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Maestría en Gerencia de Proyectos de Investigación y Desarrollo
Fundamentos de Estadística y Simulación Básica
Fundamentos de Estadística y
Simulación Básica
Profesor: Ing. Jaime Soto (MSc)
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Fundamentos de Estadística y Simulación Básica
TEMA 3
PROBABILIDADES
Profesor: Ing. Jaime Soto (MSc)
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Fundamentos de Estadística y Simulación Básica
Algunas definiciones
en Probabilidades
•
•
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•
Definiciones
Teoría de conjuntos
Espacio muestral (E)
Evento o suceso
Eventos mutuamente excluyentes
Eventos complementarios
Medición matemática o clásica
Medición experimental o estadística
Propiedades de las probabilidades
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Probabilidades
Definición
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la
matemática que estudia ciertos experimentos llamados
aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen
todos los resultados posibles, pero no es posible tener
certeza
de
cuál
será
en
particular
experimento.
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el
resultado
del
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Probabilidades
Definiciones
Probabilidad: Es la posibilidad numérica de que ocurra un
evento. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre
mayor sea la probabilidad, más se acercará a 1.
Experimento: Es toda acción bien definida que conlleva a un
resultado bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el
proceso que produce un evento.
Resultado: Un suceso particular proveniente de un experimento.
Evento:
Un
conjunto
de
uno
o
más
experimento.
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resultados
de
un
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Teoría de Conjuntos
Definición
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas
que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El
concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una
"agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados“
Según Georg Cantor:
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos
bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.
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Teoría de Conjuntos
Ejemplos
Se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas,
lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de
una mesa.
Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado
elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules
está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es
azul o no.
El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la
vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede
haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.
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Teoría de Conjuntos
Ejemplos
Conjunto por extensión: Es cuando se mencionan uno a uno los
elementos del conjunto. Por ejemplo:
A={0,2,4,6,8}
B={2,3,5,7,11}
C={1}
Conjunto por comprensión: Es cuando no se mencionan los elementos
uno a uno sino una característica de ellos o una regla de formación.
A={Conjunto de los números pares menores que 10}
B={Conjunto de los 5 primeros números primos}
C={x E IN/ x+1=2x}
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Teoría de Conjuntos
Ejemplos
Conjuntos FINITOS: Tienen un número conocido de elementos,; es
decir, se encuentran determinados por su longitud y cantidad.
El conjunto de los días de la semana
Conjuntos INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos
determinar su longitud.
El conjunto de los números reales
Conjunto UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos
considerados en una población o universo, en un problema especial.
No es único, depende de la situación, de notado por U.
Conjunto NULO O VACÍO: Es aquel que no tiene elementos y se
simboliza por {}.
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Espacio Muestral (E)
Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento
aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho
experimento.
Ejemplos de espacios muestrales (E):
Al lanzar un dado de seis caras :
Al escoger una letra del alfabeto:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Al lanzar una moneda
:
E = {c, s}
Al lanzar dos monedas
:
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}
Al lanzar tres monedas
:
E = {a,b,c,d,e,f,g,…, x,y,z}
E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}
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Evento o Suceso
Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un
espacio muestral.
Ejemplo: En el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del
lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
[3/6]-[0.50]-[50.0%]
2. Obtener un número primo y par B = {2}
[1/6]-[0.16]-[16.7%]
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} [2/6]-[0.33]-[33-3%]
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Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden
ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es
vacía.
Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos
B = {2} y C = {5, 6}
son mutuamente excluyentes por cuanto
BnC=
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Eventos complementarios
Dos eventos se denominan complementarios cuando su
unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de
las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1.
P(Evento1) n P(Evento2) = 1
P(Evento1) n P(Evento2) =
Ejemplo 1: Al lanzar un dado no trucado
Evento1 = Probabilidad de sacar par (0.5)
P(A = .7 )
Evento2 = Probabilidad de sacar impar (0.5)
P(Evento1) + P(Evento2) = 1
Ejemplo 2: En el evento A (día nublado), P(A) = .3,
la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) = .7
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P(A)=.3
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Probabilidad
Medición matemática o clásica
Si
en
un
experimento
aleatorio
todos
los
resultados
son
equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es
igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces,
la probabilidad de un evento E es la razón:
P (E ) =
# Favorable E
# Total resultados
A partir de esta definición las probabilidades de los posibles
resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin
realizar el experimento. Se deduce de la definición lo siguiente:
1. 0 <= P(E) <= 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y
1, inclusive, ó 0% <= P(E) <= 100% en porcentaje.
2. P(vacío)= 0 y P(E) = 1
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Probabilidad
Ejemplo definición clásica
• La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1.
• La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E)
en un
espacio muestral S = 1.
• Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n”
elementos relacionados = # Total de resultados posibles.
1
= .16
6
1
= .5
Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:
Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:
2
Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, ó 6 al lanzar un dado es:
1 1 1 1 1 1
     =1
6 6 6 6 6 6
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Probabilidad
Medición experimental o estadística
La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la
razón FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza
el experimento.
Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de
FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A.
Por ejemplo, si se lanza 100 veces una moneda, el número de
veces que se obtiene cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.
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Probabilidad
Propiedades
1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por
tanto la probabilidad del suceso contrario es: P(Ac)= 1 – P(A)
2. Probabilidad del suceso imposible es cero: P(vacío) = 0
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus
probabilidades restándole la probabilidad de su intersección: P(A U B) =
P(A) + P(B) – P(A n B)
4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la
de éste: Si P(A) C P(B) entonces P(A) <= P(B)
5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces: …..
6. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn}
entonces: P(S) = P(x1)+P(x2)+ --- +P(Xn)
Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) =
P(2)
+ P(4)
P(6)
Profesor:
Ing.
Jaime
Soto +
(MSc)
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GRACIAS
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