Download Mesa Redonda1: Articulación de curricula por competencias

CURSO DE FORMACIÓN PARA EL
PROFESORADO DE SECUNDARIA:
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS.
INSTRUMENTOS PARA LAS CIENCIAS
SOCIALES Y NATURALES
MESA REDONDA1:
ARTICULACIÓN DE CURRICULA POR
COMPETENCIAS. POSIBILIDADES Y LÍMITES
La Modelización matemática.
Algunos ejemplos en ESO y Bach.
Constantino de la Fuente Martínez
IES Cardenal López de Mendoza, Burgos.
Sociedad Castellana y Leonesa
de Educación matemática
Miguel de Guzmán
ÍNDICE:
1. Algunos fundamentos del currículo por competencias:
1.1.Matematización y modelización matemática
2. Ejemplos de actividades de modelización:
2.1.Modelos funcionales para la modificación de las notas de un examen.
2.2. Modelos funcionales para el estudio de una enfermedad vírica.
2.3. Modelos geométricos para el estudio del Patrimonio Histórico-Artístico.
1.Algunos fundamentos del currículo por competencias
El consenso europeo sobre la educación ha propiciado que el currículo
español para la Educación Secundaria (Obligatoria: ESO y postobligatoria:
Bachillerato) se estructure alrededor de las Competencias Básicas, una de las
cuales es la denominada Competencia Matemática. En OCDE (2004) se define:
“La competencia matemática es la aptitud de un individuo para identificar
y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo,
alcanzar razonamientos bien fundados
y utilizar y participar en las
matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo” 1.
Como podemos ver, la competencia matemática incluye muchos
aspectos y procesos que se vertebran alrededor de las necesidades de su vida
como ciudadano constructivo … Para aclarar y concretar todos los aspectos
incluidos en la competencia matemática nos basaremos en Niss (2003), donde
se utilizan las nociones de competencias matemáticas y capacidades incluyen.
En la siguiente tabla2 aparecen todas ellas:
1
OCDE (2004). Marcos teóricos de PISA 2003, p. 28
Tomado de Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish
KOM project, p. 120.
2
COMPETENCIAS
PENSAR
MATEMÁTICAMENTE
PLANTEAR Y RESOLVER
PROBLEMAS MATEMÁTICOS
MODELAR
MATEMÁTICAMENTE
(analizar y diseñar modelos)
RAZONAR
MATEMÁTICAMENTE
REPRESENTAR
ENTIDADES MATEMÁTICAS
(objetos y situaciones)
CAPACIDADES QUE INCLUYEN
1. Proponer cuestiones propias de las Matemáticas
(¿Cuántos hay? ¿Cómo encontrarlo?, etc.) y conocer
los tipos de respuestas que las Matemáticas pueden
ofrecer a dichas cuestiones.
2. Entender la extensión y las limitaciones de los
conceptos matemáticos y saber utilizarlos.
3. Ampliar la extensión de un concepto mediante la
abstracción de sus propiedades, generalizando los
resultados a un conjunto más amplio de objetos.
4. Distinguir entre distintos tipos de enunciados
matemáticos (condicionales, definiciones, teoremas,
conjeturas, hipótesis, etc.).
1. Identificar, definir y plantear diferentes tipos de
problemas matemáticos (teóricos, prácticos, abiertos,
cerrados).
2. Resolver diferentes tipos de problemas matemáticos
(teóricos, prácticos, abiertos, cerrados), planteados por
otros o por uno mismo, a ser posible utilizando
distintos procedimientos.
1. Analizar los fundamentos y propiedades de modelos
existentes.
2. Traducir e interpretar los elementos del modelo en
términos del mundo real.
3. Estructurar la realidad.
4. Matematizar.
5. Validar el modelo interna y externamente.
6. Analizar y criticar el modelo.
7. Comunicar acerca de un modelo y de sus resultados
(incluyendo sus limitaciones).
8. Controlar el proceso de modelización.
1. Seguir y evaluar cadenas de argumentos propuestas
por otros.
2. Conocer lo que es una demostración matemática y
en qué difiere de otros tipos de razonamientos
matemáticos.
3. Descubrir las ideas básicas de una demostración.
4. Diseñar argumentos matemáticos formales e
informales y transformar los argumentos heurísticos
en demostraciones válidas.
1. Entender y utilizar diferentes clases de
