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Apuntes de Matemática Aplicada y Álgebra
Probabilidad Condicionada: (*)
Conceptos básicos
Si lanzamos un dado y consideramos los sucesos B = {"Obtener puntuación inferior a 5"} y B = {"Obtener
puntuación par"} la probabilidad de cada uno de ellos es, como sabemos, p(B) = 4/6 y p(A) = 1/2 ya que el
espacio muestral del experimento aleatorio considerado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los caso favorables son,
respectivamente, B = {1, 2, 3, 4} y A = {2, 4, 6} sin embargo la probabilidad del suceso {"Obtener par en el
supuesto que se ha obtenido una puntuación inferior a 5"} es 2/4 puesto que el espacio muestral de dicho
experimento aleatorio es E = {1, 2, 3, 4} = B y los casos favorables son 2 y 4.
Dicho suceso se representa, generalmente como A/B que se lee "el suceso A está condicionado por el suceso B"
y para determinar la probabilidad de dicho suceso hemos de considerar como espacio muestral del mismo al
suceso B.
Con dicha notación podemos escribir, para el ejemplo considerado, que p(A/B) = 2/4
Un ejemplo
Se ha realizado una encuesta sobre el fenómeno de la violencia en los medios de comunicación y la información
obtenida queda recogida en la siguiente tabla.
Dicha tabla se denomina tabla de contingencia de frecuencias y a partir de ella se puede obtener abundante
información.
Elegido un encuestado al azar, la probabilidad de que haya dicho (S)í es p(S) = 418/600, de que haya dicho
(N)o p(N) = 140/600 y la probabilidad de (N)s/(N)c es p(NN) = 42/600
Igualmente podemos determinar la probabilidad de que hayamos elegido un (H)ombre p(H) = 280/600 o de
una mujer p(M) = 320/600.
La probabilidad del suceso (H y S) = {"Hombres que han dicho sí"} es p(H y S) = 162/600.
Dicho suceso no es lo mismo que el suceso
H/S = {"Seleccionar un hombre entre los que han dicho sí"}
ni
S/H = {"Seleccionar respuesta afirmativa entre los hombres"}
cuyas probabilidades respecitivas son:
SI
NO Ns/Nc
Total
SI
NO Ns/Nc
Total
Hombres
162
95
23
280
Hombres
162
95
23
280
Mujeres
256
45
19
320
Mujeres
256
45
19
320
Total
418
140
42
600
Total
418
140
42
600
Seleccionar un hombre entre los que han dicho sí
p(H/S) = 162/418 (#1)
Seleccionar respuesta afirmativaentre los hombres
p(S/H) = 162/280 (#2)
(Puedes observar la justificación de cada uno de ellos colocando el ratón sobre la tabla)
A partir de (#1) podemos escribir
y análogamente a partir de (#2)
Resumiendo
Dados dos sucesos A y B podemos calcular la probabilidad p(A/B) teniendo en cuenta que el número de casos
favorables vendría dado por el suceso (A y B) y que el número de casos posibles vendría dado por el suceso B.
Es decir, como si B fuese el nuevo espacio muestral.
Es evidente que si el suceso A no está condicionado por B entonces p(A/B) = p(A) por lo que p(A y B) = p(A)
p(B)
Si dos sucesos A y B son independientes p(A y B) = p(A) p(B) y recíprocamente
Otro ejemplo
Una urna tiene tres bolas azules y tres bolas rojas. Se extraen, con reemplazamiento, dos bolas.
Consideramos los sucesos M = {La primera bola extraída es azul} y N = {Al menos una bola extraída es azul}.
Vamos a ver si dichos sucesos son independientes o no.
El espacio muestral es el conjunto E = {AA, AR, RA, RR} y los sucesos M y N son
M = {AA, AR} N = {AA, AR, RA}
por lo que p(M) = 2/4 y p(N) = 3/4
Como (M y N) = {AA, AR} (en el gráfico puede observarse que M está contenido en N) resulta p(M y N) = 2/4
Como p(M y N)
p(M)×p(N) los sucesos M y N no son independientes
La probabilidad del suceso M/N = {La primera bola es azul en el supuesto que al menos una es azul} es
(Y sólo tienes que observar el dibujo para convencerte de ello :-))
Por otra parte, la probabilidad del suceso N/M = {Al menos una bola es azul en el supuesto que la primera es
azul} es, evidentemente ...
(*) Por Carlos Sanllorenti
[Profesor en Ciencias Físicas – Bachiller Superior en Ciencias Exactas – Licenciado en Matemática Pura]
carlos_sanllorenti@hotmail.com