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11.1 Introducción
A finales del siglo XIX parecía que la Física había conseguido la explicación definitiva
de los fenómenos naturales. Las leyes de la mecánica de Newton y las leyes de Maxwell
del electromagnetismo parecían suficientes para explicar todos los fenómenos físicos
conocidos. Se tenía una imagen del Universo que parecía concluyente: las leyes de
Newton rigen el movimiento de los cuerpos, la luz tiene naturaleza ondulatoria y la
materia está compuesta por partículas. Sin embargo, en los últimos años del siglo XIX y
en los primeros del siglo XX se produce una serie de descubrimientos que ponen de
manifiesto la insuficiencia de las leyes de la Física Clásica cuando se aplican al
microcosmos o al macrocosmos, al átomo o al Universo.
En el tema 13 veremos que cuando la velocidad de una partícula se aproxima a la de la
luz, la Mecánica Newtoniana se deberá sustituir por la Teoría Especial de la
Relatividad, aunque ésta se simplifica en aquella cuando las velocidades son pequeñas.
En este tema veremos que las leyes de la Física Clásica tampoco son válidas cuando se
aplican a sistemas microscópicos como el átomo y hay que sustituirlas por la Teoría
Cuántica.
Tres hechos fundamentales obligan a revisar las leyes de la Física Clásica y propician el
nacimiento de la Física Cuántica: la radiación térmica del cuerpo negro, el efecto
fotoeléctrico y el carácter discontinuo de los espectros atómicos.
11.2 La radiación térmica del cuerpo negro
Cualquier cuerpo cuando se caliente irradia energía. Al calentar una barra de hierro a
temperaturas sucesivamente más altas, su aspecto exterior cambia. Cuando la
temperatura es relativamente baja emite energía, pero no se observa la radiación que
emite (infrarrojo). A medida que su temperatura aumenta, la radiación emitida se hace
visible: primero emite luz de color rojo, luego el rojo se hace más amarillo, y finalmente
el color es rojo-blanco si la temperatura es suficientemente alta. El mismo
comportamiento podría observarse con el filamento de una bombilla o con un trozo de
carbón. El color con el que brillan los cuerpos, de cualquier material, depende de su
temperatura.
Def.: se denomina radiación térmica a la energía electromagnética que emite un
cuerpo debido a su temperatura.
Esta radiación térmica varía tanto con la temperatura como con la composición del
cuerpo. Existe, sin embargo, un conjunto de cuerpos cuya radiación térmica depende
sólo de su temperatura. Se denominan cuerpos negros.
Def.: se conoce como cuerpo negro, a aquel que es capaz de absorber todas las
radiaciones que llegan a él y, por tanto, de emitir todas las longitudes de onda.
Aunque no se conoce ningún cuerpo que se comporte
rigurosamente como negro, se puede considerar como tal
cualquier material resistente al calor que contenga una cavidad,
con paredes rugosas y muy absorbentes, comunicada con el
exterior por un pequeño orificio. La radiación que penetre por el
orificio quedará absorbida en la cavidad, directamente o tras
varias reflexiones en las paredes interiores. No debemos
Cuerpo negro
2
confundir el concepto de cuerpo negro con su color. El cuerpo negro, como todos los
cuerpos, adquiere color rojo, amarillo, incluso rojo-blanco al calentarse.
La radiación del cuerpo negro presenta las siguientes características:

La potencia total P emitida a la temperatura T por una superficie S cumple la ley
de Stefan-Boltzmann:
P =  · T4 · S

: constante de Stefan-Boltzmann
 = 5.6703 · 10 – 8 W · m – 2 · K – 4
La longitud de onda max para la que se produce mayor emisión de energía es
inversamente proporcional a la temperatura T, según la ley del desplazamiento
de Wien:
max T = 2.897755 · 10 – 3 m · K
Esta ley permite determinar la temperatura de la superficie de las estrellas o la
del filamento de una bombilla y los cambios de color que experimenta una barra
de hierro, en función de su temperatura.
En la gráfica se muestra la intensidad de energía radiada por metro cuadrado y por
segundo en función de la longitud
de
onda
para
distintas
temperaturas. Se cumple la ley de
Wien: al disminuir la temperatura,
el máximo de la intensidad emitida
se desplaza hacia longitudes de
onda mayores.
Estos resultados experimentales están en contradicción con la Teoría Clásica de la
Radiación. En junio de 1900, Lord Rayleigh y su ayudante James Jeans aplican a la
radiación del cuerpo negro la idea de que la distribución de energía obtenida respecto a
la frecuencia f, pera una temperatura dada, es consecuencia de los distintos estados de
vibración de las partículas microscópicas (osciladores) que forman el cuerpo negro.
Dado que el espectro de energía obtenido es continuo, Rayleigh y Jeans piensan que la
energía de cada uno de los osciladores puede tomar cualquier valor entre cero e infinito
y obtienen la siguiente ecuación:
 ( ) 
8
k ·T
c · 2
3
Según esta teoría, la intensidad de la radiación
debería aumentar de forma continua al disminuir
la longitud de onda, de tal forma que en la zona
ultravioleta, correspondiente a la parte izquierda
de la gráfica, la intensidad debería tender a
infinito. Esta contradicción recibe el nombre de
catástrofe ultravioleta.
Catástrofe ultravioleta
En diciembre de 1900, el físico alemán Max Planck hace una revolucionaria suposición,
que resuelve el problema de la distribución espectral de la energía de la radiación
térmica:

Los átomos que emiten la radiación se comportan como osciladores armónicos.

