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Campo gravitatorio: cuestiones PAU
1. Describe brevemente las teorías que se han sucedido a lo largo de la historia
para explicar la estructura del sistema solar.
La observación del cielo y sus astros ha sido, desde siempre y por varias razones, una de
las actividades más importantes de la humanidad.
Sería un grave error para la Física actual olvidarse de las contribuciones al pensamiento
de los antiguos griegos.
Aristóteles (384-382 a.C.) plantea un modelo geocéntrico del universo, la Tierra en el
centro y los demás cuerpos celestes girando a su alrededor. Todo en la Tierra está
formado por cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego. De la Luna hacia allá está la
quintaescencia, el puro éter. Los cuerpos se movían por esferas transparentes con un
movimiento circular uniforme, que responde a una necesidad filosófica (el movimiento
circular se consideraba la forma más perfecta del movimiento) más que a una
conveniencia matemática. Los movimientos se transmiten de una esfera a otra por
fricción.
Ptolomeo (100-170) se basó en los trabajos de
Apolonio (s. III a.C.) e Hiparco (s. II a.C.) para
idear un sistema geocéntrico mejorado. Este
modelo permite, mediante complicados
cálculos, explicar las irregularidades de los
astros de nuestro sistema planetario. Sólo el Sol
y la Luna se mueven directamente sobre su
órbita circular (deferente) mientras que los
demás planetas describen epiciclos sobre sus
órbitas circulares.
Durante catorce siglos, los astrónomos
aceptaron este sistema adornado con tintes
teológicos. Cualquier contradicción aparente entre el conocimiento revelado y el
conocimiento natural será consecuencia del error humano. Las limitaciones de la razón
se encontraban en la doctrina cristiana que tenía la autoridad última sobre el
conocimiento.
Con los aires renacentistas que surgían en Italia nos llega la obra de Nicolás Copérnico
(1473-1543): “Seis libros referentes a las
revoluciones de las esferas celestes”. En dicha
obra propone un muevo sistema heliocéntrico,
apoyándose en sabios antiguos como Aristarco
de Samos (s. III a.C.). Este modelo, con la Tierra
girando alrededor del Sol, como los demás
planetas, y la Luna en órbita en torno a la Tierra,
serviría para explicar con más sencillez las
irregularidades observadas en los planetas de
nuestro sistema. Se conservaba la idea de órbitas
circulares y de epiciclos superpuestos a dichas
órbitas. La Iglesia católica prohibió las
3
Revoluciones de Copérnico y el luteranismo lo calificó de loco y hereje, sin embargo, el
triunfo de sus ideas estaba asegurado.
El físico italiano Galileo Galilei (1564-1642) desempeñó un papel fundamental en la
introducción de las matemáticas para la explicación de las leyes físicas. Al introducir el
telescopio revolucionó la observación del universo. Descubrió el relieve de la Luna, los
principales satélites de Júpiter, las fases de Venus y, sobre todo, corroboró el sistema
heliocéntrico de Copérnico, cuya obra acababa de incluirse en el Índice, por lo que fue
citado ante el Tribunal de la Inquisición, que lo condenó y lo obligó a retractarse.
El astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) construyó un observatorio astronómico
que equipó con grandes instrumentos, gracias a los cuales efectuó las observaciones
astronómicas más precisas antes de la invención del telescopio, evidenciando las
anomalías en las supuestas circunferencias descritas por los planetas en su movimiento
orbital. Las del planeta Marte permitieron a Kepler enunciar las Leyes del movimiento
de los planetas. Estableció un catálogo de estrellas y descubrió ciertas irregularidades en
el movimiento de la Luna.
El astrónomo alemán Johannes Kepler (15711630) era un partidario convencido del sistema
heliocéntrico de Copérnico y descubrió gracias a
las precisas observaciones de Tycho Brahe, de
quien fue ayudante y sucesor, que las
observaciones de los planetas no encajaban con
las supuestas órbitas circulares. Sus estudios le
llevaron a enunciar las leyes del movimiento de
los planetas:
1ª Ley: las órbitas de los planetas son elipses, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2ª Ley: la recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª Ley: los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a
los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas: T2  R3.
Isaac Newton (1642-1727) expuso en los “Principios
matemáticos de la filosofía natural” su mecánica celeste,
que sería la base de todos los desarrollos posteriores de esta
ciencia. Basado en el principio de la inercia, la
proporcionalidad de la fuerza respecto a la aceleración y la
igualdad de la acción y reacción descubrió la ley de
gravitación universal, que respetaba en todo momento las
leyes de Kepler. Dicha ley rompe con la teoría aristotélica
de la existencia de una mecánica en la Tierra y otra celeste.
La famosa anécdota de la caída de la manzana habría
sugerido a Newton que la misma fuerza que se aplica a la
caída de los graves en la superficie terrestre es la que
mantiene a la Luna en su órbita a pesar de la tendencia
centrífuga a alejarse radialmente de la Tierra.
4
2. Enuncia las Leyes de Kepler y añade las consecuencias que de éstas se pueden
derivar.
Las leyes de Kepler son las siguientes:
1.
2.
3.
Todos los planetas describen órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus
focos.
La recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
El cuadrado del período del movimiento de un planeta es directamente proporcional
al cubo de la distancia media del planeta al Sol.
T2 = K · R3

