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PLANEACIÓN DIDÁCTICA POR COMPETENCIAS
Bloque VI:
Asignatura: MATEMÁTICAS II
DESCRIBRE LAS RELACIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA
RESOLVER TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS.
Competencia (s):
ATRIBUTO DE COMPETENCIAS GENÉRICAS:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno
de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevante para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo
ATRIBUTOS DE COMPETENCIAS DISCIPLINARES:
Identifica los diferentes tipos de modelos matemáticos y sus características.
Relaciona distintos tipos de modelos matemáticos con situaciones reales.
Resuelve diferentes tipos de problemas.
Utiliza diferentes formas de representación de cantidades numéricas asociadas con
magnitudes del espacio.
8.1 Reconoce los símbolos matemáticos y científicos que se utilizan en tablas, gráficas,
mapas, diagramas y textos.
8.2 Relaciona símbolos matemáticos y científicos, usados en tablas, gráficas, mapas,
diagramas y textos, con determinados contextos.
1.1
1.2
2.1
6.2
Indicadores de desempeño:
- Realiza conversiones entre medidas angulares y circulares de ángulos agudos.
- Identifica situaciones donde es posible utilizar las funciones trigonométricas en triángulos
rectángulos.
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- Utiliza tablas, calculadora o triángulos específicos para obtener valores de funciones
trigonométricas para ángulos agudos.
- Resuelve problemas de triángulos rectángulos mediante las funciones trigonométricas.
- Interpreta gráficas, mapas o esquemas asociados con triángulos rectángulos y/o funciones
trigonométricas.
Situación didáctica:
En la Herrería “Heavy Metal” hacemos
ángulos de hierro para repisas y escaleras
simples o dobles de aluminio, según sus
necesidades.
En la herrería Heavy Metal, se fabrican ángulos o soportes para repisas con diferentes
medidas, según lo especifique el cliente, así como escaleras de diferentes alturas, escaleras
para apoyarse sobre la pared (simples) o escaleras que se abren en forma de “A”.
Doña Paquita (no sabemos si era la “del Barrio”) llegó a la herrería para solicitar seis
soportes para tres repisas (dos por repisa). Dijo que necesitaba unas repisas de un ancho de
20 cm y que las iba a utilizar para acomodar libros, es decir, iban a soportar mucho peso. Con
esta información, el herrero hizo un dibujo como se muestra abajo y decide que el soporte
medirá 5 cm menos que la repisa y el ángulo inferior será de 30º.
Describe cuál es el procedimiento que llevaría a cabo el herrero
para calcular la longitud del metal que necesitará.
20 cms
a
Calcula la longitud total del metal que el herrero necesitará
Para construir el soporte de la repisa.
30°
a
Duración: 8 HRS.
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ACTIVIDAD I
Anexo 1: Se agrega la liga de Internet donde se explican los temas vistos en este bloque
http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a33m2p.html
http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a34m2p.html
http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a35m2p.html
http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a35_1m2p.html
Como evidencia de la actividad No. I se propone la entrega de un Glosario, que deberá generar
alumno cuando revise estos videos, debiendo expresar con palabras propias su aprendizaje.
GLOSARIO:
CONCEPTO DE :
TRIGONOMETRÍA
GRADO
RADIAN
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONO:
1.
El Sr. López necesita una escalera para podar sus árboles de naranjas. Le dice al
herrero que necesita alcanzar una altura de 3m sin estirar los brazos. El herrero calcula
que el Sr. López mide 1.70m, y sabe que por seguridad, una persona no debe subir
más arriba del penúltimo peldaño de la
escalera. El herrero le vende una escalera
como la que se muestra.
Comprueba que el herrero vendió al Sr
López la escalera que necesita.
Los 30 cm que se muestran en la figura
indican la distancia entre la altura máxima de la
escalera y donde está el penúltimo peldaño, es decir, hasta donde puede subirse el Sr. López
con seguridad.
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2.
Dada la definición de las funciones trigonométricas:
Hipotenusa (Hip), frente al
ángulo de 90º
Cateto opuesto
(Cat. Op.), enfrente
al ángulo
Cateto adyacente
(Cat. Ad.), forma al
ángulo junto con
la hipotenusa
A
sen=seno
csc=cosecante
sen A=
Cat. Op.
Hip
csc A= Cat. Op.
cos=coseno
sec=secante
cos A=
Cat. Ad .
Hip
sec A= Cat. Ad .
tan=tangente
cot=cotangente
tan A= Cat. Ad .
Cat .Op .
Hip
Hip
Cat. Ad .
cot A= Cat. Op
Obtenga los valores de las seis funciones trigonométricas para los siguientes triángulos.
