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Simulaciones probabilísticas
Algebra fx 2.0 plus
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
INTRODUCCIÓN
La calculadora CASIO algebra fx 2.0 plus permite, a través de la combinación de los comandos Int y Ran#
pertenecientes a los submenús NUM y PROB, situados en los menúes RUN-MAT y STAT, generar números pseudo
aleatorios con la finalidad de modelar simulaciones probabilísticas. La simulación es un recurso didáctico que puede
ayudar a comprender la diferencia entre modelo y realidad y a mejorar nuestras intuiciones sobre aleatoriedad.
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS
Modelo: Interpretación abstracta, simplificada e idealizada de un objeto del mundo real, de un sistema de relaciones o
de un proceso evolutivo que surge de una descripción de la realidad.
Números aleatorios: Son números que tienen la propiedad de ser elegidos al azar, es decir, son el resultado de un
proceso en el cual su resultado no es predecible ya que todo número tiene la misma probabilidad de ser elegido, y la
elección de uno no depende de la elección del otro.
Números pseudo aleatorios: Son números generados mediante algoritmos determinísticos, es decir aquellos en que
se obtiene el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales, por lo cual requieren parámetros de arranque.
Ran#: Comando que genera números pseudo aleatorios en el intervalo (0,1) de 10 dígitos, es decir números que son
mayores que 0 y menores que 1.
Int: Comando que extrae la parte entera de un número decimal.
Frac: Comando que extrae la parte decimal de un número decimal.
Int (NRan#): Comando que genera extracciones aleatorias de números enteros comprendidos entre 0 y N – 1. Por
ejemplo:
Int (2Ran#) genera los números enteros 0 y 1 en el lanzamiento de una moneda donde 0 corresponde a
Sello y 1 a Cruz.
(–1)^ Int (2Ran#) genera los números enteros relativos –1 y 1.
Int (NRan#+1): Comando que genera extracciones aleatorias de números enteros comprendidos entre 1 y N. Por
ejemplo:
Int (6Ran#+1) genera los números enteros 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en el lanzamiento de un dado.
MODELACIÓN PROBABILÍSTICA
La modelación probabilística consta de los cinco pasos:
1.- Observación de la realidad.
2.- Descripción simplificada de la realidad.
3.- Construcción de un modelo.
4.- Trabajo matemático con el modelo.
5.- Interpretación de resultados en la realidad.
1
SIMULACIÓN DE NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS CON LA CALCULADORA
(1) Presione las teclas [AC/ON] / [MENU], seleccione el menú RUN.MAT a través la tecla
elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) y presione la tecla [EXE] para abrir dicho menú.
(2) Presione la tecla [AC/ON] para borrar toda la pantalla.
(3) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( ) / [PROB] e identifique el comando Ran# (Random)
que genera números pseudo aleatorios entre 0 y 1 con diez dígitos.
(4) Presione la tecla [EXE] y se aficha en pantalla el comando Ran#; presione nuevamente
la tecla [EXE] y aparece el primer número pseudo aleatorio; presione [EXE] / [EXE] /
[EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen los siguientes cinco números pseudo aleatorios. A cada
presión de [EXE] se genera un nuevo número pseudo aleatorio.
(5) Presione las teclas [CTRL] / [F3] (SET UP) / (▲) / [F1] (Fix) / [0] / [EXE] / [ESC] con la
finalidad de que los nuevos números pseudo aleatorios que aparezcan no tengan
ninguna cifra decimal.
(6) Presione las teclas [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F5] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [2] / [F6] ( )
/ [F1] (PROB) / [4] (Ran#) / [)] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen
en la pantalla los números pseudo aleatorios enteros 0 y 1 los cuales pueden simular
perfectamente el lanzamiento de una moneda, donde 0 corresponde a Sello y 1 a Cara.
(7) Presione las teclas [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F5] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [6] / [F6] ( )
/ [F1] (PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y
aparecen en la pantalla los números enteros del 1 al 6 los cuales pueden simular
perfectamente el lanzamiento de un dado, donde el número que aparece representa el
número de la cara del dado.
(8) Presione las teclas [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen en la
pantalla los siguientes números pseudo aleatorios enteros del 1 al 6.
(9) Presione las teclas[(] / [(-)] / [1] / [)] / [^] / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F5] (NUM) / [2]
(Int) / [(] / [2] / [F6] ( ) / [F1] (PROB) / [4] (Ran#) / [)] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] /
[EXE] / [EXE] y aparecen en la pantalla los números enteros relativos – 1 y 1.