Consecuencias:
Para que un planeta se mueva de acuerdo a las leyes de Kepler la fuerza que el Sol
ejerce sobre los planetas debe disminuir con el cuadrado de la distancia. Las leyes de
Kepler traen consigo la formulación, gracias a las demostraciones matemáticas de
Newton, de la Ley de la Gravitación Universal. Se trata de la síntesis newtoniana, que
logra unificar la mecánica terrestre y la celestial.
3. Expresa, en notación vectorial, la Ley de Gravitación Universal, explicando
cómo y por qué se introduce el concepto de intensidad de campo gravitatorio

Mm 
Mm 
F   G 2 ur   G  3 r
r
r
El campo gravitatorio es una perturbación en el espacio ocasionada por una masa que
hace que sobre cualquier otra masa situada en algún punto del campo actúe una fuerza.
La intensidad de campo sólo depende de la masa que la genera y de la distancia entre el
punto del espacio escogido y el centro de la masa que lo crea.
La intensidad del campo gravitatorio en un punto P viene definida como la fuerza
ocasionada por una masa sobre un cuerpo imaginario de masa la unidad situado en dicho
Mm 

G 2 u
M 

 F
r
 G 2 u .
punto: g  , sustituyendo F en la ecuación  g 
m
r
m
El concepto de intensidad de campo se introduce por comodidad. Es más práctico
calcular las fuerzas por unidad de masa en un punto dado y, en caso de necesitar la
fuerza, multiplicaríamos por la masa del cuerpo.
La fuerza gravitatoria depende de la masa origen, de la distancia y dirección de la masa
testigo, así como de la magnitud de ésta; mientras que la intensidad de campo sólo
depende de la masa origen y de la distancia y dirección de la masa testigo.
5
4. Concepto de línea de campo. ¿Pueden cortarse en un punto la líneas de campo
que representan a un campo gravitatorio? Razona la respuesta.
Las líneas de campo se trazan de modo que, en cada punto, el vector resultante de la
intensidad del campo gravitatorio es tangente a las líneas de campo y tiene el mismo
sentido que éstas. Las líneas de campo señalan siempre a la masa que origina el campo
gravitatorio, convergiendo en el centro de ella. Por otra parte, se trazan de modo que la
densidad de líneas de campo (número de líneas que atraviesan la unidad de superficie
colocada perpendicularmente a éstas) sea proporcional al módulo del campo
gravitatorio. Esto significa que el campo gravitatorio es más intenso en aquellas
regiones en que las líneas de campo están más juntas. Por ejemplo, en la circunferencia
con trazo continuo la densidad de líneas es mayor que en la circunferencia de trazo
discontinuo, por lo tanto, la intensidad de campo será también mayor.
Si las líneas de campo se cortasen en un punto, la intensidad de campo resultante
señalaría en 2 direcciones distintas, lo cual es imposible, ya que por el principio de
superposición sólo puede haber un campo resultante.
Campo originado por una masa
Campo originado por dos masas
5. ¿Qué significa y qué consecuencias tiene que el campo gravitatorio sea
conservativo?
Un campo de fuerza es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para
trasladar una partícula de un punto A, a otro punto B, depende únicamente de los puntos
inicial y final, pero no del camino seguido.
Las consecuencias de que el campo gravitatorio sea conservativo son las siguientes:

El trabajo que realiza
trayectoria cerrada es
trabajo toma el mismo
por los caminos 1 y
contrario.