representaciones de objetos matemáticos, fenómenos
y situaciones.
2. Utilizar y entender la relación entre diferentes
representaciones de una misma entidad.
3. Escoger entre varias representaciones de acuerdo
con la situación y el propósito.
UTILIZAR LOS SÍMBOLOS
MATEMÁTICOS
COMUNICARSE CON LAS
MATEMÁTICAS Y
COMUNICAR SOBRE
MATEMÁTICAS
UTILIZAR AYUDAS Y
HERRAMIENTAS
(incluyendo las nuevas
tecnologías).
1. Interpretar el lenguaje simbólico y formal de las
Matemáticas y entender su relación con el lenguaje
natural.
2. Entender la naturaleza y las reglas de los sistemas
matemáticos formales (sintaxis y semántica).
3. Traducir del lenguaje natural al simbólico y formal.
4. Trabajar con expresiones simbólicas y fórmulas.
1. Entender textos escritos, visuales u orales sobre
temas de contenido matemático.
2. Expresarse en forma oral, visual o escrita sobre
temas matemáticos, con diferentes niveles de precisión
teórica y técnica.
1. Conocer la existencia y propiedades de diversas
herramientas y ayudas para la actividad matemática,
su alcance y sus limitaciones.
2. Usar de modo reflexivo tales ayudas y herramientas.
Como podemos observar, hay varias novedades entre las que
destacaremos la modelización matemática que estudiaremos un poco más
adelante.
1.1 Matematización y modelización matemática
“El Proyecto OCDE/PISA examina la capacidad de los estudiantes para
analizar, razonar y transmitir ideas matemáticas de un modo efectivo al
plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en distintas
situaciones” 3.
Como vemos, la mayor parte de las competencias se pueden analizar,
sobre todo, en la resolución de situaciones desconocidas, casi siempre
identificables con la idea de problema4. Y es en la resolución de problemas
donde aparecen los procesos matemáticos5, uno de los cuales es, denominado
genéricamente, la matematización:
“el proceso fundamental que los estudiantes emplean para resolver
problemas de la vida real se denomina matematización” 6.
Este proceso tiene varias fases, una de las cuales es la matematización
horizontal, que va del problema de la realidad al problema expresado en
términos matemáticos y otra que es la matematización vertical que va del
problema matemático a la solución matemática del problema.
3
OCDE (2004). Op. cit., p. 39
Sin querer entrar en discusión con el significado del término, está claro que un problema no es un
ejercicio en el que se trata de ejercitar, poner en práctica, algún conocimiento matemático que se da por
hecho que se sabe.
5
“Las competencias que los alumnos deben movilizar para tratar de resolver problemas”. OCDE (2004).
Op. cit., p. 39
6
OCDE (2004). Op. cit., p. 39
4
La modelización matemática engloba todos los procesos en los que se
trabaja con un modelo matemático:
“Un modelo matemático es cualquier sistema completo y compatible de
ecuaciones matemáticas, diseñadas para que se correspondan con alguna
otra entidad. Tal prototipo puede ser una entidad física, biológica, social,
psicológica o conceptual; tal vez, incluso, otro modelo matemático.”
“El término ecuaciones puede ser reemplazado por el de estructuras
pues no siempre se trabaja con modelos numéricos” 7.
El gráfico de Blum (2005), que mejora la anterior propuesta de Blum y
Niss (1991), nos va a servir para representar el proceso completo de
modelización; en él aparece una nueva subdivisión en la parte del mismo
conectada a lo real. Lo presentamos8, a continuación, acompañado de algunos
procesos mentales que aparecen en cada uno de los momentos:
SOLUCIÓN
“REAL”
INTERPRETACIÓN
SOLUCIÓN
MATEMÁTICA
PREDICCIONES
LIMITACIONES
REVISIÓN
ENTENDER MODELO
SITUACIÓN
“REAL”
DE LA
SITUACIÓN
MODELO
MATEMÁTICO
SIMPLIFICAR
ESTRUCTURAR
MODELO
“REAL”
FORMULACIÓN DE
HIPÓTESIS
GENERALIZACIÓN
MUNDO
“REAL”
7
ANÁLISIS
LENGUAJES
ARGUMENTACIÓN
MUNDO DE LAS
MATEMÁTICAS
Davis, P. y Hersh, R. (1988). Experiencia Matemática, p. 67-68.
Adaptado de Blum, W. (2005). “Filling Up” – the problem of