Cada oscilador absorbe o emite energía de la radiación en una cantidad que no es
continua, sino que es múltiplo de una cantidad elemental E0 = h · f, donde h es
una constante universal llamada constante de Planck y tiene el valor
6.63 · 10 – 34 Js.
Según la hipótesis de Planck, la energía está cuantizada, que quiere decir que puede
tomar valores discretos (no continuos), siendo emitida por los osciladores en forma de
“paquetes”, que son múltiplos enteros de la cantidad elemental E0 (cuanto de energía)
De esta forma se obtiene la ley de distribución espectral de la radiación del cuerpo
negro de Planck:
( ) 
8hc
5
1
e
hc
kT
1
Esta expresión sí se corresponde con la distribución de energías observadas
experimentalmente. De hecho, si derivamos esta expresión para obtener la longitud de
onda máxima para la radiación, obtenemos la ley del desplazamiento de Wien.
Ejercicios
1. Calcula los tres primeros cuantos de energía correspondiente a un oscilador que
emite radiación en una longitud de onda en el vacío de 650 nm.
2. Un átomo de masa 1.99 · 10 – 26 kg oscila linealmente con una frecuencia propia de
4.84 · 1014 Hz.
a) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?
b) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?
4
11.3 El efecto fotoeléctrico (EFE)
A finales del siglo XIX una serie de experimentos puso de manifiesto que la superficie
de un metal emite electrones cuando incide sobre él luz de frecuencia suficientemente
elevada (generalmente luz ultravioleta, excepto con los metales alcalinos). Este
fenómeno se conoce como efecto fotoeléctrico.
La luz de una sola frecuencia entra en una cámara de vacío. Cuando la luz incide sobre
la superficie metálica del cátodo se
emiten electrones y algunos de ellos
inciden sobre la segunda placa metálica,
dando lugar a una corriente eléctrica
entre las placas. La diferencia de
potencial favorece el que los electrones
arrancados de la primera placa metálica
lleguen hasta la segunda. Por medio del
potenciómetro iremos reduciendo el
potencial acelerador, incluso llegaremos
a invertir la polaridad, convirtiéndolo en
un potencial de frenado. La segunda
Esquema del experimento del EFE
placa tendrá un potencial inferior a la
primera, de modo que repelerá los electrones emitidos. Sólo aquellos más energéticos
alcanzarán la segunda placa. El amperímetro nos permite leer la intensidad de la
fotocorriente en función del potencial establecido, es decir, la cantidad de electrones que
son capaces de remontar el potencial de frenado por unidad de tiempo. La energía
cinética máxima de los electrones se mide aumentando lentamente el voltaje de frenado
hasta que la fotocorriente se hace cero. En ese momento podemos decir que la energía
cinética máxima coincide con la energía necesaria para superar el campo eléctrico.
e · VFR = ½ · m v2max
De este experimento se obtienen los siguientes resultados:
1º No se observa, dentro del error experimental, retraso alguno entre la
incidencia de la luz en la placa metálica y la emisión de los electrones; es
decir, el EFE es instantáneo.
2º Existe una frecuencia umbral (f0), para cada metal,
por debajo de la cual no existe emisión de
electrones.
3º La energía cinética máxima de los electrones
emitidos varía linealmente con la frecuencia de la
luz incidente. La nube de puntos experimentales se
ajusta muy bien a una recta de ecuación
ECIN max = e · VFR = hf - hf0.
Gráfica V-f
5
4º La distribución de energía de los fotoelectrones no
depende de la intensidad de la luz. Es decir, podrán
liberarse del metal más o menos electrones y
producir una corriente eléctrica de mayor o menor
intensidad, pero el espectro de energías de los
electrones no varía, con tal de que se ilumine con luz
de la misma frecuencia.
Gráfica I-V
Existen 3 hechos inexplicables:
1º Una onda aporta energía de forma continua y acumulativa. La energía
depende de la frecuencia, pero con dejar transcurrir más tiempo, los
electrones acumularían suficiente energía como para ionizar el átomo. No se
explica la necesidad de que f > f0.
2º En la línea del razonamiento anterior, no se entiende la instantaneidad: la luz
menos intensa necesitaría más tiempo que implicaría un retraso al observar el
EFE.
3º ¿Por qué son más energéticos los electrones arrancados por luz UV tenue que
por IR intensa?
Planck había supuesto que la radiación em se emitía de forma discontinua, pero
consideraba que se propagaba de forma continua, como establecía la Física Clásica.
Einstein va más allá y establece en 1905 que:

La radiación no solo se emite en forma discreta, sino que se propaga y es
absorbida de la misma manera.

Cuando un cuanto de radiación (fotón) de energía E = hf choca con un
electrón de un metal, es absorbido y, si su energía es suficiente, puede
arrancar el electrón del metal.
Einstein propuso que la energía no está distribuida uniformemente sobre el frente de
onda, sino que se concentra en pequeños paquetes: fotones. No sólo está cuantizada la
energía de los osciladores de Planck, también lo está la energía de una onda
electromagnética.
Según Einstein, toda la energía de un fotón se transmite a un electrón del metal y,
cuando éste salta de la superficie metálica, posee energía cinética, cumpliéndose las
siguientes ecuaciones:
Efotón = h · f = W0 + ECIN = W0 + ½ me · v2max
W0 es la energía mínima que el electrón necesita para escapar de la superficie del metal.
Se suele denominar trabajo de extracción o función de trabajo de la superficie.
Energía del fotón = trabajo de extracción + energía cinética máxima del electrón
6
Si la energía del fotón es menor que el trabajo de extracción, es decir, si la frecuencia es
inferior a la frecuencia umbral (E = h · f < W0 = h · f0), el electrón no escapa, no se
produce el EFE.
Si la energía del fotón es mayor que el trabajo de extracción, el electrón escapa del
metal con una determinada velocidad, con una energía sobrante que se transforma en
energía cinética:
1
1 

