) + 22 (0,2) + 32 (0,4) + 42 (0,3)] – (2,9) 2 = [ 0,1 + 0,8 + 3,6 + 4,8 ] – 8,41 = 0,89
b. Encuentre la media y la varianza del promedio de los sueldos de la muestra. (2,0 puntos)
μX = 2,9
σ 2X = σ 2 /n = 0,89/36 ≈ 0,025
→
σ X ≈ 0,157
c. Calcule la probabilidad de que la media de sueldos de la muestra esté entre 2,85 y
2,975.
(2,0 puntos)
_
P[2,85 ≤ X ≤ 2,975] = P[(2,85 – 2,9)/ 0,157 ≤ Z ≤ (2,975 – 2,9)/ 0,157]= P[ – 0,32 ≤ Z ≤
0,48]=
P [ 0 ≤ Z ≤ 0,32 ] + P [ 0 ≤ Z ≤ 0,48 ] = 0,1255 + 0,1844 = 0,3099
5. Una población normal está conformada por 20 elementos, de los cuáles 15 poseen la
característica que se considera éxito. Si se seleccionan aleatoriamente todas las
muestras de tamaño 4, determine la media y la desviación típica de la distribución
muestral de proporciones, si el muestreo se realiza con reposición.
(3,0 puntos)
N = 29
μP = μ = ¾
n=4
p = 15/20 = ¾
σ = √ (¾)(¼) = √ 3 /4
σ X = σ /n = (√ 3 / 4) = √ 3 ≈ 0,217
√4
8
EL PROFESOR