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Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia
Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Antonio Francisco Roldán López de Hierro
*
Convocatoria de 2008
Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas
de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales II sobre Inferencia Estadística. Cada uno lleva un código como el siguiente: 20086-B-4, que signi…ca ejercicio 4 de la opción B del modelo 6 de la convocatoria de 2008.
1.
Algunas notas sobre la resolución de los ejercicios de Inferencia Estadística
La mayor parte de los ejercicios de Inferencia Estadística que se proponen en las pruebas de
acceso a la Universidad son muy parecidos. Se basan en cuatro fórmulas que hay que conocer
muy bien y saber cuándo se deben utilizar.
Para la media poblacional
Intervalo de con…anza
Tamaño mínimo
x
n
z
=2
z
p
Para la proporción
#
n
p^
2
=2
n
E0
z
=2
r
p^ (1
p^)
n
z 2 =2 p^ (1
"
p^)
E02
En cada una de éstas fórmulas se utiliza un valor crítico z =2 asociado a un cierto nivel de
con…anza p (o, lo que es lo mismo, a un cierto nivel de signi…cación
= 1 p). El cálculo
*
Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/
1
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
de este valor es un proceso automático. Por eso, no lo vamos a explicar en cada ejercicio.
Simplemente damos, en la siguiente tabla, los valores críticos asociados a los niveles de con…anza
más usuales.Únicamente en los ejercicios que hayan sido propuestos en las convocatorias de junio
p
p+1
2
=1
z
=2
2
90 %
92 %
93 %
95 %
96 %
97 %
98 %
99 %
990 5 %
00 95
00 96
00 965
00 975
00 98
00 985
00 99
00 995
00 9975
10 645
10 75
10 81
10 96
20 055
20 17
20 325
20 575
20 81
o septiembre escribiremos cómo deducir estos valores críticos (aunque, debemos observar que,
para que un ejercicio esté completo, se debe explicar cómo obtener el correspondiente valor
crítico e incluso hacer una …gura adecuada como la que presentaremos).
2.
Ejercicios de Selectividad
Ejercicio 1 (2008-1-A-4) Se desea estimar la proporción de individuos zurdos en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos resultando que
45 de ellos son zurdos.
(a) [1’5] Calcule, usando un nivel de con…anza del 97 %, el correspondiente intervalo de
con…anza para la proporción de individuos zurdos de la población.
(b) [0’5] ¿Sería mayor o menor el error de estimación si se usara un nivel de con…anza del
95 %? Razone la respuesta.
Solución :
(Apartado a) La proporción de zurdos, en una muestra de tamaño n = 300, es de
p^ = 45=300 = 00 15. Para un nivel de con…anza del 97 %, es decir, un nivel de signi…cación del
= 3 %, el valor crítico correspondiente es z =2 = 20 17. Por tanto, el intervalo de con…anza
para la proporción de individuos zurdos de esa ciudad es:
" #
"
#
r
r
p^ (1 p^)
00 15 (1 00 15)
0
0
= 0 15 2 17
IC = p^ z =2
n
300
i
h
i
h
00 15 00 0447 =
00 1053 ; 00 1947 :
Esto signi…ca que, con un nivel de con…anza del 97 %, la proporción de individuos que es estiman
en la ciudad está entre el 10’53 % y el 19’47 %.
Andalucía
2
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
(Apartado b) Si tomásemos un nivel de con…anza del 95 %, el correspondiente valor crítico
sería más pequeño (10 96), y también lo sería la amplitud del intervalo. Por tanto,
el error de estimación, E = z
=2
r
p^ (1
p^)
; sería menor al 95 %.
n
Ejercicio 2 (2008-1-B-4) [2] Una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviación
típica 6. ¿De qué tamaño, como mínimo, se debe elegir una muestra que nos permita estimar
la media de esa variable con un error máximo de 2 y una con…anza del 99 %?