ECINmax = ½ me · v2max = E – W0 = h · f – h · f0 = h · c ·  


0 

La frecuencia umbral es distinta para cada material metálico y depende en gran medida
del estado de la superficie metálica (grado de limpieza, de oxidación, etc.).
Al aumentar la intensidad de la radiación aumenta el número de fotones que llega a la
superficie metálica, aumento el número de electrones liberados y, por tanto, aumenta la
intensidad de la corriente fotoeléctrica.
Explicación esquemática
1º Un fotón choca con un electrón del metal, si su energía es mayor que el
trabajo de extracción (hf > hf0) se libera un electrón, en caso contrario el
electrón oscila y reemite la energía del fotón. Así se explica la instantaneidad
y la frecuencia umbral.
2º La energía cinética extra
ECIN max = ½ me v2max = hf – hf0
(Ecuación fotoeléctrica de Eistein)
es la que le queda al electrón. Equivale a la energía que transmitía el fotón
menos la energía que pierde para provocar la extracción del electrón.
3º Si la luz es más intensa llegan más fotones al metal
por unidad de tiempo  el número de electrones
liberado por tiempo aumenta  mayor será la
corriente, pero la distribución sigue siendo la
misma.
4º La energía cinética máxima se obtiene con la
tensión de frenado: e·VFR = ½ mv2. La energía
cinética máxima corresponderá a los electrones
que con más facilidad se puedan extraer (los
exteriores), porque en ellos invertirá el fotón
menos energía, quedándole más energía
cinética de sobra.
7
Ejercicios
1. Se hacen incidir sobre una placa metálica rayos UV de 300 nm. Si la longitud de
onda umbral es de 360 nm, calcula:
a) la energía máxima de los fotoelectrones emitidos.
b) la función trabajo del metal.
c) el potencial eléctrico que hay que aplicar para frenarlos.
2. Un haz de luz monocromática de 6.5 · 1014 Hz ilumina una superficie metálica que
emite electrones con una energía cinética de 1.3 · 10 – 19 J. ¿Cuál es el trabajo de
extracción del metal? ¿Cuál es la frecuencia umbral?
11.4 El efecto Compton
El efecto Compton fue descubierto por el físico norteamericano A. H. Compton en
1924. En un experimento en el que se hacían incidir rayos X de una longitud de onda 
determinada, sobre un cuerpo con electrones
débilmente ligados (grafito). Compton
observó que, además de la radiación
dispersada, de la misma longitud de onda,
aparecía otra radiación secundaria, de
diferente longitud de onda ´. Esta longitud de
onda ´ era siempre mayor que la longitud de
onda  de la radiación incidente. ´ dependía,
únicamente, de la longitud de onda de la
radiación incidente  y del ángulo que
formaban los rayos incidente y emergente.
El efecto Compton
El efecto Compton puede justificarse si se considera un choque entre el fotón incidente
y un electrón. El fotón emergente tiene una longitud de onda mayor, lo que equivale a
una energía menor, pues ha entregado parte de su energía original al electrón que ahora
se mueve con velocidad v. Tanto el EFE como el efecto Compton volvían a superar la
teoría ondulatoria clásica y hubo que volver a considerar, para la radiación em, un
comportamiento corpuscular. En realidad, hoy en día sabemos que no existe
contradicción alguna y se admite que la luz tiene un doble comportamiento, ondulatorio
y corpuscular, adoptando uno u otro según el fenómeno considerado.
8
11.5 Espectros discontinuos: cuantización de la energía de los átomos
Al suministrarles energía, los átomos en estado gaseoso emiten radiación em. Parte de
dicha radiación em está dentro del espectro visible. Si se analiza la radiación emitida
con un espectroscopio, se obtiene un espectro discontinuo formado por una serie de
rayas que corresponden a las diferentes longitudes de onda que integran la radiación
analizada.
Los átomos no emiten ni absorben energía en cualquier frecuencia, sólo lo hacen en
unas determinadas frecuencias y siempre las mismas, lo que viene a confirmar la
naturaleza discontinua de la energía en los átomos. Los espectros atómicos son muy
complejos ya que contienen un número muy elevado de rayas.
En el espectro de hidrógeno se conocen cinco
series de rayas, en las que la longitud de onda,
para cada raya, se calcula mediante la siguiente
fórmula, conocida como fórmula de Rydberg y
obtenida de manera empírica:
1
1 
 1
 RH 2  2 

n 
m
Series del espectro de hidrógeno
Rydberg = 1.096776 · 107 m – 1
Donde m es el número natural que indica la serie y n es un
número natural mayor que m que indica la línea dentro de la
serie.

Serie de Lyman:

Serie de Balmer:

Serie de Paschen:


Serie de Brackett:
Serie de Pfund:
m = 1, n = 2, 3, 4, ...
(zona ultravioleta)
m = 2, n = 3, 4, 5, ...
(zona visible)
m = 3, n = 4, 5, 6, ...
(zona infrarrojo)
m = 4, n = 5, 6, 7, ...
m = 5, n = 6, 7, 8, ...
9
RH
:
constante de
Ejercicio
1. La serie espectral más conocida del espectro de emisión del átomo de hidrógeno es la
denominada serie de Balmer (m = 2), perteneciente al espectro visible. Calcula las
longitudes de onda de la segunda y cuarta línea de dicha serie a partir de la fórmula
de Rydberg y asigna el color que corresponda a cada línea.
11.5.1 Modelo atómico de Bohr
Una de las aplicaciones más destacables de la cuantización de la energía fue llevada a
cabo por el físico danés Niels Bohr. Estudió el modelo atómico del hidrógeno propuesto
por Rutherford y lo comparó con el espectro atómico de este elemento. Propuso un
modelo del átomo de hidrógeno que tuvo un éxito espectacular al calcular las longitudes
de onda de las rayas de su espectro e incluso predecir la existencia de nuevas rayas en la
región infrarroja y ultravioleta, que posteriormente fueron descubiertas por los
espectroscopistas. Aplicó las ideas cuánticas a la interpretación de los espectros
atómicos y a la estructura atómica del hidrógeno.