independence-preserving
teacher interventions in lessons with demanding modelling task, p. 17-21. Se le han
añadido algunas actividades específicas que se desarrollan en cada una de las fases del
proceso.
8
En este gráfico aparece la matematización horizontal en el paso del modelo
“real” al modelo matemático, y la matematización vertical en el paso del modelo
matemático a la solución matemática.
2.Ejemplos de actividades de modelización
Presentamos tres ejemplos de actividades de modelización matemática
en tres contextos diferentes: el primero que relaciona la vida cotidiana con el
ámbito escolar, el segundo proviene de las ciencias naturales y el tercero
intenta modelizar una cuestión proveniente de las humanidades y ciencias
sociales.
2.1. Modelos funcionales para la modificación de las notas de un examen
Este ejemplo surgió inicialmente a partir de un comentario del profesor
Arcavi en su conferencia plenaria de las JAEM de Granada, en 2007, que
también aparece por escrito en un artículo9 del mismo autor:
“Un estudiante de escuela secundaria regresó a su hogar contando que
su maestra de matemáticas estaba descontenta con las calificaciones de sus
alumnos en una prueba escrita que habían realizado sobre funciones,
atribuyéndolo a que quizá las preguntas propuestas habían sido un tanto
difíciles. La maestra decidió “ajustar” esas calificaciones usando un factor de
corrección: si la calificación original era x (en una escala de 0 a 100), ésta
devendría en 10 x . Es decir, si la calificación inicial fue 81, la corregida sería
90. Aparentemente, este factor es común entre los maestros en Israel”.
El hecho de que este factor fuera común en Israel, pero sea totalmente
desconocido en nuestro país, suscitó la curiosidad en quien escribe, e hizo que
me pusiera a trabajar la situación, para ver si tenía interés didáctico y pudiera
ser tratada en clase.
Tras practicar personalmente y profundizar en la situación, llega el
momento de plantearse su puesta en práctica en el aula. Para ello se decide
presentar en clase el párrafo anterior en dos fases; la primera hasta los dos
puntos, planteando a los alumnos y alumnas que propongan algún factor de
corrección apropiado si el examen lo hubieran hecho ellos:
¿Qué factores de corrección podemos proponer a la profesora para que
modifique las notas? Expresarlos en forma algebraica y representarlos
gráficamente. Analizar las ventajas e inconvenientes de cada uno.
Tras un corto debate, se presentan varios factores de corrección,
ninguno de ellos el de la profesora israelí. Una vez formalizados, podríamos
describirlos así: si x es una nota perteneciente al intervalo [0, 10] e y la nota
obtenida al corregir x , podemos hacer:
-Subir a todos una misma cantidad fija c , y  x  c
Arcavi, A. (2007). El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos. UNO. Revista de Didáctica
de las Matemáticas, nº 44, pág. 59 a 75.
9
rx 
r 
 1 
x
100  100 
-Redondear la nota al número entero más próximo, que sea mayor o
igual que la nota, y  Entx  1
-Si la nota más alta es el valor a, transformar esta nota en 10 y el resto
-Aumentar un porcentaje, r , cada nota, y  x 
de forma proporcional,
y
10
x
a
Una vez discutidas las ventajas o desventajas de cada uno de ellos10 se
les plantea la segunda parte:
Adapta el factor de corrección de la maestra a nuestro país, donde las
notas están entre 0 y 10. Exprésalo algebraicamente y haz su representación
gráfica. Analiza sus ventajas e inconvenientes respecto a los anteriores.
Utilizando el programa de
representación gráfica Graph,
podemos comparar las dos
funciones, y  x que es el
factor que no modifica las notas
obtenidas inicialmente, y el
factor y  10 x , que es el
análogo al de la profesora
isarelí,
pero
adaptado
al
contexto español.
Como podemos observar
en cada una de las dos
funciones,
transforman
el
intervalo [0, 10] en sí mismo,
por lo que las notas nuevas
