Download álgebra - matesap

ÁLGEBRA
1. Escribe en lenguaje simbólico las siguientes expresiones:
a. Nº de ruedas necesarias para fabricar x coches.
b. Nº de pesetas para cambiar por x duros.
c. Nº de patas de un corral con a gallinas y b patos.
d. Nº de personas que hay en una habitación después de llegar 2.
e. Nº de cromos que me quedan después de perder 12 en el juego.
f. La edad de un padre es triple de la de su hijo.
g. Un número más 3 unidades.
h. Un número menos 7 unidades.
i. La mitad de un número.
j. El doble de un número menos 3 unidades.
k. Restar la mitad de un número al 2.
l. Añadir 8 al doble de un número.
m. El doble de un número menos su mitad.
n. Dos números pares consecutivos.
o. Dos ángulos de un triángulo se diferencian en 20°.
p. La tercera pare de un número más su quinta parte.
q. Nº de personas casadas después de celebrarse x matrimonios.
r. Dos quintos de un número.
s. El triple de un número más 1.
t. Un ciclista ha recorrido 87 Km. ¿Cuántos le faltan para llegar a la meta?
u. La edad de Pedro hace 4 años.
v. La edad de Juan dentro de 15 años.
w. La cuarta parte de una cantidad de dinero más 500 ptas.
x. Restar a la quinta parte de un número cuatro unidades.
y. Dos números se diferencian en 5 unidades.
z. Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora?
aa. Dos números impares consecutivos.
bb. Distancia recorrida por un coche en 6 horas.
2. Escoger dos números enteros no nulos.
Calcular el cuadrado de su suma.
Restar del número obtenido el cuadrado de su diferencia.
Dividir el resultado obtenido por el producto de los dos números.
¿Qué resultado se obtiene?
Demostrar que este resultado es válido cualesquiera que sean los dos números
escogidos (para ello, designar por a y b a los dos números escogidos).
3. Se ha acoplado un cilindro en una semiesfera del mismo radio.
a. Expresa su volumen V en función de r y h.
b. Si la altura del cilindro es igual al diámetro de la base, expresa V en
función de r solamente.
c. En este último caso, ¿cuál será el volumen, si el diámetro de la base
mide 7'8 cm?
4. Desarrolla las siguientes expresiones:
a. (3 - 5x)2
b. (5x + 1)(5x - 1)
c. (-2 - 7x)2
d.
e.
f.
g. 5a + 3(a - 6)2- 7(5a - 4)(3a + 4)
5. Factoriza las siguientes expresiones:
a. 15x-25
b. ab + b
c. 2x2 - 6x
d. (x - 5)(4x - 3) + (2x - 7)(4x - 3)
e. (6x - 1)2 + 7(6x - 1)
f. (2x - 1)(x - 6) - (2x - 1)2
g. 36x2 - 84x + 49
h. (3x - 4)2 - 49
i. (5x - 1)2 - (3 - 2x)2
6. Dada la ecuación x2- 3x = 6 + 2x, responde a las siguientes cuestiones:
a. ¿Cuáles son el primer y el segundo miembro?
b. ¿Cuál es la incógnita?
c. ¿Cuál es el grado?
d. ¿Cuál es el término independiente?
e. Escribe dos de sus términos.
f. ¿Cuál es el coeficiente del término de grado1?
g. ¿Es 5 una solución? ¿Y 2?
7. Escribe una ecuación que tenga 3 términos en el primer miembro, 2 términos
en el segundo miembro y cuya solución sea 3.
8. Dada la ecuación x + a = 6, hallar 4 valores que puede tener la x, sabiendo que
a, es un número entero mayor que 4.
9. Escribe tres ecuaciones que tengan por solución el número 7.
10. Resuelve las siguientes ecuaciones por el
método del producto nulo:
a. (2x - 3)(3x + 5) = 0
b. (8 - 3x)(5 + x) = 0
c. 2x(x - 3) = 0
d.
e.
f.
g.
h.
5x3(-2x + 3) = 0
3(x - 1)(x + 2)(5x - 3) = 0
(x - 1)(6x - 5) - (x - 1)(x + 2) = 0
(x - 6)2- 15(x - 6) = 0
1 - 49x2 = 0
i.
