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CENTRO CULTURAL UNIVERSITARIO
VARIABLES
ALEATORIAS
DEFINICION DE CADA UNA DE ELLAS
DPC
21/01/2016
Variable aleatoria
Una variable aleatoria o variable estocástica es una función que asigna un valor, usualmente
numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, los posibles resultados de tirar
un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc. o un número real (p.e., la temperatura máxima medida a lo
largo del día en una ciudad concreta).
Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un
experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente
existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente,
una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar
diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se
den los diferentes valores. En términos formales una variable aleatoria es una función definida
sobre un espacio de probabilidad.
Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios
como valores lógicos, funciones o cualquier tipo de elementos (de un espacio medible). El término
elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto
relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas
(habitualmente por orden o tiempo).
Definición de variable aleatoria
Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar.
Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser
medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada
al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona
cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir.
Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.
Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran
número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de
modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De
este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al
experimento y números reales.
Definición formal
Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio de probabilidad,
, asociado a un experimento aleatorio.1 2
La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la
teoría de la medida, concretamente la noción σ-álgebra o la de medida de probabilidad.3 4 Dado
un espacio de probabilidad
y un espacio medible
, una aplicación
es una variable aleatoria si es una aplicación
-medible. En el uso
ordinario, los puntos de
no son directamente observables, sólo el valor de la variable en
el punto
por lo que el emento probabilístico reside en el desconocimiento que se tiene del
punto concreto .
En la mayoría de usos práctios se tiene que el espacio medible de llegada es
, quedando pues la definición de esta manera:
Dado un espacio de probabilidad
cualquier función
-medible donde
una variable aleatoria real es
es la σ-álgebra boreliana.
Rango de una variable aleatoria
Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función
, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho
de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:...
Ejemplos
Ejemplo 1
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de
resultados elementales posibles asociado al experimento, es:
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz"). Podemos asignar entonces a cada suceso
elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable
aleatoria X como la función
dada por
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto
Ejemplo 2
El nivel X de precipitación registrado un día concreto del año, en una ciudad por una estación
meteorológica concreta. El espacio muestral que incluye todos los posibles resultados puede
representarse por el intervalo
. En este caso el espacio muestral es más complicado
porque incluiría especificar el estado de la atmósfera completo (una aproximación sería describir
el conjunto de posiciones y velocidades de todas las moléculas de la atmósfera, que sería una
cantidad de información monumental o usar un modelo más o menos complejo en términos de
variables macroscópicas, como los modelos metereológicos usados actualmente).
Podemos revisar la serie histórica de precipitaciones y aproximar la distribución de probabilidad
de X y consturir una aproximación
. Nótese que en este caso la distribución de
probabilidad no es conocida, sólo se conoce la distribución muestral (la serie histórica) y se
conjetura que la distribución real no se aleja mucho de esta aproximaxión
Si la serie histórica es suficientemente larga y representa un clima que no difiere
significativamente del actual estas dos úlitmas funciones diferirán muy poco.
.
Caracterización de variables aleatorias
Tipos de variables aleatorias
Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario
conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un
número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que
haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente5 (es
decir, un cojunto infinito numerable sin puntos de acumulación). Para variables con valores en
las variables aleatorias se clasifican usualmente en:

Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La
variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de
cuantía. (Véanse las distribuciones de variable discreta).

Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido es un conjunto no
numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable
abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la
estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua
ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.6
(Véanse las distribuciones de variable continua).
Las definiciones anteriores pueden generalizarse fácilmente a variables aleatorias con valores
sobre
o
. Esto no agota el tipo de variables aleatorias ya que el valor de una variable
aleatoria puede ser también una partición, como sucede en el proceso estocástico del restaurante
chino o el conjunto de valores de una variable aleatoria puede ser un conjunto de funciones como
el proceso estocástico de Dirichlet.
Bibliografía

Peña Sánchez de Rivera, Daniel (2008). Fundamentos de Estadística (1ª edición). Alianza
Editorial. p. 688. ISBN 9788420683805.

Ropero Moriones, Eva (2009). Manual de estadística empresarial (1ª edición). Delta
Publicaciones. p. 200. ISBN 9788492453214.