siguen siendo valores del
intervalo.
Después de estudiar el nuevo factor, se continuó con la siguiente
cuestión:
¿Podríamos variar este factor para obtener otros similares? Prueba
introduciendo algún cambio en su expresión algebraica: índice de la raíz,
exponente de 10 ó exponente de x. Analiza las características de cada uno y su
idoneidad.
El resultado de ello lo presentamos en la siguiente gráfica, en la que
aparecen algunas de las funciones análogas a la y  10 x :
Se omiten para no alargar el documento, pero tienen mucho interés didáctico; por ejemplo
algunas imágenes de los valores del intervalo [0, 10] no siempre permanecen en el intervalo,
por lo que las notas nuevas pueden ser valores imposibles: por ejemplo 12, etc.
10
y
10
9
y  4 103 x
8
y  10 x
7
y  10 x
2
3
6
5
4
y  4 10x 3
3
y  3 10x 2
2
1
x
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
Las expresiones de todos ellos se pueden agrupar en dos que
representan a las dos familias de factores:
Fn x   n 10 n 1 x
G n  x   n 10 x n 1
x  0,10, n  
Y si en vez de ser notas entre 0 y 10 fueran del intervalo
tendríamos las familias de factores:
Fn  x   n N n 1 x
Gn  x   n N .x n 1
0, N  ,
x  0, N , n  
Después del estudio de los modelos anteriores, se puede volver a la idea
de seguir generalizando y podemos plantear en clase otra cuestión:
Reflexionando sobre las expresiones de los factores Fn y Gn, encuentra
una expresión que los englobe a los dos, de manera que todos pasen a formar
parte de una sola familia de factores de corrección.
La idea es que se den cuenta que los podemos agrupar en una nueva
generalización del modelo, de la forma siguiente:
H ni  x   n N i x n i
n  , i  0, 1, 2, ..., n  1
En este nuevo contexto, volvemos a situar los factores conocidos hasta
ahora, verificándose que:
- Para i=1, obtenemos los factores Gn.
- Para i=n-1, obtenemos los factores Fn.
- Para i=n/2, obtenemos el factor F2=G2.
- Para i=0, obtenemos el factor Identidad y=x.
Pero la cuestión se puede seguir exprimiendo si planteamos la búsqueda
de modelos funcionales que se adapten a la situación y sean de tipo
trigonométrico, logarítmico,…Presentamos, a modo de ejemplos, algunos de
ellos sacados de los propuestos por los estudiantes11:
Más tarde nos podemos encontrar con otros tipos de modelos
trigonométricos:
En la primera de las gráficas aparecen una función logarítmica y la recíproca exponencial, que
sería la análoga a la logarítmica pero para el caso inverso, en que hubiera que bajar las notas.
Esta última cuestión se puede trabajar simultáneamente a la de subirlas. La segunda gráfica es
el mismo planteamiento con modelos funcionales trigonométricos. La norma que se menciona
en la gráfica se refiere a que las funciones deben cumplir que transformen el intervalo [0, 10] en
sí mismo, condición que cumplen todas ellas.
11
En algunos de los modelos presentados, la función no es estrictamente
creciente como se había exigido hasta entonces, esto abre nuevas
posibilidades12, analizando el significado e interpretando las consecuencias que
se dan en las notas afectadas. Esto nos lleva a considerar el modelo siguiente:
12
Una de las cuestiones más interesantes que se pueden plantear es la siguiente: cuál es el
mayor valor de p para que la función
y  x  p.(1  cos
x
5
)
siga transformando el
intervalo [0, 10] en sí mismo. Lo mismo se puede plantear para las otras funciones que tienen
máximo o mínimo.
Parece increíble, pero es cierto: deja invariables las notas que sean
números enteros, sube las notas de los intervalos (0, 1); (2, 3); … y baja las
pertenecientes a los intervalos (1, 2); (3, 4), …
Podemos continuar con otras cuestiones que surgen en el proceso de
análisis de los diferentes modelos planteados, pero la extensión del documento
es limitada. Dejamos a la iniciativa del lector para su continuación.
2.2. Modelos funcionales para el estudio de una enfermedad vírica.
El siguiente ejemplo es una adaptación de un trabajo13 planteado para
