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Liceo Juan XXIII V.A
Departamento de ciencias
Física
Prof. David Valenzuela
GUÍA DE APRENDIZAJE
“Introducción al álgebra vectorial”
Magnitudes escalares y vectoriales
La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en dos grandes grupos:
• Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 g ; 25 0 C ; 54,65 s… Son las llamadas
magnitudes escalares.
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Tercero medio diferenciado
Vector
Es un objeto abstracto, pero geométricamente se puede representar
como un segmento de recta dirigido (flecha), que está determinado por
un punto inicial y uno final.
• Magnitudes que para estar correctamente especificadas se requiere conocer:
Su valor o módulo. (número)
Su dirección (representada por una recta, puede ser por un ángulo o algún eje de coordenada)
Su sentido (que se representa por una punta de flecha, asignado por un signo + o uno Son las llamadas magnitudes vectoriales que usan para su representación flechas o vectores.
Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas.
Un vector se simboliza con una letra mayúscula en la
gran mayoría de los casos y lleva una flecha en su
parte superior, también es posible encontrar en los
libros simplemente una letra ennegrecida Ejemplo A
OPERACIONES GEOMÉTRICAS CON VECTORES
Resta de vectores
Suma de vectores
Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante).
Al restar dos vectores se obtiene otro vector.
Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como “regla del
paralelogramo”. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores
como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma.
Para obtener el vector resta o diferencia se puede usar la regla
del paralelogramo, teniendo en cuenta que la diferencia puede
ser considerada como la suma de un vector y su opuesto:

 B

S= A
1.Trazar por el extremo de
A una paralela a B
1. Obtener el vector ( - A)
2. Trazar por el
extremo de B una
paralela a A

A

B
⃗
−A

B
∣
S∣= A 2B2

A
3. Trazar la
diagonal del
paralelogramo
para obtener el
vector suma o
resultante.
2. Sumar B + ( - A)
Sea
Multiplicación de un vector por un escalar.
Cuando multiplicamos un escalar (número) por un vector, es aumentar en n
veces el módulo del vector.
Sea A = 3 unidades, si lo multiplicamos por una escalar de valor 3, tenemos:
3 A = 9 unidades
Entonces 3 A será, tendrá un 3 A

modulo de 9 unidades
MÓDULO Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR
Todo vector se resultante se puede expresar como la suma de dos vectores perpendiculares entre si (ortogonales), cuando
expresamos un vector en función de sus componente perperdiculares estamos hablando de lo que se conoce con el nombre de
coordenadas rectangulares, porque la descomposición generá un rectángulo en el caso de trabajar en dos dimensiones, o un
paralelepípedo si fuera en 3D. Esta propiedad es la que utilizaremos para encontrar el módulo y sentido de un vector.