EJERCICIO
Se tiene una rueda dividida en tres secciones idénticas y numeradas 1, 2 y 3. Se supone que al final de una rotación,
la rueda se para en uno de los tres sectores de manera equiprobable. Se hace girar la rueda tres veces seguidas en el
sentido de las agujas del reloj suponiendo que cada resultado es independiente de los restantes. Sea S la variable
aleatoria que representa la suma de los tres números obtenidos. Sea D la variable aleatoria que representa el número
obtenido en la segunda rotación de la rueda.
1.- Simular esta experiencia 100 veces.
2.- Determinar para esa simulación la repartición de las frecuencias de de la variable aleatoria S.
3.- Determinar las leyes de probabilidades de las variables aleatorias S y D.
4.- ¿Existe coherencia entre los resultados teóricos y los obtenidos en la parte experimental?
5.- ¿Los eventos “ S  3 ” y “ D  1 ” son independientes?
2
SOLUCIÓN CALCULADORA
(1) Presione las teclas [AC/ON] / [MENU], seleccione el menú STAT a través la tecla elíptica
[REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) y presione la tecla [EXE] para abrir dicho menú.
(2) Seleccione mediante la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) la lista cuyas celdas
desea borrar.
(3) Presione la tecla [F4] (DEL.A) y aparece un mensaje de confirmación.
(4) Presione la tecla [EXE] con la finalidad de borrar todas las celdas en la lista previamente
seleccionada. Repita el procedimiento tantas veces como sea necesario hasta borrar
todas las listas que considere que necesita para trabajar.
(5) Presione las teclas [OPTN] / [F1] (List) / [3] (Seq) / [OPTN] / [F3] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [3]
/ [F4] (PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [,] / [X] / [,] / [1] / [,] / [100] / [,] / [1] / [)] / [EXE] y
aparecen en la lista 1 los 100 primeros números pseudo aleatorios consecutivos que
toman sus valores entre los números enteros 1,2 y 3.
(6) Presione las teclas [▲] / [▲] con la finalidad de mostrar el final de la lista 1.
(7) Presione las teclas [▼] / [►] con la finalidad de ubicarse en List 2.
(8) Presione las teclas [F1] (List) / [3] (Seq) / [OPTN] / [F3] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [3] / [F4]
(PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [,] / [X] / [,] / [1] / [,] / [100] / [,] / [1] / [)] / [EXE] y
aparecen en la lista 2 los 100 primeros números pseudo aleatorios consecutivos que
toman sus valores entre los números enteros 1,2 y 3.
(9) Presione las teclas [▲] / [▲] con la finalidad de mostrar el final de la lista 2.
(10) Presione las teclas [▼] / [►] con la finalidad de ubicarse en List 3.
(11) Presione las teclas [F1] (List) / [3] (Seq) / [OPTN] / [F3] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [3] / [F4]
(PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [,] / [X] / [,] / [1] / [,] / [100] / [,] / [1] / [)] / [EXE] y
aparecen en la lista 3 los 100 primeros números pseudo aleatorios consecutivos que
toman sus valores entre los números enteros 1,2 y 3.
(12) Presione las teclas [▲] / [▲] con la finalidad de mostrar el final de la lista 3.
(13) Presione las teclas [▼] / [►] con la finalidad de ubicarse en List 4.
(14) Presione las teclas [SHIFT] / [1] (List) / [1] / [+] / [SHIFT] / [1] (List) / [2] / [+] / [SHIFT] /
[1] (List) / [3] / [EXE] y aparecen en la lista 4 la suma de los 100 valores sucesivos
correspondientes a la variable aleatoria S.
(15) Presione las teclas [▲] / [▲] con la finalidad de mostrar el final de la lista 4.
(16) Presione las teclas [ESC] / [F6] ( ) / [F1] (GRPH) / [5] (Set) / [F1] (GPH1) / [▼] / [F6]
( ) / [1] (HiSt) / [▼] / [F1] (LIST) / [4] / [ESC] / [▼] / [F1] (1) con la finalidad de ilustrar
en el gráfico 1 mediante un histograma los resultados de la variable aleatoria S
registrados en List 4.
3
(17) Presione las teclas [ESC] / [F1] (GRPH) / [4] (Select) / [F1] (On) / [ESC] / [1] (S-Gph1)
con la finalidad de activar el gráfico Graph1; seguidamente presione las teclas [3] /
[EXE] / [1] / [EXE] con la finalidad de activar el gráfico Graph1y fijar el inicio y el ancho
de cada columna es decir la amplitud de cada clase.
(18) Presione nuevamente la tecla [EXE] y aparece en la pantalla el histograma de las
frecuencias absolutas correspondientes a la variable aleatoria S referente a la
simulación anterior.