El electrón del átomo de hidrógeno gira alrededor del núcleo describiendo
órbitas circulares. Pero el electrón no puede girar en cualquier órbita, sólo puede
hacerlo en aquellas con un determinado radio y una determinada energía. Las
órbitas se caracterizan por tener el momento angular cuantizado:
Ln = m · v · r = n · ħ = n ·
h
2
n es un número entero y se conoce como número cuántico principal; vale 1
para la primera órbita, 2 para la segunda, etc. El estado de energía más baja
(n = 1) se conoce como estado fundamental, mientras que los demás estados
(n > 1) son excitados.

Cuando el electrón se mueve en una órbita determinada no radia energía, sólo lo
hace cuando cambia de órbita. Si pasa de una órbita externa a otra más interna,
emite energía y la absorbe cuando
pasa de una órbita interna a otra
más externa. La energía y
frecuencia de radiación es igual a
la diferencia de energías entre las
órbitas
de
la
transición:
Efotón = h · f = E. Esta
cuantización de la energía justifica
que las líneas espectrales estén
separadas, es decir, que el espectro
sea discreto.
El modelo atómico de Bohr sólo resultó válido para el átomo de hidrógeno y los átomos
hidrogenoides (He+, Li 2+, ...). No permitía explicar espectros más complejos como el
del mercurio, ni tampoco explicaba el desdoblamiento de las líneas espectrales que
aparecían al someter los átomos a un campo magnético externo.
10
11.6 Mecánica cuántica
En la teoría de Bohr, se mezclaban ideas clásicas con otras cuánticas y algunas estaban
en contradicción con la teoría electromagnética. Estas circunstancias hicieron que los
físicos teóricos intentasen encontrar nuevos caminos para explicar la estructura de los
átomos. Esto no se logró hasta que se desarrolló la nueva mecánica, la Mecánica
Cuántica.
En 1926, Erwin Schrödinger, basándose en el concepto de
dualidad onda-partícula enunciado por De Broglie en 1924,
publica un artículo en la revista alemana “Annalen der Physik”
en el que formula la Mecánica Ondulatoria. Incorpora la
ecuación que lleva su nombre, que es aplicable al movimiento
de partículas en cualquier campo de fuerzas y, cuando se aplica
al átomo de hidrógeno, confirma los resultados de la teoría de
Bohr. Además puede aplicarse a todos los sistemas físicos,
incluyendo átomos, moléculas y objetos macroscópicos.
Schrödinger
El interior del átomo no se describe mediante órbitas
electrónicas circulares, sino mediante funciones de onda  que envuelven a los núcleos
atómicos. Dichas funciones son soluciones de la ecuación de Schrödinger de un sistema
cuántico, poseen toda la información que es posible conocer del sistema, describen su
evolución en el tiempo y en el espacio y su cuadrado absoluto es proporcional a la
probabilidad de encontrar la partícula en la posición x y en un instante t.
En el mismo año, Werner von Heisenberg publica un artículo sobre
la teoría cuántica en la revista alemana “Zeitschrift de Physik”. Su
idea fundamental es que las magnitudes mecánicas, como la
posición, velocidad, energía, etc. se representan mediante matrices,
y las funciones de ondas se sustituyen por vectores integrados en
un espacio adecuado (espacio de Hilbert), desarrollando una teoría,
la Mecánica Cuántica Matricial, que describe correctamente todos
los fenómenos cuánticos conocidos.
Las dos mecánicas, la ondulatoria y la matricial, llegan por
Heisenberg
caminos distintos a las mismas conclusiones, y ambas exigen para su estudio y
comprensión un cambio de mentalidad. La Física Clásica y la Física Cuántica son dos
concepciones diferentes de los fenómenos naturales.

La Física Clásica se fundamenta en el determinismo y la causalidad. Según el
principio del determinismo, se puede determinar cualquier fenómeno en función
de ciertas leyes. De acuerdo al principio de causalidad, todo fenómeno se debe a
una causa concreta.

La Física Cuántica introduce el concepto de probabilidad, porque es imposible
conocer con exactitud el estado en que se encuentra un sistema. Sustituye el
determinismo de la Física Clásica por un tratamiento estadístico, probabilístico,
de los hechos, y el principio de causalidad por el azar. Einstein nunca aceptó la
interpretación de la Mecánica Cuántica, que según él no era sino la expresión de
la carencia de conocimientos necesarios. Es famosa la frase que dirigió a Bohr,
que sí defendía la nueva mecánica: “ Tú crees en un Dios que juega a los dados
11
y yo en la ley y el orden, en un mundo que existe objetivamente y que intento
captar. Dios no juega a los dados con el Universo”.
Las leyes de la Física Clásica son formas límites de las leyes de la Física Cuántica, que
son más generales y más fundamentales. La Mecánica Cuántica conduce a la Clásica
cuando se aplica a sistemas de dimensiones ordinarias. Se cumplen para los objetos
ordinarios, porque éstos contienen tantos átomos que no se pueden observar las
desviaciones del comportamiento más probable
11.6.1 La hipótesis de De Broglie: la dualidad onda-corpúsculo de la materia
Hemos visto que la luz tiene una doble naturaleza, en ocasiones se comporta como una
onda y en otras como si fuera estuviera formada por partículas. En 1924, Louis De
Broglie extendió el carácter dual de la luz a los electrones, protones, neutrones, átomos,
moléculas y, en general, a todas las partículas materiales. Basándose en consideraciones
relativistas y en la teoría cuántica pensó que si la luz se comporta como una onda y
como partícula, también la materia debía tener este carácter dual. Según la hipótesis de
De Broglie, la energía (tanto de la materia como de la radiación) se relaciona con la
frecuencia mediante la expresión:
E=h·f
Y el momento lineal p con la longitud de onda:
m · c2 E h · f h
p=m·c=