Solución :
Llamemos X a la variable aleatoria de la que sabemos que X ,! N ( ; = 6), siendo
la media desconocida. A un nivel de con…anza p = 00 99, el correspondiente valor crítico es
z =2 = 20 575. Si el error que cometemos E debe ser menor o igual a E0 = 2 (éste último es
el error máximo admisible), entonces el menor tamaño del que debemos tomar una muestra
aleatoria es:
2
z =2
20 575 6 2
=
= 590 676:
n
E0
2
Por consiguiente, para que el error sea inferior a 2, debemos tomar una muestra de, al menos,
60 individuos.
Ejercicio 3 (2008-2-A-4, Junio) El número de días de permanencia de los enfermos en
un hospital sigue una ley Normal de media días y de desviación típica 3 días.
a) [1] Determine un intervalo de con…anza para estimar , a un nivel del 97 %, con una
muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es de 8’1 días.
b) [1] ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar
error máximo de 1 día y un nivel de con…anza del 92 %?
con un
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo (en días) de permanencia en el hospital de un enfermo tomado al azar. Según indica el problema, de esta variable
sabemos que X ,! N ( ; = 3), siendo la media desconocida. Se elige una muestra aleatoria
de tamaño n = 100, que arroja una media muestral de x = 80 1 días. Como la población de
partida es Normal, el intervalo de con…anza solicitado es:
IC =
Andalucía
x
z
3
=2 p
n
:
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z =2 al nivel de con…anza del 97 %
(o lo que es lo mismo, a un nivel de signi…cación = 3 % = 00 03). Para ello, recordamos que el
número z =2 es el único número real que cumple que p Z > z =2 = =2 = 00 015, siendo Z una
variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda,
traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z =2 = 1 00 015 = 00 985.
Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico
z =2 = z00 015 = 20 17, como se aprecia en el siguiente grá…co.
y
0'97
0'015
_z
0'015
z 0'015
0'015
x
Z ,! N (0; 1)
De esta forma, el intervalo de con…anza es:
IC =
x
z
=2 p
n
=
80 1
20 17 p
3
100
=
i
80 1
00 651
h
=
i
h
70 449; 80 751 :
Esto signi…ca que el tiempo medio de permanencia en el hospital, , al 97 % de con…anza, varía
entre 7’45 y 8’75 días, aproximadamente.
(Apartado b) Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con…anza para la media con un error máximo de E = 1 día al 92 % de con…anza. Entonces debemos
tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri…que
n
z
=2
E
2
;
donde z =2 es el valor crítico correspondiente a un nivel de con…anza p = 1
= 92 % (o lo
0
que es lo mismo, a un nivel de signi…cación = 0 08). Razonando como antes, sabemos que
p Z > z =2 = =2 = 00 04, lo que se traduce en que p Z z =2 = 1 00 04 = 00 96. Buscamos
este valor en la tabla de colas a la izquierda de la distribución Normal estándar, y encontramos
el valor crítico z =2 = 10 75. Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una
muestra es:
2
z =2
10 75 3 2
n
=
= 270 5625:
E
1
Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con…anza para
sea inferior a un día, al 92 % de con…anza, el menor número de personas que debemos tomar
Andalucía
4
Antonio Roldán
Selectividad
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en una muestra aleatoria es de:
28 individuos.
Ejercicio 4 (2008-2-B-4, Junio) Sea la población
n
1; 2; 3; 4
o
.
a) [1] Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio
simple.
b) [1] Calcule la varianza de las medias muestrales.
