Download Las matemáticas y el espacio

UTILIZA MATEMÁTICAS:
LAS MATEMÁTICAS
Y EL ESPACIO
Carla Martínez Parejo, carla.martinez.parejo@gmail.com
1º Bachillerato, IES Ana María Matute
ÍNDICE
HISTORIA DE LOS SATÉLITES................................................................................................................ 3
PRIMEROS SATÉLITES ....................................................................................................................... 3
SATÉLITES EUROPEOS ...................................................................................................................... 4
LEYES DE KEPLER .................................................................................................................................. 6
PRIMERA: LEY DE LAS ÓRBITAS ........................................................................................................ 6
SEGUNDA: LEY DE LAS ÁREAS .......................................................................................................... 6
TERCERA: LEY DE LOS PERIODOS .................................................................................................... 6
EL SISTEMA GPS .................................................................................................................................... 8
TELECOMUNICACIONES ..................................................................................................................... 10
SATÉLITES Y METEREALOGÍA ............................................................................................................ 12
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 16
2
HISTORIA DE LOS SATÉLITES
La humanidad siempre ha estado muy interesada en el espacio. Ha habido gran
cantidad de científicos y personajes célebres que han trabajado en el descubrimiento
de teorías matemáticas y en el desarrollo de tecnología que nos permitiera aumentar
nuestro conocimiento lo máximo posibles.
En el siglo XX la humanidad dio los primeros pasos para alcanzar la conquista del
espacio. Esto se logró con el desarrollo de las diferentes carreras espaciales que
iniciaron países como Estados Unidos y la Unión Soviética (URSS), que hoy en día es
la actual Rusia. Estas surgieron debido a la rivalidad que había entre estos países
durante la Guerra Fría, el deseo de obtener mejores resultados y más rápido que el
oponente impulsaron ambas carreras, alcanzando logros como el primer hombre que
fue al espacio, el ruso Yuri Gagarin, o la llegada a la Luna de la misión Apolo 11.
PRIMEROS SATÉLITES
Los soviéticos fueron los primeros en situar un satélite artificial en órbita, el Sputnik1
(su traducción al castellano es “Satélite”). Se usaron complejo conocimientos de
matemáticas y física para poder realizar su lanzamiento y esas han sido las bases
para los posteriores lanzamientos de innumerables misiones que le han precedido.
Algunas teorías que usaron para que el lanzamiento de este satélite fueran:


Leyes de Kepler
Ecuación del movimiento central
𝑎(1 − 𝑒 2 )
𝑟=
1 + 𝑒 cos 𝜃
Relaciona la 1ª y 2ª Ley de Kepler

Ecuación de Gauss o de los mínimos cuadrados
(𝐻 𝑇 𝑊0−1 𝐻 + 𝑃0−1 )Δ𝑋 = 𝐻 𝑇 Δ𝑦 + (𝑋 − 𝑋0 )𝑃0−1
Relaciona las observaciones de la trayectoria con las ecuaciones del movimiento
reduciendo de esa manera el error entre amabas.
3
Después del lanzamiento del Sputnik 1 muchas misiones le precedieron, enviando
diferentes tipos de satélites para obtener información sobre el espacio. Se centraron
en diferentes aspectos, entre los que destacaba el deseo de enviar a seres vivos al
espacio, estudiar la composición de la atmósfera y sobre todo, la meta de llegar a la
luna.
Entre esas misiones destacan el primer satélite meteorológico llamado Vanguard 2 y
que Estados Unidos puso en órbita el 17 de Febrero de 1959. Este fue diseñado para
estudiar el movimiento de las nubes en la atmósfera y su densidad. Al ser el primer
satélite lanzado de esta categoría no estaba preparado para medir durante un periodo
de tiempo prolongado.
Unos años más tarde Estados Unidos volvió a lanzar un satélite, pero esta vez su
función principal era las comunicaciones. Telstar fue el primer satélite de
telecomunicaciones comercial del mundo, fue lanzado el 10 de Julio de 1962 y fue
diseñado principalmente para telefonía y comunicaciones de alta velocidad.
