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Ejercicios resueltos: expresiones trigonométricas
1) Si sen α = 0,6 y 90º < α < 180º, halla el resto de las razones trigonométricas.
2) Demuestra que, en un triángulo rectángulo, al suma de la tangente de sus tres ángulos es igual al
producto de la tangente de sus tres ángulos.
3) Simplifica las siguientes expresiones:
a) sen α · cos α (tg α + ctg α)
b) sen 3α + sen α · cos2 α
c) sen4 α - cos4 α
d) cos3 α + cos2 α · sen α + cos α · sen2 α + sen3 α
4) Demuestra si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:
a) sen α · cos α · tg α · ctg α · sec α · cosec α = 1
b) tg α + ctg α = sec α · cosec α
c) ctg2 α - cos2 α = ctg2 α · cos2 α
d) (tg α + tg β)/(ctg α + ctg β) = tg α · tg β
5) Demuestra que en todo triángulo rectángulo se cumple que tg B = (sen B + cos C)/(cosB + sen C)
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Soluciones
1) Si sen α = 0,6 y 90º < α < 180º, halla el resto de las razones trigonométricas.
Conociendo el seno, obtenemos el coseno a través de la relación fundamental de la trigonometría:
sen2 α + cos2 α = 1
(0,6)2 + cos2 α = 1
cos2 α = 1 - 0,36
cos α = √0,64
¡Ojo! Aquí es donde mucha gente metería la pata. Recuerda que una raíz cuadrada tiene dos
soulciones, una positiva y otra negativa. ¿Cómo sabemos cuál coger? Pues el enunciado nos dice
que 90º < α < 180º, lo que quiere decir que el ángulo pertenece al segundo cuadrante, y por lo tanto
el coseno debe ser negativo:
cos α = - 0,8
A partir de ahí la tangente sale sola:
tg α = 0,6/-0,8 = -3/4
2) Demuestra que, en un triángulo rectángulo, al suma de la tangente de sus tres ángulos es igual
al producto de la tangente de sus tres ángulos.
Lo que nos está pidiendo el enunciado es que demostremos que
tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C
Bueno, esto puede parecer complicado, así que vayamos despacio. No te preocupes si algún paso
del principio no sabes para qué sirve, lo único que tienes que entender es por qué puede hacerse.
La suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º. Hasta aquí es fácil:
A + B + C = 180
A = 180 - B - C = 180 - (B + C)
Aplicamos la tangente a ambos lados de la igualdad, porque si dos ángulos son iguales, sus
tangentes también lo son:
tgA = tg (180 - (B+C))
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Cojamos la segunda parte de la igualdad. Si consideramos B+C como si fuera un único ángulo...
tg (180 - α) = - tg α
tg (180 - (B+C)) = - tg (B + C)
Ahora aplicamos la fórmula de la tangente de la suma de ángulos:
tg (α + β) = (tg α + tg β)/(1-tg α ·tg β)
tg (B + C) = (tg B + tg C)/(1-tg B ·tg C)
Volvamos ahora a la igualdad de dos párrafos atrás. Fíjate que en el lado derecho no nos hemos
olvidado del signo menos que nos salía al calcula la tangente de 180 - α.
.
tg A = - (tg B + tg C)/(1-tg B ·tg C)
A partir de aquí, pasamos el denominador multiplicando y desarrollamos la expresión:
tgA(1-tg B ·tg C) = - tgB - tgC
tgA - tgA·tgB·tgC = - tgB - tgC
tgA + tgB + tgC = tgA·tgB·tgC
¡Y ya está! Posiblemente estés pensando que todas estas "maniobras" jamás se te habrían ocurrido.
Y es verdad que es complicado que estas soluciones se te vengan a la mente si no las has visto o
practicado antes. Pero para eso se hacen ejercicios en matemáticas: cuantos más hagas, más
recursos e ideas se te podrán ocurrir cuando tengas delante un problema de este tipo.
3) Simplifica las siguientes expresiones:
a) sen α · cos α (tg α + ctg α)
Vamos a cambiar las tangentes y cotangentes por sus correspondientes senos y cosenos:
sen α · cos α (sen α/cos α + cos α/sen α)
Multiplicamos lo de fuera del paréntesis por cada uno de los otros dos términos, y simplificamos:
(sen α · cos α · sen α)/cos α + (sen α · cos α · cos α)/sen α
sen2 α + cos2 α = 1
¡Ya no se puede simplificar más, obviamente!
