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FJC 2009
Optica
Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción.
Vamos a estudiar dos: el esférico y el plano.
Dioptrio esférico
Vamos a trabajar con rayos paraxiales: rayos próximos a los ejes, con ángulos pequeños de forma
que se confundan el arco, el seno y la tangente.
Criterio de signos:
Distancias: Eje óptico y dioptrio como si fueran ejes X e Y
Ángulos: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje óptico va en
sentido antihorario. ¡Ojo, σ es negativo!
Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P se refracta en el punto A y llega al punto P’.
Aplicando la ley de Snell tenemos:
n1 seni = n2 senr
y al ser rayos paraxiales
n1 i = n2 r (1)
En el triángulo PAC: −σ + β + (180 − i ) = 180
luego
i=β−σ
En el triángulo CAP’: σ′ + r + (180 − β ) = 180
luego
r = β − σ′
Sustituyendo en la expresión (1) tenemos:
n1 ( β − σ ) = n2 ( β − σ′ ) (2)
Teniendo en cuenta que estamos en zona paraxial:
σ ≅ tg σ =
h
h
h
; σ′ ≅ tg σ′ = ; β ≅ tg β =
s
s′
R
Sustituyendo en (2):
⎛h h ⎞
⎛h h ⎞
n1 ⎜ − ⎟ = n2 ⎜ − ⎟
⎝ R s1 ⎠
⎝ R s2 ⎠
o lo que es lo mismo
⎛1 1⎞
⎛1 1⎞
n1 ⎜ − ⎟ = n2 ⎜ − ⎟
⎝ R s1 ⎠
⎝ R s2 ⎠
que se llama invariante de Abbe o ecuación del dioptrio esférico que podemos escribir como:
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n2 n1 n2 − n1
− =
s2 s1
R
Focos del dioptrio
Foco Imagen F’
Foco Objeto F
f2
f1
Todos los rayos que pasan por un punto al que
Todos los rayos que llegan paralelos al eje
vamos a llamar foco objeto salen paralelos al
óptico se refractan y pasan por un punto al
eje óptico. A ese punto le vamos a llamar foco
que vamos a llamar foco imagen.
objeto.
Ecuación del dioptrio con s1 = −∞ y s2 = f2
Ecuación del dioptrio con s1 = f1 y s2 = ∞
n2 n1
n − n1
−
= 2
f2 −∞
R
n2 n1 n2 − n1
− =
∞ f1
R
f2 =
n2
R
n2 − n1
f1 = −
Si sumamos las distancias focales: f1 + f2 = R
n1
R
n2 − n1
Si las dividimos:
f1
n
=− 1
f2
n2
Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva ecuación
del dioptrio, más sencilla:
n2 n1 n2 − n1
;
− =
s2 s1
R
f2 f1
+ =1
s2 s 1
n2R
n1R
−
= 1;
s2 (n2 − n1) s1(n2 − n1)
Ecuación de Gauss (¡otra vez!)
Formación de imágenes en un dioptrio
a. Rayo que va paralelo al eje óptico pasa
por el foco F2.
b. Rayo que pasa por el centro no se desvía
c. Rayo que pasa por el foco F1 sale paralelo al
eje óptico.
La imagen formada termina en el punto de
corte de las tres líneas y comienza en el eje óptico.
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Aumento de un dioptrio
El aumento es la relación entre los tamaños de
la imagen y del objeto.
Si aplicamos Snell: n1 seni = n2 senr al estar
en zona paraxial seni=i=tgi:
n1 tg i = n2 tgr ;
y el aumento será A =
n1
y1
y
= n2 2 ;
s1
s2
y 2 n1s2
=
y1 n2 s1
Lentes
Una lente es un conjunto de dos dioptrios, al menos uno esférico. Vamos
a trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura es
despreciable frente al radio de curvatura.
Convergentes: Son más gruesas en el centro.
Biconvexa (R1>0 y R2<0), menisco convergente (R2>R1 y los dos
positivos), plano convexa (R1>0 y R2= ∞ )
Divergentes: Son más gruesas en los extremos.
Bicóncava (R1<0 y R2>0), menisco divergente (R1>R2 y los dos
positivos), plano cóncava (R1= ∞ y R2>0).
Para deducir la fórmula de las lentes solo tenemos que tener en cuenta que se trata de dos
dioptrios en el aire:
Dioptrio 1:
Dioptrio 2:
n1 = 1
n2 = n
n1 = n
n2 = 1
al sustituir en la ecuación del dioptrio:
n 1 n −1
− =
s′ s1
R1
al sustituir en la ecuación del dioptrio:
1 n 1− n
− =
s2 s′
R2
Si sumamos las dos expresiones, tenemos:
⎛ 1
1 1
1⎞
− = ( n − 1) ⎜ − ⎟ (3)
s2 s1
⎝ R1 R 2 ⎠
Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico pasan por el foco. Para calcular la distancia
focal:
s1 = −∞
s2 = f2
⎛ 1
1
1⎞
= ( n − 1) ⎜
− ⎟
f2
⎝ R 2 R1 ⎠
(4)
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Comparando las expresiones (3) y (4) tenemos la fórmula de las lentes:
1 1 1
− =
s2 s1 f2
Aumento de una lente:
El aumento de la lente viene dado por una
semejanza de triángulos:
A=
y 2 s2
=
y1 s1
Se define la potencia de una lente como la inversa
de la distancia focal. Se mide en dioptrías (m-1)
P=
1
f2
⎧Lente convergente P > 0
⎨
⎩Lente divergente P < 0
Formación de imágenes:
Para formar las imágenes, igual que en el dioptrio esférico:
