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Prof.: Lucia Tafernaberry
REPARTIDO III
FUNCIONES
Funciones constantes
f (x) = 3
La función constante es del tipo:
f(x) = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas.
g (x) = -2
Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor
de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una.
Son del tipo:
x=K
Función lineal
Función de proporcionalidad
La función lineal es del tipo:
f(x) = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de
coordenadas.
Ejemplo: f(x) = 2x
x
y = 2x
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
f (x) = 2x
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte
positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte
positiva del eje OX es obtuso.
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Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
f (x) = x
Función afín
La función afín es del tipo:
f(x) = mx + n
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación
de la recta con respecto al eje de
abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la
misma pendiente.
f (x) = 2x +10
h (x) = 2x -3
g (x) = 2x +3
p (x) = 2x -10
n es la ordenada en el origen y
nos indica el punto de corte de la
recta con el eje de ordenadas.
Corte eje Oy → (0, n)
−n
Corte eje Ox → (
,0)
m
Función
f
Corte Oy
(0,10)
g
(0,3)
h
(0,-3)
p
(0,-10)
Corte Ox
(-5,0)
−3 
,0 

 2 
3 
 ,0 
2 
(5,0)
Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
xv =
−b
2a
−b
yv = f 

 2a 
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
x=
 − b  − b 
, f
V 
 
2
a
2
a



−b
2a
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si
Un punto de corte: (x1, 0)
si
Ningún punto de corte
si
b² − 4ac > 0
b² − 4ac = 0
b² − 4ac < 0
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3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c
(0,c)
Ejemplo:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
x v = − (−4) / 2 = 2
y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
x=
4 ± 16 − 12 4 ± 2 x1 = 3
=
=
x2 = 1
2
2
3. Punto de corte con el eje OY
(3, 0)
(1, 0)
(0, 3)
Traslaciones de parábolas
Construcción de parábolas a partir de f(x) = x²
Partimos de y = x²
x
-2
-1
0
1
2
g(x) = x² +2
y = x²
4
1
0
1
4
f(x) = x²
1. Traslación vertical
f(x) = x² + k
h(x) = x² −2
Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.
Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.
El vértice de la parábola es: (0, k).
El eje de simetría x = 0.
2. Traslación horizontal
f(x) = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza
hacia la izquierda h
unidades.
g (x) = (x + 2)²
f (x) = x2
h (x) = (x − 2)²
Si h < 0, y = x² se desplaza
hacia la derecha h unidades.
El vértice de la parábola es:
(−h, 0).
El eje de simetría es x = −h.
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3. Traslación oblicua
f (x) = (x + h)² + k
El vértice de la parábola es: (−h, k).
g (x) = (x + 2)² − 2
El eje de simetría es x = −h.
f (x) = x2
h (x) = (x − 2)² + 2
Dilataciones y contracciones
de funciones
Contracción de una función
Una función f(k·x) se contrae si K > 1.
f(x) = x2
g (x) = 2 x2
h (x) = 4 x2
p (x) = 6 x2
f(x) = x2
g (x) = 1/2 x2 = x2/2
h (x) = 1/4 x2 = x2/4
p (x) = 1/6 x2 = x2/6
Dilatación de una función
Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre
polinomios:
a n x n + ... + a 2 x 2 + a1 x + a 0
f ( x) =
bm x m + ... + b2 x 2 + b1 x + b0
El dominio lo forman todos los números reales
excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de
proporcionalidad inversa de ecuación:
k
f ( x) =
.
x
f (x) = 1/x
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Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
ax + b
f ( x) =
cx + d
f ( x) =
x−2
x
Traslaciones de hipérbolas
k
son las más
x
sencillas de representar.
Sus asíntotas son los ejes.
El centro de la hipérbola, que es el
punto donde se cortan las asíntotas, es
el origen.
Las hipérbolas f ( x) =
A partir de estas hipérbolas se obtienen
otras por traslación.
f ( x) =
2
x
1. Traslación vertical
f ( x) =
k
+a
x
El centro de la hipérbola es: (0, a).
k
Si a > 0, f ( x) =
se desplaza hacia arriba a unidades.
x
k
Si a < 0, f ( x) = se desplaza hacia abajo a unidades.
x
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
2
x
2
+3
x
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
2
−3
x
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
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2. Traslación horizontal
f ( x) =
k
x+b
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
k
Si b > 0, f ( x) = se desplaza a la izquierda b unidades.
x
k
Si b < 0, f ( x) = se desplaza a la derecha b unidades.
x
f ( x) =
2
x−3
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
f ( x) =
2
x+3
f ( x) =
2
x
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
3. Traslación oblicua
f ( x) =
k
+a
x+b
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
f ( x) =
2
x
f ( x) =
2
+4
x−3
El centro de la hipérbola es: (3, 4)
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Para representar hipérbolas del tipo
f ( x) =
ax + b
cx + d
1 – Dominio (Asíntota vertical)
−d
− d 
cx + d = 0 ⇒ x =
D (f) = R - 

