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Maestría en el Padrón Nacional de Posgrado de CONACyT
CURSO DE ACTUALIZACIÓN
MATEMÁTICAS
SEMESTRE 2009-1
A- CONCEPCIÓN.
El curso de Matemáticas 0 incluye un conjunto de temas básicos, normalmente
estudiados en los programas que rigen en la generalidad de las licenciaturas en
economía que se imparten en el país, pero que de acuerdo a la experiencia, se aprecian
como fundamentales para poder comprender algunos temas iniciales que se imparten
en la Maestría en Economía de la UNAM en los campos de la micro y la macro
economía.
Al estar dirigido a participantes que previamente ya han obtenido su ingreso en el
Programa de Postgrado en Economía de la UNAM, no posee el carácter de un curso
remedial o de nivelación de conocimientos. Por el contrario, presupone que los
participantes poseen los conocimientos matemáticos básicos que se exigen como
condición para ingresar al Programa de Postgrado.
En la estructuración del curso y la programación de sus actividades académicas se ha
supuesto que el promedio de los participantes se encuentran representados en estos
supuestos. Es responsabilidad de cada participante en el curso en particular determinar
cuan distante pueda encontrarse de estos presupuestos y, cuando este sea el caso,
demandar a los profesores del Programa apoyo extra curricular adecuado para tratar de
superar esos inconvenientes.
B- OBJETIVOS.
Tomando en cuenta los presupuestos anteriores, los objetivos fundamentales de este
curso son:
1- Proporcionar a los participantes, miembros del Programa de Postgrado en
Economía de la UNAM, un conocimiento básico y formalmente estructurado de
algunos elementos indispensables para poder iniciar sus estudios, en
condiciones adecuadas, en las materias de microeconomía, macroeconomía y
economía política.
2- Teniendo en consideración el origen diverso de los estudiantes que acceden al
Programa de Postgrado en Economía de la UNAM, tratar de lograr un nivel
básico homogéneo que facilite el trabajo académico en los cursos básicos que
se imparten en el primer semestre del programa de la maestría.
3- Alcanzar los objetivos antes definidos dentro de un esquema que no vulnere, en
lo fundamental, la lógica interna en la exposición estrictamente matemática de
los temas que se impartirán.
C- CONDICIONES.
El curso será impartido en un período de 2 meses previos al inicio del curso regular de la
Maestría y tendrá un carácter irrevocable de obligatorio para todos los que han sido
aceptados en el proceso de selección previo. Comprenderá tres clases semanales, con
una duración de 1,5 horas por clases.
PROGRAMA TEMÁTICO.
1- RELACIONES Y FUNCIONES.
1.1 Concepto de relación. Relaciones biunívocas.
1.2 Funciones reales definidas sobre el campo de los reales: f : R  R . Funciones en
una variable: y  f(x) . Dominio e imagen de una función. Regla de
correspondencia. Expresiones algebraica y geométrica de una función. Funciones
lineales y no lineales. Ilustraciones.
1.3 Operaciones con funciones. La adición, la multiplicación por un número (escalar) y la
composición de funciones. Interpretaciones analítica y geométrica. Ejercicios.
1.4 Funciones crecientes y decrecientes. Optimización de funciones en una variable:
valores extremos de una función y su caracterización como máximos o mínimos.
1.5 Concavidad y convexidad de funciones.
1.6 El concepto de derivada en un punto de una función en una variable. Interpretación
analítica y geométrica. Derivadas de primero, de segundo y de orden superior. El
concepto de antiderivada de una función (integral): su interpretación geométrica.
1.7 Reglas de cálculo de las derivadas de una función en una variable. La derivada
como una función.
1.8 Reglas de cálculo para la optimización de funciones en una variable. Determinación
de los valores extremos y su caracterización como máximos y mínimos aplicando el
concepto de derivada. Interpretaciones analítica y geométrica. Ejemplos y ejercicios.
2- CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGÍA.
2.1 El objeto de estudio de la topología.
2.2 El concepto de distancia. Espacio métrico. La noción de continuidad de una función.
2.3 Espacio métrico completo: la condición de Cauchy.
2.4 El concepto de vecindad en el conjunto (campo) de los números reales. Definición y
propiedades.
2.5 Vecindades en un conjunto cualquiera. El concepto de punto en un espacio
bidimensional [R 2 ] . Representaciones algebraica y geométrica de los puntos en los
espacios bidimensionales. La distancia euclidiana. Vecindad a un punto en R 2 : el
concepto de disco abierto. Puntos interiores, exteriores y de frontera.
