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FACULTAD
CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
UNIDAD ACADÉMICA
ESCUELA DEMATEMÁTICA
TALLER: HISTORIA DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
ELABORADO POR:
Mario Castillo Sánchez, mcastill@una.ac.cr
Jesennia Chavarría Vásquez, jcha@una.ac.cr
HEREDIA, 2010
1. INFORMACIÓN GENERAL
Proyecto:
Museo Físico y Virtual de Historia y Filosofía de la
Matemática, “Juan Félix Martínez”
Universidad:
Nacional
Dirigido a:
Secundaria
Profesores de Matemática y Estudiantes de
Coordinado por:
Jesennia Chavarría Vásquez
Mario Castillo Sánchez
2. PRESENTACIÓN
Con el objetivo de brindar un espacio a la historia de la matemática nace
en el seno de la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, el
Museo Físico y Virtual de Historia y Filosofía de la Matemática
denominado “Juan Félix Martínez” en honor y agradecimiento a este
gran educador y matemático.
El proyecto planteó dentro de sus objetivos reducir la visión limitante de
la matemática en la educación secundaria del país, ofrecer a disposición
de todo el público la historia de la matemática, hacer emerger el aspecto
humanístico de la matemática y demostrar que el desarrollo matemático
corresponde a un esfuerzo colectivo.
Para lograr el cumplimiento de los objetivos e intereses propuestos, se
han efectuado investigaciones respecto al desarrollo matemáticoempírico en Costa Rica, implementando una labor epistemológica, pero
a la vez antropológica, que dentro de sus metodologías implementa la
etnografía. Se creó un museo virtual, en el cual se puede acceder a
información sobre proyectos, artículos, situaciones didácticas, biografías
de matemáticos y matemáticas elaboradas por estudiantes, entre otros.
Y finalmente, se creó el proyecto
, que propone una
reflexión sistemática sobre el aporte de culturas, al desarrollo
matemático.
El propósito del Proyecto
es extender la matemática
como construcción social a estudiantes y profesores de secundaria, así
como público en general, a través de salas iterativas e interactivas, que
mediante exposiciones en diversas temáticas permita un espacio de
reflexión y discusión sobre el aporte cultural y social a las matemáticas.
La palabra transformate, en sí misma representa la transformación de la
percepción de los individuos hacia la matemática.
A partir de esta experiencia en investigación y extensión, así como, de la
reiteración sobre la importancia de la historia de la matemática en la
educación de esta disciplina en diversas investigaciones a nivel
internacional, se considera necesario destacar los siguientes aspectos:
1. El desarrollo histórico permite clarificar la comprensión de conceptos y
conocimientos matemáticos, es decir, constituye un aporte significativo
en la enseñanza de las matemáticas.
2. La contextualización de los conocimientos matemáticos influye sobre
la interpretación que los estudiantes hagan de éstos.
3. La matemática debe ser considerada como un ejercicio mental, una
construcción social, cuyos resultados han potenciado y provocado
cambios revolucionarios en nuestra sociedad.
4.
Existe una necesidad latente de los docentes de secundaria de
abordar la matemática desde diversas perspectivas, que intervengan en
la formación integral del estudiante y que le permitan un mayor
acercamiento y comprensión de la disciplina.
(Chavarría, Segundo
Informe, 2007)
A partir de lo anterior, queda en evidencia la necesidad de potenciar el
concepto de museo itinerante en educación e historia de la matemática,
que acerque a estudiantes de todas las regiones a la construcción y
desarrollo de las teorías matemáticas que se discuten en la primaria y
secundaria costarricenses. Estas propuestas, que sean enriquecidas por
investigaciones que evidencien las relaciones existentes entre las
matemáticas y los
diferentes aspectos de
la
cultura
nacional
(académicos, artísticos, musicales, entre otros).
3. TALLER: Historia de las Ecuaciones Cuadráticas
La resolución de ecuaciones cuadráticas supone una herramienta básica en
la resolución de diversos problemas y situaciones de la vida cotidiana, de
ahí podríamos deducir una de sus principales utilidades.
La finalidad principal del taller es exponer dos formas distintas y antiguas de
resolver ecuaciones cuadráticas, a partir del aporte de la cultura Babilónica
y de la cultura islámica. En este sentido, se pretende poder resolver
ecuaciones de este tipo siguiendo los esquemas de razonamiento lógico de
dichas culturas.
Objetivo General:
Evidenciar el aporte de la cultura babilónica y de la cultura árabe en la
resolución de ecuaciones cuadráticas
Objetivos Específicos:
1. Resolver ecuaciones cuadráticas a través de la metodología
implementada por los babilónicos.
2. Resolver ecuaciones cuadráticas a través de la resolución propuesta por
los árabes.
3. Fundamentar a través de la utilización del álgebra actual, los
procedimientos utilizados por los babilónicos y árabes.
4. Reflexionar sobre el aporte de ambas culturas en el desarrollo de la
resolución de ecuaciones.
Contextualización
El taller está dirigido a profesores de matemática del sistema secundario de
Costa Rica
3.1 RESEÑA HISTÓRICA
Desde el siglo XVII antes de Cristo, los matemáticos de Mesopotamia y de
Babilonia utilizaban razonamientos matemáticos para la resolución de
ecuaciones de primer y segundo grado.
En la cultura egipcia, a través de la escritura jeroglífica, se evidencia la
presencia de métodos para la resolución de problemas cotidianos que
involucraban ecuaciones de primer grado, particularmente para la repartición
de alimento, cosechas o materiales.