(19) Presione la tecla [F1] (TRACE) y el cursor aparece en la parte superior media de la
primera columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  3 f  5 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3 en 5 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  3)  5 / 100  0,05 .
(20) Presione la tecla [►] y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda
columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  4 f  15 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 4 en 15 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  4)  15 / 100  0,15 .
(21) Presione la tecla [►] y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda
columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  5 f  20 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 5 en 20 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  5)  20 / 100  0,20 .
(22) Presione la tecla [►] y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda
columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  6 f  27 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 6 en 27 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  6)  27 / 100  0,27 .
(23) Presione la tecla [►] y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda
columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  7 f  19 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 7 en 19 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  7)  19 / 100  0,19 .
(24) Presione la tecla [►] y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda
columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  8 f  13 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 8 en 13 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  8)  13 / 100  0,13 .
(25) Presione la tecla [►] y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda
columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  9 f  1el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 9 en 1 ocasión.
En consecuencia se tiene que P(S  9)  1/ 100  0,01 .
(26) Realice una segunda simulación repitiendo uno por uno los pasos anteriores hasta
llegar a ilustrar mediante un histograma los resultados obtenidos de la variable
aleatoria S.
(27) Presione la tecla [F1] (TRACE) y el cursor aparece en la parte superior media de la
primera columna y aparece en la parte inferior de la pantalla el resultado siguiente
x  3 f  5 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3 en 5 ocasiones.
En consecuencia se tiene que P(S  3)  5 / 100  0,05 .
4
(28) Presione seguidamente la tecla [►] tantas veces como sea necesario para hacer
aparecer los restantes resultados:
x  4 f  11; x  5 f  22 ; x  6 f  23 ; x  7 f  25 ; x  8 f  5 ; x  9 f  4
Las dos simulaciones realizadas anteriormente no son suficientes para determinar la coherencia entre las simulaciones
y el resultado teórico. Se debe realizar un número mayor de experiencias para verificar dicha coherencia. En
consecuencia, se escribirá un programa con la finalidad de poder realizar una gran cantidad de simulaciones a
sabiendas que cada una de ellas contiene un gran número a su vez de experiencias y corroborar que los resultados
obtenidos mediante este procedimiento se aproximan a los resultados teóricos.
SOLUCIÓN MATEMÁTICA
Es evidente que la variable aleatoria D es tal que P(D  1)  P(D  2)  P(D  3)  1/ 3 .
La variable aleatoria S puede tomar cualquier valor entero desde el 3 hasta el 9. Se sabe que existen 27 posibilidades
de ordenar bajo la forma a, b, c los valores 1, 2 y 3 con repetición.
El evento S  3 se realiza únicamente para la terna (1,1,1) .
El evento S  4 se realiza para las ternas (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1) .
El evento S  5 se realiza para las ternas (1,2,2,(2,1,2),(2,2,1),(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1 .
El evento S  6 se realiza para las ternas (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2) .
El evento S  7 se realiza para las ternas (1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2) .
El evento S  8 se realiza para las ternas (2,3,3),(3,2,3),(3,3,2) .
El evento S  9 se realiza únicamente para la terna (3,3,3).
En consecuencia se tiene que:
P(S  3) 
1
3
6
7
 3,70% ; P(S  4) 
 11,11% ; P(S  5) 
 22,22% ; P(S  6) 
 25,33%
27
27
27
27
P(S  7) 
Se sabe que P(D  1) 
6
3
1
 22,22% ; P(S  8) 
 11,11% ; P(S  9) 
 3,70%
27
27
27
1
1
y que P(S  3) 
. Además el evento S  3 implica el evento D  1 , en consecuencia
3
27
P (D  1)  (S  3)   P(S  3) 
1
. Por lo tanto se tiene que P (D  1)  (S  3)  P(D  1)P(S  3) y los eventos
27
S  3 y D  1 no son independientes.