c
 c 
Asíntota vertical
x=
−d
c
→
2 – Cero (Corte con el eje Ox )
−b
ax + b = 0
⇒ x=
a
→
corte Ox →
−b 
,0 

 a 
→
si a = 0 no corta al eje Ox
→
3 – Ordenada en el origen (Corte con el eje Oy )
→
→
b
 b
f ( 0) =
corte Oy →  0, 
si d = 0 no corta al eje Oy
d
 d
4 – Asíntota horizontal
Indica el comportamiento de la función en valores muy grandes de x. Asíntota horizontal
f ( x) =
y=
a
c
3x + 5
x +1
El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
1- x+1=0
2 - 3x +5 = 0
3-
f ( 0) =
4-
y=
x = -1
D(f) = R - {-1}
Asíntota vertical
→
−5
 5 
x=
≅ −1,67
corte Ox →  − ,0 
3
 3 
5
=5
1
3
=3
1
x = -1
→
corte Oy → (0,5)
Asíntota horizontal y = 3
Otras funciones racionales…
f ( x) =
f ( x) =
1
x3
1
x2
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Funciones radicales
Función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
f ( x) =
f ( x) = x 2 − 5 x + 6
x
x 2 − 5x + 6 ≥ 0
D ( f ) = (− ∞,2] ∪ [3,+∞ )
f ( x) = − x
x2 − 5x + 6
x+4
2
(− ∞,2] ∪ [3,+∞ )
x − 5x + 6 ≥ 0
f ( x) =
x+4=0
x ≠ −4
D ( f ) = (− ∞,−4 ) ∪ (− 4,2] ∪ [3, +∞ )
y=x
Función radical de índice impar
El dominio es, el dominio del radicando.
f ( x) = x 3
f ( x) = 3 x
f ( x) = 3 x 2 − 5 x + 6
D( f ) = R
x
x − 5x + 6
D ( f ) = R − {2,3}
f ( x) = 3
2
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Funciones definidas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
x 2
si x < 2
f ( x) = 
si x > 2
4
D ( f ) = R − {2}
 2x − 2
si x < 1
 x +1

f ( x) =  x 2 + x − 2
si 1 ≤ x < 3
13 − x
si x ≥ 3


D( f ) = R
Función parte entera de x
Es una función que a cada
número real hace corresponder el
número entero inmediatamente
inferior.
f (x) = E (x) = [x]]
x
f(x) = E(x)
0
0
0.5
0
0.9
0
1
1
1.5
1
1.9
1
2
2
Función mantisa
Función que hace corresponder a
cada número el mismo número
menos su parte entera.
x
f(x)
=x
0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
f (x) = x - E (x)
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Función signo
− 1 si x < 0

f ( x) = 0
si x = 0
1 si x > 0

f (x) = Sg(x)
Función valor absoluto
f (x) = | x |
Las funciones en valor absoluto se transforman
en funciones a trozos, siguiendo los siguientes
pasos:
1 - Se iguala a cero la función, sin el valor
absoluto, y se calculan sus raíces.
2 - Se forman intervalos con las raíces y se
evalúa el signo de cada intervalo.
3 - Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la función es negativa se
cambia el signo.
4 - Representamos la función resultante.
x−3= 0
x=3
f (x) = | x – 3 |
0
3
f ( x) = x − 3
− ( x − 3) = − x + 3
− x + 3 si x < 3
f ( x) = 
 x − 3 si x ≥ 3
Otras formas de representar…
f (x) = | x – 3 |
f (x) = | x – 3 |
f (x) = | x |
f (x) = x-3
Traslación
Simetría axial eje Ox
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x 2 − 5x + 6 = 0
f ( x) = x 2 − 5 x + 6
x=2 x=3
0
0
2
3
f (x) =| x2 -5x +6 |
− ( x 2 − 5 x + 6) = − x 2 + 5 x − 6
 x 2 − 5 x + 6
si x ≤ 2
∨ x≥3
f ( x) =  2
− x + 5 x − 6
si 2 < x < 3
Otra
forma…
Simetría
axial
eje Ox
f (x) = x2 -5x +6
f (x) = x2 -5x +6
f (x) =|| x2 -5x +6 |
Función exponencial
La función exponencial es del tipo:
f ( x) = a x
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama
función exponencial de base a y exponente x.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = (1/2)x
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
1
f ( x) =  
2
x
f ( x) = 2 x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = 2x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
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Propiedades de la función exponencial
x
1
Dominio: R.
f ( x) =   = e − x
+
Recorrido: R .
e
Es continua ∀ x∈R.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva ∀ a ≠ 1 (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a > 1.
Decreciente si 0 < a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a) x son simétricas respecto del eje OY.
f ( x) = e x
Funciones logarítmicas
f ( x) = log a x
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
x
y = log 2 x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y = log 1 x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
3
2
1
0
−1
−2
−3
a>0
a ≠1
f ( x) = log 2 x
2
f ( x) = log 1 x
2
Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio: R+
Recorrido: R
Es continua ∀ x∈R.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a > 1.
Decreciente si 0 < a <1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la
gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Logaritmos decimales
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
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Logaritmos neperianos
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
a>0
0<a<1
y=x
1
f ( x) =  
e
x
y=x
f ( x) = e
x
f ( x) = log1 x
e
f ( x ) = Lx
f (x) = L|| x |
Funciones
trigonométricas
f (x) = L | x – 3 |
f (x) = sen x
1
Función seno
Dominio: R
Recorrido: [−1, 1]
Período: 2π rad
Continuidad: Continua ∀x∈R
Impar: sen(−x) = −sen x
-9π/2
-7π/2
-5π/2
-3π/2
-4π
-3π
-2π
-π
π/2
-π/2
3π/2
π
0
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
9π/2
5π/2
7π/2
9π/2
-1
f(x) = cos x
1
Función coseno
Dominio: R
Recorrido: [−1, 1]
Período: 2π rad
Continuidad: Continua ∀x∈R
Par: cos(−x) = cos x
-9π/2
-4π
-7π/2
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
3π/2
π
0
2π
3π
4π
-1
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Función tangente
Dominio:
f (x) = tg x
3
π