estudiantes de Bachillerato Internacional sobre modelos matemáticos.
Un cierto tipo de virus penetra en el cuerpo humano, y se duplica
rápidamente. En cuatro horas, aproximadamente, el número de partículas
víricas se hace el doble. El sistema inmune no responde hasta que no hay
aproximadamente 106 partículas víricas.
Cuando responde le sistema inmune, la primera consecuencia es la
aparición de fiebre en el organismo. Esto hace que la velocidad de duplicación
del virus disminuya a un 160% cada cuatro horas y, en esta situación, el
sistema inmune elimine unos 50000 virus por hora.
Ante la fiebre, el paciente puede acudir al médico o no, pero si el número
de partículas víricas llega a los 10 billones (1012) la persona afectada muere.
1. Elaborar un modelo para la fase inicial de la infección para una
persona infectada con 10.000 partículas víricas, y determinar el tiempo que
tardará en iniciarse la respuesta del sistema inmune del paciente
2. Utilizando algún método adecuado (programa informático, calculadora
gráfica, etc.) desarrollar un modelo para la siguiente fase de la enfermedad,
cuando la respuesta inmune ya ha comenzado pero aún no se ha administrado
ninguna medicación. Utiliza el modelo para determinar cuánto tiempo tardará el
paciente en morir si no se trata la infección.
Es posible administrar medicación antiviral tan pronto como la persona
acude al médico. El ritmo de crecimiento del virus no se ve afectado por la
medicación, pero ésta, junto con la respuesta inmune, es capaz de eliminar 1,2
millones de partículas víricas por hora.
3. Si la persona desea recuperarse completamente, calcular el número
máximo, aproximado, de partículas víricas que debe tener el paciente para que
la medicación resulte eficaz.
Al cuerpo le cuesta adaptarse a la medicación antiviral, por este motivo,
inicialmente, ésta debe introducirse en el cuerpo de forma cuidadosa, a lo largo
de cuatro horas de administración intravenosa continuada. Esto significa que,
durante estas primeras 4 horas, en cualquier instante de tiempo, siempre está
penetrando en el cuerpo la misma cantidad de medicación. Sin embargo, a su
vez, los riñones eliminan, por hora, aproximadamente el 2,5% de esta
medicación. El doctor ha calculado que el paciente necesita al menos 90
microgramos de medicación para comenzar y luego mantener la tasa de
eliminación de 1,2 millones de partículas víricas.
La idea original se ha extraído de los materiales para el profesorado, elaborados por la
Organización del Bachillerato Internacional, con sede en Ginebra, para los centros donde se
imparte este tipo de enseñanza.
13
5. ¿Qué dosis D, administrada cada cuatro horas a partir de la
finalización de la primera fase intravenosa continuada, lograría que el paciente
tuviera siempre 90 microgramos de medicación en su organismo? No olvidar
tener también en cuenta la tasa de eliminación de los riñones. Explicar
detalladamente cómo se ha obtenido ese número.
6. Mostrar en una gráfica todo el proceso, desde el momento en que da
comienzo hasta que se eliminan todas las partículas víricas.
No vamos a extendernos en profundidad en la resolución de las
cuestiones planteadas en el trabajo anterior, pero si vamos a presentar algunas
de las soluciones de modo gráfico, para que se puedan ver, con claridad,
algunos detalles interesantes del mismo.
Comenzamos con la fase
inicial de la enfermedad, desde la
invasión de los virus hasta la
respuesta del sistema inmune: en la
gráfica de al lado se puede ver,
aproximadamente, el tiempo que
transcurre hasta que se produce esa
respuesta. El punto (26,576 , 106) de
4
x / 4
la función y  10 .2
nos ilustra el
momento en que comienza a actuar
el sistema inmune y es el resultado
de resolver la ecuación exponencial
10 6  10 4.2 x / 4  .
A partir de ese momento la
función que describe la evolución en
el número de virus pasa a ser la
siguiente14:
 x  26 , 576 