11. Demuestra que la suma de las áreas de las cuatro figuras siguientes es igual al
área de un cuadrado. ¿Cuánto medirá el lado de dicho cuadrado?
12. En el triángulo ABC de la figura siguiente, AM es una mediana, AH una altura
y, además,
BM = CM = 3 cm, AH = 2 cm.
a. Expresa AB2,AC2 y BC2 en función de x.
b. Demuestra que se verifica:
AB2 + AC2 = 2AM2 + 1/2BC2
13. Desarrolla y reduce (a+1)2 - a2.
Deducir mentalmente, a partir de este resultado, el valor de 552 - 542 y de 27'52
- 26'52.
14. Desarrolla y reduce (a + 1)2 - (a - 1)2. Deducir mentalmente, a partir de este
resultado, el valor de
1.000.0012 - 999.9992.
15. Hallar el volumen total de la
casa de la figura (incluido el
garaje).
Si pintamos todas las paredes que son perpendiculares al sol, ¿cuál será la
superficie total pintada?
16. El dibujo escondido.
Si vas uniendo los puntos correspondientes a las soluciones de las siguientes
ecuaciones, empezando por la Salida, descubrirás el dibujo oculto.
¡Ah! Cuando aparezca la palabra Salto, ese tramo no hay que pintarlo.
1) 3x - 2 = 25.
2) x/2 = 19
3) 90(1/x) = 2
4) 1 + x/17 = 3
5) 0'1x = 7/10
6) (2x + 3)/3 = 17
7) 0'02 + 0'03x = 0'77
8) 100(1/x) - 5 = 0
9) 90/(x - 2) = 3
10) 21/x = 21
11) 24 : (x + 1)
12) x : 3 + 2 = 15
13) (x - 2)/2 - (x - 3)/5 = 8
14) x/3 + 1 = (8 - x/9) · 2
15) 0'01 : x = 0'002
16) (1/3)x + 1 = 10
17) 26 : x - 1 = 0
18) (1/2)x - x/7 = 5>
19) 21 - 5x = 1
20) 9/(x + 2) + 1/10 = 1
21) 203 : x = 7
22) 108 - 3x = -15
23) x/9 + 2 = (x - 6)/5
24) -x + 100 = (3/2)x - 10
25) x - x/2 + 3 = 4x/5
26) 1 - x = x + 3(6 - x)
27) 50 - x = 13
28) 62/x - 3 = -1
29) (x + 1)/4 = 1 + x/5
30) 1/x + 1/(2x) = 3/12
31) x/8 - 5 = 0
32) 2(x - 1) - (x + 1) : 2 = 33
33) 100 - 2x = 14
34) x/5 + (1 - x) = -27
35) (x + 2)/3 + 30 = x
36) 0'39x - 1 = 17/100
37) (2/3)x + 1/2 = 13
38) x : 4 + 2 = x - 10
39) 66 : x = 2
40) ((x + 3)/4)2 = 16
41) 1/3((x + 3)/5) - 1 = 0
42) 2(x - 4) - x/2 = 31
43) 3x - 70 = -1/3x
44) 9 : x = 1/2
45) 0'1x - x/3 = -7
46) (x/6)2 = 49
47) x - 5 - 2 (x - 7) = -12
48) 2 : (x - 10) - 1/6 = 0
49) (x + 2)/7 + 1/4 = x/8
50) x : 8 = 0 · 7
17. Demuestra que, si ABCD es un paralelogramo, cualquiera que sea la posición
de un punto O interior del paralelogramo, el área de la parte coloreada es igual
a la de la parte no coloreada.
18. En la figura, M es el punto medio del segmento AB.
a. Calcula MA2 + MB2 en función de x y de p.
b. ¿Para qué valor de x esta cantidad es mínima?
19. La presión sanguínea normal P en una persona sana se puede estimar
mediante la expresión
P = 11 + E/20, donde E representa la edad en años.
a. ¿Cuál será la presión sanguínea de una persona de 20 años? ¿Y una
de 40? ¿Y una de 60?
b. Si una persona tiene una presión sanguínea de 15, ¿cuál puede ser su
edad estimada?
c. Obtén una fórmula que nos permita estimar la edad a partir de la
presión sanguínea.
