Download tema: pareja de angulos y teoremas.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD COTOLICA DEL ECUADOR
SEDE IBARA
PROGRAMA DE ARQUITECTURA
LOGICA MATEMÁTICA.
TATIANA ELIZABETH SIMBA MALDONADO.
1er. NIVEL
TEMA: PAREJA DE ANGULOS Y TEOREMAS.
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos
adyacentes
Ángulos
consecutivos
Ángulos
opuestos por el
vértice
Son ángulos que tienen un
lado común y los otros dos
pertenecen a la misma recta.
Son ángulos que tienen un
lado común y el mismo vértice.
<BAC es adyacente con <DAC
- Dos líneas que se intersectan
generan ángulos opuestos por
el vértice. - Son ángulos no
adyacentes. <1, <2, <3 y <4
- Son ángulos congruentes:
<1 = <2 y <3 = <4
Ángulos
complementarios
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad
es que suman 90°.
El <BAC es adyacente al <DAC
y viceversa.
Ángulos
suplementarios
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad
es que suman 180°.
El <BAC es adyacente al <DAC
y viceversa.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1=5
2=6
3=7
4=8
Ángulos alternos entre paralelas.
1=7
2=8
3=5
4=6
Ángulos contrarios o conjugados.
Son
suplementarios
Ángulos colaterales.
1
6
2
5
3
8
4
7
1
8
2
7
3
6
4
5
TEOREMAS DE ANGULOS
Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.
Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.
Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son
iguales.
Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son
iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don congruentes.
Teoremas De Ángulos
La suma de los ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual al
valor de 2 ángulos rectos.
Partiendo de la hipótesis de que AB y CD son dos rectas que se cortan en el
punto O.
COD = 180º
Según la figura: COD = AOD + AOC AOD + AOC = 180º
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Partiendo, nuevamente, de la hipótesis de que AB y CD son dos rectas que se
cortan en el punto O, se trata de demostrar que el ángulo formado por AOD es
igual al formado por COB
Como la suma de los ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual
al valor de 2 ángulos rectos, podemos decir que:
COA + AOD = 180º
COA + COB = 180º ! COA + AOD = COA + COB ! AOD = COB
Teoremas De Triángulos
En un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los
tres vértices.
Se parte del triángulo rectángulo ABC, en el que la hipotenusa es AB y el punto
medio de esta es D (AD = DB), y el ángulo recto es C.
El punto medio de CB le llamo E, de forma que CE = EB. La recta DE es
paralela a AC, ya que el segmento que une los punto medios de dos lados de
un triángulo es paralelo al tercer lado; de forma que el ángulo DEC es recto.
Como el ángulo BEC, que mide 180º, está formado por lados colineales, de
forma que se puede escribir:
DEC + DEB = BEC ! DEC + 90º = 180º ! DEC = 90º
Por tanto DEC = DEB; de forma que el triángulo DEC es igual al triángulo DEB,
de forma que queda demostrado que CD = BD.
Las bisectrices de dos ángulos de un triángulo equilátero forman entre sí un
ángulo igual a cualquiera de los ángulos externos del triángulo.
Partiendo de la hipótesis de que ABC es un triángulo equilátero; CE es bisectriz
del ángulo ACB; BE es bisectriz del ángulo ABC; ACD es un ángulo externo del
triángulo ABC.
ACD es un ángulo externo al triángulo ABC, tal y como muestra la figura.
Los 3 ángulos que forman el triángulo ABC son iguales, cada uno mide 60º.
EBC = ABC/2 = 30º (EC es la bisectriz del ángulo ABC)
ECB = ACB/2 = 30º (EB es la bisectriz del ángulo ACB)
Como los ángulos del triángulo BEC suman 180º, el ángulo que queda, el CEB,
medirá 180 - 30 - 30 = 120º
ACD = 180 - ACB = 180 - 60 = 120º
Por tanto BEC = ACD
Teorema de la altura
El teorema de la altura establece que la altura relativa a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a
ésta. Es decir, si h es dicha altura y p y q los citados segmentos, se verifica que
p/h=h/q, o lo que es lo mismo, h2=p·q.
La razón por la que se cumple esta igualdad es porque la altura AH divide al
triángulo ABC en otros dos que son semejantes y por tanto sus lados son
proporcionales. Son semejantes porque tienen los ángulos iguales (ambos son
rectángulos y los dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares).
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a las suma de los cuadrados de los catetos, siendo la hipotenusa el lado que se
opone al ángulo recto.
Demostración del teorema de Pitágoras:
Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del
teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el
cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura siguiente.
El área de este cuadrado será (b+c)2.
Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen
tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de
antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos
rectángulos azules (b·c/2) más el área del cuadrado amarillo (a2):
Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño
más 4 veces el área del triángulo:
(b+c)2 = 4·(b·C/2)+a2
b2+c2+2bc = 2bc+ a2 ! a2 = b2+c2
Teorema del cateto
"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella"
c/b=b/m
c/a=a/m
En el triángulo ADC
En el triángulo BCA
Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones
Triángulo de Morley
En todo triángulo las semirrectas que dividen cada uno de los ángulos en tres
partes iguales determinan un triángulo equilátero.
Teorema de Ceva
Este teorema establece la condición que deben cumplir tres puntos situados
sobre los tres lados de un triángulo y no coincidentes con los vértices, para que
los segmentos que unen esos puntos con los vértices se corten en un mismo
punto.
Consideremos un triángulo ABC y tres rectas que pasan cada una por un vértice
distinto del triángulo y que no contienen a los lados del triángulo. Llamamos a
los puntos de intersección de esas rectas con los lados Z, X e Y (ver figura).