2.6 Los espacios n–dimensionales [R n ] . Los puntos en un espacio R n : su
representación analítica. Vecindades en un punto en un espacio R n : el concepto de
bolas abiertas.
2.7 Los conceptos de continuidad y límite. Propiedades.
2.8 Teoremas de la continuidad uniforme, de las cotas y de los valores intermedios de
funciones definidas en un intervalo cerrado. Variaciones marginales y medias.
2
2.9 La función derivada. Teoremas de Rolle y de los incrementos finitos. Interpretación y
resultados.
2.10 Generalización de los conceptos de vecindad y límites.
3- FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE.
3.1 Campos escalares [f : R n  R] .
3.2 Funciones en más de una variable [y  f(x 1 , x 2 , x n )] . Regla de
correspondencia, dominio e imagen de una función en más de una variable.
Semejanzas y diferencias entre las funciones en una variable y en más de una
variable.
3.3 El concepto de derivada parcial en funciones en más de una variable. Gradientes: su
interpretación y expresión analítica.
3.4 Funciones cuadráticas. Generalización de los conceptos de concavidad y
convexidad de funciones. Combinaciones convexas.
3.5 Optimización de funciones en más de una variable. Valores extremos de funciones
cuadráticas y su caracterización como máximos, mínimos y puntos de silla. Máximos
(mínimos) locales y globales.
3.6 Reglas de cálculo para la optimización de funciones en más de una variable.
Determinación de los valores extremos y su caracterización como máximos y
mínimos o puntos de silla aplicando el concepto de derivada parcial. Matrices
Hessianas: método de cálculo y su interpretación. Interpretaciones analítica y
geométrica. Ejemplos y ejercicios.
4- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES EN MÁS DE UNA VARIABLE SUJETA A
RESTRICCIONES.
4.1 Naturaleza del problema.
4.2 El concepto de conjunto convexo. Conjuntos acotados y no acotados, abiertos y
cerrados. Algunos teoremas fundamentales sobre conjuntos convexos.
4.3 Planos e hiperplanos. Planos (hiperplanos) de separación y soporte: generalización
del concepto de tangencia a conjuntos convexos definidos en espacios ndimensionales. El teorema de Minkowski (enunciado).
4.4 Soluciones factibles y soluciones óptimas en el cálculo de valores extremos de
funciones en más de una variable sujeta a restricciones.
4.5 El método de Lagrange. Método de cálculo e interpretación del significado
matemático de los multiplicadores de Lagrange. Un primer acercamiento a su
interpretación económica.
4.6 Procedimientos de cálculo. Ejemplos y ejercicios.
5- EL ESTUDIO DE LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO: SISTEMAS DE ECUACIONES
Y FUNCIONES IMPLÍCITAS.
5.1 El estudio de las condiciones de equilibrio en sistemas de diferente naturaleza. Los
sistemas de ecuaciones como representación aproximada de las reglas de
funcionamiento de un sistema cualquiera.
5.2 Funciones implícitas: el teorema de la función implícita (enunciado). Derivadas de
funciones implícitas.
5.3 El empleo de los sistemas de ecuaciones para estudiar las condiciones de equilibrio.
La diferenciabilidad de las ecuaciones estructurales del sistema. Variables
endógenas y exógenas.
5.4 Características matemáticas del determinante jacobiano asociado al sistema. Un
método posible de solución del sistema: sus fundamentos matemáticos. Las
3
derivadas parciales del sistema de ecuaciones como multiplicadores (coeficientes de
variación marginal en el tiempo).
5.5 Método de solución basado en el teorema de la función implícita.
BIBLIOGRAFIA B.
Chiang, Alpha C.
Fundamental Methods of Mathematical Methods.
Third Edition.
McGraw-Hill Book Company. [1984]
Digesto.
Maestría en Economía de la UNAM. [2008]
Sydsaeter, Knut, Hammond, Meter J. Matemáticas para el análisis económico, Prentice Hall,
INC. Madrid. [1996]
BIBLIOGRAFÍA COMPLMENETARIA.
Madden, Paul. Concavidad y optimización en microeconomía.
Alianza Editorial. [1987]
Nikaido, H. Métodos matemáticos del análisis económico moderno.
Editorial Vicens y Vives. Edición, [1978].
Simon, Carl P., Blume, Lawrence. Mathematical for Economists, Editorial Norton & Company,
New York, London [1994]
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