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SOLUCIONES EJERCICIOS DE DINÁMICA 4º ESO. 1º. Sobre el cuerpo se ejercen 3 fuerzas distintas, por lo que debemos hallar la resultante de las fuerzas y a continuación aplicar la 1ª ley de Newton sobre el sistema. R = RX i + RY j ( a partir de aquí los vectores se escribirán en negrita). RX = F1X + F2X + F3X + Fx RY = F1Y + F2Y + F3Y + FY Como en el enunciado se dice que el cuerpo se mueve a velocidad constante, la aceleración del sistema será nula, y como dice la primera ley de Newton, la fuerza resultante sobre el sistema será 0. RX = 0 → 3 + 4 + 2 + FX = 0 → FX = -9 N por lo tanto F = ( - 9, - 4 ) N RY = 0 → 5 - 1 + 2 + F Y = 0 → F Y = - 4 N 2º. En este ejercicio hay dos tipos de movimientos. Durante los 3 primeros segundos hay una fuerza sobre el cuerpo por lo que habrá aceleración y el movimiento será rectilíneo uniformemente acelerado. A partir del tercer segundo no hay ninguna fuerza, por lo que el movimiento será uniforme. a) Se aplica la 2ª ley de Newton para hallar la aceleración: F = m·a → 8 = 2 · a → a = 4 m·s-2 Se aplica las ecuaciones de mrua para hallar la velocidad al cabo de los 3 segundos: v = v0 + a·t → v = 2 + 4·3 → v = 14 m·s-1 x = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → x = 0 + 2·3 + 0’5·4·32 → x = 24 m b) A partir del instante t = 3 segundos el cuerpo se mueve a velocidad constante. Aplicamos la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme a partir del tercer segundo. x = x0 + v·t → x(8) = x(3) + 14· (8-3) → x(8) = 94 metros c) Si la fuerza se aplica en sentido contrario habrá que cambiar el signo de ésta. Hallamos la aceleración aplicando la 2ª ley de Newton: F = m·a → - 8 = 2 · a → a = - 4 m·s-2. Aplicamos las ecuaciones del mrua. v(t) = v0 + a·t → v(3) = 2 – 4·3 → v(3) = - 10 m·s-1 x(t) = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → x(3) = 0 + 2·3 + 0’5·(- 4 )· 32 → x(3) = - 12 metros d) A partir del tercer Segundo es un mru. x(8) = x(3) + v(3)·(8-3) → x(8) = -62 metros 3º. Lo primero que se debe hacer es hacer un esquema donde se vean todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. N F FROZ Peso A continuación se halla la resultante de las fuerzas sobre el eje X y sobre el eje Y: RX = F - FROZ → Rx = m·a → F – FROZ = m·a RY = N – Peso → RY = 0 → N = peso → N = 10· 9’8 → N = 98 N Conociendo el valor de N podemos hallar el valor de la fuerza de rozamiento: FROZ = µ·N → FROZ = 0’1·98 → FROZ = 9’8 N Por lo que sustituyendo en la resultante de fuerzas en el eje X 20 – 9’8 = 10·a → a = 10’2/10 b) v = v0 + a·t v = 0 + 1’02 · 5 → → c) x = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → → a = 1’02 m·s-2 v = 5’1 m·s-1 x = 10 + 0·5 + 0’5·1’02·52 x = 22’75 m → 4º. Se dibuja en primer lugar el esquema de fuerzas N F FROZ Peso A continuación se halla la resultante de las fuerzas sobre el eje X e Y. RX = F – FROZ → RX = m·a → F – FROZ = m·a RY = N – Peso → RY = 0 → N = Peso → N = 5 · 9’8 →N = 49 N Conociendo el valor de N y el coeficiente de rozamiento se puede hallar el valor de la fuerza de rozamiento: FROZ = µ·N → FROZ = 0’2·49 → FROZ = 