 

c
c
c


h
h

p m ·v
Cuanto mayor es el momento lineal, menor es la longitud de onda. Para los cuerpos
ordinarios, la longitud de onda es tan pequeña que no se observa la naturaleza
ondulatoria. En cambio, cuando se trata de cuerpos muy pequeños, la longitud de onda
es apreciable.
Esta propuesta fue considerada inicialmente como carente de
realidad física por su falta de evidencias experimentales, sin
embargo, en 1927 los físicos norteamericanos Davisson y
Germer la comprobaron experimentalmente después de
haber observado la difracción de electrones de forma casual.
También se observó posteriormente el experimento de la
doble rendija para electrones.
Doble rendija con electrones
Ejercicios
1. Calcula la longitud de onda asociada a un electrón que posee una energía cinética de
150 eV. (me = 9.1 · 10 – 31 kg).
2. Davisson y Germer difractaron un haz de electrones acelerados por un potencial de
54 eV. Calcula:
a) la frecuencia de la onda asociada.
b) el valor de la longitud de onda de De Broglie que observaron.
12
11.6.2 El Principio de Indeterminación de Heisenberg
Una consecuencia importante de la dualidad onda-partícula en la Naturaleza es el
Principio de Incertidumbre o, mejor, Principio de Indeterminación, el cual establece
que es imposible medir simultáneamente la posición y el momento lineal de una
partícula con una precisión ilimitada. Una forma usual de medir la posición de un objeto
es observar mediante la luz. Al hacer esto, la luz se dispersa en el objeto y
determinamos su posición por la dirección de la luz dispersada. Si utilizamos luz de
longitud de onda , podemos medir la posición x sólo hasta una incertidumbre x del
orden de  debido a los efectos de la difracción:
x  
Para reducir la incertidumbre en la posición podemos, por lo tanto, utilizar luz de
longitud de onda muy corta, incluso quizás rayos X. En principio no hay límite en la
exactitud de la medida de la posición, ya que no hay límite inferior de la longitud de
onda .
Si conocemos la masa de un objeto, podemos determinar su momento lineal px
midiendo su posición en dos instantes próximos y calculando su velocidad. Si
utilizamos la luz de longitud de onda , los fotones tienen un momento lineal. Cuando
estos fotones se dispersan por el objeto en estudio, el momento lineal de éste se
modifica por la dispersión de un modo incontrolable. La incertidumbre en la medida del
momento lineal px del objeto introducido al intentar observarlo, es del orden de h/:
p x 
h

Cuando la longitud de onda es pequeña, el momento lineal del fotón es grande y la
medida de px tendrá una gran incertidumbre. Esta incertidumbre no puede eliminarse
reduciendo la intensidad de la luz, esto sólo disminuiría el número de fotones del haz.
Por lo tanto, la incertidumbre en la medida del momento lineal de la partícula será
grande si  es pequeña y la incertidumbre en la medida de la posición del objeto será
grande si  es grande.
El producto de las incertidumbres intrínsecas en posición y momento lineal es
x ·p x   ·
h
h