El trabajo que realiza el campo, al
el campo en una
cero, ya que el
valor si se calcula
2, pero de signo
6
depender sólo de los puntos inicial y final, puede expresarse como la variación de
cierta magnitud entre esos dos puntos: energía potencial. Esta es la forma de energía
en la que se almacena el trabajo realizado contra las fuerzas conservativas.
 
W   F  dr  Ep A  EpB   Ep

Todo campo conservativo tiene asociado una función escalar denominada potencial,
cuya variación entre dos puntos coincide con el valor absoluto del trabajo realizado
por el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa de un punto a otro.
B

VA  VB   g · d r
A
6. ¿Cuándo se dice que una fuerza es conservativa? ¿es conservativa la fuerza de la
gravedad? Razona la respuesta.
Una fuerza se dice que es conservativa cuando el trabajo que realiza la fuerza se
almacena, pudiendo recuperarse íntegramente. Decimos que un campo de fuerzas es
conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula
de un punto A otro punto B depende de los puntos inicial y final, pero no del camino
seguido. La gravedad es por tanto una fuerza conservativa, ya que el trabajo que
realizamos para separar un cuerpo de otro se almacena en forma de energía potencial
independientemente del camino seguido, de modo que puede recuperarse totalmente.
7. Teorema del trabajo y la energía cinética. ¿Qué se deduce de este teorema
cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas?
Este teorema relaciona el trabajo de la fuerza resultante con el incremento de la energía
cinética.
B
B
B
A
A
A
W   Fds   mat ds   m
dv
ds
1
1
B 1
ds   mdv
  mvdv   mv 2   mvB2  mv A2
dt
dt A
2
2
A 2
A
B
B
W  EcB  EcA  Ec
El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su
energía cinética.
El que las fuerzas sean conservativas significa que el trabajo realizado por las fuerzas
del campo para trasladar un cuerpo de un punto A a otro B no depende del camino
seguido, pero sí de los puntos inicial y final y, por lo tanto, de una magnitud que
llamamos energía potencial: W  Ep A  Ep B
W   Ep  Ep A  Ep B
Ep A  Ep B  EcB  Ec A
W  Ec  E B  Ec A
Ep A  Ec A  EcB  Ep B  Emec A  EmecB
La energía mecánica se conserva.
8. Demuestra que cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula material son
conservativas, se conserva la energía mecánica de dicha partícula.
7
Sabemos que cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula material son
conservativas resulta que el trabajo es independiente del camino seguido por la masa,
por lo que el trabajo realizado al desplazarse una masa m entre A y B es:
W  Ep A  Ep B
Por otra parte el “Teorema de las fuerzas vivas” nos dice que el trabajo realizado sobre
un cuerpo se invierte en variar su energía cinética, es decir
W = Ec B – Ec A
Como el trabajo realizado por el campo gravitatorio es el mismo en ambos casos se
tiene: Ep A – Ep B = Ec B – Ec A de donde se obtiene Ep A + Ec A = Ep B + Ec B = Emecánica
Por lo tanto queda demostrado que la Energía Mecánica de dicha partícula se conserva,
pues tiene el mismo valor cuando la partícula está en la posición A, como cuando está
en la posición B.
9. Características del movimiento de una partícula sometida a una fuerza central

Las fuerzas tienen sólo componente radial (F = f · ur). Por lo tanto existe simetría
esférica. La fuerza varía únicamente con la distancia al centro del campo, pero no
está en función de la dirección que se elija.

