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COLEGIO SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS
SECUNDARIA
Profesor Daniel Romero
MATEMÁTICA
BLOQUE VII- FUNCIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA
CUARTO
Función lineal.
Hemos vistos ya, que las expresiones como y = mx + b, corresponden a rectas en el
plano. Las ecuaciones donde la variable x posee exponente 1, son las llamadas lineales.
Analicemos, que representa la m y la b en una recta.
Ejemplo:
Representa la recta de ecuación y = 2x – 3
-1-
Si la gráfica es correcta, encontrarás que la intersección de la recta con el eje " y" se halla
en -3, que coincide con nuestro valor de b. A éste lo llamaremos ordenada al origen. Por otro
lado, se observa que cada 1 desplazamiento en el eje " x", la altura aumenta en 2, a este cociente
2/1 se lo denomina pendiente, pues mide en cierta forma la inclinación de la recta.
En general para y = mx + b, m es la pendiente y b la ordenada al origen
Ejercicio 1.
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de funciones lineales y determina su
pendiente.
a) y  4 x3  4
b) y  7 x  2
Ejercicio 2.
Representa gráficamente,
imagen:
a) y = 4x – 2
b)
c) y = -2/3x + 1
d)
e) y = -4/3x – 5
f)
g) y = 6 – 0,3x
h)
c) y  2 x 2  2 x  1
d)y 
3
x
sin tabla, las siguientes rectas, y determina su dominio e
y = -3/5x
y = -8/7x + 0,5
y = 2/5x + 3
y = -200 + 12,5x
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Ejercicio 3.
Averigua la ecuación de las siguientes rectas:
-2-
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Crecimiento lineal.
Cuando el crecimiento es constante, entonces decimos que esa relación se puede
modelizar mediante una función lineal.
Ejercicio 4.
Durante dos semanas se mide la longitud de una hoja de árbol.
Fecha
4 de abril
7 de abril
12 de abril
16 de abril
17 de abril
Longitud
2,8 mm
6,4 mm
12,5 mm
17,4 mm
18,5 mm
a) Confecciona un gráfico cartesiano y muestra que el crecimiento se aproxima a una función
lineal.
b) Elabora una fórmula de función lineal que exprese aproximadamente la longitud de la hoja
en función del tiempo.
Ejercicio 5.
Determina la ecuación de la siguiente función lineal:
IMPORTANTE
Se puede emplear el ángulo de
inclinación para calcular la pendiente de
la recta, m = tang µ
4
2
1
( Donde µ es el ángulo formado entre la
recta y el eje positivo x)
2
Ejercicio 6.
Una empresa que fabrica clavos alquila un pequeño galpón. Aunque no haya
producción, debe pagar el alquiler de ese local y abonarles el sueldo a dos operarios, lo que
implica un gasto fijo mensual de $3000. Si hay producción de clavos, tiene un gasto de materia
prima y energía eléctrica de $50 por cada 100 Kg de producción. Por lo tanto la función
asociada al gasto mensual es
a) ¿Qué representa x?. ¿Qué representa y?
y
50
x  3000
100
b) ¿Qué significa en este caso la ordenada al origen?. ¿Y la pendiente?
c) Grafica g(x) y a partir del gráfico halla g(200) y g(400).
-3-
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Función módulo.
Llamaremos módulo o valor absoluto de x a su distancia al 0. Por ejemplo:

4 4

3 3
9  9
6 6
En símbolos:
 x si x  0

x  0 si x  0
 x si x  0

-4-
Ejercicio 7.
Representa gráficamente a la función módulo
y x
Ejercicio 8.
Ídem para
a) y  x  3
b) y  x  2  1
c) y  x  3  2
d ) y  2x  4
e) y   3 x  5
f ) y   x  0,5
g) y   x  2
h) y  4 x  1  3,5
i) y    2 x  4
j) y  6x  2  5
k ) y   5x  5  5 l ) y   5x  5  5
ll ) y   5 x  5
m ) y  5 x  5
n) y  x  2 x
ñ) y   x  x
Ecuación de segundo grado.
Son de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, que para resolverla emplearemos la siguiente
fórmula:
x1, 2 
 b  b2  4.a.c
2.a
que nos permite calcular sus dos soluciones, x1 y x2.
Como en la fórmula hay una raíz cuadrada, si el radicando es negativo, entonces diremos que la
ecuación no tiene solución dentro del conjunto de los números reales.
Ejemplo 1.
Resolver la ecuación 3x2 - 2x - 1 = 0 aplicando la fórmula resolvente.
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• Identificamos los coeficientes
a=
b=
c=
• Reemplazamos en la fórmula y operamos
x1, 2
 b  b 2  4.a.c  (2)  (2) 2  4.3.(1) 2  4  12 2  16 2  4






