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ECUACIONES Y SISTEMAS
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a)
2 x 2  3x  0
d)
3x 2  1  0
g)
6 x 2  13 x  5  0
b)
x 2  6x  0
e)
x 2  x  12  0
h)
2 x 2  3x  2  0
c)
9x 2  4  0
f)
2x 2  x  3  0
i)
x 2  2 3x  9  0
2.- Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)
1
1
5


x x 1 6
f)
8
6
14


x  8 x  5 2 x  15
b)
4
2x 1

3
x 1 1 x
g)
2 x  1 2 x  1 16


2 x  1 2 x  1 15
c)
4
5
7


4 x x4 6
h)
x
3
2x  2


x  2 4  x2
x2
d)
1
3
11


3 x x  1 30
i)
3x  3 x 2  2 7 x  1

 2
x 1
x 1
x 1
e)
5
3
7


x 5 x 4 x 3
j)
2x
x  5 2x  7


0
x 3 x  3 9  x2
3.- Encuentra un número sabiendo que su cuadrado menos su triple es igual a trece veces un número tres
unidades menor que el número buscado.
4.- El producto de dos números impares consecutivos es 833 unidades menor que el cuadrado del doble
del menor. Encuentra dichos números.
5.- Descompón el número 9 en dos sumandos tales que la razón entre la suma de sus cubos y la suma de
sus cuadrados sea 27/5.
6.- Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud
de cada lado sabiendo que el área de dicho triángulo mide 24 cm2.
7.- Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 240 m2, sabiendo que el largo es 6 m
mayor que el triple del ancho.
8.- El perímetro de un triángulo rectángulo es de 90 m y el cateto mayor tiene 3 m menos que la
hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.
9.- Las diagonales de un rombo se diferencian en 9 cm, si se aumentaran ambas en 4 cm, el área
aumentaría en 90 cm2.¿Cuánto miden las dos diagonales?
10.- Halla la arista de un cubo sabiendo que si esta aumenta en 3 cm su volumen aumenta en 1647 cm 3.
3
ECUACIONES Y SISTEMAS
11.- Dentro de 8 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la que tenía hace 16 años. ¿Qué edad
tiene Pedro actualmente?
12.- Varios amigos van a repartirse una bolsa de 30 caramelos en partes iguales, pero entonces aparece
otro amigo más y cada uno recibe un caramelo menos. ¿Cuántos amigos eran?
13.- Dos caños que vierten agua juntos tardan dos horas en llenar un depósito. Manando separadamente,
el primero emplea en llenar el depósito tres horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tarda cada
uno de los caños en llenar, por separado, el depósito?
14.- Una máquina cosechadora tarda 5 horas más que otra en segar un terreno y las dos juntas lo siegan en
6 horas. ¿Cuánto tiempo tarda cada una de ellas en segar, por separado, el mismo terreno?
15.- Un vehículo recorre 210 km. Si aumentara su velocidad en 5 km/h, tardaría 12 minutos menos en
realizar el recorrido. ¿Qué velocidad llevaba?
16.- Un barco sube por un río 19200 m. Para bajar emplea 8 minutos menos que al subir, pues la fuerza de
la corriente le ayuda y puede incrementar su velocidad en 120 m/min respecto de la velocidad de
subida. ¿Cuánto tiempo tarda en la subida y en la bajada?
17.- El número 365 es el número de días que tiene un año no bisiesto, pero además, es un número curioso;
es la suma de los cuadrados de tres números consecutivos. Calcúlalos.
18.- Los socios de una peña quinielística juegan mensualmente 520 €. Si hubiera 7 socios más, cada uno