En 1964 Estados Unidos también innovó con el lanzamiento de Transit o NAVSAT
(Navy Navigation Satellite System), el primer satélite de navegación y predecesor
del GPS. Al principio fue usado para la localización de submarinos y elementos
militares, pero posteriormente y tras el lanzamiento de misiones similares empezó a
tener un uso cotidiano hasta llegar a nuestros días.
SATÉLITES EUROPEOS
La carrera espacial Europea empezó
en 1960 con la creación de diferentes
agencias espaciales, pero entre ellas
destaca la formación de la ESA en el
año 1973, la cual sigue en
funcionamiento hasta nuestros días,
siendo una delas agencias espaciales
más importantes del mundo.
Esta agencia empezó mucho más
tarde que en otros países, pero
4
cuentan con un amplio abanico de satélites que proporcionan gran partes de servicios
alrededor del mundo. Entre ellos destacan el Meteosat, que proporciona información
meteorológica a gran cantidad de países europeos y que ya se encuentra en su
tercera generación, que está siendo puesta en funcionamiento este año. Hispasat,
que es el primer satélite español de comunicaciones, centrándose en el ámbito
comercial y gubernamental. Y por último la misión Galileo, que es el sistema de la
ESA equivalente al GPS que se encuentra aún en proceso de finalización estimando
este en 2020.
5
LEYES DE KEPLER
Las Leyes de Kepler son unas de las más importantes leyes de física relacionadas con
astronomía que existen. Fueron formuladas por Johannes Kepler para describir el
movimiento de las órbitas de los diferentes planetas del sistema solar alrededor del
Sol. Las dos primeras leyes fueron formuladas en 1609 y la tercera años después, en
1618.
PRIMERA: LEY DE LAS ÓRBITAS
Los planetas describen órbitas
elípticas, encontrándose el sol
en uno de los focos.
SEGUNDA: LEY DE LAS ÁREAS
El radio vector que une un
planeta y el Sol barre áreas
iguales en tiempos iguales
TERCERA: LEY DE LOS PERIODOS
El cuadrado del periodo de
cualquier planeta, es
proporcional al cubo del
semieje mayor de su órbita.
6
DESARROLLO DE LA TERCERA LEY
o
La fórmula de la fuerza centrípeta es la fuerza que actúa sobre un cuerpo en
movimiento sobre una trayectoria curvilínea:
o
𝐹𝑐 =
𝑚𝑣 2
La fuerza centrípeta es igual a la fuerza gravitatoria.
𝑟
𝐹𝑐 = 𝐹𝑔
Por tanto:
Constante gravitacional
Masas
o
𝑚𝑣 2 𝐺𝑀𝑚
= 2
𝑟
𝑟
𝐺𝑀𝑚𝑟
2
𝑣 = 𝑟
𝑚
Sustituimos
Simplificamos
𝑣2 =
2
Distancia
Fórmula velocidad orbital de un satélite: 𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
Por tanto:
2𝜋𝑟 2 𝐺𝑀
(
) =
𝑇
𝑟
𝐺𝑀
𝑟
Periodo revoluciones satélite
4𝜋 2 𝑟 2 𝐺𝑀
=
𝑇2
𝑇
4𝜋 2 𝑟 2
𝑇 2 = 𝐺𝑀
𝑟
𝑇2 =
4𝜋 2 𝑟 3
𝐺𝑀
Sustituimos
Simplificamos
o
C= constante
𝐶=
4𝜋 2
𝐺𝑀
𝑇2 =
4𝜋 2 𝑟 3
𝐺𝑀
𝑇 2 = 𝐶𝑟 3
7
EL SISTEMA GPS
DEFINICIÓN: El sistema GPS permite conocer las coordenadas de un objeto
deseado en cualquier momento y con una gran precisión gracias a los cálculos que
realizan una serie de satélites que giran alrededor de la Tierra en una órbita
geoestacionaria.