La condición necesaria y suficiente para que las tres rectas se corten en un
mismo punto es: (BX/XC)*( CY/YA)*(AZ/ZB) = 1.
Teorema de Menelao
El teorema de Menelao proporciona un criterio de alineación, lo mismo que el
teorema de Ceva proporciona un criterio de concurrencia.
Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus
prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los
puntos X, Y, Z estén alineados es que
(BX/XC)*( CY/YA)*(AZ/ZB) = 1
Teorema de Napoleón
Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus
lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo
equilátero (O1O2 O3) conocido como triángulo de Napoleón exterior.
Análogamente si se construyen sobre los lados del triángulo ABC triángulos
equiláteros interiores, sus centros también determinan un triángulo equilátero
(P1P2P3) conocido como triángulo de Napoleón interior .
Existe una interesante propiedad que relaciona las áreas de los tres triángulos:
El área del triángulo ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos
de Napoleón exterior e interior .
Parece ser que Napoleón era aficionado a la Geometría y alguno de los
resultados anteriores le ha sido atribuido. En cualquier caso no está muy claro
que sus conocimientos geométricos fueran suficientes para llegar a establecer
los resultados descritos.
Teorema de las Bisectrices
Si en un triángulo ABC consideramos el punto de intersección P de la bisectriz
interior del ángulo C con el lado opuesto se cumple: AP/PB = CA/CB. Si Q es el
punto de intersección de la bisectriz exterior correspondiente al vértice C con la
prolongación del lado AB tenemos: AQ/QB = CA/CB. De ambas igualdades
obtenemos: AP/PB = AQ/QB.
Teorema de las bisectrices y cuaterna armónica
En las igualdades anteriores hemos considerado todas las longitudes positivas,
que es la forma en la que el teorema interesa cuando se pretende utilizar para
resolver problemas geométricos prácticos.
Si consideramos los segmentos orientados, es decir con signo positivo o
negativo según la alineación de todos los puntos respecto a uno que se toma
como referencia, también se cumple la igualdad AP/PB = AQ/BQ.
Cuando dos puntos P y Q cumplen la igualdad anterior, se dice que P y Q
dividen al segmento AB armónicamente o que los cuatro puntos constituyen
una cuaterna armónica.(Muchas veces se escribe la igualdad anterior de forma
equivalente del siguiente modo: AP/PB = - AQ/QB) .
La cuaterna armónica y la circunferencia de Apolonio serán tratadas en otra
página que añadiremos en breve.En cualquier caso lo que queda establecido
por el teorema de las bisectrices es que las dos bisectrices de un ángulo (C) de
un triángulo determinan sobre la recta que contiene al lado opuesto dos puntos
que separan armónicamente a los otros dos vértices (A y B).
Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a
triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un
triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa
(el lado más grande del triángulo).
El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es
recto (o sea, mide exactamente 90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan,
por ejemplo, en el triángulo rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos
dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.
Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que
despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.
así por ejemplo, en el triángulo:
hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está
sumando, la paso restando:
c2- b2 = a2
Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:
a2 = c2 - b2
y ya está despejada.
sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)
a2 = (15)2 - (12)2
elevamos al cuadrado y queda:
a2 = 225 - 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:
3. Ley de los senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen
entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver
ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas)
son los ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra
mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo
opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así
cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te
saldrá mal.
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir
de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver
con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los
cosenos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un
lado, usa ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la
ley del coseno.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43°
y A al lado de 5.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A=5
B=?
C=?
a = 43°
b = 27°
c=?
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos
de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de
un triángulo, el tercero siempre sale así:
c = 180° - a - b
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o
apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
c= 110°
Ya tenemos entónces los tres ángulos a, b y c.
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
sustituyendo queda:
Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:
haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe
ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como
el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):
y calculamos ésta expresión:
3.32838 = B
y esto es lo que vale B.
Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos,
pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:
(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)
Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado
izquierdo multiplicando arriba):
hacemos las operaciones y queda:
6.88925 = C
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos
usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:
o escrito ya sin el término de en medio:
igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado
izquierdo multiplicando arriba):
y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.
4. Ley del coseno
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un
triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que
quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos.
La ley del Coseno dice así:
y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,
entónces dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas)
son los ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra
mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo
opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así
cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te
saldrá mal.
Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y
el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:
Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los
lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la
ley de los senos.
Resolución de triángulos por la ley del Coseno
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir
de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver
con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos
lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un
lado, usa ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley
de los cosenos.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide
12 porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al
lado b.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A=?
B=9
C = 12
a = 25°
b=?
c=?
Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
realizando las operaciones queda:
A = 5.4071
Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, :
Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar
queda:
Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad:
de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo
que queremos despejar está abajo, es como sigue:
invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo
arriba-:
luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del
otro lado.
y así es más rápido.)
haciendo las operaciones nos queda:
inviértelo para que quede bien escrito:
sen (b) = 0.7034297712
y saca la función inversa del seno (el arcoseno):
b = sen-1 (0.7034297712)
b = 44. 703 = 44° 42'
El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos
internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos
ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
c = 180° - a - b
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o
apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
c = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17'
c= 110°17'
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
El teorema y sus aplicaciones
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de
Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso
particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando
, el teorema del coseno se reduce a:
que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.
Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y
saber determinar

el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados
adyacentes:
.

los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos
muy agudos utlizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy
pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es
muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos
semejantes ABC y A'B'C'