El momento de las fuerzas es nulo: M = r x F = 0. Esto se debe a que r y F señalan
en la misma dirección. ( M = r x F x senα, donde senα = 0)

El momento angular L es constante: M 

Las fuerzas son conservativas. Se dice que una fuerza es conservativa cuando el
trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia de la energía potencial en los puntos
inicial y final. El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino
seguido.
dL
 si M  0  L  cte
dt
L es cte. quiere decir que no varía ni su módulo, ni la dirección, ni el sentido de
dicho vector. El momento angular está definido como L = r x p = r x mv . Para que
señale siempre en la misma dirección, r y v tienen que estar en el mismo plano, de
ahí que los cuerpos sometidos a fuerzas centrales describan trayectorias planas.
B
 F  dr  0   F  dr  Ep
A
8
10. Una partícula está sometida a una fuerza central. Justifica que la trayectoria
que describe es plana.
Una fuerza es central cuando el vector de posición r es paralelo al vector fuerza F . El
momento de la fuerza es nulo: M  r  F  0 (por ser paralelos). De la relación entre el
momento de las fuerzas y el momento angular se concluye que:
dL
, si M  r  F  0
M
dt
L es constante (en modulo,
dirección y sentido) y es el
producto
vectorial
L  r  p  r  mv  m(r  v) ,
perpendicular
al
plano
determinado por el vector de
posición r y el vector
velocidad
Como L
v.
permanece
constante
en
dirección, r y v estarán en el
mismo plano perpendicular a la
dirección de L . De aquí se
concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano y por tanto describirá
una trayectoria plana.
11. Razona por qué son planas las trayectorias de los planetas en torno al Sol
Podemos deducir que las órbitas son planas a partir de la constancia del vector momento
angular de los planetas, tanto en módulo como en dirección.
Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales, tienen sólo componente radial, por tanto el momento de
estas fuerzas respecto al centro (el Sol) es nulo y el momento angular de un planeta es constante:


M  0  L  cte
 

El momento angular se define como L  r  mv ; es decir, es perpendicular a los

 
 
vectores r y v . La dirección de L es constante, por lo que r y v estarán siempre en el
mismo plano (la órbita es plana).
12. Indica y explica el significado de aquellas magnitudes que caracterizan,
vectorial o escalarmente, a un campo de fuerzas conservativo.
Un campo queda determinado en cada punto mediante dos magnitudes características: la
fuerza que el campo ejerce sobre una masa m situada en dicho punto y el trabajo que
dicha fuerza puede realizar para trasladar la masa desde ese punto hasta el infinito.
Si se relativiza a un cuerpo de prueba de una unidad, entonces las magnitudes
características reciben el nombre de intensidad de campo (vectorial) y potencial
(escalar) respectivamente.
9
Si nos centramos en el campo gravitatorio para mayor facilidad, la intensidad de campo
gravitatorio producida por una masa M en un punto P se define como la fuerza que
actuaría sobre la unidad de masa colocada en ese punto. Se puede asociar a cada punto
del espacio un vector g de forma que la fuerza que se ejerce sobre una partícula
cualquiera colocada en dicho punto se calcula multiplicando el vector g por la masa de
esa partícula: F = m · g.
De forma análoga a como se introduce a partir de la fuerza el vector g, se puede definir
a partir de la energía potencial el potencial: energía potencial por unidad de agente
sensible. El potencial gravitatorio puede definirse como el trabajo por unidad de masa
que tienen que realizar las fuerzas del campo gravitatorio para llevar una partícula de
masa cualquiera desde un punto hasta el infinito (escogido como el origen de
potenciales).
13. ¿Cómo se calcula el trabajo que hace el campo para trasladar una masa m
desde un punto A a otro B?
El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar una masa m desde A hasta B
es independiente del camino que se escoja, sólo depende de los puntos inicial y final.
Por esta razón elegimos una dirección radial, es decir, los puntos A y B se encuentran en
un mismo radio.
B