9’8 N Como se mueve a velocidad constante, la aceleración será igual a 0, por lo que RX será nula: F – FROZ = 0 → F – 9’8 = 0 → F = 9’8 N 5º. En primer lugar se descomponen todas las fuerzas en sus coordenadas en los ejes X e Y. F1X = 10.cos30º → F1X = 8’66 N F1Y = 10.sen30º → F1X = 5 N F2X = 5.cos- 30º → F2X = 4’33 N F2Y = 5.sen -30º → F2Y = - 2’5 N F3X = 8.cos130º → F3X = - 5’14 N F3Y = 8.sen 130º → F3Y = 6’13 N F4X = 7 N a) Para hallar la reacción del suelo contra el cuerpo se debe hallar en primer lugar la resultante de las fuerzas en el eje Y. RY = F1Y + F2Y + F3Y – Peso + N → RY = 0, por lo tanto: 0 = 5 – 2’5 + 6’13 – 49 + N → b) FROZ = µ · N → N = 40’37 N FROZ = 0’25 · 40’37 c) RX = F1X + F2x + F3X + F4X - FROZ → FROZ =10’09 N → RX = 8’66 + 4’33 – 5’14 + 7 – 10’09 → d) RX = m·a → 4’76 = 5 · a → a = 4’76/5 → RX = 4’76 N a = 0’95 m·s-2 e) vMEDIA = (x(5) – x(0))/5 Hay que hallar las posiciones en los instantes t= 0 y t = 5. x(0) = 0; x(5) = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → x(5) = 0 + 0·5 + 0’5· 0’95 · 52 → x(5) = 11’88 vMEDIA = 11’88 / 5 → vMEDIA = 2’38 m·s-1 f) Hallado en el apartado anterior. 6º. En primer lugar se transforma los km/h en m/s Se aplican las ecuaciones del mrua: v = v0 + a·t → 0 = 33’33 + a·10 → a = - 3’33 m·s-2 b) Se aplica la segunda ley de Newton: F = m·a → F = 100·(3’33) → F =- 333’33 N c) Se aplica la ecuación de posición en el mrua x = x0 +v0·t + 0’5·a·t2 x = 0 + 33’33·10 + 0’5·(-3’33)·102 → x = 166’67 m 7º. a) En primer lugar se dibujan todas las fuerzas y se descomponen en los ejes X e Y. 45º 30º T2Y T1 T1Y T2 T1X T2X T T 20 N a) Peso = m·g → 20 = 9’8·m → m = 20/9’8 → m = 2’04 kg b) El sistema está en equilibrio, por lo que la fuerza total es nula. Por lo tanto, la resultante en x y en y deben ser nulas: RX = T2X – T1X → T2·cos 30º - T1·cos 45º = 0 RY = T1Y + T2Y – T → T1·sen 45º + T2·sen30º - T = 0 Sobre el cuerpo → T – 20 = 0 → T = 20 N 0’866 T2 – 0’707T1 = 0 0’866T2 – 0’707T1 + 0’707T1 + 0’5T2 – 20 = 0 → 1’366T2 = 20 0’707 T1 + 0’5T2 – 20 = 0 T2 = 14’64 N 0’866·14’64 – 0’707 T1 = 0 → 12’68 = 0’707 T1 → T1 = 17’93 N 8º. Dibujamos el sistema y colocamos las fuerzas que actúan sobre él. N1 N2 m2 = 2 kg FROZ2 T µ2 = 0’2 P2 T m1 = 3 kg FROZ1 F F µ1 = 0’1 P1 R1X = F – T - FROZ1 → F – T – FROZ1 = m1·a R1Y = N1 – P1 → N1 = P1 → N1 = 3·9’8 → N1 = 29’4 N R2X = T – FROZ2 → T – FROZ2 = m2·a R2Y = N2 – P2 → N2 = P2 → N2 = 2 ·9’8 →N2 = 19’6 N Se puede hallar FROZ1 y FROZ2; FROZ1 = µ1·N1 → FROZ1 = 0’1·29’4 →FROZ1 = 2’94 N; FROZ2 = µ2·N2 →FROZ2 = 0’2·19’6 → FROZ2 = 3’92 N Como en el enunciado se dice que se debe mover a velocidad constante, la aceleración del sistema debe ser nula. Por lo tanto: F – T – FROZ1 = 0 → F – T – 2’94 = 0 T – FROZ2 = 0 → T – 3’92 = 0 → T = 3’92 N Sustituyendo en la ecuación de arriba: F – 3’92 – 2’94 = 0 → F = 6’86 N Para que se mueva a una aceleración de 1 m·s-2, debemos sustituir ese valor en la ecuación de la resultante en el eje X. F – T – FROZ1 = 3·1 → F – T – 2’94 = 3 T – FROZ2 = 2·1 → T – 3’92 = 2 → T = 5’92 N Sustituyendo en la ecuación de arriba: F – 5’92 – 2’94 = 3 → T = 11’86 N