5
PROGRAMA RUEDA3SE
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = RUEDA3SE = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = =
“SIMULACIONES”:?  N 
“EXPERIENCIAS”:?  E 
Seq(K,K,3,9,1)  List 1 
Seq(0,K,3,9,1)  List 2 
Seq(0,K,3,9,1)  List 3 
Seq(0,K,3,9,1)  List 4 
For 1  I To N 
Seq(0,K,3,9,1)  List 2 
For 1  J To E 
Int (3Ran#+1)  X 
Int (3Ran#+1)  Y 
Int (3Ran#+1)  Z 
X+Y+Z  S 
If S=3 
Then 1+ List 2[1]  List 2[1] 
If End 
If S=4 
Then 1+ List 2[2]  List 2[2] 
If End 
If S=5 
Then 1+ List 2[3]  List 2[3] 
If End 
If S=6 
Then 1+ List 2[4]  List 2[4] 
If End 
If S=7 
Then 1+ List 2[5]  List 2[5] 
If End 
If S=8 
Then 1+ List 2[6]  List 2[6] 
If End 
If S=9 
Then 1+ List 2[7]  List 2[7] 
If End 
Next 
List 2
List 2 + List 3  List 3 
Next 
List 3
List 3/(N  E)  List 4 
List 4
6
PROCEDIMIENTO CALCULADORA
(1) Presione seguidamente las teclas [AC/ON] / [MENU] y seleccione el menú PRGM a través
la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄).
(2) Presione la tecla [EXE] para ingresar en Lista de programa y seleccione el programa
RUEDA3SE.
(3) Presione la tecla [F1] (EXE) para ingresar el programa RUEDA3SE. Se le pide el
número de simulaciones que desea realizar.
(4) Presione las teclas [1] / [0] / [EXE], se registra en pantalla el valor 10 como cantidad de
simulaciones, y se le pide ahora el número de experiencias que desea realizar en cada
simulación.
(5) Presione las teclas [1] / [0] / [0] para registrar la cantidad de experiencias a realizar en
cada simulación.
(6) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos
para la variable aleatoria S correspondiente a la primera simulación. Estos resultados
aparecen también en List 2 del menú STAT.
(7) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos
para la variable aleatoria S correspondiente a la segunda simulación. Estos resultados
aparecen también en List 2 del menú STAT.
(8) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos
para la variable aleatoria S correspondiente a la tercera simulación. Estos resultados
aparecen también en List 2 del menú STAT.
(9) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos
para la variable aleatoria S correspondiente a la cuarta simulación. Estos resultados
aparecen también en List 2 del menú STAT.
7
(10) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados
obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la quinta simulación. Estos
resultados aparecen también en List 2 del menú STAT.
(11) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados
obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la sexta simulación. Estos
resultados aparecen también en List 2 del menú STAT.
(12) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados
obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la séptima simulación. Estos
resultados aparecen también en List 2 del menú STAT.
(13) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados
obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la octava simulación. Estos
resultados aparecen también en List 2 del menú STAT.
(14) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados
obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la novena simulación. Estos
resultados aparecen también en List 2 del menú STAT.
(15) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla las frecuencias de los resultados
obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la décima simulación. Estos
resultados aparecen también en List 2 del menú STAT.
(16) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla la tabla resumen de la suma de las
frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondientes a
las 1.000 experiencias. Estos resultados acumulativos aparecen también en List 3 del
menú STAT.
(17) Presione la tecla [EXE] y aparece en la pantalla la tabla resumen de las frecuencias
relativas de la tabla anterior. Estos resultados aparecen también en List 4 del menú
STAT y son los resultados de List 3 divididos entre el valor 1.000.
8
(18) Presione la tecla [MENU] y seleccione el menú STAT a través la tecla elíptica
[REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄).
(19) Presione la tecla [EXE] y aparecen las listas generadas por el programa donde List 1
representa los valores que toma la variable aleatoria S (3,4,5,6,7,8,9), List 2 los valores
de las frecuencias correspondientes a la décima simulación, List 3 los valores
acumulados de las frecuencias correspondientes a las 10 simulaciones y List 4 las
frecuencias relativas correspondientes. Se puede observar que los resultados
obtenidos a través de las 10 simulaciones se aproxima bastante a los resultados
teóricos obtenidos para la variable aleatoria S.
ATEMÁTICA
Se construye a continuación la tabla resumen de todas las 10 simulaciones realizadas anteriormente:
Variable aleatoria S
3
4
5
6
7
8
9
Simulación 1
4
9
15
26
26
16
4
Simulación 2
1
16
24
19
28
10
2
Simulación 3
7
12
28
20
17
12
4
Simulación 4
5
12
25
22
19
14
3
Simulación 5
3
8
16
31
24
15
3
Simulación 6
3
10
23
21
27
12
4
Simulación 7
3
8
29
23
24
10
3
Simulación 8
4
13
22
25
22
8
6
Simulación 9
6
15
19
29
22
7
2
Simulación 10
6
11
18
24
29
11
1
Resumen nominal
42
114
219
240
238
115
32
Resumen porcentual
4,20%
11,40%
21,90%
24,00%
23,80%
11,50%
3,20%
Teórico
3,70%
11,11%
22,22%
25,33%
22,22%
11,11%
3,70%
9