2.a
2.....
......
......
.....
• Como la fórmula contiene un doble signo, trabajamos a partir de allí por separado.
x1 
24 6
 1
6
6
x2 
24
2
1
 
6
6
3
Ejemplo 2.
Un diagramador está definiendo las dimensiones de una revista. Necesita que el largo
sea 10 cm mayor que el ancho y que la superficie de cada página resulte de 600 cm 2. ¿Cuáles
son las medidas que cumplen ambas condiciones?
x
• Planteamos la ecuación
x + 10
x. ( x + 10 ) = ........
• Aplicamos la propiedad distributiva .......................
• Igualamos a cero
..........................
• Y empleamos la fórmula resolvente
Obtenemos dos soluciones, pero ¿ambas tienen sentido?. ¿Cuál es la que descartamos?
Ejercicio 9.
Halle si es que existen, las soluciones reales de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a)
b)
c)
d)
2x2 -3x + 1 = 0
x2 = 0,01
3x - x2 = 0
x - 0,5 x2 = x2 + 2
Ejercicio 10.
Halle un número real, tal que el doble de su cuadrado más la mitad de su triple es igual
a 0.
Ejercicio 11.
Halle las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su
base y que su superficie es de 70 cm2.
Ejercicio 12.
El producto de dos números impares consecutivos es 255. ¿Cuáles son los números?
Ejercicio 13.
Halla la solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) – x2 + 5 . ( x – 2 ) = 3
b) –2.x –3 . ( x2 + 2x ) = 5(x – 1)
c) ( x – 1)/x = 2x – 3
-5-
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Función cuadrática.
Las representaciones gráficas de funciones cuadráticas son curvas llamadas
parábolas.
Llamaremos función cuadrática a toda función de la forma
f(x) = ax2 + bx + c
Donde los coeficientes a, b y c son números reales, siendo a distinto de cero. Consideraremos
que su dominio es R.
Los términos de esta fórmula reciben estos nombres:
f(x) = ax2 + bx + c
Término
cuadrático
Término lineal
Término
independiente
Ejemplo.
Grafica la función f(x) = x2, y determina su vértice y eje de simetría.
Para ello realizamos una tabla de valores:
x
-2
-1
0
1
2
Y
(-2)2 = 4
(-1)2 = 1
(0)2 = 0
(1)2 = 1
(2)2 = 4
Y dichos puntos, los ubicamos en un sistema de ejes cartesianos:
a) ¿Cuál es el vértice de la parábola?
-6-
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b)
c)
d)
e)
¿Cuál es su valor mínimo?
¿Cuál es su valor máximo?
¿Es cóncava hacia arriba o hacia abajo?
¿Cuál es el eje de simetría?
Ejercicio 14.
Grafica en un mismo sistema las funciones definidas por:
a) f(x) = x2
b) g(x) = 0,5x2 c) t(x) = 3x2
Ejercicio 15.
Ídem anterior para:
a) f(x) = - x2
b) g(x) = -2 x2 c) t(x) = x2 + 2
-7-
Dada f(x) = a.x2:
# Si a >0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba.
# Si a <0 entonces la parábola es cóncava hacia abajo.
Vértice.
Cuando una parábola está expresada en forma polinómica, podemos emplear la
siguiente fórmula para determinar la abscisa de su vértice:
XV 
 .b
2a
Al conocerla, la agregaremos a nuestra tabla de valores para realizar la gráfica
correspondiente.
Desplazamiento vertical y horizontal.
Si desplazamos el gráfico de f(x) = x2 en forma vertical u horizontal, obtenemos los
gráficos de otras funciones cuadráticas.
Vamos a estudiar sus fórmulas.
Ejemplo.
Representaremos a continuación las siguientes parábolas en un mismo sistema de ejes
cartesianos:
y = x2
y = x2 – 2
y = x2 + 1
y = (x – 1)2
y = ( x + 3)2
y = (x – 2)2 + 1
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Asigne a cada gráfica la ecuación correspondiente, considerando que al sumar o restar fuera del
término cuadrático la parábola se desplaza hacia arriba o abajo respectivamente y que al sumar
o restar dentro del cuadrado la curva se mueve hacia la izquierda o la derecha según
corresponda.
Ejercicio 16.
