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FACULTAD CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIDAD ACADÉMICA ESCUELA DEMATEMÁTICA TALLER: HISTORIA DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS ELABORADO POR: Mario Castillo Sánchez, mcastill@una.ac.cr Jesennia Chavarría Vásquez, jcha@una.ac.cr HEREDIA, 2010 1. INFORMACIÓN GENERAL Proyecto: Museo Físico y Virtual de Historia y Filosofía de la Matemática, “Juan Félix Martínez” Universidad: Nacional Dirigido a: Secundaria Profesores de Matemática y Estudiantes de Coordinado por: Jesennia Chavarría Vásquez Mario Castillo Sánchez 2. PRESENTACIÓN Con el objetivo de brindar un espacio a la historia de la matemática nace en el seno de la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, el Museo Físico y Virtual de Historia y Filosofía de la Matemática denominado “Juan Félix Martínez” en honor y agradecimiento a este gran educador y matemático. El proyecto planteó dentro de sus objetivos reducir la visión limitante de la matemática en la educación secundaria del país, ofrecer a disposición de todo el público la historia de la matemática, hacer emerger el aspecto humanístico de la matemática y demostrar que el desarrollo matemático corresponde a un esfuerzo colectivo. Para lograr el cumplimiento de los objetivos e intereses propuestos, se han efectuado investigaciones respecto al desarrollo matemáticoempírico en Costa Rica, implementando una labor epistemológica, pero a la vez antropológica, que dentro de sus metodologías implementa la etnografía. Se creó un museo virtual, en el cual se puede acceder a información sobre proyectos, artículos, situaciones didácticas, biografías de matemáticos y matemáticas elaboradas por estudiantes, entre otros. Y finalmente, se creó el proyecto , que propone una reflexión sistemática sobre el aporte de culturas, al desarrollo matemático. El propósito del Proyecto es extender la matemática como construcción social a estudiantes y profesores de secundaria, así como público en general, a través de salas iterativas e interactivas, que mediante exposiciones en diversas temáticas permita un espacio de reflexión y discusión sobre el aporte cultural y social a las matemáticas. La palabra transformate, en sí misma representa la transformación de la percepción de los individuos hacia la matemática. A partir de esta experiencia en investigación y extensión, así como, de la reiteración sobre la importancia de la historia de la matemática en la educación de esta disciplina en diversas investigaciones a nivel internacional, se considera necesario destacar los siguientes aspectos: 1. El desarrollo histórico permite clarificar la comprensión de conceptos y conocimientos matemáticos, es decir, constituye un aporte significativo en la enseñanza de las matemáticas. 2. La contextualización de los conocimientos matemáticos influye sobre la interpretación que los estudiantes hagan de éstos. 3. La matemática debe ser considerada como un ejercicio mental, una construcción social, cuyos resultados han potenciado y provocado cambios revolucionarios en nuestra sociedad. 4. Existe una necesidad latente de los docentes de secundaria de abordar la matemática desde diversas perspectivas, que intervengan en la formación integral del estudiante y que le permitan un mayor acercamiento y comprensión de la disciplina. (Chavarría, Segundo Informe, 2007) A partir de lo anterior, queda en evidencia la necesidad de potenciar el concepto de museo itinerante en educación e historia de la matemática, que acerque a estudiantes de todas las regiones a la construcción y desarrollo de las teorías matemáticas que se discuten en la primaria y secundaria costarricenses. Estas propuestas, que sean enriquecidas por investigaciones que evidencien las relaciones existentes entre las matemáticas y los diferentes aspectos de la cultura nacional (académicos, artísticos, musicales, entre otros). 3. TALLER: Historia de las Ecuaciones Cuadráticas La resolución de ecuaciones cuadráticas supone una herramienta básica en la resolución de diversos problemas y situaciones de la vida cotidiana, de ahí podríamos deducir una de sus principales utilidades. La finalidad principal del taller es exponer dos formas distintas y antiguas de resolver ecuaciones cuadráticas, a partir del aporte de la cultura Babilónica y de la cultura islámica. En este sentido, se pretende poder resolver ecuaciones de este tipo siguiendo los esquemas de razonamiento lógico de dichas culturas. Objetivo General: Evidenciar el aporte de la cultura babilónica y de la cultura árabe en la resolución de ecuaciones cuadráticas Objetivos Específicos: 1. Resolver ecuaciones cuadráticas a través de la metodología implementada por los babilónicos. 2. Resolver ecuaciones cuadráticas a través de la resolución propuesta por los árabes. 3. Fundamentar a través de la utilización del álgebra actual, los procedimientos utilizados por los babilónicos y árabes. 