El GPS, o Sistema de Posicionamiento Global (Global
Positioning Sistema) es un sistema de navegación
que consta de 24 satélites que se encuentran en seis
órbitas alrededor de la tierra. Originalmente el
sistema GPS estaba pensado para uso específico
militar para el rastreo de fuerzas enemigas. En los
años 80 el gobierno de Estados Unidos lo puso a
disposición de la población civil.
Para la localización de un objeto en la Tierra es necesario que al menos cuatro
satélites sean capaces de transmitir su posición y hora a un receptor que se encuentra
en la superficie terrestre. El sistema GPS es capaz de acceder a cualquier objeto,
incluso a un objeto móvil.
También, a lo largo de los años, ha mejorado
considerablemente la cartografía y la topografía de la que
disponemos. Para esto los diferentes satélites realizan
barridos de la superficie para la obtención de mapas
obteniendo la latitud, longitud y altitud.
Otra de sus
funciones, y relacionada con la anterior, es establecer rutas
para elementos en movimiento, sus usos principales son
marítimos o aéreos, pero se ha empezado a aplicar a
vehículos terrestres de todo tipo, para ello estos deben
disponer de un ordenador con mapas actualizados.
CÁLCULO DE LA POSICIÓN DE UN OBJETO EN LA SUPERFICIE TERRESTRE
Ecuación del pseudo rango
Pseudo rango
r
Error reloj
𝑃𝑖 = √(𝑥 − 𝑥𝑖 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑖 )2 + (𝑧 − 𝑧𝑖 )2 + 𝑏𝑐
?
Receptor
?
?
Receptor (mensaje de
navegación)
?
ti, xi, yi, zi
8
1.
Para poder calcular la posición de un objeto primero obtendremos las ecuaciones
del pseudo rango, que contienen información que nos aportan los satélites
mediante un mensaje de navegación. Habrá una ecuación por satélite necesitando
un mínimo de cuatro (para poder resolver las cuatro incógnitas x, y, z, b).
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑏) = (𝑥 − 𝑥𝑖 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑖 )2 + (𝑧 − 𝑧𝑖 )2 − (𝑏𝑐 − 𝑃𝑖 )2
Ecuación principal para mínimos cuadrados
2.
Aplicamos mínimos cuadrados en la ecuación principal
𝑁
𝑚𝑖𝑛 ∑[(𝑥 − 𝑥𝑖 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑖 )2 + (𝑧 − 𝑧𝑖 )2 − (𝑏𝑐 − 𝑃𝑖 )2 ]
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝐻 = [𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ]
−
−
Matriz de observación
3.
N filas
𝑖
2(𝑥 − 𝑥𝑖 ) 2(𝑦 − 𝑦𝑖 ) 2(𝑧 − 𝑧𝑖 ) 2𝑏𝑐
−
=[
]
−
−
4 columnas
Ecuación de mínimos cuadrados: (𝐻 𝑇 𝐻)∆𝑋 = 𝐻 𝑇 𝑝
Y se resuelve:
∆𝑋 = (𝐻 𝑇 𝐻)−1 𝐻𝑇 𝑝
∆𝑋 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑏
𝐻 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑏
4.
No se puede despejar, no
tiene solución cerrada
Aplicamos un método iterativo y damos un valor inicial arbitrario (elegido de
manera inteligente como un punto cercano que se conozca) hasta acercarnos al
valor deseado
∆𝑋 = 𝑋𝐾+1 − 𝑋𝐾 = (𝐻 𝑇 𝐻)−1 𝐻𝑇 𝑝
𝑋𝐾+1 = 𝑋𝐾 + (𝐻𝐾𝑇 𝐻𝐾 )−1 𝐻𝐾𝑇 𝑝
𝐾 = 𝑜 → 𝑋0 → 𝐻(𝑋0 ) = 𝐻0
𝑋1 = 𝑋0 + (𝐻0𝑇 𝐻0 )−1 𝐻0𝑇 𝑝
𝐾 = 1 → 𝑋1 → 𝐻(𝑋1 ) = 𝐻1
𝑋2 = 𝑋1 + (𝐻1𝑇 𝐻)−1 𝐻1𝑇 𝑝
𝐾=2→⋯
𝐾=3→⋯
𝐾 = 𝐾𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Error mínimo aceptable: 𝑑𝐾+1 = √(𝑋𝐾+1 − 𝑋𝐾 )2 + (𝑦𝐾+1 − 𝑦𝐾 )2 + (𝑧𝐾+1 − 𝑍𝐾 )2 < 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
Diferencia entre dos
iteraciones
9
TELECOMUNICACIONES
DEFINICIÓN: El término telecomunicación abarca a la
técnica de transmisión de información desde un punto
hacia otro. Entre este tipo de comunicación podemos
encontrar aquellas en las que intervienen los satélites.