de ellos aportaría 14 € menos. ¿Cuántos socios tiene la peña?
19.- Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6360 km., ¿a qué altura, sobre el nivel del mar, deberíamos
colocarnos para tener un alcance visual de 45 km.?
20.- Un tratante de ganado ha comprado 11 corderos a 147 € cada uno. Se le mueren cierto número de
ellos y, para no perder dinero, vende el resto aumentando el precio de cada uno de ellos en tantas
veces 21 € como corderos ha perdido. ¿Cuántos corderos han muerto?
21.- (*) Una pieza de cartón es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm 3
cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones
de la caja.
22.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por raíces:
a)
2 y 4
b) 2/3 y 3
9
ECUACIONES Y SISTEMAS
c)
2 5 y
d)
5
3 2 2 y 3 2 2
23.- ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes de una ecuación de segundo grado para que sus raíces
sean opuestas?
24.- Escribe la ecuación de segundo grado que tenga por raíces las inversas de las de la ecuación
x 2  4x  3  0 .
25.- Resuelve la ecuación
10
5
  6 y escribe otra que tenga por raíces los cuadrados de las raíces de
x3 x
la ecuación dada.
26.- Encuentra dos números sabiendo que su suma es 1 y su producto es 20 .
27.- Halla dos números sabiendo que su suma es 1 y la suma de sus inversos es 1 / 6 .
28.- (*) Escribe la ecuación de segundo grado que tenga por raíces las inversas de la ecuación
x 2  4 x  2  0 . Haz el problema sin resolver la ecuación.
29.- ¿Cómo tienen que ser los coeficientes de la ecuación x 2  bx  c  0 para que sus dos raíces sean
positivas? ¿Y para que las dos sean negativas?
30.- Sin resolver las ecuaciones, averigua el signo de las raíces de las ecuaciones siguientes:
a)
6 x 2  11x  3  0
b)
2 x 2  5x  2  0
31.- Halla el valor de m para que la ecuación x 2  m  3x  3m  0 tenga una solución doble.
32.- Busca m para que la ecuación 2 x 2  6mx  3m 2  9  0 tenga una raíz doble que la otra.
33.- Encuentra el valor de m para que la ecuación x 2  3m  1x  5m  1  0 tenga una raíz un cuarto de
la otra.
34.- Calcula el valor de m sabiendo que las raíces de la ecuación x 2  m  3x  2m  2  0 se diferencian
en 5 unidades.
35.- Halla el valor de m para que la ecuación x 2  m  2x  4m  2  0 tenga una raíz 9 unidades
superior a la otra.
2
ECUACIONES Y SISTEMAS
36.- Escribe, sin hacer operaciones, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son opuestas a las de la
ecuación 2 x 2  3x  2  0 .
37.- (*) Halla el valor de m en la ecuación x 2  10 x  m  0 para que la suma de los cuadrados de sus
raíces sea 68.
38.- (*) Halla el valor de m sabiendo que los inversos de las raíces de la ecuación x 2  m  1x  2m  0
suman 5/4.
39.- Las ecuaciones x 2  x  3m  0 y 2 x 2  3x  m  0 tienen una raíz en común. Calcula el valor de m.
40.- (*) Encuentra una ecuación de segundo grado cuyas raíces son números impares consecutivos y
además los inversos de dichas raíces se diferencian en 2/15.
41.- (*) Halla el valor de m para que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación
x 2  m 1x  5m  0 sea igual a 34.
42.- Resuelve los siguientes sistemas:
a)
x  y  29 