Si definimos con mayor precisión probabilística lo que se entiende por incertidumbres
en las medidas, se puede dar un enunciado de mayor exactitud del Principio de
Incertidumbre. Si x y p se definen como las desviaciones estándares en las medidas
de posición y momento lineal, puede demostrarse que su producto cumple la relación:
1
h
· 
2
4
En la práctica, los errores en las medidas experimentales son usualmente mucho
mayores que el límite intrínseco inferior que limita los resultados de la dualidad ondapartícula.
x ·p x 
13
EJERCICIOS
1. El Sol puede considerarse como un cuerpo negro ideal. Se sabe que por segundo
irradia una energía de 5.013 · 1026 J; o, lo que es lo mismo, una potencia de
5.013 · 1026 W.
a) ¿Qué potencia irradia por cada m2 de superficie solar?
b) ¿Cuál es la temperatura media del Sol?
Dato: RSol = 6.9 · 108 m.
2. Supuesta como verdadera la respuesta del ejercicio anterior como temperatura media
para el Sol, T = 6199.8 K, ¿cuál será la frecuencia de la radiación más abundante en
el espectro solar?
3. La temperatura de un cuerpo negro es de 2000 K.
a) ¿Cuál es la longitud de onda a la que corresponde el máximo poder emisivo?
b) ¿Qué energía, en eV, poseen los cuantos correspondientes a dicha radiación?
4. Un gramo de hielo cae desde 1 m de altura. Hagamos la suposición que toda su
energía se convierte en luz de 5000 Ǻ de longitud de onda. ¿Cuántos fotones emitirá
ese gramo de hielo al caer?
5. La energía mínima necesaria para arrancar un electrón de una lámina de sodio es
2.93 · 10 – 19 J. ¿Cuál es la frecuencia umbral del sodio?
6. Calcula con qué velocidad saldrán emitidos los electrones de una superficie metálica
sabiendo que la longitud de onda umbral es 6000 Ǻ y que se ilumina con luz de
4000 Ǻ de longitud de onda.
7. ¿Qué energía poseen los electrones arrancados al aluminio por una luz de frecuencia
8 · 1014 Hz si la frecuencia umbral del aluminio es de 6 · 1014 Hz?
8. Para extraer un electrón de una lámina de cierto metal se precisa una energía de
4.2 eV. ¿Con qué energía saldrán emitidos los electrones si ese metal se ilumina con
luz de 2 · 10 – 7 m de longitud de onda?
9. Una radiación monocromática, de frecuencia 7.5 · 1014 Hz, incide sobre una lámina
de potasio. La longitud de onda umbral del potasio es 0.55 micras. Calcula:
a) la energía mínima que se precisa para extraer un electrón.
b) la energía que adquiere ese electrón.
c) la longitud de onda asociada a ese electrón.
10. Una superficie de cierto metal emite electrones cuya energía cinética equivale a
3 eV cuando se la ilumina con luz monocromática de 1500 Ǻ de longitud de onda
¿Cuál es el valor de la frecuencia umbral de ese metal?
11. La longitud de onda umbral correspondiente a cierto metal es 3000 Ǻ. Calcula:
a) el trabajo de extracción de dicho metal.
b) la velocidad de los fotoelectrones emitidos cuando incide sobre él luz de 2000 Ǻ
de longitud de onda.
12. Una radiación de 546 nm de longitud de onda penetra en una célula fotoeléctrica de
cátodo de cesio. Si la energía de extracción en el cesio es de 2 eV, calcula:
a) la longitud de onda umbral del cesio.
b) la energía cinética y velocidad de los electrones emitidos.
c) la velocidad con que llegan los electrones al ánodo, si se aplica una diferencia de
potencial igual a 100 V.
13. El trabajo de extracción del litio es de 3.7 · 10 – 19 J. Al iluminar el litio con luz de
6.3 · 1014 Hz se emiten electrones, con lo que la placa de metal se carga con un
potencial cada vez mayor. Calcula:
a) la longitud de onda umbral.
b) el potencial de frenado para que cese la fotocorriente de electrones.
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14. En un experimento fotoeléctrico se iluminó la placa metálica con una radiación
1 = 521.8 nm dando un potencial de detención de 0.596 V, mientras que al
iluminarla con una radiación de 2 = 656.6 nm, el potencial de detención era de
0.108 V. Calcula:
a) la función trabajo del metal.
b) la frecuencia umbral.
c) la velocidad máxima de los fotoelectrones.
15. Determina la longitud de onda de la línea espectral correspondiente a la transición
del átomo de hidrógeno desde el nivel n = 6 al m = 3. ¿A qué serie pertenece?
16. Una línea de la serie de Balmer tiene una longitud de onda de 437 nm. Calcula el
valor de n que corresponde a la transición electrónica que origina esa línea.
17. Calcula la longitud de onda de un electrón que se ha puesto en movimiento
mediante la aplicación de un campo eléctrico de 1000 V.
18. Calcula la longitud de onda de la onda asociada a un electrón (me = 9.1 · 10 – 31 kg)
que se mueve a 5000 km/s. ¿Qué se te ocurre comentar del resultado?
19. Calcula la longitud de onda asociada a una pelota, de 120 g de masa, que se mueve
a una velocidad de 220 m/s. ¿Qué se puede decir de esa onda asociada a la pelota?
20. Calcula la longitud de onda de la onda asociada a un electrón acelerado en un
campo eléctrico por una diferencia de potencial de 54 V.
EJERCICIOS DE TEORÍA
21. Define el término cuerpo negro y di si un cuero negro siempre se ve negro.
22. Cita y describe un hecho experimental que demuestre la existencia de los fotones.
23. Enuncia los postulados del modelo atómico de Bohr. ¿está en reposo un electrón
que se encuentra en un estado estacionario?
24. Si se triplica la frecuencia de la radiación incidente sobre un metal, ¿puede
afirmarse que se triplicará la energía cinética de los fotoelectrones?
25. Un metal emite electrones al ser iluminado con luz verde, pero no emite electrones
si se ilumina con luz amarilla. ¿Emitirá electrones si la luz es naranja? ¿Y si es
azul? Justifica tu respuesta.
26. Explica las diferencias fundamentales que se dan entre el concepto de órbita y el de
orbital.
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CUESTIONES TEÓRICAS DE LAS PRUEBAS PAU (desde 2003)
27. Explica en qué consiste el efecto fotoeléctrico. ¿Cuáles fueron las principales
observaciones que no pudo explicar la Física Clásica? Enuncia los postulados de
Einstein para explicar dicho efecto (junio de 2006).
28. Explica en qué consiste el efecto fotoeléctrico así como cuáles fueron las
principales observaciones que no pudo explicar la Física Clásica. Finalmente,