R −  + kπ , k ∈ Z 
2

Recorrido: R
Continuidad: Continua en
π

x∈ R −  + kπ , k ∈ Z 
2

Período: π rad
Impar: tg (−x) = −tg x
2
1
-9π/2
-7π/2
-4π
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
3π/2
π
0
5π/2
2π
7π/2
3π
9π/2
4π
-1
-2
-3
Función cotangente
f (x) = cotg x =
1
tgx
3
2
Dominio: R - {kπ, k∈Z}
Recorrido: R
Continuidad: Continua en
1
-9π/2
-7π/2
-4π
x∈ R - {kπ, k∈Z}
Período: π rad
Impar: cotg (−x) = −cotg x
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
3π/2
π
0
5π/2
2π
7π/2
3π
9π/2
4π
-1
-2
-3
Función secante
f (x) = sec x =
1
cos x
3
2
Dominio:
π

R −  + kπ , k ∈ Z 
2

Recorrido:
(− ∞,−1] ∪ [1,+∞ )
Período: 2π rad
Continuidad: Continua en
π

x∈
∈ R −  + kπ , k ∈ Z 
2

Par: sec(−x) = sec x
1
-9π/2
-7π/2
-4π
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
3π/2
π
0
5π/2
2π
7π/2
3π
9π/2
4π
-1
-2
-3
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Función cosecante
f (x) = cosec x =
1
senx
3
2
Dominio: R - {kπ, k∈Z}
Recorrido: (− ∞,−1] ∪ [1,+∞ )
Período: 2π rad
Continuidad: Continua en
1
-9π/2
-7π/2
-4π
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
π
0
x∈ R - {kπ, k∈Z}
Impar: cosec(−x) = −cosec x
3π/2
5π/2
2π
7π/2
3π
9π/2
4π
-1
-2
-3
Funciones trigonométricas inversas
Función arcoseno
π/2
f (x) = Arsen x
Dominio: [− 1,1]
-1
1
 π π
− 2 , 2 
Continuidad: Continua si -1 ≤ x ≤ 1
Impar: Arsen(−x) = −Arsen x
Recorrido:
-π/2
Función arcocoseno
π
f (x) = Arcos x
π/2
Dominio: [− 1,1]
Recorrido: [0, π ]
Continuidad: Continua si -1 ≤ x ≤ 1
-1
1
Función arcotangente
-π/2
f (x) = Artg x
Dominio: R
Recorrido:  − π , π 
 2 2
Continuidad: Continua si ∀x∈R
Impar: Artg(−x) = −Artg x
-3
-2
-1
0
1
2
3
π/2
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Amplitud y período
Por ejemplo para f (x) = sen x
f ( x) = 2 senx
f ( x) =
f ( x ) = senx
1
senx
2
2
1
-9π/2
-7π/2
-4π
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
3π/2
π
0
5π/2
2π
7π/2
3π
9π/2
4π
-1
-2
Funciones de la forma: f (x) = a.senx
La función varía desde un mínimo –a hasta un máximo a.
El número a es llamado amplitud de f.
1
f ( x ) = sen x
3
f ( x) = senx
f ( x ) = sen3 x
1
-9π/2
-7π/2
-4π
-5π/2
-3π
-3π/2
-2π
π/2
-π/2
-π
0
3π/2
π
5π/2
2π
7π/2
3π
9π/2
4π
-1
Funciones de la forma: f (x) = sen bx
El número b cambia el período de la función. En general con b > 0 el período de f es:
2π
b
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