xy  100 
g)
x 2  y 2  2 xy  9



3y  x  7

b)
x 2  y 2  20 

x  2 y 
h)
x 2  y 2  25 

x  y  25 
c)
4 5

  1
x y

xy  80 
i)
x 2  y 2  169 

x  y 2  289 
d)
2 x 2  3 y 2  1

2 x  3 y  1 
j)
e)
xy  y 2  7 x  41


2x  3 y  4 

6

 8

y
(*)

5
y   3

x
f)
x
k) (*)
x 2  y 2  666 
x y



7 5
l)
43.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
11
x 2  y 2  7

xy  12 
x 2 y  xy 2  2

1 
(*) 1 1
 
x y
2 
ECUACIONES Y SISTEMAS
a)
x 2  y 2  z 2  20 

x y  2


yz 6

b)
x 2  2 y 2  z 2  8

x  y 2  z 2  2 
3x  y 2  1 

c)
xy  z  5 

x  y 2  z  6
2 x  y  3 
2
44.- Las dos cifras de un número suman 9. El producto de ese número por el que resulta de invertir el
orden de sus cifras es 2268. Calcula dicho número.
45.- Encuentra un número de dos cifras si se sabe que la suma de las cifras es 13 y que si a su cuadrado se
le aumenta en 768 unidades, resulta el cuádruplo del cuadrado del número formado al invertir el
orden de las cifras del número buscado.
46.- Halla una fracción tal que sus dos términos se diferencian en dos unidades, y que la suma de dicha
fracción con su inversa es igual a 34/15.
47.- Averigua los lados de dos cuadrados si sabemos que la suma de sus áreas es 808 cm 2 y la suma de
sus perímetros 160 cm.
48.- En un semicírculo hay dos cuerdas paralelas separadas por 3 cm. que miden 18 y 24 cm. ¿Cuál es el
radio de la semicircunferencia?
49.- (*) Calcula un número de 3 cifras sabiendo que sus cifras suman 9, que si al número buscado se le
resta el que resulta al invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, y además, la cifra de las
decenas es media aritmética de las otras dos.
50.- (*) En una clase se ha repartido un premio por su participación en un concurso matemático. Si el
número de alumnos hubiese sido 10 más, a cada uno le tocarían 5 € menos y si hubiese habido 5
alumnos menos, en el reparto, cada alumno habría recibido 5 € más. Calcula el número de alumnos
de la clase.
51.- (*) Un campesino tiene bueyes que comen la misma cantidad de pienso todos los días. Si vendiese 15
bueyes el pienso duraría 3 días más y si comprase 25, el pienso duraría 3 días menos. Halla el
número de bueyes y el número de días que puede alimentarlos.
52.- (*) En un rectángulo ABCD trazamos la diagonal BD y por A y C dibujamos las perpendiculares a
dicha diagonal que la cortarán en los puntos M y N. Estos puntos dividen a la diagonal en tres trozos
de igual longitud: 5 dm. ¿Cuánto valen los lados del rectángulo?
1
BICUADRADAS E IRRACIONALES
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a)
x 4  2x 2  0
g)
36 x 4  85 x 2  9  0
b)
x 4  34 x 2  225  0
h)
400 x 4  41x 2  1  0
c)
x 4  12 x 2  64  0
i)
36 x 4  13 x 2  1  0
d)
x 4  13 x 2  12  0
j)
x 4  13 x 2  36  0
e)
x 4  8x 2  24  0
k)
4 x 4  68 x 2  225  0
f)
4x 4  7 x 2  2  0
l)
3x 4  2 x 2  8  0
2.- Halla la solución de las siguientes ecuaciones:
a)
x 6  10 x 3  16  0
d)
x 8  7 x 4  12  0
b)
x 6  35 x 3  216  0
e)
x10  30 x 5  64  0
c)
8x 6  15 x 3  2  0
f)
16 x 8  255 x 4  16  0
e)
x3  3
20
 3
3
x 4
3.- Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones:
a)
x 2  32
28
 2
0
4
x 9
b)
2 x 2  17 
36
x
x 4
2
c)
d)
x 1
2

x2 3
2x  4
2
f)
2
x 3
(*)
 4x
x 4
2
2
21  x

g) (*)
2
x2  2
h) (*)
x 4
2
5x
x 2 1
4x
9  x2

13 x 2 x  2

45
x2

x  4 2x 2

x 1
3

x  1 1  2x 2

x3
5
4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
x 2  y 2  10 

xy  3 
b)
x 2  y  7

x 2 y  12 
d) (*)
e)
1

 7

y

3
x2  y  
4 
3x 2 
c)
xy  y  3


y  ( y  2) x  6 y  5  0
3


(*)

32 
x3 y  x  2 
x  2 
1 1 1
 
x y 2
5.- ¿Cuánto vale la suma de las raíces de una ecuación bicuadrada?
6.- Escribe una ecuación bicuadrada sabiendo que tiene como raíces a:
a)
1 y 4
b)
13
5 y 2
BICUADRADAS E IRRACIONALES
c)
3 y  5
d)
2 y
3
7.- ¿Puede ser que una ecuación bicuadrada tenga como raíces a 1 ,1, 3 y 2 ?
8.- (*) Calcula el valor de m en la ecuación mx 4  5x 2  m  3  0 , si sabemos que tiene 4 raíces y que
el producto de dichas raíces es 4.
9.- (*) Halla los valores de m para que la ecuación x 4  4mx 2  5m  6  0 tenga dos soluciones dobles.
10.- (*) Sea la ecuación ax 4  bx 2  c  0 con c  0 . Si sabemos que la ecuación tiene cuatro raíces
reales, ¿qué signo deben tener los coeficientes a y b? ¿Qué signo tendrá entonces el producto de las
raíces?
11.- Encuentra un número sabiendo que la diferencia entre su cuarta y segunda potencia es 600.
12.- Halla un número tal que su cuadrado más 4 unidades por su cuadrado menos 4 unidades coincide con
15 veces su cuadrado.
13.- Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a)
1 x  4
g)
x4  x4 
x 1
x4
b)
x 2  13  x  13  0
h)
c)
2x  1
9 x 5 
3
d)
3x  5  x  2 x  3
i)
2 x  4  x  3x  2  0
j)
5 x  x 
e)
f)
x 2  3x  6  3 x 2  3x  6  4
22 x
4 x