enuncia los postulados de Eistein para explicar el efecto fotoeléctrico (septiembre
de 2005).
29. Define el trabajo de extracción de los electrones emitidos por un metal cuando
sobre su superficie incide radiación electromagnética. Explica de qué magnitudes
depende la energía máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico
(junio de 2005).
30. Calcula las longitudes de onda de De Broglie asociadas a una pelota de golf de 100
g de masa que se mueve a una velocidad de 100 m/s y a un electrón que se mueve a
100 m/s. Compara ambos resultados. Datos: h 0 6.63 · 10 – 34 Js; me = 9.1 · 10 – 31
kg (septiembre de 2004).
31. Define el trabajo de extracción de los electrones emitidos por un metal cuando
incide radiación electromagnética sobre éste. Explica de qué magnitudes depende la
energía máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico (septiembre de
2003).
30. Calcula la longitud de onda asociada a una pelota de golf de 100 g de masa que se
mueve con una velocidad de 250 ms – 1. (h = 6.63 · 10 – 34Js). Comenta el orden de
magnitud del resultado obtenido (junio de 2003).
PROBLEMAS DE PRUEBAS PAU
31. Al iluminar la superficie de un metal con luz de longitud de onda de 280 nm, la
emisión de fotoelectrones casa para un potencial de frenado de 1.3 V (Andalucía,
junio de 2006).
a) Determina la función de trabajo del metal y la frecuencia umbral de emisión
fotoeléctrica.
b) Cuando la superficie del metal se ha oxidado, el potencial de frenado para la
misma luz incidente es de 0.7 V. Razona cómo cambian, debido a la oxidación
del metal: I) la energía cinética máxima de los fotoelectrones; II) la frecuencia
umbral de emisisón; III) la función de trabajo.
Datos: c = 3 · 108 m/s; h = 6.6 · 10 – 34 Js; e = 1.6 · 10 – 19 C
32. La longitud de onda umbral de la plata para que se produzca efecto fotoeléctrico es
de 262 nm (La Rioja, junio de 2004).
a) Halla la función de trabajo de la plata.
b) Halla la energía cinética máxima de los electrones si la longitud de onda de la
luz incidente es de 175 nm.
Dato: h = 6.626 · 10 – 34 Js.
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Cuestiones
1. ¿En qué consiste la dualidad onda-corpúsculo? Escribe y comenta la ecuación que la
describe.
2. Indica cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: la emisión de
electrones en una célula fotoeléctrica depende:
a) De la intensidad de luz incidente.
b) De la frecuencia de la luz incidente.
c) De la distancia entre los electrodos.
d) De la naturaleza de la célula.
3. Explica cómo la medida de la tensión negativa Vmin a la cual dejan de llegar los
electrones al electrodo negativo, para cada frecuencia, permite conocer la energía
máxima de los fotoelectrones emitidos. ¿Cuánto vale dicha energía?
4. Explica tres hechos experimentales que pusieron en crisis la validez de la Física
Clásica y resalta cómo aborda la solución la Física Moderna.
5. Principio de indeterminación de Heisenberg.
6. Explica el efecto fotoeléctrico, señalando qué resultados experimentales del mismo
no podrían explicarse por la Física Clásica y cómo los explica la Física Moderna.
¿De qué depende la energía máxima?
7. Explica brevemente la hipótesis cuántica de Planck.
8. Explica la hipótesis de De Broglie. ¿Qué aportó al debate de la naturaleza de la luz?
9. ¿Se podrían determinar simultáneamente, con exactitud, la posición y la cantidad de
movimiento de una partícula? Razona la respuesta.
10. ¿Cuál es el fundamento teórico del microscopio electrónico?
12. ¿Es cierta o falsa la siguiente afirmación: “Todos los electrones emitidos en el
efecto fotoeléctrico tienen la misma energía cinética”? Razona la respuesta.
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Solución cuestiones
1. A finales de siglo XIX se distinguían dos categorías de entes físicos: la materia y las
radiaciones. La materia está formada por corpúsculos que se caracterizan por
propiedades como la masa en reposo o el momento lineal. Por el contrario, las
radiaciones son ondas electromagnéticas regidas por las leyes de Maxwell. Sin
embargo, la experiencia ha obligado a asignar a las ondas también el carácter de
partículas a través de los fotones. Pero la cuestión no termina en el hallazgo del
fotón. En 1924, Luois De Broglie postula que toda partícula material en movimiento
tiene su componente como onda, al igual que el fotón. El primer experimento que
constata esta teoría lo llevó a cabo Clinton Davisson en 1927, al hacer incidir un haz
de electrones sobre una superficie de cristal de níquel. El resultado fue la obtención
de una figura de difracción. Con esta experiencia pudo determinarse la longitud de
onda  del electrón y, como podía conocerse su velocidad v, se pudo comprobar que
h
se cumplía la relación  
.
m ·v
2. a) Falsa: de la intensidad de la luz incidente depende el número de electrones
emitidos, si se emite alguno.
b) Verdadera: sólo hay emisión si se supera una cierta frecuencia umbral.
c) Falsa: no tiene nada que ver.
d) Verdadera: el trabajo de extracción depende de la naturaleza del metal que
constituye le electrodo iluminado.
3. Al colocar el electrodo no iluminado a un potencial negativo respecto del iluminado,
se crea un campo eléctrico que ejerce sobre los electrones una fuerza de frenado.
Mientras el potencial del ánodo no sea lo suficientemente negativo continuarán
llegando electrones a él. No obstante, si continúa haciéndose cada vez más negativo,
dejarán de llegar electrones. En ese instante, el trabajo realizado por el campo para
frenar los electrones más energéticos coincide con la energía con que éstos fueron
emitidos: Emax = eVmin. Además, a partir de la relación Emax = hf – hf0, se obtiene una
relación entre Vmin y la frecuencia f de la radiación incidente:
h
h
h
Vmin  f  f o  (f  f 0 )
e
e
e
4. Los tres hechos experimentales más importantes fueron: radiación del cuerpo, efecto
fotoeléctrico y espectros atómicos discontinuos.
5. El hecho de que un cuerpo en movimiento pueda considerarse como un grupo de
ondas de De Broglie sugiere que existe un límite fundamental para la precisión con
que podemos medir sus propiedades corpusculares. Situada la partícula en un
paquete de ondas, cuanto más estrecho sea el grupo de ondas, más fácilmente se
