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Estadística
Examen tipo del primer parcial
Semestre 2011-2
Instrucciones: 1. Responder tres preguntas de cada parte. 2. Cada pregunta vale un
punto. 3. Se otorgará hasta un punto por la calidad conjunta de las respuestas. 4. El
examen tendrá la misma estructura y preguntas similares.
I.
Probabilidad
1. De la siguiente distribución:
X
0
1
2
F(x)
0.3
0.3
0.4
Calcular los índices de simetría y curtosis.
¿Qué conclusiones se obtienen de los índices derivados calculados respecto de las
características de la distribución?
2. Considere la función: f(x)=140[ x3(1–x)3], 0<x<1
a) Muestre que ésta es propiamente una función de densidad para una variable aleatoria
X.
b) Obtenga media, moda, varianza y curtosis de X.
3. Dada la función de densidad de probabilidad exponencial:
f(x;θ) = θe-θx, θ>0, x>0
a) Demostrar que cumple las propiedades de una función de densidad de probabilidad.
b) Derivar su función generadora de momentos para determinar: media,varianza,
asimetría y curtosis.
4.
Dos variables aleatorias X y Y tienen la siguiente función de densidad de
probabilidad conjunta:
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑘𝑒
a)
b)
c)
−(2𝑥+3𝑦)
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Determine el valor de k para que cumpla las propiedades correspondientes.
Calcule las funciones de probabilidad marginales de X y Y.
Calcule P(X<1, Y>0.5)
1
5.
“En general los momentos no caracterizan a las distribuciones y cuando
lo hacen frecuentemente necesitamos un número infinito de momentos para
caracterizarlas.” Analice y discuta.
II.
Muestra aleatoria
1.
Explique porqué la distribución conjunta se puede usar para describir la
heterogeneidad y la dependencia entre variables aleatorias.
2. La función de densidad de distribución conjunta de x e y está dada por:
f ( x, y, )  xe x (1 y ) , x  0, y  0
Calcular, respectivamente, las distribuciones marginales de x e y, a la vez que las
condicionales f(x/y), f(y/x).
3. La función de densidad de X y Y variables aleatorias está dada por:
𝑥
𝑒 − ⁄𝑦 𝑒 −𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑦
0
𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑥 < ∞, 0 < 𝑦 < ∞
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Encuentra 𝑃(𝑋 > 1 |𝑌 = 𝑦) y también encuentra 𝑃(𝑋 < 2𝑌).
4.
Suponga que x e y, las proporciones de un día de trabajo que dos
dependientes de una empresa realmente ocupan en desempeñar sus labores asignadas,
tienen una densidad de probabilidad conjunta
𝑥+𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
0
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
a) Obtenga las distribuciones de probabilidad marginal f(x), f(y).
∞
∞
b) Verifique que ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1, ∫−∞ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 1,
c) Obtenga las distribuciones de probabilidad condicional f (x|y) y f(y|x).
∞
∞
d) Verifique que∫−∞ 𝑓(𝑥|𝑦)𝑑𝑥 = 1, ∫−∞ 𝑓(𝑦|𝑥)𝑑𝑦 = 1,
e) ¿Hay correlación entre x e y? ¿Son independientes x e y? Justifique
5. Explique intuitivamente porqué una muestra aleatoria ordenada no es
independiente ni idénticamente distribuida.
III.
Muestra no aleatoria
1.
Dadas dos variables aleatorias X e Y que están linealmente relacionadas
y perfectamente correlacionadas; esto es Y=a+bX, donde a y b son dos constantes,
compruebe que: Cov(X, Y)=bVar(X) y que Corr(X,Y)=±1
2. Considerando la función de densidad conjunta:
2
c(x  2y) 0  y  1 0  x  2

f (x, y)  

en otro lado
 0
Determine: el valor de c, la función de distribución conjunta F(x,y), las funciones de
distribución marginales,
la función de densidad condicional f(y|x), la media y la varianza

condicionales de y dado x. ¿Son independientes X y Y? Demuestre y explique.
3.
Sean X y Y variables aleatorias tales que su función de
distribución condicional:
𝑛
𝑓(𝑥|𝑦) = ( ) 𝑦 𝑛−𝑥 (1 − 𝑦)
𝑥
cuando x∈{0,1,…,n} y Y se distribuye uniforme (0,1), i.e., f(y)=1, cuando 0<y<1.
Obtener la función de distribución marginal de X.
4. Considere la variable aleatoria X ∼N(0,1) y defina la variable aleatoria
Y= X - 1. Probar que: Cov(X, Y) = 0 pero las dos variables aleatorias no son
independientes.
2
5.
Explicar la diferencia entre dependencia, correlación y no ortogonalidad
de variables aleatorias.
3