4 x
x
3
5 x
3x  6 x x  1
 
2
3
3
14.- Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones:
a)
3x  10  x  2  2
g)
2 x 1  30  x  5x  14
b)
3x  1  2 x  1  1
h)
3x  2  x  2  6x  4
c)
5  x  1  2x
d)
2x  15  2  x  4
e)
4 x  9  x  6  8x  1
f)
x  13  2x  3  16x  1
12
BICUADRADAS E IRRACIONALES
15.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
x  y  1

2 y  x  2 
2

15
x
y

y  x  2 
1
b)
c)
(*)
1



x 2  7  y  11

x y2 0 

d) (*)
x 1  y  0 

1
1

 1

x 1
2y

e)

 y  5

x2
12 

x2
y 
4
(*)
16.- Encuentra dos números impares consecutivos tales que la tercera parte del mayor excede en 10
unidades a la raíz cuadrada del menor.
17.- Calcula un número de tres cifras sabiendo que es igual la cifra de las decenas que la de las centenas,
que la suma de sus cifras es 9 y que la raíz cuadrada de dicho número coincide con el triple de cifra
de las unidades.
18.- La suma de las raíces cuadradas de las cifras de un número de dos cifras suman 5. Halla dicho
número sabiendo que supera en 45 unidades al que resulta de invertir el orden de sus cifras.
19.- Hoy la edad de Lucas es la raíz cuadrada de la de Juan y dentro de 4 años la edad de Juan
cuadruplicará a la de Lucas. ¿Qué edades tienen?
20.- Calcula la edad de dos personas sabiendo que hace 5 años las raíces cuadradas de sus edades diferían
en una unidad y que hace diecinueve años la edad del mayor doblaba a la edad del menor.
12
BICUADRADAS E IRRACIONALES
SOLUCIONES
ECUACIONES Y SISTEMAS
1.a) x  3 / 2, x  0
b) x  6, x  0
c) x  2 / 3
d) No existe solución
e) x  4, x  3
f) x  1, x  3 / 2
g) x  1 / 3; x  5 / 2
h) No existe solución
i) x  3 3, x  3
2.-
a) x  3 / 5, x  2
b) x  3 / 5, x  2
c) x  68 / 7, x  2
d) x  1 / 11, x  10
e) x  5, x  31
f) x  34 / 5, x  10
g) x  1/ 8, x  2
h) x  1, x  7
i) x  3, x  2
j) x  4, x  2
3 y 13
17 y 19
6 y3
6,8,10 cm
Ancho 8 m, largo 30 m
15, 36 y 39 m
16 y 25 cm
22.a) x 2  2 x  8  0
b) 3x 2  11x  6  0
c) x 2  3 5 x  10  0
d) x 2  6 x  1  0
23.- b  0
24.- 3x 2  4 x  1  0
25.- 4 x 2  101 x  15  0
26.- 4 y 5
27.- 2 y 3
28.- 2 x 2  4 x  1  0
29.- b negativo, c positivo;
b positivo , c positivo
30.- a) positivas b) negativas
31.- m  3
32.- m  3 y m  3
33.- m  3 y m  7 / 36
34.- m  6 y m  4
35.- m  3 y m  23
2 x 2  3x  2  0
m  16
m  2 / 7
m0, m2
2

 x  8 x  15  0
40.- 
2

 x  8 x  15  0
41.- m  3
42. x  4 y1  25
a)  1
 x 2  25 y 2  4
36.37.38.39.-
 x  1 y1  2
g)  1
 x2  8 y 2  5
h) x  13 y  12
 x1  5 y1  12
 x  5 y  12