puede determinar la posición de la partícula, pero más difícilmente se puede calcular
su longitud de onda. De esta manera el físico alemán Werner Heisenberg dedujo el
Principio de Incertidumbre, el cual establece que es imposible en un instante dado
determinar simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula:
x · p  ħ .
6. Hertz descubrió que al someter determinadas superficies metálicas a la luz (visible o
UV), éstas desprendían electrones. Esto es lo que se conoce como efecto
fotoeléctrico. Los electrones emitidos al iluminar el cátodo originan una corriente
eléctrica de intensidad I al chocar con el ánodo. La intensidad media es proporcional
al número de electrones arrancados. El trabajo W necesario para arrancar electrones
del metal depende de las energías de enlace con éste. La energía más pequeña,
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correspondiente a los electrones más débilmente unidos, recibe el nombre de función
trabajo del metal o trabajo de extracción.
Tres hechos inexplicables:
1º La emisión tiene lugar si la frecuencia f de radiación supera una frecuencia
mínima, propia de cada metal: frecuencia umbral, f0. Según la teoría clásica, el
efecto fotoeléctrico debería ocurrir para cualquier frecuencia siempre que ésta fuera
lo suficientemente intensa.
2º Si la frecuencia f incidente supera a la umbral, el número de electrones emitidos
es proporcional a la intensidad de la radiación incidente. Sin embargo, su energía
cinética máxima es independiente de la intensidad de la luz, lo cual no tiene
explicación en la teoría clásica.
3º Nunca se ha podido medir un tiempo de retraso entre iluminación del metal y
emisión de fotoelectrones. Según la teoría clásica, si la intensidad de la radiación es
débil, debe existir un retraso, tiempo en el que se acumularía energía suficiente
como para superar el trabajo de extracción.
Para explicar este efecto Einstein propuso:
1º La cantidad de energía de cada fotón se relaciona con su frecuencia: E = hf.
2º El fotón es absorbido completamente por un fotoelectrón. La energía cinética del
electrón será: E = hf – W. El electrón que más débilmente enlazado esté escapará
con mayor energía cinética: Ecmax = hf – W0.
Si la energía de los fotones incidentes es inferior a W0, ningún fotoelectrón será
extraído.
Al duplicar la intensidad se duplicará el número de fotones y, por lo tanto, la
intensidad de la corriente, pero no varía la energía de cada uno de los fotoelectrones.
La existencia de un retraso carece de sentido, ya que la energía necesaria para
ionizar un átomo se proporciona en paquetes concentrados (fotones).
7. A finales de 1900 Planck formuló las siguientes hipótesis como punto de partida para
intentar explicar la catástrofe del ultravioleta que la Física Clásica no había podido
explicar al estudiar la radiación del cuerpo negro.
1º Los átomos que emiten la radiación se comportan como osciladores armónicos.
2º Cada oscilador absorbe o emite energía de la radiación en una cantidad
proporcional a su frecuencia de oscilación: E0 = hf. Así la energía total emitida o
absorbida por cada oscilador sólo puede tener un número entero de porciones de
energía E0: cuantos.
8. En 1924, el físico francés Louis De Broglie sugirió, en su tesis doctoral, que los
electrones podían tener características ondulatorias. Su hipótesis consistió en
ampliar el comportamiento dual de la radiación a la materia, es decir, consideró que
la materia, especialmente los electrones, también presentarían un aspecto
corpuscular y un aspecto ondulatorio. La longitud de onda asociada a una partícula
h
material o a un fotón de momento lineal p será:  
.
m ·v
9. No, por el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero aportamos un ejemplo a
continuación. Si se pudiera observar un electrón se tendría que iluminar con algún
tipo de luz. Si empleamos longitud de onda corta, podemos determinar la posición
del electrón de una forma precisa, pues no se producen fenómenos de difracción,
pero los fotones de onda corta tiene frecuencia alta y energía elevada y, por tanto,
modificarían la velocidad del electrón, quedando indeterminada su velocidad y su
cantidad de movimiento. Si empleamos luz de longitud de onda larga, la cantidad de
movimiento del electrón no cambia, pero se producen fenómenos de difracción y
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queda indeterminada la posición de la partícula. Cuanto más precisa sea la
determinación de la posición de la partícula, tanto menor será la de su velocidad y,
como consecuencia, de su momento lineal y viceversa. Es una consecuencia de la
dualidad de la onda-partícula de la radiación y la materia: x · p  ħ .
10. Un microscopio óptico convencional puede ampliar el tamaño de los objetos, porque
los rayos de luz, una vez reflejados en el objeto que se quiere ampliar, cambian de
dirección cuando pasan a través de una lente óptica. Estos rayos refractados crean
una imagen del objeto mucho mayor que la original.
Los electrones acelerados se propagan de manera semejante a la luz y pueden ser
controlados mediante campos magnéticos. Dichos campos magnéticos crean una
lente magnética similar a las lentes ópticas. Se puede demostrar que la distancia
focal de esta lente magnética, la intensidad de campo y la velocidad del electrón
satisfacen las ecuaciones de la óptica geométrica. El microscopio electrónico posee
un poder de aumento mayor, más de 100 veces, que el microscopio óptico más
perfecto.
11. La ecuación fotoeléctrica de Einstein: Ecmax = hf – W0 nos indica la energía cinética
máxima de los electrones al ser ionizados. W0 es el trabajo de extracción, es decir, la
energía mínima necesaria para poder extraer un electrón del átomo del metal que se
está iluminando. Se corresponde con los electrones de la última capa, que son los
que se encuentran más débilmente ligados al núcleo. Los electrones interiores
requieren una mayor energía para salir del metal y, por tanto, viajan a una menor
velocidad. Por este motivo los electrones emitidos tendrán una distribución de
energías cinéticas y no una sola.
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