Solución :
Llamemos X2 a la variable aleatoria que mide la media muestral de los dos números
obtenidos mediante muestreo aleatorio simple en la población indicada. Salvo que se indique lo
contrario, el muestreo aleatorio simple se entiende con reemplazamiento. Por consiguiente, todas
las muestras posibles de tamaño dos son:
8
9
< (1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (1; 4) ; (2; 1) ; (2; 2) ; (2; 3) ; (2; 4) =
:
:
;
(3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 4) ; (4; 1) ; (4; 2) ; (4; 3) ; (4; 4)
El elemento (1; 1) signi…ca que en la primera extracción sacamos un 1 y en la segunda extracción,
después de devolver a la población el número encontrado, volvemos a sacar un 1. Igualmente,
el elemento (3; 2) indica que primero sacamos un 3 y, después de devolverlo a la población,
sacamos un 2. Haciendo la media de los dos números obtenidos en cada una de las posibilidades
anteriores, tenemos la siguiente tabla de frecuencias, con la que podemos determinar la varianza
de las medias muestrales:
xi
ni
xi ni
x2i ni
1
10 5
2
20 5
3
30 5
4
1
2
3
4
3
2
1
1
3
6
10
9
7
4
1
40 5
12
25
27
240 5
16
16
40
110
8
>
>
>
<
>
>
>
:
X2
2
X2
=
=
P
i xi
P
ni
N
2
i xi
N
ni
=
40
5
= ;
16
2
2
X2
=
110
16
5
2
2
5
= :
8
Esto concluye que la varianza de las medias muestrales de tamaño 2 es 5=8.
Andalucía
5
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Nota 1 Hay una segunda forma de resolver el ejercicio anterior que es especialmente sencilla.
Basta con calcular la media y la varianza de la población f1; 2; 3; 4g con las fórmulas usuales:
=
2
=
1+2+3+4
10
5
=
= = 20 5;
4
4
2
(1
20 5)2 + (2
20 5)2 + (3
4
20 5)2 + (4
20 5)2
=
10 52 + 00 52 + 00 52 + 10 52
5
= :
4
4
Recordemos que el Teorema Central del Límite establece lo siguiente: “ Dada una población
de media
y desviación típica
(no necesariamente Normal), la distribución de las medias
muestrales Xn de tamaño n veri…ca:
Xn
2
Xn
= ;
2
=
n
;
y, a medida que n crece, dicha distribución se aproxima a una distribución Normal (es casi
Normal cuando n 30)”. No obstante, hay ocasiones en que los parámetros muestrales siguen
cumpliendo las relaciones anteriores aun cuando la población de partida ni es Normal ni se
toma una muestra su…cientemente grande. Es el caso de la población que aquí manejamos, que
cumple:
2
5=4
5
5
2
=
= ;
=
= :
X2 =
X2
2
n
2
8
Este segundo procedimiento también nos lleva a demostrar que la varianza de las medias muestrales de tamaño 2 es 5=8.
Ejercicio 5 (2008-3-A-4, Septiembre) La longitud de los cables de los auriculares que
fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica
4.5 cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra aleatoria
de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm:
205;
198;
202;
204;
197;
195;
196;
201;
202:
a) [1] Halle un intervalo de con…anza, al 97 %, para la longitud media de los cables.
b) [1] Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para
que el error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel
de con…anza del apartado anterior.
Solución :
Apartado (a). Sea X la variable aleatoria que mide la longitud (en cm) de los cables
de unos auriculares tomados al azar. Según indica el problema, de esta variable sabemos que
X ,! N ( ; = 40 5), siendo la media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de tamaño
n = 9, que arroja una media muestral que hemos de calcular:
x=
Andalucía
205 + 198 + 202 + 204 + 197 + 195 + 196 + 201 + 202
= 200 cm:
9
6
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Como la población de partida es Normal, a pesar de que la muestra no es de tamaño mayor o
igual que 30, podemos a…rmar que el intervalo de con…anza solicitado es:
IC =
x
z
=2 p
n
:
Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z =2 al nivel de con…anza del 97 %
(o lo que es lo mismo, a un nivel de signi…cación = 3 % = 00 03). Para ello, recordamos que el
número z =2 es el único número real que cumple que p Z > z =2 = =2 = 00 015, siendo Z una
variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda,
traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z =2 = 1 00 015 = 00 985.
Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico
z =2 = z00 015 = 20 17, como se aprecia en el siguiente grá…co.
y
0'97
0'015
_z
0'015
z 0'015
0'015
x
Z ,! N (0; 1)
De esta forma, el intervalo de con…anza es:
IC =
x
z
=2 p
n
i
h i
h
40 5
20 17 p
= 200 30 255 = 1960 745; 2030 255 :
9
i
h
IC = 1960 745; 2030 255 :
=
200
Esto signi…ca que la longitud media, , de los cables de los auriculares que fabrica esa empresa
varía entre 196’7 y 203’3 cm, al 97 % de con…anza.
Apartado (b). Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con…anza para la media
con un error máximo de E = 1 cm al 97 % de con…anza. Entonces
debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri…que:
n
z
2
=2
;
E
donde z =2 es el mismo valor crítico que en el apartado anterior. Con estos datos, el tamaño
mínimo n que debemos tomar en una muestra es:
n
Andalucía
z
=2
E
2
=
20 17 40 5
1
7
2
= 90 765
2
950 355:
Antonio Roldán
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con…anza para
sea inferior a un centímetro, al 97 % de con…anza, el menor número de auriculares que debemos
tomar en una muestra aleatoria es de 96 de ellos.
96 auriculares.
Ejercicio 6 (2008-3-B-4, Septiembre) [2] Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese,
mediante un intervalo de con…anza del 99 %, la proporción de enfermos que responderían
positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la
muestra.
Solución :
Como hay 140 personas que han mejorado en una muestra de tamaño n = 200, la
proporción muestral de personas que han observado una respuesta positiva es p^ = 140=200 = 00 7.
Dado que n 30, n p^ = 200 00 7 = 140 5 y n (1 p^) = 200 00 3 = 60 5, podemos utilizar la
aproximación de De Moivre para obtener la fórmula de intervalo del con…anza para la proporción
poblacional de personas que mejorarían tras la administración del medicamento, que es:
"
#
r
p^ (1 p^)
:
IC = p^ z =2
n
Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z =2 al nivel de con…anza del 99 %
(o lo que es lo mismo, a un nivel de signi…cación = 1 % = 00 01). Para ello, recordamos que el
número z =2 es el único número real que cumple que p Z > z =2 = =2 = 00 005, siendo Z una
variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda,
traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z =2 = 1 00 005 = 00 995.
Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico
z =2 = 20 575 (también serían aceptables las aproximaciones por defecto 20 57 y por exceso 20 58).
y
0'99
0'005
_z
0'005
z 0'005
0'005
x
Z ,! N (0; 1)
Andalucía
8
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
De esta forma, el intervalo de con…anza es:
#
" #
r
p^ (1 p^)
IC = p^ z =2
= 00 7
n
i
h i
h
00 7 00 083 = 00 617; 00 783 :
r
20 575
00 7 00 3
200
"
Esto signi…ca que, al 99 % de con…anza, la proporción de personas que mejorarían tras tomar el
medicamento está en el intervalo:
i
h
IC = 00 617; 00 783 ;
es decir, entre el 61’7 % y el 78’3 %.
Ejercicio 7 (2008-4-A-4) [2] Tomada al azar una muestra de 90 alumnos de un Instituto se
encontró que un tercio habla inglés. Halle, con un nivel de con…anza del 97 %, un intervalo
de con…anza para estimar la proporción de alumnos de ese Instituto que habla inglés.