2
i)  2
x

12
y
3 5
 3
 x 4  12 y 4  5
 x  5 y1  2
j)  1
 x2  8 / 3 y2  9 / 8
 x  4 y1  3
k)  1
 x 2  4 y 2  3
 x  2 y1  1
l)  1
 x 2  1 y 2  2
43.a)
 x1  4 / 3 y1  10 / 3

 z1  8 / 3
x  0 y  2 z  4
 2
 x1  1 y1  2 z1  1
 x  1 y  2 z  1
 2
2
2

x

1
y

2
z

1
3
3
 3
 x 4  1 y 4  2 z 4  1
 x1  2 y1  1 z1  3

 x 2  1 y 2  1 z 2  6
3.b)
4.5.6.c)
7.8.9.44.- 36 o 63
10.- 12
45.- 94
11.- 24 años
 x1  4 y1  2
46.- 3 / 5 o 5 / 3
12.- 5 amigos
b) 
47.- 18 cm y 22 cm
x


4
y


2
2
 2
13.- 3 y 6 horas
48.- Radio  15 cm
c) x  8 y  10
14.- 10 y 15 horas
49.- 432
15.- 70 Km/h
d) x  1 y  1
50.- 20 alumnos, 15 €
16.- 40 y 32 
51.- 75 bueyes, 12 días
 x1  5 y1  2
17.- 10,11 y 12
e) 
 x 2  77 / 2 y 2  27 52.- 5 3 cm y 5 6 dm
18.- 13 socios, 40 €
19.- 15 9 196 m
 x  21 y1  15
20.- 4 corderos
f)  1
21.- Ancho 22 cm, largo
 x 2  21 y 2  15
26 cm
BICUADRADAS E IRRACIONALES
1.x  1 / 2
f)
a) x  0 doble,
g)
x  1 / 3, x  3 / 2
2.x  1 / 5, x  1 / 4
h)
x   2,
a)
x  2, x  3 2
i)
x  1 / 3, x  1 / 2
x  5, x  3
b)
b)
x  2, x  3
j)
x  2, x  3
x  2
c)
d) No existe
c)
x  1 / 2, x   3 2
k)
x  3 2 / 2, x  5 2 / 2
solución
d)
x   2 , x  4 3
e) No existe
solución
l)
x  2 3 / 3
e)
x  2, x  5 2
13
BICUADRADAS E IRRACIONALES
f)
x  1 / 2
14
3.a)
x  4, x  5
b) x  2, x  3 2 / 2 c) x  3, x  3 2 / 2 d) x  2, x   5
g) x  2, x   3
f) x  2
e) x  2, x  3 9
4.-
a)
 x1  1, y1  3
 x  3, y  1
 2
2

x


1
,
y 3  3
3

 x 4  3, y 4  1
b)
x  2, y  1
5.- 0
6.a)
x 4  17 x 2  16  0
7.- No
8.- m  1
9.- m  2 , m  3 / 4
10.- a positivo, b negativo
Producto positivo
11.- 5
12.- 4
13.a)
x9
b)
x7
c)
x  5
d)
x7
e)
x  2, x  5
f)
x4
g)
x5
h)
x4
i)
x9
j)
x4
14.x  2
a)
b)
x  1, x  5
c)
x4
d)
x  3, x  5
x  10
e)
f)
x3
x  26
g)
h)
x2
15.a)
x  16 y  9
b)
x  9 y  25
c)
 x1  2, y1  3

 x  3, y 2  4
b)  2
 x 3  2, y 3  3
 x   3, y  4
4
 4
 x1  5 3 / 3 y1  4 / 3

 x  2 y1  1

c)  x 2  5 3 / 3 y 2  4 / 3 d)  1
 x 2  4 y 2  1
 x 3  1 y 3  1 / 4
x  1 y  1/ 4
4
 4
b) x 4  29 x 2  100  0 c) x 4  8 x 2  15  0 d) x 4  5x 2  6  0

 x1  3 2 y1  16


 x2  3 y 2  7
 x1  3 y1  2

 x 2  3 / 4 y 2  1 / 2
e)
x2 y9
16.- 49 y 51
17.- 225
18.- 94
19.- Lucas 6 años, Juan 36 años
20.- 41 y 30 años
d)
15