Para poder realizar la transmisión de la información se hace
mediante ondas electromagnéticas. Estas ondas obedecen
las leyes descritas por las ecuaciones de Maxwell en el
espacio.
Campo eléctrico
∇ · 𝐸⃗ = 0
∇ × 𝐸⃗ = −
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗ =0
∇·𝐵
⃗ = 𝜇0 𝜖0
∇×𝐵
Campo magnético
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡
Permisividad eléctrica en
el vacío
Permeabilidad magnética
en el vacío
Los satélites actúan como repetidores de la señal en el espacio. Se transmite la señal desde la Tierra al
espacio y este se encarga de enviarlo a otro satélite o de vuelta a receptores terrestres. De esta manera
podemos clasificar los satélites en:
o
o
Satélites pasivos que se limitan a reflejar la señal.
Satélites activos que amplifican la señal antes de retransmitirla de vuelta a la Tierra.
También puede hacerse una clasificación de satélites de comunicaciones en función de sus tipos de
órbitas. Todos los satélites de este tipo se encuentran en orbitas relativamente cercanas a la tierra fuera
de la atmosfera.
 Satélites LEO (Low Earth Orbit o satélites de órbita
baja) que orbitan alrededor de la Tierra a una distancia
aproximada de 1000 km y a causa de su velocidad son
capaces de dar una vuelta planeta en aproximadamente
en dos horas.
Su función básica es proporcionar datos sobre
movimientos sísmicos y de las placas tectónicas, pero su
uso principal se basa en las comunicaciones.
10



Satélites MEO (Medium Earth Orbita o satélites de órbita media). La distancia a la que orbitan
es aproximadamente de 10000 km y su uso principal es la telefonía y la televisión.
Satélites HEO (Highly Earth Orbit o de orbita alta). A diferencia de los demás describen na
órbita elíptica.
Satélites GEO, describen una órbita geoestacionaria, se destinan a emisiones de televisión y
telefonía. La mayoría de las comunicaciones que tenemos hoy en día se basan en este tipo de
satélites.
ESQUEMA SOBRE TIPOS DE TELECOMUNICACIONES Y LA FRECUENCIA DE
TRANSMISIÓN DE LOS SATÉLITES
11
SATÉLITES Y METEREALOGÍA
DEFINICIÓN: Los satélites
meteorológicos son un tipo de
satélites que se usan para
supervisar tanto el clima en la
tierra como en la atmosfera,
además de ser capaces de ver la
contaminación.
Existen
dos
tipos
de
satélites
meteorológicos en función de las
órbitas
que
realizan:
los
geoestacionarios y los polares.
o
Los satélites geoestacionarios:
Giran alrededor de la tierra sobre el ecuador a una altura
aproximada de 36000km en lo que se llama órbita geosíncrona. Transmiten información del hemisferio que se
encuentra por debajo de él. La información de estos
satélites es la que suele usarse en los medios de
comunicación para el pronóstico meteorológico.
Una órbita geoestacionaria es aquella en la cual el
periodo orbital (T) tiene la duración de un día sidéreo con
lo que el satélite gira a la vez que la Tierra manteniendo
su posición fija respecto a esta.
