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Segundo cuatrimestre 2006
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función. Son útiles y
aparecen frecuentemente cuando lo que se conoce es la tasa de variación de una
cantidad. La ley de Newton (F = m a) es un ejemplo de ecuación diferencial, ya que la
aceleración es la derivada temporal de la velocidad. El ejemplo más sencillo es el de una
partícula libre (ninguna fuerza aplicada). Por lo tanto
v
t
dv
ma  0
 0   dv   0.dt  v  v0  0  v  v0
dt
v0
t0
1) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden (porque la mayor
derivada que aparece es una derivada primera)
dy
dy
 a ; y (0)  0
 a ; y (0)  b
(a)
(b)
dx
dx
dy
dy
 e x  2 ; y (0)  y 0
 sin( x)  0 ; y (0)  y 0
(c)
(d)
dx
dx
dy
dy
 y ; y (1)  y 0
 a; y (1)  y 0
(e)
(f) x
dx
dx
2) Resuelva estas ecuaciones diferenciales de segundo orden. Tome como condición
inicial en todos los casos x(0)  x0 y x' (0)  v0 .
(a) m x' '  F ;
(b) x' '  A.t
(c) x ' '  e t
Ayuda: Muchas veces, para resolver una de segundo orden, conviene primero hacer un
cambio de variable y asignarle un nuevo nombre a la derivada primera.
dx
d 2x
Notación: x' 
y x' '  2
dt
dt
3) Probar que x = cos(3t) es una solución de la ecuación x' '  9.x
4) Modelos poblacionales
Crecimiento exponencial: Supongan una colonia tiene N0 bacterias al tiempo t=0. Si la
colonia crece a una tasa proporcional a su población, entonces:
dN
 k .N
dt
con k>0. Resuelva esta ecuación para encontrar N(t). Grafique cualitativamente la
solución.
(a) ¿Cuánto tarda la población inicial en duplicarse?
(b) ¿Cuánto tiempo más hay que esperar para que se vuelva a duplicar?
Crecimiento logístico. La ecuación anterior tiene una aplicación limitada porque no es
razonable que la colonia siga creciendo para siempre. Una mejora es considerar que la
tasa de crecimiento depende del número de bacterias de forma tal que si N es un número
chico la colonia crezca pero si es un número grande disminuya. Esto puede tenerse en
cuenta de la siguiente forma (¿por qué?):
dN
N

 r . N 1  
dt
k

Esta ecuación también se puede resolver para obtener N(t). Graficar cualitativamente la
solución e interpretar el resultado.
Ayuda:

1
 x
x  1 
 k
 ln  x x k 