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MATEMATICA 2DO AÑO
CUADERNILLO TEORICO-PRACTICO
PROFESOR: Carlos Rosario
IMPORTANTE: El presente cuadernillo contiene información relacionada con los
contenidos teórico/práctico de la materia. Servirá como guía y se complementará con lo
dado en clase y los trabajos prácticos.
Unidad 1: Números racionales.
Revisión de los conjuntos numéricos N, Z, Q. Comparación, representación y operaciones en Q
aplicando sus propiedades. Ejercicios combinados y problemas.
Números periódicos, conversión a fracción y viceversa.
Notación científica.
Ecuaciones sencillas e inecuaciones.
CONJUNTOS NUMERICOS:
Números Naturales: surgen como necesidad del hombre de contar y se designan con la letra N.
Ejemplo 1; 2; 3; 4--------Números Enteros: que pasa si queremos hacer la siguiente resta 4-6. Como sabrás esto da un
número negativo (-2). Entonces surgen con esta necesidad y se designan con la letra Z. A los
naturales le agregamos el cero y los números negativos y obtenemos el conjunto de los números
enteros.
Ejemplo -2; -1; 0; 2; 25
Números Racionales: que pasa si queremos hacer la siguiente división 2:3. Como sabrán nos da un
número decimal (0,6666…). Entonces surgen con esta necesidad y se designan con la letra Q. A los
números enteros le agregamos los decimales exactos (ej. 1,2) y los decimales periódicos (ej. 2,66..)
y obtenemos el conjunto de los números racionales. Estos números decimales que agregamos se
2
pueden expresar como una fracción (ej. 3 )
6
1
Ejemplo − ; −1; −2,2222 … ; 0; ; 2; 17; 3,5
5
4
NOTA: Los números racionales no incluyen los decimales de infinitas cifras por ejemplo
2,31568124…. La particularidad de estos números es que no pueden expresarse como una
fracción, un ejemplo es el número π= 3,14159265….. . Estos números son llamados Irracionales y
se verán en 3er año.
COMPARACION:
Debemos tener en cuenta lo siguiente:
-Un número positivo (entero, decimal o fraccionario) es mayor que un número negativo o el cero
ej. 4 > -8
4>0
-De dos números negativos (entero o decimal) es mayor el de menor valor absoluto ej. -2 > -7 3>0
2
1
-En fracciones positivas con igual denominador es mayor el que tiene mayor numerador ej. 3 > 3
-En fracciones negativas con igual denominador es mayor el que tiene menor numerador ej.
1
2
− 3 > −3
-En fracciones positivas o negativas con distinto numerador primero hay que igualar los
denominadores ej.
2
3
?
1
4
o sea
2∗4
3∗4
?
1∗3
4∗3
o sea
8
12
?
3
12
o sea
8
12
>
3
12
REPRESENTACION:
Para representar o indicar un número fraccionario en la recta se divide el segmento unidad en
tantas partes iguales como indica el denominador
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Para representar o indicar un número decimal se divide el segmento unidad decimalmente (10).
Ej. 0,375
OPERACIONES CON FRACCIONES:
-Suma y resta con el mismo denominador: se conserva el denominador y se suman y restan los
2
numeradores. Ej.
3
1
+
3
−
5
3
=−
2
3
-Suma y resta con distinto denominador: se obtiene mínimo común denominador. Para el
numerador se divide el m.c.d. por el denominador de cada fracción y se multiplica por el
numerador. Ej.
2
3
+
1
4
−
5
2
12:3∗2+12:4∗1−12:2∗5
=
12
=
8+3−30
12
= −
19
12
Regla de signos en sumas y restas:
- 3 - 4= - 7 + 3 + 8= +11 si los signos son iguales se mantiene el signo y se suman los números
+ 3 – 4 = - 1 - 5 + 8 = +3 si los signos son distintos va el signo del mayor y se restan el número
mayor del menor
-Multiplicación: se multiplica por separado numerador y denominador. Es conveniente simplificar
siempre que sea posible. Ej.
7
3
∗
5
4
=
7∗ 5
3∗4
=
35
12
-División: la fracción que está dividiendo se invierte y luego se procede a multiplicar.
7 5
7 4
7∗ 4
28
5
4
Ej. : = . ∗ =
=
Fijarse que la fracción inversa de es
3
4
3
5
3∗5
15
4
-Potencia: numerador y denominador se elevan a la potencia indicada. Ej. (
5
4 3
43
64
) = 53 = 125
5
-Raíz: se aplica la raíz indicada tanto a denominador como denominador. Ej. √49
=
√4
√9
=
2
3
NUMEROS DECIMALES: son los números no enteros y están compuestos por una parte entera y
una decimal separadas por una coma. Deben tener en cuenta lo siguiente:
5
8
6
-2,586= 2 +0,5 + 0,08 + 0,006 = 2 + 10 + 100 + 1000 = 2 unidades + 5 decimas + 8 centésimas + 6
milésimas
-Recordar que entre dos números decimales siempre existen otros números decimales.