1
4
5
B
3
2
2
1
C
5
sen B=
cos B=
tan B=
csc B=
sec B=
cot B=
sen C=
cos C=
tan C=
csc C=
sec C=
cot C=
Página 4 de 12
2
3
cos D=
tan D=
csc D=
sec D=
cot D=
sen H=
cos H=
tan H=
csc H=
sec H=
cot H=
4
2 5
D
4
sen D=
8
H
6
10
De los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores, ¿qué se puede observar en los
valores de seno y cosecante, coseno y secante, tangente y cotangente, respectivamente?
R __________________________________________________________________________
Debido a esto, a cada par de estas funciones se les llama recíprocas.
3.
Usando calculadora, obtenga los valores de las funciones dadas.
Nota: Asegúrese que su calculadora se encuentre en el modo D (degree=grado).
sen 25º=
tan 48º=
cos 50º=
cos 30º=
sen 10º=
tan 82º=
sen 22º=
tan 6º=
cos 15º=
cos 41º=
sen 57º=
tan 64º=
4.
Dadas las siguientes situaciones, haga el diagrama correspondiente, responda la
pregunta en cada caso y escriba la fórmula despejada para la incógnita que se busca.
a)
Una escalera está apoyada en la pared, el ángulo en la base es de 50º, la escalera mide
4m. ¿Qué función trigonométrica usaría para calcular la distancia a la cual la escalera
está de la base de la pared?
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b)
Una torre está inclinada un ángulo de 82º respecto del piso. La longitud de la torre es de
15 m. ¿Con qué función trigonométrica obtendría la altura de la torre?
c)
Una letra A aparece en un letrero espectacular (no por bonito, sino por grande). Si el
ángulo en la parte superior de la letra es de 40º y su base es de 60 cm, ¿qué función
trigonométrica permite calcular la altura de la letra?
d)
En un hospital, hay una rampa para discapacitados en la entrada. Tiene una altura de 40
cm y una longitud horizontal de 3 m. ¿Qué función trigonométrica le ayudaría a encontrar
el ángulo de inclinación de la rampa respecto al piso?
5.
Grados y radianes.
En la medición de ángulos, se utilizan dos tipos de unidades fundamentalmente, los
grados y los radianes. Si se imagina un círculo, y uno de sus radios se moviera respecto
al centro y diera una vuelta completa, éste recorrería 360º, o bien, se dice que se
desplazó 2π radianes. De lo anterior se concluye que:
360º = 2π radianes
¿Puede decir a cuántos radianes equivalen 180º? ¿Y 90º? ¿Y 60° o 45°?
Nota: Aquí, se debe acordar con el profesor si prefiere que las medidas de los ángulos se den
en términos de π, o en términos del valor de π, es decir, 3.1416.
Ejemplo:
30º = π/6, pero si π=3.1416, entonces 30º=3.1416/6=0.5236 radianes
Ejemplo:
1.-
Convertir 200º a radianes
Usando la equivalencia 180º= π, se tiene que
 π 
 = 3.49 radianes = 10 π/9
 180º 
200º 
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2.-
Convertir 1.3 radianes a grados
Usando la misma equivalencia, se tiene que
180º 
1.3 
 = 74.48º
 π 
Nota: Observe que la palabra radianes o rad no se incluye en las operaciones. Observe
también la forma en que se acomoda el factor de conversión, según las unidades que
se quieren obtener.
6) Disco Compacto
Un disco compacto tiene un diámetro de 11.8 cm. y gira a razón de 1.5 revoluciones por
segundo.
a. ¿Cuantos metros recorre un punto en el borde del CD durante la reproducción de la pieza
musical que dura 2.3 minutos?
Convierte 2.3 minutos a segundos: 2.3 x _______ = _________
b. ¿Cuantas vueltas da el disco en un segundo? ¿Y en la cantidad de segundos que hay en
2.3 minutos?
_________________x_____________ = vueltas
c. Si cada vuelta es un ángulo de rotación de 360º. ¿Cuántos grados hay en todas las
vueltas que da el disco?
360º__ x ________ = º(grados)
d. Convierte estos grados a radianes (utiliza π = 3.1416):
__________º x _________ = radianes
e. Explica por qué consideras que hiciste esta conversión.
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f. ¿Cuánto mide el radio del disco compacto? r=_______ cm. Multiplica el radio por la
medida del ángulo en radianes que se obtuvo en el punto d
_________ rad x ________ = __________ ¿ qué unidades debes poner al resultado)
g. Conclusión.
El disco compacto, recorrió __________ metros al girar durante 2.3 minutos a una
velocidad de 1.5 revoluciones por segundo
7)
Realice las siguientes conversiones de grados a radianes y viceversa.
De grados a radianes
De radianes a grados
a) 50º =
a) 3 π radianes =
b) 110º =
b) π/4 radianes =
c ) 300º =
c) 0.67 radianes =
d) 250º =
d) 1.8 radianes =
e) 500º =
f) 2.5 radianes =
Valores exactos de las funciones trigonométricas (Sólo para πQ2).
