Download Trigonometría Primero Bachillerato

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Trigonometría
yMatrices
ydeterminantes
determinantes.
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Haga clic para cambiar el estilo
de título
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Trigonometría
yMatrices
ydeterminantes
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Haga clic para cambiar el estilo
90º de título
Medidas de ángulos
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
• Segundo nivel
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
• Quinto nivel
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
α
• Segundo nivel
0º
180º
R
360º
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
• Quinto nivel
R
270º
1
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deeltítulo
Tomando como unidad de medida
radio, un arco completo de circunferencia mide
Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes
2π radios. Por tanto:
• Haga clic90º
para
modificar el estilo de texto
= π/2 rad
del patrón
• Segundo nivel
• Tercer
nivel
180º
=
0º
π rad
• Cuarto nivel
360º =
2π rad
• Quinto nivel
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Sobre el concepto de radián
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
r
• Segundo nivel
α
β
• Tercer nivel r
r'
• Cuarto nivel
• Quinto nivel
Los ángulos α y β son iguales: ambos miden un radián
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C
de título
C'
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yMatrices
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cosec α =
Cateto opuesto
Cateto opuesto
AC
=
AC'
= sen α
AC
=
AC'
= cos α
BC
AB
B'C'
=
AB'
= tg α
5
=
opuesto
• Haga clic para modificar el estiloBCde cateto
texto
del patrón
AC
hipotenusa
= cateto contiguo
sec α =
AB
• Segundo nivel
α nivel
AB
• Tercer
cateto contiguo
= cateto opuesto
cotg α =
BC
nivel
B
A• CuartoCateto
contiguo
• Quinto nivel Algunas relaciones importantes
tg α =
AB'
AB
4
Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
Los triángulos ABC y AB'C' son
semejantes. En virtud de esta
• Segundo nivel
semejanza se tiene:
α nivel
• Tercer
• Cuarto nivel B'
B
A
contiguo
• QuintoCateto
nivel
B'C'
r'
Haga clic para cambiar el estilo
C
de título
AC
hipotenusa
Razones trigonométricas de ángulos agudos
BC
2
Haga clic para cambiar el estilo
de título
• 1 radián = 180º/ π = 57º 17' 44,81''
• N grados = Nπ / 180 radianes
• n radianes = 180n / π grados
270º = 3π/2 rad
Se dice que α mide un radián si el arco de
circunferencia correspondiente tiene una
longitud igual al radio de la misma.
• 1 recto = 90º
• 1º = 60'
• 1' = 60''
sen α
cos α
cotg α =
cosec α =
cos α
sen α
1
sen α
sec α =
cotg α =
1
tg α
1
cos α
6
1
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Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
P(cos α, sen α)
P(cos α, sen α)
• Haga clic para modificar el estilo
de textoα
α
del patrón
90º = π/2 rad
• Segundo nivel II
I
0º
• Tercer nivel 180º = (–,+) (+,+)
360º =
π rad
2π rad
• Cuarto nivel
(–, –) (+, –)
α
III
IV
α
• Quinto nivel
cos α
cos α
cos α
cos α
sen α
sen α
• Haga clic para modificar
el estilo de texto
Q
M
N
del patrón
• Segundo nivel C
ctg α = NM
sen α = BC = y
• Tercer nivel α
cos
α
=
OB
=
x
sec α = OM
B
• Cuarto nivel
O
tg
α
=
PQ
1 u.