4

y  10 6.1,6 
 5.10 4 ( x  26,576)
El proceso va avanzado y llega el momento de averiguar el tiempo
máximo que puede pasar, hasta acudir a la consulta médica, para asegurarnos
de que el enfermo se salva. Esta cuestión suscita siempre un acalorado debate
entre el alumnado, sobre todo el número de virus solución, pues queda en
evidencia el carácter experimental de la situación y la no exactitud de los
resultados encontrados. Siempre son orientativos, y no se podrían tomar al pie
de la letra. Ello está descrito en la gráfica siguiente:
Como se puede ver en la expresión de la función, al poner x-26,576 estamos obligando a que
x  26,576 y así la gráfica aparezca a continuación de la anterior, con lo que se respeta
mejor el desarrollo cronológico. Esto, para los estudiantes, añade más dificultad en el proceso
de resolución.
14
En algún punto de la gráfica de la función que rige el proceso una vez
 x  26 , 576 


activado el sistema inmune, y  10 .1,6  4   5.10 ( x  26,576) , empieza
a actuar la medicación, pero puede que sea tarde, por ejemplo las gráficas de
color rojo, o que se llegue a tiempo, como en las gráficas de color verde.
6
4
La solución estaría en tomar el punto adecuado de la función
f ( x)  10 .1,6
6
 x  26 , 576 


4


 5.10 4 ( x  26,576) para el que la función definida
 xa 


 4 
como: g ( x)  f (a ).1,6
 1,2.10 ( x  a) , sea tangente al eje de
15
abscisas , siendo (a, f(a)) el punto donde comienza a actuar la función
correspondiente a la fase en que se ha administrado la medicación.
6
Por último, saltamos los apartados en que se estudia la cantidad de
medicación y nos situamos directamente en la última de las preguntas.
Gráficamente obtenemos la representación siguiente:
O lo que es equivalente, que tenga un mínimo en un punto situado en el eje OX, lo que
significa que el número de virus es cero y por tanto desaparece la enfermedad.
15
Como puede observarse, el punto (39,15 , 3,75.10 6) nos indica que el
máximo tiempo que se puede esperar hasta acudir al médico es 39,15 horas y
en ese momento el paciente tiene 3.750.000 virus, aproximadamente.
Todas las expresiones de las funciones que aparecen se pueden
modificar si:
- El número inicial de virus es otro cualquiera,
- La tasa de duplicación de los virus fuera otro número de horas,
- El número de virus que provoca la muerte fuera otro.
Estas modificaciones conservan invariantes las formas y tipos de las
funciones, por lo que tiene sentido hablar de modelos funcionales que rigen el
proceso.
2.3. Modelos geométricos para el estudio del Patrimonio HistóricoArtístico
Vamos a ver cómo los edificios que forman parte de nuestro patrimonio
histórico cercano, son unos buenos motivos y ejemplos para practicar el
proceso de modelización matemática.
Comenzamos estudiando la cuestión siguiente:
Siempre hemos sabido que los edificios renacentistas contienen muchos
elementos en los que se ha utilizado la proporción áurea o divina proporción en
su construcción. ¿Podemos verlos?
Hemos tomado el edificio de nuestro Instituto, del siglo XVI, y, utilizando
las nuevas tecnologías, hemos descubierto que su fachada principal contiene
dos rectángulos áureos; es decir, que la relación entre amplitud de la fachada y
su altura es16 1  5 . También forman un rectángulo áureo la altura y la
distancia entre las dos columnas centrales. Gráficamente se puede ver en la
siguiente composición:
16
Téngase en cuenta que, en cada rectángulo áureo, la base es
(1  5 ) / 2 veces la altura.
Esta búsqueda de la proporción áurea se puede continuar analizando las
dimensiones de los elementos de la parte central de la fachada. Entre todos
ellos podemos destacar la puerta de entrada y el rectángulo superior de la
misma, que contiene el cartelón con la inscripción que da cuenta de el origen
del edificio. Es realmente sorprendente que en
un espacio relativamente tan reducido estén
contenidos tantos rectángulos áureos que,
inicialmente, pueden pasar desapercibidos
para el viandante. En la siguiente figura
pueden verse algunos de ellos:
Además de buscar rectángulos áureos
en la fachada principal, también podemos
hacerlo partiendo de la planta del edificio,
analizando la proporción que guardan las
dimensiones de algunos de los recintos más
emblemáticos: biblioteca, antigua capilla,
escalera principal, claustro, etc. En muchos de
ellos vuelve a aparecer la divina proporción
como patrón arquitectónico.
Uno de los resultados más sorprendente
que podemos encontrar es el que nos permite
calcular las dimensiones del cuadrado interior
del edificio, que da forma al patio, alrededor
del cual se configura el claustro; en la imagen
de la planta del edificio lo podemos observar.
La cuestión es la siguiente:
¿Existe alguna relación entre las
dimensiones del edificio y el lado del
cuadrado que da lugar al claustro?
Para ello, sobre la planta del
edificio, construimos el rectángulo
áureo que tiene por lado mayor la
longitud de la fachada principal. A
A
B
G
E continuación descomponemos este
ractángulo mediante una de las
posibles descomposiciones de un
rectángulo de oro, que podemos ver en
Ghyka (1983) y que tiene su origen en
el método de
las diagonales,
H
D
C
F
denominado así en Hambidge17 (1920).
En la figura obtenida se pueden
Figura 5.2
estudiar muchas propiedades, por
ejemplo, las dos diagonales de los rectángulos áureos se cortan en B
perpendicularmente, los rectángulos ADHG, BEFC son también áureos, etc.
Pero el resultado más sorprendente, desde nuestro punto de vista, es que el
polígono ABCD es un cuadrado y sus dimensiones coinciden con las del
cuadrado que delimita el claustro. Además, si la longitud de la fachada es a ,
entonces el lado del cuadrado es
a
.
5
Para un estudio más exhaustivo, se
puede consultar De la Fuente (2008).
Como, por otra parte, el número de oro es solución de la ecuación
b 2  ab  a 2  0 , siendo a y b las dimensiones del rectángulo; si hacemos a  1 ,
podemos escribir la conocida ecuación que cumple el número de oro,
 2    1  0 , o lo que es lo mismo  2    1 . Esta relación es la que caracteriza
al número áureo y expresa una de las características de la sucesión numérica
de las potencias de  :
1,  ,  2 ,...,  n ,...
Esta sucesión tiene propiedades multiplicativas ya que es una
progresión geométrica de razón  , por lo tanto expresa un crecimiento
exponencial, y también tiene propiedades aditivas, ya que cada término (desde
el tercero en adelante) es igual a la suma de los dos anteriores. Estas
propiedades las podemos escribir como:
 n   n1   n 2 , n  N
 n1  . n , n  N
Análogamente, si tomamos la relación  2    1 y dividimos a los dos
1
lados del signo igual por  , obtenemos   1  . Si volvemos a dividir esta