8)
A continuación se presenta la forma de obtener los valores exactos de los ángulos de
30º, 45º y 60º. ¿Qué significan “valores exactos”? Que para estos ángulos, en base a ciertos
valores de un triángulo rectángulo (para 30º y 60º) o isósceles (45º), se puede resolver un
triángulo para alguna incógnita sin necesidad de usar las funciones de la calculadora.
Para los ángulos de 30º y 60º.
Considere un triángulo equilátero de lado 2. Se divide en dos partes y se forman dos
triángulos rectángulos de lados 2, 1 y 3 . Este último valor se obtiene de aplicar el teorema de
Pitágoras.
2
Del teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
pruebe que h = 3
30°
60°
2
h
2
60°
60°
2
60°
1
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Es claro que al dividir el
triángulo equilátero
en dos triángulos
rectángulos, el ángulo
superior se divide y queda
un ángulo de 30º,
y el lado inferior se reduce a 1.
Ahora bien,
Para 30º, las funciones quedan definidas como:
1
sen 30º = 2
cos 30º =
3
2
tan 30º =
1
3
Para 60º, las funciones quedan definidas como:
sen 60º =
1
cos 60º = 2
3
2
tan 60º =
3
= 3
1
Para el ángulo de 45º.
Considere un triángulo rectángulo con catetos iguales (también es isósceles, ¿ve
porqué?). Si los catetos son de longitud 1, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es 2 y
puesto que los catetos son iguales, los ángulos agudos son de 45º.
45°
2
1
1
45°
sen 45º =
1
2
cos 45º =
1
2
1
tan 45º = 1 =1
Ejemplos:
a)
Una escalera está apoyada sobre una pared exactamente en la base de una ventana
situada a 6m de altura.
Si la escalera forma un ángulo de 60º con el piso, calcule la longitud de la escalera.
Datos:
Diagrama:
Fórmula:
Ángulo = 60º
Como
6
C
b = 6m
c = longitud de la
escalera
Despeje:
b=6
76
b=cateto opuesto
60°
c= sen 60º
c= hipotenusa
la función que se
usa es seno
De los valores
exactos para las
funciones, sabemos
que
6
sen 60º= c
sen 60º=
Página 9 de 12
3
2
Sustitución:
c=
6
=
3/2
6 /1
(habiendo usado la ley de medios y extremos) =
3/2
62 =
 3 1
12
Este es
3
el resultado.
Un objeto con un lado en forma de triángulo se usa en un escritorio para sostener libros,
como se muestra en la figura.
b)
Fórmula
¿Cuál es la base del
objeto?
Sustitución
Despeje
a=cateto adyacente
a=25 cos45º
25 cms
45°
la función que se
usa es coseno
a
De los valores
exactos para 45º
a=
sabemos que
a
cos 45º = 25
9)
a=25
25= hipotenusa
cos 45º=
1
2
25
2
1
2
Ejercicios.
Calcule los valores desconocidos usando los valores exactos de los ángulos de 30º, 45º
y 60º.
b= 20 sen 30º
8
a = tan60º
a = 15 cos 45º
Material a utilizar:


PINTARRÓN
FOTOCOPIAS
Mecanismos para evaluar:


EJERCICIOS
PROBLEMARIO
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Colegio de Bachilleres del Estado
de Baja California
LISTA DE COTEJO - PROBLEMARIO
Datos del alumno
NOMBRE
GRUPO
SEMESTRE
SEGUNDO
ASIGNATURA
MATEMATICAS II
EVALUADOR
Criterios de la lista de cotejo
Criterios de desempeño
SÍ
1.- Presentación de glosario (limpieza, orden y tiempo)
2.-
Reconoce las unidades de medida
3.-
Realiza correctamente la conversión de grados a radianes y viceversa
Desarrolla las funciones trigonométricas directas y reciprocas en ángulos
agudos para obtener valores.
4.-
Resuelve triángulos rectángulos utilizando las funciones trigonométricas
directas y reciprocas.
5.-
Obtiene los valores de lados o ángulos de triángulos rectángulos
empleando las funciones trigonométricas directas y reciprocas.
6.-
Evaluación: ________
Observaciones:
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NO
Colegio de Bachilleres del Estado
de Baja California
ESCALA DE VALORES-GLOSARIO
Datos del alumno
NOMBRE
GRUPO
SEMESTRE
SEGUNDO
ASIGNATURA
MATEMATICAS II
EVALUADOR
Criterios de la Escala de Valores
Criterios de desempeño
1. Presentación de glosario (limpieza, orden y
tiempo)
2. Ortografía
No
Suficiente
suficiente
Excelente
3. Definición de Trigonometría.
4. Definición de Grado
5. Definición de Radian
6. Convertir grados a radianes
7. Convertir radianes a grados
8.
9.
10.
11.
Evaluación: ________
Observaciones:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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