Solución :
La proporción de alumnos que hablan inglés, en una muestra de tamaño n = 90, es
de p^ = 1=3. Para un nivel de con…anza del 97 %, es decir, un nivel de signi…cación del = 3 %,
el valor crítico correspondiente es z =2 = 20 17. Por tanto, el intervalo de con…anza para la
proporción de alumnos que hablan inglés en ese Instituto es:
" #
"
#
r
r
p^ (1 p^)
1=3 (1 1=3)
1
0
2 17
IC = p^ z =2
=
n
3
90
i
h
1
00 1078
00 2255 ; 00 4411 :
3
Esto signi…ca que, con un nivel de con…anza del 97 %, en ese Instituto hay entre un 22’55 % y
un 44’11 % de alumnos que hablan inglés.
Ejercicio 8 (2008-4-B-4) El tiempo de utilización diaria de ordenador entre los empleados
de una empresa sigue una distribución Normal de media y desviación típica 1.2 horas.
(a) [1’25] Una muestra aleatoria de 40 empleados tiene una media del tiempo de utilización
de 2.85 horas diarias. Determine un intervalo de con…anza, al 96 %, para la media del
tiempo de utilización diaria de ordenador.
(b) [0’75] Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra para estimar la media
del tiempo de utilización diaria del ordenador con un error no superior a 0.75 horas y
el mismo nivel de con…anza del apartado anterior.
Andalucía
9
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria que mide el “tiempo (en horas) de utilización diaria de ordenador de uno de los empleados, tomado al azar, de esa empresa”. Según
indica el problema, de esta variable sabemos que X ,! N ( ; = 10 2), siendo la media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de tamaño n = 40, que arroja una media muestral
de x = 20 85 horas. Para un nivel de con…anza p = 00 96, el valor crítico correspondiente es
z =2 = 20 055. Como la población de partida es Normal, el intervalo de con…anza solicitado es:
IC =
x
z
=2 p
n
=
i
10 2
20 055 p
40
20 85
20 85
00 39
h
=
i
h
20 46; 30 24 :
Esto signi…ca que el tiempo medio de utilización diaria del ordenador en esa empresa, al 96 %
de con…anza, varía entre 2’46 y 3’24 horas.
(Apartado b) Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con…anza para la media con un error máximo admisible de E0 = 00 75 horas al 96 % de con…anza.
Entonces debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri…que:
n
z
=2
E0
2
=
20 055 10 2
00 75
2
100 8:
Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con…anza para
sea inferior a 0’75 horas, al 96 % de con…anza, el menor número de personas que debemos
tomar en una muestra aleatoria es de:
11 individuos.
Ejercicio 9 (2008-5-A-4) El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue
una distribución Normal de media 28 kg y desviación típica 2.7 kg. Consideremos muestras
aleatorias de 9 alumnos.
(a) [0’5] ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?
(b) [1’5] Si elegimos, al azar, una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que su
media esté comprendida entre 26 y 29 kg?
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria que mide el “peso (en kg) de un alumno,
tomado al azar, de ese colegio”. El problema indica que X ,! N ( = 28; = 20 7). Llamemos
X 9 a la variable aleatoria que mide la media de una muestra aleatoria de n = 9 alumnos de ese
colegio. Su distribución de probabilidad, según el teorema central del límite, es:
X 9 ,! N
Andalucía
;p
n
=N
20 7
28; p
9
10
=
N (28; 00 9) :
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
(Apartado b) La probabilidad de que la media de una de esas muestras esté comprendida
entre 26 y 29 kg se calcula tipi…cando y mirando la tabla de la distribución Normal estándar Z:
p 26
X9
29 = p
26 28
00 9
X 9 28
00 9
=p Z
10 11
p Z
=p Z
10 11
1
=p Z
10 11 + p Z
00 8665 + 00 9868
29 28
00 9
p
20 22 = p Z
p Z
20 22
20 22
1
20 22
10 11
Z
10 11 =
p Z
20 22 =
=
Normal N (0;1)
1 = 00 8533:
Ejercicio 10 (2008-5-B-4) [2] En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que
en una muestra de 250 ejemplares de una especie, 60 son portadoras de una bacteria.