3ª Ley de Kepler
𝑇 2 4𝜋 2
=
𝑟 3 𝐺𝑀
398600,4418 km3/s2
𝑇 2 𝐺𝑀
√
𝑟=
4𝜋 2
3
Sirve para calcular cualquier orbita de un satélite geoestacionario
12
CÁLCULO DE LA ÓRBITA DE METEOSAT Y DEMÁS SATÉLITES CON LA MISMA ÓRBITA
3
𝑟= √
𝑇 2 𝐺𝑀
4𝜋2
Sustituimos
T= 24h 56’ 04’’=86164s
GM= 398600,4418 km3/s2
861642 · 398600,4418
√
𝑟=
= 42164 𝑘𝑚
4𝜋 2
3
ℎ = 𝑟 − 𝑅⊕
Radio Tierra
ℎ = 42164 − 6378 = 35786 𝑘𝑚
Satélite MSG (METEOSAT SECOND GENERATION)
EUMETSAT, Darmstadt, Alemania
o
Los satélites polares:
Orbitan de norte a sur a una altura aproximada de 800
km, pudiendo captar así información de cualquier punto
de la Tierra, además de que sus imágenes tienen mayor
resolución debido a su proximidad. Este tipo de satélites
se utilizan para estudiar los fenómenos climatológicos y
su evolución. Estos satélites suelen moverse en órbitas
helio-síncronas que mantienen su orientación respecto
de la dirección del Sol.
Debido a esto puede ir haciendo barridos de toda la superficie terrestre al combinar
el movimiento del satélite con el movimiento de rotación de la Tierra.
13
CONSEGUIR QUE EL PLANO ORBITAL SIGA LA DIRECCIÓN DEL SOL
2
3
𝑅𝑒
2𝜋
̇Ω = − 𝐽2 [
cos 𝑖
]
2 𝑎(1 − 𝑒) 𝑇
𝑎3
𝑇 = 2𝜋 √
𝐺𝑀
→
2𝜋
𝐺𝑀
=√ 3
𝑇
𝑎
Radio Tierra
Ω̇ = −
Achatamiento Tierra
1,082·10-3
3
𝑅𝑒2
𝐺𝑀
√
𝐽2 2
cos 𝑖
2
𝑎 (𝑎 − 𝑒)2 𝑎3
Inclinación órbita
Semieje mayor
Excentricidad
e =0 en una órbita circular
Quieres alcanza el valor para
seguir el movimiento del Sol
Ω̇ =
𝑘 cos 𝑖
7
𝑎2
=
360°
365,25 𝑑í𝑎𝑠
Un claro ejemplo de esto es MetOp (satélite polar meteorológico de EUMETSAT):
a= 7200km
i= 98,7º
Ω = 1,72·10-4 rad/día =0,98º
Gira al día en plano órbital
Satélite MetOp
EUMETSAT, Darmstadt, Alemania
14
Sala de control de MetOp
EUMETSAT, Darmstadt, Alemania
15
BIBLIOGRAFIA
https://es.wikipedia.org/wiki/Telstar_(sat%C3%A9lite)
http://88.12.30.36/joomla/index.php?option=com_content&view=article&id=184:sateliteatmosferico&catid=56:medio-ambiente&Itemid=88
http://www.monografias.com/trabajos5/graun/graun.shtml
http://www.monografias.com/trabajos12/comsat/comsat.shtml
https://es.wikipedia.org/wiki/Hispasat
https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler
https://en.wikipedia.org/wiki/Eccentricity_(mathematics)
http://forum.lawebdefisica.com/entries/251-Demostraci%C3%B3n-de-la-3%C2%AA-ley-de-Keplerpara-%C3%B3rbitas-circulares
http://www.monografias.com/trabajos18/gps-solucion/gps-solucion.shtml
https://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_meteorol%C3%B3gico
https://en.wikipedia.org/wiki/Nodal_precession
http://study.com/academy/lesson/sun-synchronous-orbit-vs-geostationary-orbit.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_meteorol%C3%B3gico
http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-calculate-the-period-and-orbiting-radius-of.html
http://www.esa.int/spaceinimages/Images/2013/11/Satellite_frequency_bands
http://definicion.de/telecomunicacion/
https://ccrma.stanford.edu/~juanig/articles/fundfm/Teoria_FM.html
La enciclopedia del estudiante: 13. Tecnología e Informática ISBN 84-9815-183-X
16