P
cosec α = OQ
• Quinto nivel
sen α
Primer cuadrante
sen α
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270º = 3π/2 rad
P(cos α, sen α)
Signos del (coseno, seno)
en cada cuadrante
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P(cos α, sen α)
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yMatrices
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Relaciones trigonométricas de ángulos que difieren en 180º
Relación entre ángulos suplementarios
Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α
Si un ángulo mide α su suplementario mide 180º – α
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
• Segundo nivel
180º – α
sen (180º – α) = sen α
1
1
• Tercer nivel
y
α y
cos (180º – α) = – cos α
• Cuarto nivel
x
–x
• Quinto nivel
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
• Segundo nivel
sen (180º + α) = – sen α
• Tercer nivel 1
α y
cos (180º + α) = – cos α
• Cuarto nivel
–x
x
• Quinto
–y 1 nivel
tg (180º – α) = – tg α
tg (180º + α) = tg α
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yMatrices
ydeterminantes
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Relación entre la razones trigonométricas de ángulos opuestos
ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α
•Si dos
Haga
clic para modificar el estilo de texto
del patrón
• Segundo nivel
sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α
• Tercer nivel 1
y
• Cuarto nivel α
cos (– α) = cos(360º – α) = cos α
x
–y
• Quinto nivel – α
1
8
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Relación entre la razones trigonométricas de ángulos complementarios
ángulos son complementarios, su suma vale 90º
•Si dos
Haga
clic para modificar el estilo de texto
del patrón
• Segundo nivel
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
• Quinto nivel
tg (– α) = tg(360º – α) = – tg α
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P(x, y)
y)
1
• Haga clic
para modificar elP(x,estilo
de texto
α
α y
y 1
del patrón
x
x
• Segundo nivel
• Tercer nivel
2 + (cos α)2 = sen2α + cos2α = x2 + y2 = r2 = 1
(sen α)
• Cuarto
nivel
• Quinto nivel
α
P(x, y)
• Haga clic para modificar el
α + cos2de
α =texto
sen2estilo
1
del patrón
sen2 α + cos2 α
1
• Segundo
nivel
=
Dividimos
por cos (α
)
cos2 α
cos2 α
• Tercer nivel
sen2 α
1
Simplificamos
+1=
• Cuarto nivel
cos2 α
cos2 α
• Quinto nivel
2
x
1
y
1
Otras fórmulas importantes (I)
Fórmula fundamental de la trigonometría
α
x
y
Matrices
Matrices
Trigonometría
yMatrices
ydeterminantes
determinantes.
plana
Haga clic para cambiar el estilo
de título
Fórmula fundamental de la trigonometría
tg2 α + 1 = sec2 α
Usamos definiciones
P(x, y)
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Seno y coseno de la suma de dos ángulos
• Haga clic paraBmodificar el estilo de texto
del patrón
• sen β = AB
• cos β = OA
• Segundo nivelα
• sen(α + β) = DB = BE + ED = BE + AC =
= cos α . AB + sen α . ΟΑ =
• Tercer nivelE
= cos α . sen β + sen α . cos β =
A
= sen α . cos β + cos α . sen β
• Cuarto nivel
• cos(α + β) = OD = OC – DC = OC – EA =
α+β
= cos α . OA – sen α . ΑΒ =
• Quinto nivel
= cos α cos β − sen α . sen β
• Haga clic para modificar el estilo
de texto
sen2 α + cos2 α = 1
Fórmula
delfundamental
patrón de la trigonometría
sen2 α + cos2 α
1
• Segundo nivel
=
Dividimos por sen (α)
sen2 α
sen2 α
• Tercer nivel
cos2 α
1
1+
=
• Cuarto nivel
Simplificamos
sen2 α sen2 α
• Quinto nivel
2
Usamos definiciones
Matrices
Matrices
Trigonometría
yMatrices
ydeterminantes
determinantes.
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Otras fórmulas importantes (II)
β
1 + cotg2 α = cosec2 α
α
O
D
C
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Seno y coseno de la diferencia de dos ángulos
• sen(α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
• Segundo nivel
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
• cos(α + β) = cos α cos β − sen α . sen β
• Quinto nivel
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ydeterminantes
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Tangente de la suma y resta de dos ángulos
• Haga clic para modificar el estilo de texto
sen α . cos β + cos α . sen β
del patrón
cos α . cos β
sen(α + β)
tg α + tg β
tg
(α
+
β)
=
=
=
• Segundo
nivel
cos(α
+ β) cos α . cos β − sen α . sen β 1 − tg α . tg β
cos α . cos β
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
• Quinto nivel
tg α + tg (–β)
tg α − tg β
tg (α − β) = tg (α + (− β)) =
17
1 − tg α . tg (–β)
=
1 + tg α . tg β
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Seno de ángulo mitad
cos 2α = cos2 α – sen2 α = (1 – sen2 α) – sen2 α = 1 – 2 sen2 α⇔ sen2 α =
• Haga
modificar
elαestilo
sen 2α =clic
sen (αpara
+ α ) = sen
α . cos α + cos
. sen α = de
2 sentexto
α . cos α
del patrón
• Segundo
nivel
cos 2α = cos (α + α ) = cos α . cos α – sen α . sen α = cos2 α – sen2 α
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
• Quinto niveltg 2α = tg α + tg α = 2 tg α
1 − tg α . tg α
Matrices
Matrices
Trigonometría
yMatrices
ydeterminantes
determinantes.
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Haga clic para cambiar el estilo
de título
1 – cos 2α
Ángulo doble
• Haga clic para modificar el estilo de texto 2
del patrón
dependiendo, el signo de la
1 – cos 2α
De donde se deduce que: sen α = ±
raíz, del cuadrante donde se
• Segundo nivel
2
encuentre α.