17
En su obra Dynamic Symmetry. University Press, 1920, Yale, pág 16-18.
relación por  , resulta que 1 
1
se cumple la igualdad:
numérica18 ....,
1

n
, ...,
1

2
,

1

n
1

1
 2

1

n 1
, y en general, podemos comprobar que

1
 n2
n  N . Por tanto, la sucesión
, 1,  ,  2 ,...,  n ,... tiene las mismas propiedades
aditivas y multiplicativas que la sucesión 1,  ,  2 ,...,  n ,...
Una de las tareas más interesantes que se pueden plantear es la
búsqueda del modelo de crecimiento áureo, el que sigue la sucesión de las
potencias del número de oro, en el edificio anterior. El resultado de todo ello lo
podemos ver en la figura siguiente, que representa una parte de la planta del
edificio:
1

1
1

1

2
3
Obtenemos cinco términos consecutivos de la sucesión de las potencias
del número áureo. Un buena cantidad si lo comparamos con el estudio de
Cook19 (1979), que al analizar el modelo de crecimiento de la Venus de Boticelli
encuentra también varias potencias sucesivas de la divina proporción.
Animamos a los profesores a que se planteen llevar a la práctica
procesos de estas características en clase de matemáticas.
Aunque no responde exactamente al concepto matemático de sucesión, la denominamos de
la misma forma.
19 En su obra The curves of life. Dover books, 1979. Nueva York. Primera edición en 1921.
18
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