 F · d r  E PotA  E PotB
A
B
B dr
1 1
Mm  

1 
E PotA  E PotB   F · d r    G 2  u·d r   GMm  2  GMm     GMm   
A
A
A r
r
r A
 rA rB 
B
B
Nota: tenemos que escoger

   
u.dr  u ·dr ·cos 0º  dr  dr
una
trayectoria
radial,
en
este
caso:
Precisamente la expresión que acabamos de obtener corresponde a la energía potencial
Mm
de un campo gravitatorio en un punto A: E PotA   G
rA
Si elegimos el infinito como origen de la energía potencial EPot = 0 J podemos definir
el la energía potencial en un punto como el trabajo que tienen que realizar las fuerzas
del campo para trasladar la masa m desde a hasta el infinito.
14. Conceptos de energía potencial y potencial. ¿Es necesario elegir un nivel cero
de energía potencial? ¿Y de potencial? Justifícalo.
10
Se define energía potencial gravitatoria de una masa m en un punto del espacio como
el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar dicha masa m desde dicho
punto hasta el infinito. (En la E p  G
Mm
cuestión anterior se explica cómo se
R
obtiene su expresión matemática):
Resulta que en los procesos físicos sólo son importantes las diferencias de energía
potencial. Por consiguiente no es necesario elegir un nivel cero de energía potencial. A
pesar de ello, en muchas ocasiones resulta conveniente asignar un valor cero de energía
potencial a un punto de referencia arbitrario, por lo que a partir de entonces podríamos
hablar en términos absolutos de la energía potencial en un determinado punto.
Definimos el potencial gravitatorio en un punto del espacio como el trabajo que realiza
el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el
infinito. Representa, pues, la energía potencial de la unidad de masa colocada en un
punto del campo gravitatorio. (La obtención de la expresión matemática sería idéntica a
B

la de la energía potencial, pero integraríamos la expresión VA  B   g · d r ) Como g =
A
F/m,
V  G
M obtenemos:
R
Igual que sucedía con la Energía Potencial, en lo que respecta al potencial lo que
realmente tiene interés es la diferencia de potencial gravitatorio, por lo que tampoco es
necesario elegir un nivel cero de potencial. No obstante, si quisiéramos elegir un nivel
cero de potencial podríamos elegir un punto arbitrario con ese valor. Normalmente se
asigna el valor cero de potencial a los puntos situados a una distancia infinita de la masa
puntual m que crea el campo gravitatorio
15. ¿Qué es un campo de fuerzas conservativas? Explica el concepto de diferencia
de potencial entre dos puntos de un campo conservativo.
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo
para trasladar una partícula de un punto A a otro B depende únicamente del punto inicial
y del final, pero no del camino seguido. Esto trae consigo la existencia de una
determinada magnitud que sólo dependerá de A y B: la energía potencial.
El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar de masa de un punto A a uno
B viene dado por:
B
 
W   F · d r  E POT A  E POT B
A
Si en vez de integrar hacia la fuerza (F), integramos hacia la fuerza por unidad de masa
(g: intensidad de campo), obtendremos una energía potencial por unidad de masa. A esa
11
magnitud se le conoce como el potencial: V. Esta magnitud también es independiente
del camino, sólo depende del punto inicial y final.
b
 
V A  V B   g  dr
a
Como la energía potencial, el significado físico de esta magnitud lo da la diferencia de
potencial entre dos puntos. La diferencia de potencial gravitatorio entre un punto A y
otro B es igual al trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar la unidad de
masa de A a B. Integrando lo anterior llegamos a la fórmula del potencial:
M
r
Si el campo traslada una masa m del punto A al B el trabajo será:
V  G
WAB  mVA  VB 
16. Aplicando el Teorema de Gauss, obtén el valor del campo gravitatorio creado
por la Tierra en un punto exterior a la misma, suponiéndola completamente
esférica.
Para calcular el campo creado por la Tierra
en un punto exterior a ella, elegimos como
superficie gaussiana, SG, una esfera
concéntrica con la distribución de masa y
que pase por el punto P, donde
calcularemos el campo.