Los métodos, no obstante, son
rudimentarios y corresponden a un álgebra que se podría denominar elemental,
pues no utilizan una notación simbólica, aunque vale la pena resaltar que
utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la
incógnita.
Alrededor del siglo I después de Cristo, los matemáticos chinos escribieron el
libro El Arte del cálculo, en el cual entre otras temáticas, incluyeron diversos
métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este mismo siglo, en la
figura del matemático y astrónomo musulmán Al-Khawarizmi, a partir de sus
dos libros sobre aritmética y álgebra, se desarrollan diversas reglas para el
cálculo numérico, basadas en los algoritmos hindúes y el álgebra, cuyo término
utilizado fue “la-yabr”.
En el siglo III después de Cristo, ubicados en la cultura helénica, el matemático
Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, se trata por primera vez,
de forma rigurosa la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado; es a
través de este libro que introduce el simbolismo algebraico.
Alrededor del año 1202. después de viajar al norte de África y a Oriente, donde
aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa,
mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco)
obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos
estudiosos de la aritmética y el álgebra.
En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa
occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación
exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan
indistintamente exponentes positivos o negativos.
En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos
"+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las
iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se
utilizaban para expresar la suma y la resta.
En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el
símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: Este
símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o
raíz.
Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo
Cardano y Rafael Bombelli introducen el uso de los números
imaginarios en la
resolución de todas las ecuaciones de
segundo, tercero y cuarto grado.
En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una
notación
algebraica
muy
cómoda,
mediante
la
cual
representaba las incógnitas con vocales y las constantes con
consonantes.
En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó
la geometría y el álgebra inventando la "geometría
analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la
cual las constantes están representadas por las primeras
letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas
por las últimas, x, y, z.
3.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS SEGÚN LOS
BABILÓNICOS
Al analizar cuidadosamente el método para la resolución de ecuaciones
cuadráticas, planteado en la matemática babilónica, observaremos que a partir
de un argumento completamente numérico, se podía explotar un razonamiento
abstracto que permitía la solución de las ecuaciones.
Los babilónicos utilizaron para escribir la solución y el procedimiento de
resolución de problemas a través de palabras, aunque más adelante usaron
ideogramas, con lo cual el lenguaje se simplificó, pero no corresponde a un
buen lenguaje matemático.
Por ejemplo, para resolver ecuaciones como 7 x 2  6 x  1 , los babilónicos
seguían los siguientes pasos:
1.
2.
3.
4.
5.
Multiplicaban el 1 por 7
Tomar el 6 y dividirlo por 2 que es igual a 3
Tomar el 3 y multiplicarlo por él mismo, lo cual da como resultado 9
Tomar el 9 y sumarle 7, cuyo resultado es 16
Encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea 16, es decir, el
número 4
1
6. Restarle a 4 lo obtenido en el paso 2, entonces la solución es x 
7
A partir del ejemplo planteado 7 x 2  6 x  1 , justifique
algebraicamente la resolución numérica planteada por los
babilónicos
Actividad #1:
1. Resuelva las siguientes ecuaciones a través del método utilizado por los
babilónicos
Fascículo 4, Resolución de
Ecuaciones. MEP, Perú
2
a. 2 x 7 x  15
b. 3x 2  16 x  35
c. x 2  10 x  39
3.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS SEGÚN LOS
ÁRABES
Uno de los aportes significativos de al-Khwarizmi al álgebra, consiste en
la primera demostración geométrica para la resolución de ecuaciones
de segundo grado.
Para resolver la ecuación x 2  10 x  39 , al-Khwarizmi traza un cuadrado
de lado x , por lo que su área será x 2 como lo muestra la figura.
Los segmentos AD y AB se amplían hasta E y F de tal manera que la
medida de los segmentos DE y BF es de 5ul , y los rectángulos que se
forman tienen de área 5xul )2 como puede verse en la siguiente figura.
El cuadrado AFKE se termina de completar, de forma tal que su área es
igual a x 2  10 x  25ó( x  5)2
Ahora bien, la ecuación original nos planteaba que x 2  10 x  39
De esta forma, el cuadrado AFKE finalmente tiene como área 64 ul  .
2
De donde se deduce que x  3 puesto que:
64   8    5  x 
2
2
La solución planteada por Al-Khwarizmi consiste en reglas para resolver
ecuaciones según seis tipos de ecuaciones diferentes:
1. Raíces iguales a cuadrados: bx  ax 2
2. Raíces iguales a números: bx  c
3. Cuadrados iguales a números: ax 2  c
4. Cuadrados y raíces iguales a números: ax 2  bx  c
5. Raíces y números iguales a cuadrados: bx  c  ax 2
6. Cuadrados y números iguales a raíces: ax 2  c  bx
El ejemplo planteado corresponde al tipo de ecuación tipo 4, es decir,
cuadrados y raíces iguales a números o, en lenguaje histórico [mal y 10 raíces
igual a 39].
A partir del ejemplo planteado x 2  10 x  39 , justifique
algebraicamente la resolución geométrica planteada por AlKhwarismi
Actividad #2:
1. Resuelva las siguientes ecuaciones, utilizando el método geométrico
planteado por Al-Kwarismi.
a. x 2  x  12
b. x 2  4 x  21
c. x 2  2 x  35
d. x 2  3x  70
2. Generalice el tipo de resolución para ecuaciones de la forma ax 2  bx  c
.