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Física del estado sólido
Fenómenos de transporte
Movilidad
En presencia de un campo eléctrico la fuerza sobre un electrón está dada por F = - ef , que de acuerdo
con la segunda ley de Newton imparte en el semiconductor a los portadores negativos (electrones) una
aceleración dada por la ecuación (a):
a = - ef /m n*, (a)
donde mn* es la masa efectiva del portador negativo en el material.
Como consecuencia de una colisión con un centro dispersivo, que puede ser:
1.
2.
3.
4.
Dispersión por fonones,
Dispersión por átomos de impurezas ionizadas,
Por defectos de la red,
Dispersión portador-portador,
se destruye la tendencia de arrastre del electrón provocando un cambio electrónico en la dirección del
movimiento después de la colisión, modificándose su velocidad en el momento de su siguiente colisión,
como se muestra en la figura 1. En promedio la velocidad de arrastre para estos portadores está dada por la
ecuación (b):
vn = a x = b- ex* l f, mn
(b)
donde τ es el tiempo libre medio entre colisiones y su valor depende del tipo de centro dispersor.
De la ecuación (b) se observa que la velocidad de arrastre de los portadores negativos (electrones) es
proporcional al campo eléctrico aplicado f. La proporcionalidad depende del tiempo medio y de la masa
efectiva del portador. Este factor de proporcionalidad se llama movilidad del electrón y está dado por la
ecuación (c):
nn = ex* . mn
(c)
vd
a = – eE
m*
x, t
Figura 1. Dispersiones de los portadores de carga.
Para huecos la velocidad de arrastre y la movilidad están dadas por la ecuación (d):
v p = a x = b ex* l f y n p = ex* .
mp
mp
(d)
Como las velocidades de arrastre son las dadas por la ecuación (e):
v n = - nn f y v p = n p f,
(e)
las movilidades de electrones y de huecos es una medida de la facilidad de movimiento de los portadores
dentro de un semiconductor y tiene como unidades m2V‒1s‒1. A menor movilidad mayor es el número de
colisiones que impiden el movimiento de los portadores, lo cual se puede inferir de las ecuaciones (c) o
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(d) puesto que estas ecuaciones están relacionadas con el tiempo libre medio entre colisiones, tiempo que
depende del mecanismo de dispersión involucrado. En la figura 2 se muestra una imagen conceptual del
proceso de dispersión, donde un electrón inicialmente con un momentum ћk se dispersa debido a un potencial U(r) y luego sale con un momentum ћk´.
ћk
ћk'
U(r)
Antes
U(r)
Déspues
Figura 2. Esquema de dispersión.
Dos de los más importantes mecanismos de dispersión que afectan la movilidad son los de dispersión por
la red debido a efectos térmicos y la dispersión por las impurezas dopantes presentes en el semiconductor.
Los efectos de temperatura hacen que la red vibre y esta perturbación afecta el potencial periódico de la
red de tal manera que existe transferencia de energía entre ésta y los portadores. A medida que aumenta la
temperatura las vibraciones aumentan, por lo que la dispersión producida por la red es dominante para altas
temperaturas; de allí que la movilidad disminuya con el incremento de la temperatura. Un análisis teórico,
cuyo resultado no se desarrolla acá, muestra que la movilidad μL debido a la dispersión producida por la red
decrece en proporción de T―3/2.
Cuando están presentes impurezas ionizadas (donadoras o aceptoras), un portador que pase cerca de
ellas debido a la interacción culombiana se desvía de su trayectoria. La probabilidad de dispersión por
impurezas depende de la concentración total de impurezas, esto es, de la suma total de iones positivos y de
iones negativos. La movilidad por impurezas μI va a depender del número de impurezas NI presentes. Si este
número de impurezas se incrementa, la probabilidad de dispersión también se incrementa por lo que se presenta una disminución de la movilidad; pero si hay además un incremento en la temperatura, se aumenta la
velocidad térmica de los portadores, reduciéndose por lo tanto la permanencia de éstos en la cercanía de las
impurezas ionizadas. Al reducirse este tiempo, la deflexión del portador llega a ser más pequeña y el efecto
de dispersión es menor, tomando valores más grandes la movilidad, con nI \ T3/2; cuando la temperatura
es muy alta los efectos de las impurezas son insignificantes y dominan los efectos de la red. En general,
la movilidad nI \ T3/2 /NI . El comportamiento de la movilidad del electrón en función de la temperatura
se muestra en la figura 2 para dos concentraciones; en ella se observa que al aumentar la concentración de
impurezas μ decrece y el pico de μ(T) se corre en dirección de altas temperaturas.
μ
Dispersión por vibración
térmica μα T 3/2
Dispersión por
impurezas μα T 3/2
NI
N'I >NI
1 1
T'm Tm
1
T
Figura 3. Movilidad vs. 1/T.
Se puede inferir que la movilidad de los electrones y huecos son, de hecho, los parámetros más importantes
que participan en las propiedades de transporte. Para el caso de los dos mecanismos de dispersiones mencionadas anteriormente la probabilidad de dispersión por unidad de tiempo está dada por la suma de las probabilidades de dispersión para cada centro dispersor, Wi. Para el caso de los dos mecanismos de dispersión
más importantes se tiene la ecuación (f):
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W = / Wi = WL + WI = 1 + 1 ,
xL xI
i
(f)
que es la fórmula de Mathieson. Con esta regla para encontrar el tiempo de dispersión hay que efectuarse un
promedio adecuado puesto que los diferentes electrones (huecos) involucrados tienen energías diferentes.
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