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Ejercicios Propuestos
1.- Demostrar que: Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo I , tales
que f '( x)  g '( x) para todo x en I , entonces existe una constante K tal que
f ( x)  g ( x)  K para toda x en I . (Sugerencia: Considere la función
h( x )  f ( x )  g ( x ) )
2.- Demuestre que: Sea g una función derivable y sea el contradominio de g algún
intervalo I. Supongamos que f es una función definida en I y que F es una
antiderivada de f en I. Entonces
 f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g ( x))  c
3.- Demuestre que: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces
ln(ab)  ln a  ln b
4.- Demuestre que: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces
a
ln( )  ln a  ln b
b
5.- Demuestre que: Si a es cualquier número positivo y r es cualquier número
racional, entonces ln a r  r ln a
6.- Demuestre que: Si a es un número positivo real cualesquiera y x es un número
real, entonces ln a x  x ln a
7.- Demuestre que: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces
e a eb  e a  b .
8.- Demuestre que: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces
ea
 e a b
eb
9.- Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces (ea )b  eab
10.- Demuestre que:
(a) tanh x 
1
ctghx
(b) cosh 2 x  senh 2  1
(c) 1  tanh 2 x  sec h 2 x
(d) 1  ctgh2 x   csc h2 x
(e) senh( x  y )  senhx cosh y  senhy cosh x
(g) senh2x  2senhx cosh x
(f) cosh( x  y )  cosh x cosh y  senhxsenhy
(h) cosh 2 x  cosh 2 x  senh 2 x
11.-Demuestre el teorema #33 de la guía teórica.
En los siguientes ejercicios, 12 al, calcular la antiderivada
13.-  10 3 x 2 dx
12.-  u 2 du
3
1 

16.-   3 x  3 dx
x

19.-

3
23.-  ( x3  3) 4 x5 dx
1

20.-

24.-
 sen
27.-
 y csc3 y ctg 3 y dy
30.-
 sen2 x 2  cos 2 xdx
33.-
 x( x
2
2
39.-

3
r
2
2
)
sen3t
3
21.-
3s  1
tdt
t 3

31.-
y3
 (3  y)
2

32.-

x2  2 x
dx
35.-

3
dr
2
2
 1  t 1
37.-   t  
dt
2
 t t
40.2
43.-
 cos 3t  1 dx
47.-
2 5 x
 e dx
 senxsen(cos x)dx
44.-

cos 3 x  3
dx
sen3 x
48.-  e2 x e3 x dx
49.-
38.-
41.-
45.-
x
 y ln y
2 2x
 x e dx
3
2
46.-
dx
3  s ( s  1) 2 ds
42.-
dx
50.-
3  2xx 2 dx
1 dx
3x x 2
x3  3x 2  1
1  x 2  (1  x 2 )3
 2 x
dy
1
xdx


26.-  csc 2 4xdx
29.-
sec2 3 t
 t dt
34.-
22.-
25.-  6x 2 senx 3 dx
xdx
3
dx
 (2  x
18.-  (4 csc xctgx  2sec 2 x)dx
2
1
3
 2 3

15.-   3  2  5  dx
x
x

x ( x  1)dx
sds
 1) 4  2 x 2  x 4 dx
(r 3  4)4

28.-  cos x(2  senx)5 dx
2
1
36.-
y4  2 y2 1
dy
y
17.-
3 x  4dx
14.-

dx
2x 1
 x( x  1) dx
1
dx
x ( x  1)
1  e2 x
 e x dx
51.-

dx
1 4x
2
rdr
55.-

59.-

63.-
(1  x) dx
 1  x2
67.-
 3
71.-
ln x
 x2 (ln x  1)2 dx
75.-
e x dx
 e2 x  2e x  1
16  9r 2
ds
2s  s
2
dx
1 2x
dx
 25
52.-
x
56.-
e x dx
 7  e2 x
53.-
 4x
57.-

dx
x2
61.-

sec 2 xdx
 1  9 tan 2 x
65.-
e
x
60.-
64.-
2
68.-
2
dx

x 1
72.-
76.-


69.-
e2 x  1
77.-
senxdx

62.-
3x  x  2
dx
 e x
y2
2
e y dy
66.-
x
58.-
2  cos 2 x
73.-
 x2  4x  2
dx
x  16
2
x
54.-
2
dx
 y4
dx
dx

70.-
xdx
 16
4
dx
 (1  x)
 (t  3)
x
2dt
t 2  6t  5
dx
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )
x
tan 1 xdx
 1  x2
x(2 x  3)( x  5)
dx
x3
2
cos(1  x3 )dx
74.-

78.-
 x log
1  senxdx
dx
5
x