• Tercer nivel
• Cuarto nivel
Como es una identidades: por tanto relaciones ciertas para cualquier valor de α.
Sustituyendo
• Quinto
nivelα por α/2 obtendremos relaciones también ciertas:
1 − tg 2α
sen α/2 = ±
1 – cos α
2
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Matrices
Trigonometría
yMatrices
ydeterminantes
determinantes.
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Haga clic para cambiar el estilo
de título
Tangente del ángulo mitad
1 + cos 2
• Haga clic para modificar el estilo de texto
2
dependiendo,
el
signo
de
la
del patrón
1 + cos 2α
raíz, del cuadrante donde se
De donde se deduce que: cos α = ±
2
encuentre
α.
• Segundo nivel
• Tercer nivel
Como es unanivel
identidades: por tanto relaciones ciertas para cualquier valor de α.
• Cuarto
Sustituyendo α por α/2 obtendremos relaciones también ciertas:
• Quinto nivel
cos α/2 = ±
Matrices
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título
De las relaciones del seno de
y coseno
se deduce que:
Coseno del ángulo mitad
cos 2α = cos2 α – sen2 α = cos2 α – (1– cos2 α ) =– 1 + 2 cos2 α ⇔ cos2 α =
20
1 − cos 2αel estilo de texto
• Haga clic para modificar
±
senα
2
1 − cos 2α
=
tg α =
=±
del patrón
1 + co s 2α
cos α
1 + cos 2α
±
2
• Segundo nivel
• Tercer nivel
Como es unanivel
identidades: por tanto relaciones ciertas para cualquier valor de α.
• Cuarto
Sustituyendo α por α/2 obtendremos relaciones también ciertas:
• Quinto nivel
1 + cos α
2
tg α/2 = ±
1 – cos α
1 + cos α
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ydeterminantes
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de título
Teorema de los senos
A
BC
sen A = sen A' =
• Haga clic para modificar el
estilo de 2R
texto
a
del patrón
Por tanto:
= 2R
sen A
c
•A'Segundo nivel
b
Análogamente
• Tercer nivel
b
c
•
= 2R
= 2R
sen B
sen C
• Cuarto nivelO
• Quinto nivel
C De donde:
B
a
a
b
c
sen A = sen B = sen C = 2R
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Haga clic para cambiar el estilo
C
de título
Teorema del coseno
a2 = h2 + n2 ⇔ h2 = a2 – n2
• Haga clic para modificar
m = cel
– nestilo de texto
del patrón
= a2 – n2 + (c–
2
2
b = h + m2 = a2 – n2 + m2
b
a
= a2 + c2 – 2cn = a2 + c2 – 2ca cos B
• Segundo
nivel
h
n
• Tercer nivel
⇔ n = a cos B
cos B =
a
• Cuarto nivel
B Considerando las otras dos alturas
A
obtenemos las siguientes relaciones:
m
n
• Quinto
nivel
c
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
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yMatrices
ydeterminantes
determinantes.
plana
Haga clic para cambiar el estilo
de título A
Resolución de triángulos rectángulos
• Haga clic para modificar el estilo de texto
del patrón
b
c
90º
• Segundo nivel
• Tercer C
nivel
B
a
Resolver
un
triángulo
es
calcular
todos
los
elementos
del
mismo
(lados
y ángulos)
• Cuarto nivel
a partir de algunos de ellos.
• Quinto nivel
• Para un triángulo rectángulo es suficiente conocer dos de sus elementos, uno
de los cuales como mínimo ha de ser un lado.
Las siguientes condiciones junto a las definiciones de las razones
trigonométricas permiten resolver cualquier triángulo:
• A + B + C = 180º ⇔ B + C = 90º
• Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
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ydeterminantes
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plana
Haga clic para cambiar el estilo
de título
C
Resolución de triángulos no rectángulos
• Haga clic para Para
modificar
el estilo de texto
la resolución de un triángulo no rectángulo es
bdel patrón a
necesario conocer tres datos del mismo, uno de
los cuales, al menos, debe ser uno de los lados.
• Segundo nivel
• Tercer cnivel
B
Fórmulas necesarias:
A
• Cuarto nivel
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
• AQuinto
nivel sena A = senb B = senc C
+ B + C = 180º
2
2
2
c = a + b – 2ab cos C
Según el tipo de datos del triángulo, que se tengan, puede ocurrir que no haya
solución o que la solución no sea única.
26
5