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b) sen 3α + sen α · cos2 α
Vamos a calcular aparte cuánto vale sen3α. Para ello convertimos sen 3α en sen (α + 2α), y
aplicamos tanto la fórmula del ángulo suma como la del ángulo doble:
sen (α + 2α) = sen 2α · cos α + cos 2α · sen α
2sen α · cos α · cos α + (cos2 α - sen2 α)·sen α
2sen α · cos2 α + cos2 α ·sen α - sen3 α
Sustituimos lo que nos ha salido para sen 3α en la expresión original, y de paso cambiamos el (1 sen2 α) por cos2 α
2sen α · cos2 α + cos2 α ·sen α - sen3 α + sen α · cos2 α
4sen α · cos2 α - sen3 α
c) sen4 α - cos4 α
La clave para simplificar esta expresión está en darse cuenta de que se trata de una igualdad notable
(suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados):
sen4 α - cos4 α
(sen2 α)2 - (cos2 α)2
(sen2 α + cos2 α) · (sen2 α - cos2 α)
La primera mitad es la relación fundamental. La segunda se corresponde con el coseno del ángulo
doble:
(sen2 α + cos2 α) · (sen2 α - cos2 α)
1 · cos 2α = cos 2α
d) cos3 α + cos2 α · sen α + cos α · sen2 α + sen3 α
Ordenemos primero la expresión. No estamos calculando ni aplicando nada, es solo para ver mejor
el siguiente paso:
cos3 α + cos α · sen2 α + cos2 α · sen α + sen3 α
Ahora sacamos factor común, pero no en toda la expresión a la vez, sino un factor común en la
primera mitad y otro en la segunda (¡Sí, esto puede hacerse!)
cos α (cos2 α + sen2 α) + sen α (cos2 α + sen2 α)
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¿Ves ya por qué hemos hecho este paso? Ahora lo que nos queda en los paréntesis es la relación
fundamental:
cos α ·1 + sen α ·1
cos α + sen α
4) Demuestra si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:
a) sen α · cos α · tg α · ctg α · sec α · cosec α = 1
Esta es fácil, pero nos servirá para calentar motores. En los ejercicios que consistan en demostrar si
una expresión es verdadera o falsa, normalmente se utilizan dos técnicas (juntas o por separado):
dejar un lado de la igualdad sin tocar e intentar que el otro sea igual que ese, y convertir todas las
razones trigonométricas a un mismo tipo. Aquí, obviamente, operaremos solo en el lado izquierdo,
aunque no hay mucho que operar. Si te fijas, lo que tenemos es el producto de cada razón
trigonométrica por su inversa:
sen α · cos α · tg α · 1/tg α · 1/cos α · 1/sen α = 1
sen α · cos α · tg α · 1/tg α · 1/cos α · 1/sen α = 1
1=1
b) tg α + ctg α = sec α · cosec α
Cambiamos todo a senos y cosenos, y luego operamos:
sen α/cos α + cos α/sen α = 1/cos α · 1/sen α
sen2 α/(sen α ·cos α) + cos2 α/(sen α·cos α) = 1/(cos α ·sen α)
(sen2 α + cos2 α) /(sen α ·cos α) = 1/(cos α ·sen α)
1/(cos α ·sen α) = 1/(cos α ·sen α)
c) ctg2 α - cos2 α = ctg2 α · cos2 α
Vamos a dejar el segundo lado de la igualdad sin tocar, y operaremos solo en el primer lado hasta
que consigamos que sea igual que el de la derecha (suponiendo que la igualdad se cumpla).
ctg2 α - cos2 α
cos2 α/ sen2 α - cos2 α
Sacamos común denominador:
cos2 α/ sen2 α - (sen2 α · cos2 α)/ sen2 α
(cos2 α - sen2 α · cos2 α)/ sen2 α
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Sacamos factor común en el numerador:
(cos2 α (1- sen2 α))/ sen2 α
Como (1- sen2 α) = cos2 α, nos queda:
cos2 α · cos2 α / sen2 α = cos2 α · cotg2 α
Que era lo que queríamos demostrar.
d) (tg α + tg β)/(ctg α + ctg β) = tg α · tg β
Vamos a dejar el lado derecho de la igualdad sin tocar, y como ahí solo hay tangentes, cambiamos
las cotangentes del lado izquierdo a sus respectivas tangentes:
(tg α + tg β)/(1/ tg α + 1/ tg β )
En la expresión del denominador, sacamos común denominador:
(tg α + tg β)/( tg β / tg α · tg β + tg α / tg α · tg β )
(tg α + tg β)/( (tg β + tg α) / tg α · tg β )
El denominador del denominador pasa multiplicando al numerador:
tg α · tg β · (tg α + tg β)/(tg β + tg α)
tg α · tg β ·1
tg α · tg β
Que era lo que queríamos demostrar.
5) Demuestra que en todo triángulo rectángulo se cumple que tg B = (sen B + cos C)/(cosB + sen C)
Dibujemos primero el triángulo para ubicar los datos. Las reglas para hacerlo son:
- Los ángulos se escriben en mayúscula, y sus lados enfrentados, en minúscula.
- En el caso que nos pone el ejercicio, el ángulo B no puede coincidir con el ángulo recto, porque no
existe tg 90.
B
a
c
A
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b
C
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Ahora cambiemos cada expresión por el cociente de los respectivos lados del triángulo (fíjate que si
no situamos bien los lados en el dibujo, todo el ejercicio nos saldrá mal):
tg B = (sen B + cos C)/(cosB + sen C)
b/c = (b/a + b/a)/(c/a + c/a)
b/c = (2b/a)/(2c/a)
b/c = (b/a):(c/a)
b/c = (b·a)/(c·a)
b/c = b/c
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