Realice la gráfica de las siguientes parábolas, sin tabla, comparando con y = x2 y
complete el cuadro.
Función
Vértice Eje de simetría Dominio Imagen
F(x) = x2
(0,0)
x=0
R
[0, +∞)
F(x) = x2 + 2
F(x) = x2 - 5
F(x) = (x - 3)2
F(x) = (x + 1)2
F(x) = (x + 6)2 - 8
Ejercicio 17.
Halle una fórmula polinómica de la función correspondiente al desplazamiento de f(x) =
x2 según se indica en cada caso:
a) 4 unidades hacia arriba.
b) 8 unidades hacia abajo.
c) 7 unidades hacia la derecha.
d) 3 unidades hacia la izquierda y 1 hacia abajo.
Raíces de una función cuadrática.
Cuando graficamos una función cuadrática cuyo dominio es R, puede ocurrir que la
parábola tenga contacto con el eje "x" en dos puntos, en uno, o bien que no tenga contacto. Las
abscisas de los puntos de contacto son las raíces reales o ceros de la función. Si no tiene ningún
contacto con el eje "x", la función no tiene raíces reales.
Para hallar los ceros de una función f(x), hay que buscar las abscisas de los puntos cuya
ordenada es cero.
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Para ello, planteamos f(x) = 0 y encontramos los valores de x que verifiquen la ecuación
empleando la fórmula resolvente.
Ejercicio 18.
Represente gráficamente las siguientes funciones cuadráticas por medio de una tabla de
valores que contenga sólo la abscisa del vértice, y sus raíces.
a) f(x) = x2 - 2x + 1
b) f(x) = -x2 + 4x
c) f(x) = x2 + x + 1
d) f(x) = x2 - 5x + 6
Ejercicio 19.
Comprueba para el ejercicio anterior que se puede obtener la abscisa del vértice
mediante las raíces de una función cuadrática usando la siguiente fórmula:
XV 
x1  x2
2
De la misma manera que antes, para hallar yv, se reemplaza xv en la fórmula de la función.
Ejercicio 20.
Los registros de temperatura tomados entre las 0 hs. y las 24 hs. en una zona rural se
ajustan a la función: T(x) = -0,1.(x - 12)2 + 10, donde T es la temperatura en grados centígrados y
x es la hora del día.
a) ¿Cuál fue la temperatura máxima?
b) ¿A qué hora se registró?
c) ¿Cuándo la temperatura fue de 00?
d) ¿Qué temperatura había a las tres de la tarde?
Ejercicio 21.
Para el ejercicio anterior, ¿a partir de qué valor podemos decir que hubo un cambio de
crecimiento?.
Discriminante.
La expresión b2 - 4.a.c de la fórmula resolvente, nos permite discriminar el tipo de raíces
que tiene la ecuación cuadrática, por eso la llamamos discriminante.
La simbolizamos con la letra griega Δ y su fórmula es
Δ = b2 - 4.a.c
Consideraremos tres casos:
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Si Δ > 0, la ecuación tiene dos
raíces reales distintas.
Está asociado a una función
cuadrática cuyo gráfico atraviesa
en dos puntos el eje de las
abscisas.
Si Δ = 0, la ecuación tiene una
raíz real.
Está asociado a una función
cuadrática cuyo gráfico toca en
un punto el eje de las abscisas.
Si Δ < 0, la ecuación tiene
dos
raíces
complejas
distintas.
Está asociado a una función
cuadrática cuyo gráfico no
toca el eje de las abscisas.
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Ejemplo:
Analiza la naturaleza de las raíces de la siguiente ecuación x2 - 3x = 0
Localizamos que
a=1
b = -3
c=0
Por lo tanto su discriminante será: Δ= (-3)2 – 4.1.0 = 9 > 0 afirmando de esta manera que la
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. En tal caso su gráfica cortará en dos puntos al eje de
las abscisas.
Observa el gráfico.
- 10 -
Corta la parábola al eje x en 0 y 3. O sea sus raíces serán: x1 = 0 y x2 = 3.
Ejercicio 22.
Analiza la naturaleza de las raíces de x2 - 10x + 25= 0 y representa gráficamente.
Ejercicio 23.
Ídem anterior para x2 - x + 6 = 0
Esta última ecuación, nos obliga a introducirnos en otro campo numérico. Los números
complejos.