El campo gravitatorio g es perpendicular a la superficie SG, en todos los puntos, y su
módulo constante sobre SG.
 
g  dS  g  dS  cos 180º   g  dS
El flujo a través de SG lo calcularemos integrando a través de toda la superficie de la
esfera.

 
 gdS    gdS   g  dS   gS   g  4  r
SG
SG
2
SG
Aplicamos el teorema de Gauss para calcular el campo gravitatorio:
  4GM
 g 4  r 2  4GM
g G
M
;
r2
12
Por tanto, el vector campo gravitatorio será:

M 
g  G 2  u
r
El campo gravitatorio creado por la Tierra en un punto exterior a ella es el mismo que
crearía una masa puntual del mismo valor que la Tierra situada en el centro de ésta.
17. Comprueba que el flujo gravitatorio debido a una esfera homogénea de masa
M, a través de cualquier superficie cerrada que contenga a dicha esfera, es igual al
flujo de una partícula de masa M situada en el centro de la misma.
En primer lugar definimos el flujo gravitatorio  como una medida del número de
líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. A continuación
calcularemos el flujo en ambos supuestos.
1. Flujo  del campo gravitatorio, producido por
una esfera homogénea de masa M y radio R, a través
de una superficie cerrada que contenga a dicha esfera.
El Teorema de Gauss dice que el flujo gravitatorio a
través de una superficie cerrada S es proporcional a la
masa M encerrada por dicha superficie. Dicho
teorema se formula de la siguiente manera:


   g  dS  4GM
2. Flujo  del campo gravitatorio a través de una
superficie esférica de radio R, producido por una partícula
de masa puntual M situada en el centro de la esfera.
M  
M  
M
 
   g  dS    G 2  u  dS  G 2   u  dS  G 2   u  dS  cos 0º 
R
R
R
M
M
 G 2  dS  G 2  4R 2  4GM
R
R
* Conclusión: En el supuesto 1. la masa M que aparece en la fórmula del Teorema de
Gauss es la masa encerrada por la superficie gaussiana S, y en el supuesto 2. la masa M
es la masa total puntual dada. Por lo tanto si la superficie gaussiana del supuesto I va a
contener a la esfera es evidente que la masa encerrada será igual a la masa total. En
consecuencia el flujo será el mismo en ambos casos, y su valor es    4GM
13
18. Ley de Gravitación Universal. Caracterización del campo gravitatorio
mediante la circulación y flujo.
Ley de Gravitación Universal: dos partículas se atraen mutuamente con una fuerza
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa.

m m 
F21  G a 2 2 u 2
r
Flujo gravitatorio: se representa por Φ y es una medida del número de líneas de campo
que atraviesan una determinada superficie.
Viene representado por la siguiente ecuación:


   A  dS
S

A : Representa un campo, en nuestro caso A  g .

dS : Representa una superficie diferencial, con vector perpendicular a dicha superficie.
Circulación: nos habla de la naturaleza del campo. Viene dada por la siguiente ecuación:
 
A
  dr  0  Indica que el campo es conservativo, es decir, el trabajo realizado por el
campo sobre una masa de 1 kg a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo (no depende
del camino seguido).
Estas dos magnitudes son suficientes para definir plenamente un campo gravitatorio. El
flujo nos daría la intensidad del campo y la fuerza, mientras que la circulación traería
consigo la existencia de la energía potencial y del potencial.
19. Obtener razonadamente la velocidad de un satélite artificial que se mueve
alrededor de la Tierra, en una órbita circular de radio R (masa de la Tierra: M)
En la órbita, la fuerza centrípeta que actúa sobre un satélite es igual a la fuerza con la
que la Tierra lo atrae. Así:
mv2 GMm
 2
r
r
De donde se deduce que la velocidad orbital es:
Fc  FG
v
GM
r
14
20. Deducir la expresión de la energía necesaria para poner un satélite en órbita
lanzándolo desde la superficie terrestre, justificándolo físicamente.
Primero habría que calcular la velocidad orbital, para ello: FG = FC
Vo2
MT m
M
G
 m
 Vo2  G  T
2
R0
R0
Ro
Después se calcula la velocidad de lanzamiento igualando las energías mecánicas en la
superficie terrestre y en la orbita:
EmecT  Emec0  EcT  EpT  Ec0  Ep0
M m 1
M m
1
mVT2  G  T  mV02  G  T  Sustituyendo V02 queda:
2
RT
2
R0
 1
M
1 2
1 M
1
VT  G  T   G T  VT2  2GM T 

2
RT
2 R0
 RT 2R0
 1
1
 VT  2GM T 

 RT 2 RO

 




