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ÁLGEBRA LINEAL – IQ - IA - LA
FCEQyN–UNaM – Año 2015
TRABAJO PRÁCTICO N° 0
Ej. N° 1: Pruebe si las siguientes operaciones en los conjuntos dados especifican
una ley de composición interna:
a) A= { x = a + b 3 / a, b ϵ Z } con la adición.
b) La media aritmética ma = ½ (a+b) en Q.
c) A = { x = a 7 / a ϵ Z } con la multiplicación.
Ej.N°2: En el conjunto Z se define  mediante: a  b  a  b  3 .Pruebe que el par
(Z,  ) es un grupo abeliano y resuelva la ecuación: 2  x  3 = 9.
Ej.N°3: a , b  Z se define la siguiente ley: a  b  2ab . Halle el simétrico de 2 (si
existe).
Ej.N°4: a , b  Z - 1 se define la siguiente ley: a  b  a  b  ab .
a) Pruebe si se cumple la ley conmutativa y la existencia de elemento neutro.
b) ¿Qué pasaría si a =1?.
c) Halle el inverso de 5 (si es posible).
Ej.N°5: a , b  E se define la siguiente ley: a  b  3ab .
a) Pruebe si la ley definida es ley de composición interna cuando E = N.
b) Estudie las propiedades cuando E = Z e indique la estructura del par Z ,  .
Ej. N° 6: Determine si el par ( G,  ) es grupo:
a) G =  x/ x = 2 k + 1 ˄kZ,  es el producto ordinario.
b) G =  x/ x = 3 k ˄kZ,  es la adición en Z.
Ej. N° 7: Sean A ≠  y T(A) el conjunto de todas las funciones biyectivas de A en
A, es decir: T(A) = f : A → A / f es biyectiva. Pruebe que (T(A), o) es un grupo,
donde “o” es la composición de aplicaciones.


Ej. N° 8: Sea: A= x  a  b 3 / a, b  Z , compruebe que A es un anillo conmutativo y
con unidad con la suma y el producto ordinarios de números reales.
Eduardo Daniel FERNÁNDEZ – Jefe de Trabajos Prácticos
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Ej.N°9: En Z2se definen la adición y la multiplicación mediante:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
y
(a, b) . (c, d) = (ac, 0)
Verifique que (A, + , .) es un anillo. ¿Es conmutativo?.
Ej.N°10: Sea F el conjunto de todas las funciones cuyos dominios y codominios
son los números enteros. Muestre que si el conjunto F se dota de las operaciones:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
y
(f . g)(x) = f(x) . g(x),
f, g  F , es un anillo.
Ej.N°11: Pruebe que (R, +, •) es un cuerpo.
Ej.N°12: Considere en R las operaciones:
x y = x + y
y
x  y = 2xy
Muestre que R para las operaciones definidas tiene estructura de cuerpo.
Ej.N°13: Considere el conjunto A = ( x,1)  R 2 / x  R y las operaciones definidas
por: (x, 1)  (y, 1) = (x + y, 1)
y
(x, 1)  (y, 1) = (xy, 1) .
Pruebe que (A,  ,  ) es un cuerpo.
Eduardo Daniel FERNÁNDEZ – Jefe de Trabajos Prácticos
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