A

S
Módulo del vector
Tanto para la suma como para la resta. Si
queremos obtener el valor del vector
resultante, tendremos que hacer:
S = A +B ;S = A +B
2
2
2
2
2
Si queremos saber el ángulo que forma con el
eje x podemos utilizar la función tangente:
A
α
tg α=
A
B
B
D2 = A 2 + B 2 ; D = A 2 + B 2
Hemos utilizado el teorema de pitágoras para encontrar
el tamaño de la hipotenusa del triángulo formado, al
encontrar este tamaño hemos encontrado el módulo
del vector, por lo tanto, el módulo de un vector es la
raiz de la suma de las componentes al cuadrado del
vector
Consideraciones:
* Siempre que se considere el ángulo con respecto al eje “x”, la
tangente del ángulo estará dada por la componente “y” del
vector dividida en la componente “x” del vector
Ahora queremos saber la
dirección, o sea el ángulo de
elevación
del
vector
resultante, y por las razones
trigonométricas a partir de
los dos vectores catetos,
podemos tener la mediante
la
función
tangente
la
relación
entre
ambas
cantidades,
y
en
consecuencia el valor del
ángulo
Dirección
−1
=tg
A
B
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
Siempre podemos descomponer un vector en sus componentes, obtener otros vectores perpendiculares, los que sumados dan el vector resultante. En el caso de dos dimensiones, tendremos dos vectores perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura.
Expresión de un vector en función de los vectores unitarios
1. Trazar una paralela al eje X
vy
1. Trazar una
paralela al eje X
v
Aprovechando el concepto de producto de un escalar
por un vector se pueden obtener una notación muy útil
para representar los vectores.
2. Trazar una
paralela al eje Y
Componente y
Se definen en primer lugar los llamados vectores unitarios. Esto es, unos vectores que tienen módulo uno
(1), cuya dirección es la de los ejes coordenados y su
sentido el sentido positivo de éstos.
X ------i
vx
Entonces tenemos que : 
v = vx  vy
Y------j
Z------k
Componente x
Para obtener el valor (módulo) de las componentes a partir del vector inicial
v
vy
α
vx = v · cos α
vy = v · sen α
vx
De esta manera a partir del módulo del vector se pueden obtener las dos componentes del vector y anotar el vector resultante en
función de la descomposición de los vectores unitarios.
v =v cos  i v sen  j
CÁLCULO DEL ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y LA IMPORTANCIA DE LOS SIGNOS NEGATIVOS
EJEMPLO:
Dibujar el siguiente vector:
 =3 i−2 j
A
Al observar el dibujo del vector A, nos podemos dar cuenta que:
* 3i sumado con -2j da como resultado el vector A. (fig. 1)
* El ángulo con respecto al eje +x, en este caso está dado por la tg⁻¹ 3/2, el
cual nos da como resultado un valor de 56,3º. Para ello debe tenerse en
cuenta que se está trabajando en el cuarto cuadrante por lo tanto si nos
damos cuenta el denominador debe ser negativo, sin embargo no lo
colocamos para el cálculo del ángulo, pero si sabemos que estamos
trabajando en el cuarto cuadrante. LA CALCULADORA SIEMPRE ENTREGARÁ
LOS ÁNGULOS CON RESPECTO AL EJE X, LOS SIGNOS SÓLO DARÁN EL
CUADRANTE. (ver figura 2)
Fig. 1
Así el ángulo de 56,3º es y está en
el cuarto cuadrante medido con
respecto al eje “x”
Fig. 2
El cuadro muestra los valores positivos que toma las funciones trigonométricas en
cada uno de los cuadrantes. Por ejemplo en el segundo cuadrante el coseno es
negativo y el seno es positivo.
También podemos a partir del vector A conocer el
módulo el cual esta dado por:
 =3 i −2 j
A
  3²2²
∣A∣=
SUMA Y RESTA DE MANERA ALGEBRAICA DE VECTORES
Sumemos los vectores A= 3i + 2j y el vector B= 2i +3j. Entonces lo primero que hacemos es dibujar en un plano cartesiano ambos
vectores y sumarlos de manera geométrica.
Los vectores A y B son sumados geométricamente, dando
como resultado el vector R. Ahora si descomponemos el
vector en sus componentes rectangulares y el vector B de
igual manera, nos podemos dar cuenta que las suma de las
componentes “x” de cada vector es la componente “x” del
vector resultante. Igualmente en el eje “y”, por lo tanto
para sumar vectores se suman todas las componentes “x”
de los vectores y toda las componente “y” de los vectores,
dando como resultado, las componentes “x” e “y”
respectivamente del vector resultante.
Por lo tanto el vector resultante para nuestro ejemplo
sería:

i 2 i 2 j3 j 
R=3
 =5 i 5 j
R
Módulo es :∣R∣= 5²5²
∣R∣= 50
−1 5
La dirección es : = tg
=45º
5



A=A
x i By j
 =Bx i B y j
B
 B
 =A xB x  i A y B y  j
A
Rx =A x B x  i
Ry =A y B y  j
PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL Y ALGUNAS PROPIEDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL.
Producto escalar
Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R³ y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor
ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan. Sean a = a1 i + a2 j + a3 k y b= b1i +b2j+b3k. Definimos el
producto punto o producto escalar de a y b, y lo escribimos a·b , como el número real
a·b = a1b1+a2b2+a3b3
Se deduce del teorema de
Pitágoras que la longitud del
vector a= a1 i + a2 j + a3 k
es
 a a a
2
1
Algunas propiedades del producto escalar
i. a·a  0
ii. a·b = a·b) y a·b = a·b)
iii.
a·(b+c) = a·b+a·c y (a+b)·c = a·c + b·c
iv.
a·b = b·a
2
2
2
3
Producto Vectorial
Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial ℜ3 . El producto vectorial entre ellos da como resultado un nuevo vector C. El producto vectorial se
denota mediante A x B, por ello se lo llama también producto cruz. También se puede definir de una manera más sencilla donde:
A x B=(∣A∣∣B∣sin θ) n̂
donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha.