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Monopolos Magnéticos
Mariano Echeverría
16 de junio de 2013
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Inicios del Magnetismo
Figura : Lodestone, piedra magnetizada
Tales de Mileto en el siglo VI AC observó que tales piedras se atraían entre
sí y el hierro (acción a distancia)
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Inicios del Magnetismo
Figura : Primeras Brújulas
South Pointer: primeras brújulas en China para la navegación y lograr la
armonía
Brújula portuguesa del siglo XV, navegación de Colón.
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Inicios del Magnetismo
Figura : Movimiento Perpetuo y Magnetismo, Epistola de Magnete, Peter
Peregrinus 1269
Propone la idea de que un imán posee polos y las reglas de interacción entre ellos.
Propone una máquina de movimiento perpetuo que funcionaría usando una rueda
dentada que serían atraídos y repelidos constantemente por los polos del imán
(modelo para entender el movimiento de los planetas)
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De Magnete
Figura : Portada del libro De Magnete, William Gilbert, Edición 1628
Ridiculiza varias de las creencias medievales sobre los poderes de los
imanes, e.g, detección del adulterio y poderes curativos por la ausencia
de evidencia empírica
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Seis Partes De Magnete
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1
Resumen histórico del magnetismo y las teorías sobre el magnetismo
terrestre
2
Diferencias entre la electricidad y el magnetismo, argumentos contra el
movimiento perpetuo
3
Experimentos terrella
4
Declinación (variación entre el norte geográfico y el magnético)
5
Diseño de Instrumentos Magnéticos
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6
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Teoría magnética del movimiento estelar y terrestre
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De Magnete y la Terella
Figura : Terella de William Gilbert
Propuso que la Tierra actúa como un gran imán con dos polos
Contrastó los efectos magnéticos con los eléctricos conocidos para la
época (división electricidad-magnetismo)
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Efluvio Espiral
Figura : Efluvio Espiral, Descartes, 1643
Concibió un vórtice de fluido de materia alrededor de cada imán, de
manera que saliera por un polo y regresara por el otro.
Actuaría sobre el hierro por virtud de una resistencia especial del
movimiento que poseen tales sustancias (acción por contacto)
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Acción a Distancia
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1
Fuerza Gravitacional de Newton: De la forma
entre masas
2
Fuerza de Coulomb: De la forma
cargas eléctricas
3
Fuerza de Michell-Colomb: De la forma
entre “polos” magnéticos
1
r2
#
para la atracción
para la atracción-repulsión entre
"
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1
r2
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1
r2
para la atracción-repulsión
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Magnetismo y Electricidad
!
Experimento de Oersted (1820) : una corriente eléctrica afecta a una
brújula
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Experimento de Ampère (1826) : dos cables con corrientes eléctricas
deberían ser capaces de repelerse o atraerse tal como lo hacen los
imanes. Magnetismo como corrientes amperianas.
Experimento de Faraday (1831): un imán produce una corriente.
Motor homopolar.
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Faraday y las Líneas de Campo
Visualizar el espacio permeado por campos (acción local)
Las interacciones (fuerzas) son mediadas por los campos y no ocurren
instantáneamente
Visualizar el campo a través de las líneas de campo, es decir, líneas
que cuya dirección tangente señala la dirección del campo
Comparar el campo electromagnético como una forma de fluido
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Ecuaciones de Maxwell en el Vacío y Dualidad
%
&
)
*
∇·B=0
∂B
∇×E+
=0
∂t
(1)
∇·E=0
∇×B−
∂E
=0
∂t
(2)
E=B
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(3)
B = −E
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'
(
+
,
Ecuaciones de Maxwell y Dualidad
%
&
%
&
)
*
∇·B=0
∂B
∇×E+
=0
∂t
(4)
∇ · E = ρe
∇×B−
∂E
= je
∂t
(5)
∂B
= −jm
∂t
(6)
∂E
= je
∂t
(7)
∇ · B = ρm
∇ · E = ρe
E = B B = −E ρe = ρm
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∇×E+
∇×B−
ρm = −ρe
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j¯e = jm
j¯m = −je
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'
(
'
(
+
,
Potencial Vectorial y Escalar
.
Para las ecuaciones de Maxwell sin monopolos magnéticos se puede
tomar
B = ∇ × A E = −∇ϕ −
∂A
∂t
/
(9)
Escribe los campos de esta forma hace que se satisfagan
automáticamente dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell
No hay una única pareja de potenciales A, ϕ que sirven, de hecho
1
2
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3
Simetría Gauge:
A −→ A + ∇f
ϕ −→ ϕ −
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∂f
∂t
(10)
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0
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Monopolos Magnéticos y Mecánica Cuántica
En principio no hay ninguna contradicción con la electrodinámica
clásica el postular monopolos
Sin embargo, si B se escribe como ∇ × A entonces se obtiene
automáticamente que ∇ · B = 0
En la Mecánica Cuántica la ecuación de Schrödinger se expresa
utilizando el potencial vectorial directamente
i!
1
∂ψ
=
(i"∇ + qA)2 ψ(x, y , z, t)
∂t
2m
(11)
Esto sugiere que en la Mecánica Cuántica sería imposible tener
monopolos magnéticos, sin embargo, ¡Dirac encontró una forma de
evitar tal conclusión!
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Monopolos Magnéticos y el Dirac String
Considere un monopolo magnético de carga g , es decir,
g
B = 2 eρ
ρ
(12)
Figura : Esfera y coordenada esféricas
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Monopolos Magnéticos y el Dirac String
No existe un campo vectorial A sobre R3 \ {(0, 0, 0)} de modo que
B = ∇ × A pues por Stokes
ˆ ˆ
B · dS =
S
ˆ ˆ
S+
(∇ × A) · d S +
ˆ ˆ
(∇ × A) · d S =
S−
˛
A·dr −
˛
A·dr = 0
(13)
mientras que un cálculo sencillo (Ley de Gauss para monopolos)
mostraría que
ˆ ˆ
(14)
B · d S = 4πg
De hecho, hay requisitos topológicos para garantizar la existencia de
un potencial vectorial: el primer y segundo grupo fundamental del
espacio debe ser trivial, es decir, todos los lazos y todas las esferas
deben poder encongerse a un punto
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Monopolos Magnéticos y el Dirac String
Considerar U− = R3 \ eje z positivo. Existe un potencial vectorial A−
A− (ρ, φ, θ) = −
g
(1 + cos φ) eθ
ρ sin φ
(15)
Considerar U+ = R3 \ eje z negativo. Existe un potencial vectorial A+
A+ (ρ, φ, θ) =
g
(1 + cos φ) eθ
ρ sin φ
(16)
Tales potenciales presentan singularidades sobre una cuerda, de ahí el
nombre Dirac String.
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Cuantización de la Carga
Fuera del eje z se tiene
A+ − A− =
2g
eθ = ∇ (2g θ)
ρ sin φ
(17)
y por la libertad gauge se consideran equivalentes.
Si se toma una partícula de carga q que está bajo la influencia del
campo magnético del monopolo, entonces
ψ+ = e i (2gqθ) ψ−
(18)
donde ψ+ , ψ− son las soluciones respectivas a la ecuación de
Schrödinger. Como difieren en una fase, describen el mismo estado.
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Cuantización de la Carga
Si se realiza una rotación, es decir, θ −→ θ + 2π la relación entre las
funciones de onda deberían preservarse, es decir, como
ψ+ = e i (2gqθ) ψ−
(19)
ψ+ = e i (2gq(θ+2π)) ψ− = e i (2gqθ) e i (4gqπ) ψ−
(20)
debe tenerse que
Esto implica que
e i (4qg π) = 1
(21)
obteniendo la cuantización de Dirac
qg =
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n
2
(22)
n entero
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Características de los Monopolos Magnéticos
La existencia de un monopolo magnético en todo el universo implicaría
la cuantización de la carga eléctrica
Tal cuantización se puede obtener de la cuantización del momento
angular o bien de pedir que en el experimento Aharonov-Bohm no
hubiera patrón de interferencia (tomando el string como un solenoide
infinito)
Las cargas son inversamente proporcionales y el acoplamiento entre
monopolos magnéticos sería cerca de 104 más intenso que el de las
cargas eléctricas
Recuperaría la simetría de las ecuaciones de Maxwell
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Monopolos Magnéticos en las Teorías Modernas
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Aparecen como predicciones en las Teorías de Gran Unificación
(GUT), por ejemplo, los monopolos de t’Hooft Polyakov
Aparecen por razones topológicas (topological charges)
Aparecen en Teoría de Cuerdas, Kalb-Rammond Field
La dualidad de Montonen-Olive es una simetría que generaliza las
simetrías de las ecuaciones de Maxwell que involucra un intercambio
de los papeles de las cargas eléctricas y magnéticas
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Estatus Actual de los Monopolos Magnéticos
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Intentar crearlos en aceleradores de partículas
Detectarlos en rayos cósmicos
Debido al fuerte acoplamiento, serían fáciles de detectar
MoEDAL: Monopoles and Exotic Detectors at the LHC
MACRO: Monopoles, Astrophysics and Cosmic Ray Laboratory
Monopolos Magnéticos Artificiales
(http://www.thp.uni-koeln.de/rosch/Research.html)
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Muchas Gracias
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