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Continuidad en un punto de una función
Asignatura: Cálculo
I.
Carrera: Tecnología Médica
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres
condiciones siguientes:
a) Que le punto x = a, tenga Imagen
 f a 
b) Que exista el límite de la función en el punto x = a.
 lim x  a f x   lim x  a  f x   lim x  a  f x 
c) Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.
f a   lim xa f x 
II.
Continuidad lateral
a) Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:
f a   lim x  a  f  x 
b. Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:
f a   lim x  a  f  x 
Obs: Continuidad de funciones
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.
III.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de
definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que
coincidir sus límites laterales.
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas en x = a, entonces:
f + g es continua en x = a.
f · g es continua en x = a.
f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g es continua en x = a.
IV.
Tipos de discontinuidad
a) Discontinuidad evitable
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si
existe
lim f  x 
x a
Tipos
f a 
La función no está definida en x=a.
La imagen no coincide con el límite.
f a   lim f  x 
x a
b. Discontinuidad inevitable
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en
x = a, pero son distintos.
lim f x   lim f x 
x a 
x a
Tipos
1. Discontinuidad inevitable de salto finito
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
lim f x   lim f x   k
xa 
xa
2. Discontinuidad inevitable de salto infinito
La diferencia entre los límites laterales es infinito.
lim f  x   lim f x   
xa 
xa
Discontinuidad esencial
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites
laterales en x = a.
Cuadro resumen:
Un función f x  es continua en el punto x  a si se cumple las condiciones:
1. Existe f a  . El punto a debe pertenecer al dominio de la función.
f x . En funciones definidas “En Ramas” lim f x   lim f x 
2. Existe lim
xa
x a 
x a 
lim f x . En funciones definidas “En Ramas” lim f x   lim f x   f a 
3. f a   x
x a
x a
a


Si no se cumple algunas de estas condiciones, la función es discontinua en ese punto.
Ver la condición o condiciones que no se cumplen en los distintos tipos de discontinuidad.
“Si podemos dibujar la función sin levantar el lápiz del papel es continua, si no, es
discontinua.
Tipos de discontinuidad de una función en un punto:
Evitable
1. f a  ó f a 
f a 
2. lim
xa
f x 
3. f a   lim
xa
De salto finito
1. f a 
2. lim f x   lim f x 
x a 
De alto infinito
x a 
1. f a  (Asíntotas verticales)
Ejercicios:
1. Estudiar la continuidad de la función f x  
5x
en los puntos x  2 y x  5
x5
 x si

2. Estudiar la continuidad de la función f  x   3 si
 x si

3.
x 1
x 1
x 1
 x  5 si x  0
2
 x  1 si x  0
Estudiar la continuidad de la función f x   
2 x  1 si
2
 x  3 si
4. Considere la función f definida por: f x   
3x  6a si

5. Considere la función f definida por: f x   3ax  7b si
 x  12b si

6.
x 1
x 1
x  3
3 x  3
x3
Representar la siguiente función y razonar si es continua en los puntos 0 y 2.
2

x
f x   

x  3
si
x2
si
x2
7. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:
 x4 1
si

 x3  1
a) f x   
 4
si
 3

 x2  4x  4
 x2

b) g  x   3
 x2  x  2

 3 x  6
x  1
en x  1
x  1
si
x2
si
x2
si
x2
en x  2