Ej. entre 2,16 y 2,17 están 2,161; 2,162; 2,163…. entre el 2,161 y 2,162 están 2,1611; 2,1612……
-Recordar que toda fracción puede escribirse como un número decimal pero no todo decimal
5
2
puede escribirse como fracción Ej. 4 = 1,25 decimal exacto 3 = 0,6666 … decimal periodico
𝜋 = 3,14159265…. no puede expresarse como fracción ya que tiene infinitas cifras decimales
-Las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz se realizan al igual que
con los números enteros teniendo en cuenta lo indicado anteriormente
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-Al multiplicar y dividir por potencias de 10 se corre la coma hacia la derecha o izquierda
respectivamente de acuerdo a la cantidad de ceros. Ej. 2,54*100= 254 2,54:1000= 0,00254
RECORDAMOS:
PROPIEDADES:
Potenciación
a𝑛 ∗ am = a𝑛+𝑚 Ej. 43 ∗ 42 = 43+2 = 45
1
1
a𝑛
1
Ej. 3−2 = (3)2 =
1
32
2
=
5
4 3
1
9
4
45
5
4 2
5
5
55
4
4
3
4
Ej.. (4)−2 = (3)2 =
a0 = 1 Ej. 30 = 1 Ej. (3)0 = 1 0𝑛 = 0 Ej. 04 = 0
(a𝑛 )m = a𝑛∗𝑚
Ej. (23 )2 = 23∗2 = 26
Factorización
12 2
6 2
12=22 ∗ 31
3 3
1
Propiedad distributiva
4
4
Ej. ( ) ∶ ( ) = ( )3−2 = ( )1 =
5
5
5
5
5
a𝑛 : am = a𝑛−𝑚 Ej. 43 ∶ 42 = 43−2 = 41
a−𝑛 = (a)𝑛 =
4
4
Ej. ( )3 ∗ ( )2 = ( )3+2 = ( )5 =
n
0
43
42
32
16
9
=
= indeterminado, no se puede dividir por 0
4
4
Ej. (5 )2 = (5)3∗2 = (5)6 =
2
4
2
46
56
2∗4
a (b+c) = ab + ac Ej. 3 (4 - 3) = 3*4 – 3*3 = 12 + 9 = 21 Ej. 4 (3 + 5) = 4∗3 +
2
1
15:3∗2+15:5∗1
10+3
13
2∗2
4∗5
=
= 3+ 5=
= 15 = 15
15
OPERACIÓN CON DECIMALES
Suma y resta: se ubican los enteros, decimas, centésimas, etc de un número con otro y
luego se opera normalmente. Cuando sea necesario se agregan 0 (ceros) a la derecha
cuando corresponda. Ejemplos
2,23 + 3,56
22,4 – 1,232
2,23
2,400
+3,56
1,232
5,79
1,168
Multiplicación: se multiplica normalmente y luego se pone la coma contando la cantidad
de decimales después de la coma de ambos números. Ejemplo
2,4 x 5,21
5,21
X 2,4
2084
1042X
12,504
División: primero se multiplican ambos por 10 tantas veces hasta eliminar la coma del
divisor. Luego operamos normalmente. Ejemplo
250:2,3 250*10=2500 y 2,3*10=23
2500 |23
108,69
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PASAR DE DECIMAL A FRACCION Y VICEVERSA:
Para pasar de fracción a decimal, como habrán visto anteriormente, se divide numerador con
denominador y el resultado dará o un número entero o un decimal que puede ser decimal exacto
(parte decimal finita, ejemplo 1,25) o decimal periódico (parte decimal infinita periódica
Ejemplo
Ejemplos
)
4
5
2
3
= 0,8 fracción a decimal exacto
=
fracción a decimal periódico
Para pasar de decimal exacto a fracción se coloca en el numerador el numero completo sin comas
y en el denominador el 1 seguido de tantos 0 (ceros) como decimales tenga el número.
Ejemplo 2,3 =
23
12,05=
10
1205
100
Para pasar de decimal periódico a fracción se coloca en el numerador el número completo sin
comas y se le resta la parte no periódica sin comas y en el denominador tantos 9 (nueves) como
números periódicos tenga el número
6
Ejemplo
=9
=
1252−12
99
=
1240
99
=
53−5
9
=
48
9
Para pasar números decimales combinados con parte periódica y no periódica se coloca en el
numerador el número completo sin comas y se le resta la parte no periódica y en el denominador
tantos 9 (nueves) como números periódicos seguido de tantos 0 (ceros) como números decimales
no periódicos
Ejemplo
=
1205−120
90
=
1085
90
=
20232−202
9900
=
20030
9900
NOTACION DECIMAL
Recordemos que los números son decimales, dado que están basados en los 10 números que
conocemos. Esto quiere decir que el lugar que ocupa un digito en un número puede escribirse
como una potencia de 10. Por ejemplo el Nº 325 puede escribirse como
3*102 + 2 ∗ 101 + 5 ∗ 100 = 3 ∗ 100 + 2 ∗ 10 + 3 ∗ 1 = 300 + 20 + 3
Esta notación la podemos extender a los números decimales
412,452 = 4*102 + 1 ∗ 101 + 2 ∗ 100 + 4 ∗ 10−1 + 5 ∗ 10−2 + 2 ∗ 10−3
Lo que es igual a 4*102 + 1 ∗ 101 + 2 ∗ 100 +
4
10
+
5
100
+
2
1000
= 400 + 10 + 2 + 0,4 + 0,05 + 0,002
Para el caso de un número decimal periódico será
1
3
3
3
= 0,3333 … = 0 ∗ 100 + 3 ∗ 10−1 + 3 ∗ 10−2 + 3 ∗ 10−3 + ⋯ . = 0 + 10 + 100 + 1000+….
