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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL
1- Identificar y graficar la siguiente cónica
15
9 x 2  6 y 2  4 xy  16 5 x  2 5 y   0
2








2
2- Diagonalizar la matriz A  2
2
 3
1
 6 o sea hallar D diagonal y P no singular
1  2

0



tal que D  P 1 AP ,
5
2
 2
3- Diagonalizar la matriz A  2
5
 2 o sea hallar D diagonal y P no singular








2 2

5



tal que D  P 1 AP ,








5

14
2  o sea hallar D diagonal y P no singular4- tal que D  P 1 AP ,
4
8
6
2
2
 3
1
 6 o sea hallar D diagonal y P no singular
4- Diagonalizar la matriz A  2








 10  5
5-Diagonalizar la matriz A  2
1  2




0



tal que D  P 1 AP ,
6-)Sea S= (2.1.0.1), (1.  1,0,2), (3,0,0,3), (1,1.0,2), (1,0,1,0) .Hallar una base ortonormal para W= Gen{S}.
 13 
8 7
 la matriz de L, con respecto a las bases S
7-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, y sea A  

7
7

17
/
2


y T, donde S  (1,1,1), (1,0,2), (1,2,1) y T  (1,2), (2,2).
Hallar L(x,y,z). Hallar una base para el KerL
 2  2 1 
8-) Sea A   2 1  2 Hallar P y D diagonal, Tal que D  P 1 AP
 1  2  2
9-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, donde
L(x,y,z)=(2x-y+z, -x+2y-z) y sean las bases S  (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0) y T  (1,1), (2,3).
Determinar si L es uno a uno..
Hallar la matriz de L con respecto a S y T.
Si X = (-1,-2,4) Verificar la matriz de L, con la fórmula*.
  2 1 2 
 la matriz de L, con respecto a las bases S y
10-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, y sea A  
2  2 
 1
T, donde S  (1,1,1), (1,0,2), (1,2,1) y T  (1,1), (2,1).
Hallar L(x,y,z). Hallar una base para el KerL
12-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, donde
L(x,y,z)=(2x-y+z, -x+2y-z) y sean las bases S  (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0) y T  (1,1), (2,1).
Determinar si L es uno a uno. Determinar si L es sobre.
Hallar la matriz de L con respecto a S y T.
Si X = (-1,-2,4) Verificar la matriz de L, con la fórmula*.
13-) Sean las bases S y T de R3 , donde S  (2,1,1), (1,0,2), (1,2,1) y T  (1,1,1), (2,1,3), (2,0,1) y sea X
un vector de R3 donde
X S = (4,-2,--2).
Hallar  X T . Hallar el vector X
14-) Sea S=. (2.1.0.1), (1.1,0,2), (3,2,0,3), (1,0.  1,0), (210,1,3)un conjunto de vectores de R 4 . Hallar una base
ortonormal para W= Gen{S}.
 2 1 3 
 la matriz de L, con respecto a las bases S y
15-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, y sea A  
2
2

2


T, donde S  (1,1,1), (1,0,2), (1,0,1) y T  (1,1), (2,2).
Hallar L(x,y,z). Hallar una base para el KerL
16-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, donde
L(x,y,z)=(x-y+z, -x+2y-2z) y sean las bases S  (1,0,1), (1,1,3), (1,1,0) y T  (1,1), (3,1).
Determinar si L es uno a uno. Determinar si L es sobre.
Hallar la matriz de L con respecto a S y T.
Si X = (1,-3,4) Verificar la matriz de L, con la fórmula*.
17-) Sean las bases S y T de R3 , donde S  (2,1,1), (1,0,2), (1,2,1) y T  (1,1,1), (2,1,0), (1,0,1) y sea X
un vector de R3 donde
X S = (-3,2,-2).
Hallar  X T . Hallar el vector X
18-) Sea S=. (1.1.0.1), (1.  1,0,2), (2,0,0,3), (1,0.  1,0), (1,0,1,3)un conjunto de vectores de R 4 . Hallar una base
ortonormal para W= Gen{S}.
1-)Sea S= (2.1.0.1), (1.  1,0,2), (3,0,0,3), (1,0.  1,0), (1,1,0,2) .Hallar una base ortonormal para W= Gen{S}.
1
2 
3
 la matriz de L, con respecto a las bases S
19-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, y sea A  
 1  2  2
y T, donde S  (1,1,1), (1,0,2), (1,2,1) y T  (1,2), (2,1).
Hallar L(x,y,z). Hallar una base para el KerL
20-) Sea L : R 3  R 2 una transformación lineal, donde
L(x,y,z)=(2x-y+2z, -x+2y-3z) y sean las bases S  (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0) y T  (1,1), (2,1).
Determinar si L es uno a uno..
Hallar la matriz de L con respecto a S y T.
Si X = (-3,-2,-5) Verificar la matriz de L, con la fórmula*.
21-Sean A=(1,2,0) y B=(2,1,-1) y C= (0,1,1) vectores en
. Determine si a ,b y ,C son linealmente independientes.
22-Sean A= (-1,2,4) B= (0,2,-2) y C= (3,1,-2) Verifique que A,B y C son linealmente independientes.
23-Determine si los siguientes vectores son dependientes o linealmente independientes.


u = (-4, 5), v = (2, 7)
u = (3, 5, -2), v = (-3, 0, 4), w = (3, 1, 2).
24-Sean u,v y w vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V. Determine si los vectores A, B y C
son linealmente independientes o linealmente dependientes sabiendo que A = 3u - w, B = u + 2v y C = v - 3w.
25-Sean A= (1,2) y B =(3,5). Demuestre que A y B constituye una base de
26-Sean
27.
,
28Sean
,
29-Sean
30 Sean
y
y
,
,
vectores en
y
y
vectores en
vectores en
vectores en
.
. Determine si
. Determine si
. Determine si
. Determine si
es una base de
.
es una base de
.
es una base de
es una base de
.
.