21. Obtén la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo lanzado desde la
Tierra.
Se llama velocidad de escape a aquella que hay que dar a un cuerpo para que logre
desligarse de la atracción gravitatoria a la que se encuentra sometido. Como desligar a
un cuerpo de la atracción gravitatoria supone en cierta medida aislarlo del cuerpo que lo
atrae, necesitaremos que la energía mecánica que tenga dicho cuerpo, sea, por lo menos,
nula. En caso contrario tendrá una cierta energía potencial negativa, que supondrá que
aún se encuentra ligado al sistema que le atrae.
La velocidad de escape de la Tierra es la velocidad mínima que debe tener el cuerpo
para salir del campo gravitatorio creado por nuestro planeta, es decir, para poder llegar
al infinito.
Al tratarse de un campo de fuerzas conservativas, la energía mecánica del cuerpo en la
Tierra deberá ser igual a la energía mecánica del cuerpo en el infinito.
Emec T  Emec 
Ec  Ep  0
Ec   Ep
GM T · m
1
mv 2 
2
R
2GM T
Ve 
R
15
22. Si la fuerza con la que la Tierra atrae a la Luna es del mismo tipo que la fuerza
que hace caer una manzana de un árbol, por qué la Luna no cae hacia la Tierra.
A diferencia de la manzana, la Luna tiene una velocidad de traslación a lo largo de una
órbita alrededor de la Tierra que genera una fuerza centrífuga que es igual a la fuerza de
gravedad terrestre, pero de sentido contrario. Ambas fuerzas se anulan, posibilitando
que la Luna se mantenga en órbita.
FG  FC
(Condición para que cualquier planeta se mantenga en órbita)
La manzana, sin embargo, carece de esa velocidad de traslación, por lo tanto, caerá
hacia potenciales menores siguiendo una dirección radial hacia el centro de nuestro
planeta.
23. La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a su masa.
Justifica por qué entonces no caen más rápidamente los cuerpos con mayor masa.
Un cuerpo caerá más rápidamente cuanto mayor sea su aceleración: F = m · a = m · g
Como vemos en la expresión anterior, la aceleración provocada por la Tierra coincide
con la intensidad del campo gravitatorio. El causante de la caída de un cuerpo sobre la
superficie terrestre es la intensidad del campo gravitatorio terrestre y no la fuerza que el
planeta realiza sobre una masa. Siendo la intensidad del campo terrestre:
g
Mt
F
G
m
R t  h 2
Como se ve en la fórmula, la intensidad no depende de la masa de la partícula. Todos
los cuerpos que se encontrasen a la misma altura caerían con la misma velocidad si
estuvieran en el vacío. La experiencia nos dice que la aerodinámica de los objetos y el
rozamiento entre éstos y el aire nos impiden percibir esta realidad.
24. Para un planeta de masa M y radio R, discute bajo qué condiciones se puede
considerar constante el vector intensidad del campo gravitatorio (Ayuda: discute
primero el módulo y a continuación la dirección y el sentido).

El vector intensidad de campo gravitatorio g en un punto está definido como la fuerza
que actuaría sobre la unidad de masa colocada en dicho punto.

M 
M
 F
g   G u r  g  G
m
r
r



Módulo: se considerará constante en módulo el vector intensidad de campo de
todos aquellos puntos situado sobre una esfera de radio (R) centrada en el
centro del planeta.
Dirección: esta permanecerá constante para todos los puntos situados sobre la
línea recta que pase por el centro del planeta.
El sentido permanecerá constante para los puntos situados sobre la semirrecta
que va desde el centro del planeta hacia fuera.
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25. Describe una experiencia para determinar el valor de la intensidad del campo
gravitatorio en la superficie de la Tierra
1ª Experiencia: caída libre
Subir a una torre de altura h y medir el tiempo que tarda en caer un cuerpo libremente
(t).
Sabiendo que estaremos ante un MRUA, donde la aceleración coincide con la intensidad
del campo gravitatorio (g) en la superficie de la Tierra y sus proximidades:
s
1 2
1
2h
at  h  gt 2  g  2
2
2
t
2ª Experiencia: péndulo
Medimos la longitud del péndulo (l) y su período de oscilación (T).
l
l
 g  4 2 2
Sabiendo que: T  2
g
T
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