1. Rayo paralelo al eje óptico sale por el foco.
2. Rayo que pasa por el centro no se desvía.
3. La imagen se forma desde el punto de corte hasta el eje óptico.
Lentes convergentes:
Hay cinco posibilidades dependiendo de la posición del objeto:
Si el objeto está
La imagen se forma
y el tipo de imagen es
antes de 2F
entre F2 y 2F2
menor, real, invertida
en 2F
en 2 F2
igual, real, invertida
entre 2F y F
entre 2F2 y ∞
mayor, real, invertida
en F
no hay
no hay imagen
entre F y la lente
entre – ∞ y F
mayor, virtual, derecha
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Lentes divergentes:
Sólo hay una posibilidad. La imagen siempre es virtual y menor que el objeto.
Espejos
Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción n2 es
igual y de sentido contrario al n1. El rayo llega se refleja y vuelve por el primer medio pero en
sentido contrario.
La ecuación del dioptrio es:
si
n2 = −n1
n2 n1 n2 − n1
− =
s2 s1
R
entonces tenemos que:
−n1 n1 −n1 − n1
− =
s2
s1
R
o bien:
1 1 2
+ =
s2 s1 R
que es la fórmula de los espejos. ¡Cuidado con los signos de los radios!
Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos positivo.
De la fórmula del espejo podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la mitad del
radio.
Formación de imágenes:
1. Rayo paralelo al eje óptico se refleja pasando por el foco.
2. Rayo que pasa por el foco se refleja y sale paralelo al eje óptico.
3. Rayo que pasa por el centro no se desvía.
Espejos cóncavos:
Se pueden dar cinco posibilidades dependiendo de dónde se encuentre el objeto.
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Espejos convexos:
Sólo hay una posibilidad. La imagen siempre es
menor, derecha y virtual.
Aumento de un espejo:
En la fórmula del aumento de un dioptrio,
recordando que en los espejos
n2 = −n1 ; tenemos : A =
y2
s
=− 2
y1
s1
Instrumentos ópticos
El ojo
El ojo humano es una esfera de unos 25 mm de diámetro. En él se distinguen las siguientes
partes:
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Esclerótica: membrana blanca, opaca y resistente. Termina en la córnea por la parte anterior.
Coroides: Recubre la parte interior del ojo excepto la cornea.
Retina: membrana situada en el fondo del ojo llena de células nerviosas en la que se proyectan
las imágenes. En la retina hay dos tipos de células: conos y bastones. Los bastones
detectan la intensidad de luz y los conos los colores. Hay tres tipos de conos en función
del color al que son sensibles: rojo, verde y azul. Cualquier color se forma por
combinación de esos tres. La mácula es la zona en la que hay mayor concentración de
conos.
Cristalino: Lente biconvexa elástica. Está sujeto al globo ocular por los músculos ciliares que
permiten modificar el radio de curvatura.
El conjunto pupila/iris selecciona la cantidad de luz que entra en el ojo.
Un ojo normal tiene el punto próximo a 25 cm y el punto lejano en el infinito.
Defectos de la visión
Miopía.
Se debe a un alargamiento del ojo. Se ven bien los objetos cercanos pero la imagen de
objetos lejanos se forma por delante de la retina por lo que se ven borrosos. Se corrige
con lentes divergentes.
Hipermetropía.
Es lo contrario de la miopía. Se ven bien los objetos lejanos pero no los cercanos porque
la imagen se forma por detrás de la retina. Se corrige con lentes convergentes.
Astigmatismo.
La cornea normal tiene forma esférica. Si la cornea tiene forma elipsoidal se produce el
astigmatismo y los rayos paralelos no coinciden en el mismo foco. Se pone de manifiesto
porque dificulta la visión clara y simultánea de dos rectas perpendiculares, de los radios
de una bicicleta. Se corrige con lentes cilíndricas.
Presbicia.
También se llama vista cansada y aparece a partir de los 40 años. Se debe a la pérdida de
flexibilidad de los músculos ciliares o del cristalino. Consiste en un alejamiento del punto
próximo. Los que lo padecen ver bien de lejos pero mal de cerca, necesitan alejar el
texto que van a leer para verlo con claridad. Este defecto se corrige con lentes
convergentes (o bien con cristales bifocales o progresivos).
Cataratas.
Al aumentar la edad el cristalino pierde transparencia y los objetos se ven como si
estuvieran colocados detrás de un velo o de una película acuosa. Suele aparecer a partir
de los 60 años y no admite corrección. Sólo admite cirugía en la que se limpia el
cristalino o bien se sustituye por uno sintético.
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Daltonismo.
Es un defecto genético de la vista que impide distinguir ciertos colores; generalmente el
rojo y el verde. Se debe a la deficiencia de conos en la retina.
Lupa
Microscopio
Telescopio