3
NOTACION CIENTIFICA
Es expresar un número o valor de la forma a*10𝑛 , siendo 0˂a˂10 y n pertenece a los enteros (n Ɛ Z). Es
muy utilizado por los científicos cuando deben indicar medidas muy grandes o muy pequeños. Muchas veces
se usan aproximaciones de los números. Por ejemplo cuando nos preguntan ¿Cuánto dinero llevas en el
bolsillo? Uno responde mas o menos 2 mil pesos y no dos mil trescientos cincuenta y tres. También decimos
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el hombre más rico del mundo tiene 22 billones de dólares. De la misma manera los científicos usan muchas
veces
aproximaciones.
Por
ejemplo
para
indicar
3.256.234
pueden
m
6
poner
3,256
9
*10 . La velocidad de la luz es de 300.000.000 metros por segundo ( ) y se indica 3 ∗ 10 .
s
Ejemplo pasar 43.565.642 a notación científica utilizando hasta las milésimas 4,356 *107
Pasar 0.0000000056 a notación científica 5,6*10−9
ECUACIONES SENCILLAS E INECUACIONES
Usamos el signo = para las siguientes situaciones:
1) Para conectar una operación con el resultado 3 + 2 = 5
2) Para conectar los diferentes pasos de un proceso 3(2-4) = 3 * 2-3 * 4 = 6 - 12 = -6
3) Para relacionar dos procesos que dan el mismo resultado 3 + 2 = 9 - 4
Por otro lado debemos saber que una expresión algebraica es una combinación de letras,
números y operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).
Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del
lenguaje habitual. En el caso 3) si agregamos letras haremos una igualdad de expresiones
algebraicas. 3 a + 2 a = 9 a – 4 a
Si damos valores a las letras de las siguientes expresiones, podemos comprobar que:
3X+2X=5X
3 X +4 = 10
3X+2=3X-1
Se verifica para cualquier
Se verifica solo para X=2
No se verifica para
valor de X
ningún valor de X
Una ecuación son dos expresiones algebraicas separadas por el signo =. Por lo tanto es
una igualdad que se da para uno, algunos o ningún valor de las variables. Ver ejemplos
anteriores.
Una identidad es una igualdad que se verifica para los valores posibles de las variables.
Ejemplo m + m = 2 m
2X+Y=y+2X
Cuando utilizamos los signos ˂ , ˃, ≤ o ≥ no hablamos de igualdad sino de desigualdades y
éstas son llamadas inecuaciones. Ejemplo - 3 X ˃ 2
Elementos de una ecuación:
A las letras se las variables o incógnitas. A cada una de las expresiones que aparecen a
ambos lados del signo igual se las llama miembros de la ecuación. A los sumandos que
componen cada miembro se los llama términos o monomios. Cuando un término no tiene
letras se lo llama término independiente.
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Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que
verifiquen la igualdad planteada. Dichos valores son el conjunto solución de la ecuación.
El grado de una ecuación está determinado por la máxima potencia a la que se encuentre
elevado un término. Veremos solo ecuaciones de primer grado del tipo aX + b = 0
Solución de una ecuación:
2 X + 3 = X – 2 juntamos las X en el 1er miembro y los términos independientes en el 2do
miembro
2 X – X = - 2 – 3 resolvemos
X=-5
Problema: aquí debemos traducir el lenguaje literario a lenguaje algebraico.
Ejemplo: Al sumar 37 al doble de un número obtenemos 97. ¿ cuál es el número?
La incógnita es el número y lo llamo X.
Luego el doble de ese número es 2 X
Al sumar 37 al doble de un número es 2 X + 37
Obtenemos 97 es = 97
La ecuación queda planteada así:
2 X + 37 = 97 pasamos 37 al 2do miembro 2 X = 97 – 37 resolvemos 2 X = 60 o sea X = 30
Si el resultado lo reemplazamos en la ecuación inicial verificamos que 2*30 + 37 = 97
O sea 60 + 37 = 97 finalmente 97 = 97 lo cual demuestra que el resultado es correcto
Elementos de una inecuación:
Cada uno de los elementos lleva los mismos nombres salvo que serán de una inecuación.
Solución de una inecuación:
Una inecuación se resuelve como una ecuación con la particularidad que si multiplicamos
o dividimos por un número negativo alguno de sus miembros (lo que es lo mismo que
pasar un número negativo multiplicando o dividiendo al otro miembro) se invierte el
sentido de la desigualdad (cambia el signo). Por ejemplo
2
-3X˃2
X ˂ − 3 Se invierte el signo
3X ˃2
X˃
2
3
No se invierte el signo