4. Reflexionar sobre el aporte de ambas culturas en el desarrollo de la resolución de ecuaciones. Contextualización El taller está dirigido a profesores de matemática del sistema secundario de Costa Rica 3.1 RESEÑA HISTÓRICA Desde el siglo XVII antes de Cristo, los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia utilizaban razonamientos matemáticos para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. En la cultura egipcia, a través de la escritura jeroglífica, se evidencia la presencia de métodos para la resolución de problemas cotidianos que involucraban ecuaciones de primer grado, particularmente para la repartición de alimento, cosechas o materiales. Los métodos, no obstante, son rudimentarios y corresponden a un álgebra que se podría denominar elemental, pues no utilizan una notación simbólica, aunque vale la pena resaltar que utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I después de Cristo, los matemáticos chinos escribieron el libro El Arte del cálculo, en el cual entre otras temáticas, incluyeron diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este mismo siglo, en la figura del matemático y astrónomo musulmán Al-Khawarizmi, a partir de sus dos libros sobre aritmética y álgebra, se desarrollan diversas reglas para el cálculo numérico, basadas en los algoritmos hindúes y el álgebra, cuyo término utilizado fue “la-yabr”. En el siglo III después de Cristo, ubicados en la cultura helénica, el matemático Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, se trata por primera vez, de forma rigurosa la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado; es a través de este libro que introduce el simbolismo algebraico. Alrededor del año 1202. después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra. En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta. En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz. Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli introducen el uso de los números imaginarios en la resolución de todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado. En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, mediante la cual representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. 3.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS SEGÚN LOS BABILÓNICOS Al analizar cuidadosamente el método para la resolución de ecuaciones cuadráticas, planteado en la matemática babilónica, observaremos que a partir de un argumento completamente numérico, se podía explotar un razonamiento abstracto que permitía la solución de las ecuaciones. Los babilónicos utilizaron para escribir la solución y el procedimiento de resolución de problemas a través de palabras, aunque más adelante usaron ideogramas, con lo cual el lenguaje se simplificó, pero no corresponde a un buen lenguaje matemático. Por ejemplo, para resolver ecuaciones como 7 x 2 6 x 1 , los babilónicos seguían los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5. Multiplicaban el 1 por 7 Tomar el 6 y dividirlo por 2 que es igual a 3 Tomar el 3 y multiplicarlo por él mismo, lo cual da como resultado 9 Tomar el 9 y sumarle 7, cuyo resultado es 16 Encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea 16, es decir, el número 4 1 6. Restarle a 4 lo obtenido en el paso 2, entonces la solución es x 7 A partir del ejemplo planteado 7 x 2 6 x 1 , justifique algebraicamente la resolución numérica planteada por los babilónicos Actividad #1: 1. Resuelva las siguientes ecuaciones a través del método utilizado por los babilónicos Fascículo 4, Resolución de Ecuaciones. MEP, Perú 2 a. 2 x 7 x 15 b. 3x 2 16 x 35 c. x 2 10 x 39 3.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS SEGÚN LOS ÁRABES Uno de los aportes significativos de al-Khwarizmi al álgebra, consiste en la primera demostración geométrica para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Para resolver la ecuación x 2 10 x 39 , al-Khwarizmi traza un cuadrado de lado x , por lo que su área será x 2 como lo muestra la figura. Los segmentos AD y AB se amplían hasta E y F de tal manera que la medida de los segmentos DE y BF es de 5ul , y los rectángulos que se forman tienen de área 5xul )2 como puede verse en la siguiente figura. El cuadrado AFKE se termina de completar, de forma tal que su área es igual a x 2 10 x 25ó( x 5)2 Ahora bien, la ecuación original nos planteaba que x 2 10 x 39 De esta forma, el cuadrado AFKE finalmente tiene como área 64 ul . 2 De donde se deduce que x 3 puesto que: 64 8 5 x 2 2 La solución planteada por Al-Khwarizmi consiste en reglas para resolver ecuaciones según seis tipos de ecuaciones diferentes: 1. Raíces iguales a cuadrados: bx ax 2 2. Raíces iguales a números: bx c 3. Cuadrados iguales a números: ax 2 c 4. Cuadrados y raíces iguales a números: ax 2 bx c 5. Raíces y números iguales a cuadrados: bx c ax 2 6. Cuadrados y números iguales a raíces: ax 2 c bx El ejemplo planteado corresponde al tipo de ecuación tipo 4, es decir, cuadrados y raíces iguales a números o, en lenguaje histórico [mal y 10 raíces igual a 39]. A partir del ejemplo planteado x 2 10 x 39 , justifique algebraicamente la resolución geométrica planteada por AlKhwarismi Actividad #2: 1. Resuelva las siguientes ecuaciones, utilizando el método geométrico planteado por Al-Kwarismi. a. x 2 x 12 b. x 2 4 x 21 c. x 2 2 x 35 d. x 2 3x 70 2. Generalice el tipo de resolución para ecuaciones de la forma ax 2 bx c .