Obtenga un intervalo de con…anza, al 97 %, para la proporción de aves de esa especie que
son portadoras de la bacteria.
Solución :
La proporción de aves portadoras de la bacteria, en una muestra de tamaño n = 250,
es de p^ = 60=250 = 00 24. Para un nivel de con…anza del 97 %, es decir, un nivel de signi…cación
del = 3 %, el valor crítico correspondiente es z =2 = 20 17. Por tanto, el intervalo de con…anza
para la proporción de aves portadoras de la bacteria es:
" #
"
#
r
r
0 24 (1
0 24)
p^ (1 p^)
0
0
= 00 24 20 17
IC = p^ z =2
n
250
i
h
i
h
00 24 00 0586 =
00 1814 ; 00 2986 :
Esto signi…ca que, con un nivel de con…anza del 97 %, en el centro de anillamiento hay entre un
18’14 % y un 29’86 % de aves portadoras de la bacteria.
Ejercicio 11 (2008-6-A-4) [2] En una muestra representativa de 1200 residentes de una
ciudad, 450 utilizan habitualmente el transporte público. Obtenga el intervalo de con…anza,
al 90 %, de la proporción de residentes en la ciudad que utilizan habitualmente el transporte
público.
Solución :
La proporción de residentes que utilizan habitualmente el transporte público, en una
muestra de tamaño n = 1200, es de p^ = 450=1200 = 00 375 . Para un nivel de con…anza del 90 %,
es decir, un nivel de signi…cación del = 10 %, el valor crítico correspondiente es z =2 = 10 645.
Andalucía
11
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por tanto, el intervalo de con…anza para la proporción de residentes que utilizan habitualmente
el transporte público es:
" #
"
#
r
r
0 375 (1
0 375)
p^ (1 p^)
0
0
= 00 375 10 645
IC = p^ z =2
n
1200
i
h
i
h
00 375 00 023 =
00 352 ; 00 398 :
Esto signi…ca que, con un nivel de con…anza del 90 %, en esa ciudad hay entre un 35’5 % y un
39’8 % de residentes que utilizan habitualmente el transporte público.
Ejercicio 12 (2008-6-B-4) El consumo, en gramos, de un cierto producto sigue una ley
Normal con varianza 225 gr2 .
(a) [1] A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a
175 gr. Halle un intervalo de con…anza, al 90 %, para la media del consumo.
(b) [1] ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo
de con…anza, al 95 %, tenga una amplitud máxima de 5?
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria que mide el “consumo (en gramos) de ese
p
producto”. Según indica el problema, de esta variable sabemos que X ,! N ; = 225 =
N ( ; 15), siendo la media desconocida (¡cuidado, que el problema indica la varianza y no
la desviación típica!) Se elige una muestra aleatoria de tamaño n = 25, que arroja una media
muestral de x = 175 gr. Para un nivel de con…anza p = 00 90, el valor crítico correspondiente es
z =2 = 10 645. Como la población de partida es Normal, el intervalo de con…anza solicitado es:
i
h
i
h
15
170; 180 :
= 175 10 645 p
= 175 40 935
IC = x z =2 p
n
25
Esto signi…ca que, a un nivel de con…anza del 90 %, el consumo medio está entre 170 y 180 gr
de ese producto.
(Apartado b) Si queremos que la amplitud máxima sea de 5 gr, el error máximo admisible
debe ser E0 = 20 5 gr (¡cuidado, que el problema indica la amplitud máxima y no el error
máximo!) Para un nivel de con…anza p = 00 95, el valor crítico correspondiente es z =2 = 10 96.
Por tanto, el tamaño mínimo n que debemos tomar para tener un error inferior a 2’5 gr veri…ca:
n
z
=2
E0
2
10 96 15
20 5
=
2
1380 3:
Esto signi…ca que, para tener un error máximo de 2’5 gr, al 95 % de con…anza, debemos tomar
una muestra con, al menos,
139 individuos.
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12
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