20. El tiempo T, medido en segundos, que tarda un péndulo en ir y volver está
dado por la fórmula
, donde l representa la longitud del
péndulo y a T se le llama periodo del péndulo. Hallar el periodo de un gran
péndulo de 40 m. Expresa l en función de T.
21. En cada una de las fórmulas siguientes despeja la letra (variable) indicada:
a. M = (a + b + c)/3 Despeja b.
b. Ec = 1/2mv2 Despeja m.
c. V = v0 + at Despeja a.
d. D = F + (NC)/10 Despeja C.
22. En una familia trabajan el padre, la madre y el hijo mayor, ganando
conjuntamente 360.000 ptas. al mes. La ganancia de la madre es igual a los
2/3 de la del padre y la del hijo 1/2 de la de su madre. ¿Cuánto gana cada uno?
23. Dentro de 2 años la edad de Pedro será de 8 años menos que el doble de la
que tiene ahora. ¿Qué edad tiene Pedro?
24. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es el doble del otro.
¿Cuántos grados mide cada ángulo?
25. La nota media de tres evaluaciones de Carmen en el área de Matemáticas se
obtiene sumando las tres notas y dividiendo entre tres. Si ha sacado un 5 y un
7 en las dos primeras evaluaciones, ¿qué nota ha de sacar en la tercera para
alcanzar una nota media de 6'5?
26. Este año, la edad de Isabel es el triple que la de su hermano Antonio; dentro de
4 años, ella será 2 veces mayor. ¿Cuál es la edad de cada uno de los
hermanos?
27. La velocidad del sonido es de 344 m/s. ¿Cuál es la distancia a la que ha
explosionado un cohete, si desde que se ha visto el fogonazo hasta que se ha
oído la explosión han transcurrido 3 segundos?
28. Calcular un valor de x que sustituido en las casillas del cuadrado adjunto lo
convierte en un cuadrado mágico aditivo.
29. Juan pone un cero en la pantalla de su calculadora. Al mismo tiempo, Ana
pone 100 en la suya. Si Juan suma un 2 cada vez que Ana resta un 3:
a. ¿Cuántas veces han de operar hasta que los valores que aparezcan en
las pantallas de sus calculadoras lleguen a ser iguales?
b. ¿Cuál será el valor?
c. Plantea una ecuación para resolver este problema.
30. La suma de dos números es 76, y si se divide el mayor entre el menor se
obtiene 4 de cociente y 1 de resto. ¿Cuáles son esos números?
31. El área de un rectángulo es 18 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones, sabiendo
que una es doble de la otra?
32. Se dispone de dos disoluciones de ácido acético: una al 25% y otra al 60%.
¿Qué cantidad hay que mezclar de cada una para obtener 130 gramos de una
disolución al 40%?
33. Se invierten 9.000 € de la siguiente forma: una parte en acciones que producen
el 6% anual, y otra parte en acciones que rentan el 4%. Si al final del año la
renta ha sido de 400 €, ¿qué cantidad de dinero se invirtió en cada tipo de
acciones?
34. Una joya de 80 gr está elaborada con una aleación de oro y cobre. Si la
densidad de la joya es 14, ¿qué cantidad de oro tiene? (La densidad del oro es
19?25 y la del cobre 8'75).
35. Un hombre va a pie de A a B, e inmediatamente regresa a caballo. El hombre
anda a razón de 3 Km/h y el caballo a razón de 5'5. Si el viaje de ida y vuelta
dura 3 horas y media, ¿cuál será la distancia de A a B?
36. Un automóvil sale del pueblo A a una velocidad de 55 Km/h con destino al
pueblo B. Simultáneamente, otro automóvil sale de B con destino al pueblo A a
70 Km/h. Si ambos pueblos están a una distancia de 130 Km, ¿cuánto tiempo
tardarán los dos automóviles en cruzarse?
37. Un tren sale de una estación a una velocidad de 60 Km/h. Dos horas más tarde
un automóvil sale en su persecución por una carretera paralela a 80 Km/h.
¿Cuánto tiempo tardará el automóvil en dar alcance al tren?