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Tercer examen parcial
ESTA 3041
Prof. Héctor D. Torres Aponte
27 de abril de 2012
Instrucciones
Este examen tiene un valor de 109 puntos. Todos los problemas son basados en el material
cubierto en clase. En cada pregunta deberá desarrollar y escribir su contestación de forma
clara y ordenada, de lo contrario no recibirá crédito.
Por favor lea las instrucciones de cada problema con detenimiento. De tener alguna
pregunta durante el examen, levante la mano para que el profesor lo atienda. Debido a que
esto es un examen todas las políticas institucionales sobre honestidad académica están en
vigor. De notar algún acto deshonesto recibirá la calificasión de F de forma automática.
El uso de calculadora está permitido en el examen, sin embargo deberá quitarle
la cubiuerta a la calculadora y de ser una calculadora gráfica no podrá tener programas
instalados, de ser así no podrá utilizarla. Usted tiene que mostrar todo el procedimiento por
cada problema para poder recibir crédito. Celulares, laptops, PDA’s, Ipads, Iphones o
cualquier otro artículo electrónico no están permitidos durante el examen, estos
deberán permanecer guardados y apagados fuera de su escritorio.
Tiempo de examen: 120 minutos (2 horas).
¡Éxito!
Nombre: _______________________________________
1
#Est: _________________
Selección múltiple
1. (3 pts.) Suponga que X es una variable aleatoria con media µX y desviación estándar
σX . Suponga que Y es una variable aleatoria con media µY y desviación estándar σY .
El valor esperado de X + Y es
a.
b.
c.
d.
µX + µY .
(µX /σX ) + (µY /σY ).
µX + µY , pero solo si X y Y son independientes.
(µX /σX ) + (µY /σY ), pero solo si X y Y son independientes.
2. (3 pts.) Suponga que X es una variable aleatoria con media µX y desviación estándar
σX . Suponga que Y es una variable aleatoria con media µY y desviación estándar σY .
El valor esperado de X + Y es
a.
b.
c.
d.
σX + σY .
(σX )2 + (σY )2 .
σX + σY , pero esto si X y Y son independientes.
(σX )2 + (σY )2 .
0
1
X
2
3. (3 pts.) Utilizando la densidad de probabilidad anterior, el valor de P (0.5 ≤ X ≤ 1.5) es
a. 1/3.
b. 1/2.
c. 3/4.
d. 1.
4. (3 pts.) Utilizando la densidad de probabilidad anterior, P (X ≥ 1.5) =
a. 0.
b. 1/4.
c. 1/3.
d. 1/2.
5. (3 pts.) Utilizando la densidad de probabilidad anterior, P (X = 1.5) =
a. 0.
b. 1/4.
c. 1/3.
d. 1/2.
6. (3 pts.) Una variable aleatoria es
a. una lista hipotética de posibles resultados de un fenómeno aleatorio.
b. cualquier fenómeno aleatoria cuyo todos los resultados sean igualmente probables.
c. cualquier número que puede cambiar su manera de predicción con el pasar del tiempo.
d. una variable cuyo valor es un resultado numérico de un fenómeno aleatorio.
Preguntas abiertas
7. Una manera fácil de como crear una variable aleatoria X que tenga una media µ
una desviación estándar σ es cuando X toma dos valores: µ − σ y µ + σ ambos con
probabilidad 0.5.
a) (5 pts.) Demuestre que µX = µ.
b) (5 pts.) Demuestre que σX = σ
8. (10 pts.)Sabemos que las varianzas de variables aleatorias se suman cuando estás variables son independientes (ρ = 0), pero no si las variables son dependientes. Suponga
que las varables tienen una correlación perfecta positiva (ρ = 1). Demuestre que
σX+Y = σX + σY
si ρXY = 1.
9. Suponga que tenemos dos escalas para medir peso. Ambas escalas tienen una pequeña
diferencia al medir el peso de un mismo artículo. Si se sabe que el artículo tiene un
peso teorico exacto de 3g, la primera escala de peso produce una ciertas lecturas de
peso X que tienen una media de 3.000 g y una desviación estándar de 0.003 g. Las
lecturas de la segunda escala Y tiene una media de 2.001 g y una desviación estándar
de 0.001 g.
a) (5 pts.) Cual es la media y la desviación estándar de la diferencia Y − X entre
las lecturas?
b) (5 pts.) Si se mide el artículo una sola vez en cada una de las escales y luego
tomamos la media aritmética de cada una de las medidas. Su resultado es Z =
(X + Y )/2. Determine µZ y σZ .
10. (5 pts.) Utilizando la tabla binomial, resuelva la probabilidad binomial para n = 20,
p = .40, and x = 10.
11. Entre las mujeres que trabajan, un 25 % nunca se han casado. Si se seleccionan 10
mujeres trabajadoras aleatoriamente:
a) (4 pts.) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente 2 mujeres trabajadoras nunca
se hayan casado?
b) (4 pts.) ¿Cual es la probabilidad de que a lo mas 2 mujeres nunca se hayan casado?
c) (4 pts.) ¿Cual es el valor esperado y la desviación estándar de las mujeres trabajadoras que nunca se han casado?
12. Si X P oisson(µ), encuentre:
a) (4 pts.) P (X = 5|µ = 2.3)
b) (4 pts.) P (X ≤ 3|µ = 4.1)
c) (4 pts.) P (4 < X < 8|µ = 4.4)
13. Considere que la compañia “Gain Communications” vende productos de comunicación
para propósitos militares y propósitos civiles. Las ventas del próximo año dependen
de las condiciones del mercado las cuales no se pueden predecir con exactitud. Gain
utiliza un modelo probabilístico para estimar sus ventas en el próximo año. La división
de productos militares (X) tiene la siguiente distribución:
Unidades vendidas
Probabilidad
1000
0.1
3000
0.3
5000
0.4
10,000
0.2
La división civil (Y ) estima:
Unidades vendidas
Probabilidad
300
0.4
500
0.5
750
0.1
a) (4 pts.) Encuentre el valor esperado para las ventas de artículos con propósito
civil (µY ) y para propósito militar (µX ).
b) (4 pts.) Encuentre las desviaciones estándares para las variables aleatorias X y
Y.
c) (4 pts.) Suponga que la compañia Gain genera una ganancia de $2,000 dólares
por unidad militar y $3,500 por unidad civil. Encuentra la ganancia estimada
promedio para productos militares y para productos con propósito civil.
d ) (4 pts.) Si la ganancia total promedio para la compañia Gain Communications
está descrita por la variable aleatoria
Z = 2, 000X + 3, 500Y
Encuentre la ganancia total promedio.
14. Si una oficina de bienes raices vende en promedio 1.6 propiedades por dia y las ventas
de propiedades tiene un modelo Poisson.
a) (4 pts.) ¿Cual es la probabilidad de vender exactamente 4 propiedades en un día?
b) (4 pts.) ¿Cual es la probabilidad de vender 5 propiedades o más en un día?
c) (4 pts.) ¿Cual es la probabilidad de vender al menos 10 propiedades en un día?
d ) (4 pts.) ¿Cual es la probabilidad de venter exactamente 4 propiedades en dos días?