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Licenciatura en Economía Empresarial
Profesor Roberto Alonso
Cálculo Financiero y Desarrollado Estadístico Aplicado
Trabajo Práctico Probabilidades-muestreo
Hemos visto que una distribución de probabilidades es una función que relaciona un valor de
la variable aleatoria con la probabilidad de ocurrencia.
Distinguimos las distribuciones en discretas o continuas según la variable aleatoria tuviese una
u otra de esas características.
Entre los modelos de distribución discreta estudiamos la Distribución Binomial y la de Poisson.
Cada una de ellas aplicadas a fenómenos discretos e independientes y de características
distintas en cierto sentido.
En toda distribución de probabilidad debe cumplirse que la suma de las probabilidades de
todos los eventos posibles es igual a 1.
Distribución Binomial.
La forma que toma la distribución está dada por:
P ( x  r / n)  C
n;r
( nr )
r
p (1  p )
La observación de la fórmula permite distinguir los parámetros que determinan la distribución:
n; r y p, es decir, n, el número de pruebas realizadas; r el número de éxitos; y p la probabilidad
de éxitos.
El valor esperado en este tipo de distribuciones está dado por la expresión: E(x)=p*q
La varianza por V =npq.
Distribución de Poisson
Esta distribución supone que los fenómenos discretos estudiados se hallan distribuidos
regularmente en un continuo. Este continuo puede ser temporal o espacial. Por ejemplo, el
número de llamadas por hora que recibe un call center, el número de fallas por centímetro
que puede presentar un ovillo de hilo, etc.
La expresión que modeliza esta distribución está dada por:
e   r
P( x  r /  ) 
r!
Los parámetros que definen al modelo son λ y r.
El parámetro λ hace referencia a la proporción de sucesos observada en el continuo y habrá
que calcularla para las unidades a que haga referencia el problema, por ejemplo: si el
enunciado plantea que llegan 8 personas por hora a una oficina λ= 8 (personas por hora) pero
si queremos calcular la probabilidad de que arriben a la oficina cierto número r de personas
en media hora, tendremos que proporcionar λ a esa unidad de tiempo, es decir, λ =
4(personas cada media hora).
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La esperanza o valor esperado de la variable será: E(X)=λ y su varianza V(x)=λ
Distribuciones continuas: La normal y normal estandarizada.
Las distribuciones normales ocupan un lugar de privilegio en los estudios estadísticos por la
gran variedad d aplicaciones que tienen. Una gran variedad de fenómenos siguen
distribuciones frecuencias que se asemejan a una distribución normal.
Las gráficas normales tienen como características asemejarse a una campana, es suave,
unimodal y simétrica con respecto a su media. La curva además se extiende asintóticamente al
eje x desde -∞ hasta +∞.
En toda distribución normal tenemos que:
a) La probabilidad que la variable aleatoria tenga un valor en un punto determinado es
nula. P(x=a) = 0
b) La probabilidad que la variable tome un valor entre dos
puntos es igual al área bajo la curva normal entre esos dos
puntos. P(a≤x≤b) es igual al área de la curva entre a y b.
c) Al ser la curva simétrica el área a ambos lados de la media vale 0,5.
Distribución normal estándar
Toda distribución normal queda definida por su
media μ y su desviación estándar σ. Cabe destacar
que a mayor valor de σ la curva será más
“achatada” y a menores valores de σ será ” más
puntiaguda”
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Una de las propiedades de la distribución normal es que la probabilidad de que la variable
tome un determinado valor medido en desviaciones estándar es constante. Esto quiere decir,
que sin importar cual es la media y la desviación estándar el valor de la probabilidad de que la
variable se halle, por ejemplo, a una desviación estándar de la media será siempre del 68,26%
aproximadamente.
Esta propiedad permite estandarizar cualquier variable aleatoria que se distribuya
normalmente y calcular el valor de z a partir de distintas tablas. Para hallar el valor z de la
variable estandarizada hacemos
z 
x

Parte práctica
1.
a) Construya tres tablas de distribución de probabilidad binomial para n = 10 y 0≤r≤10
considerando p igual a 0,1; 0,5 y 0,9 respectivamente.
b) Grafique aproximadamente cada distribución.
c) Establezca en cada caso relaciones de orden entre la moda y la media, es decir,
establecer si la media es mayor, igual o menos que la moda.
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d) Relacione los resultados del punto anterior con la simetría que aprecia en las
gráficas del punto b).
2.
3.
4.
5.
6.
El gerente de ventas de una cadena de ventas de insumos para computadoras sabe
que el 30% de las personas que entran los locales de venta lo hace sólo para curiosear.
Sabe además que la probabilidad de que compre algo una persona que entró a
curiosear es 0,2. Por otra parte los que no entrar a curiosear, sino que entran con
intenciones de comprar algo lo hacen en un 85%. Entraron 50 personas al local
a) Calcule la probabilidad que una de las personas que entro para curiosear efectúe
una compra.
b) Calcule que la probabilidad de que dos personas de las que entraron con
intenciones de comprar efectivamente lo hagan.
c) Una persona realizó una compra ¿cuál es la probabilidad que sólo haya entrado
para curiosear?
d) Calcule el valor esperado de ventas debido a la visita de las 50 personas.
Una telefonista puede atender hasta 5 llamados en 10 minutos. Por experiencia, el
gerente de atención al público sabe que en las horas pico sabe que el promedio de
llamadas por hora es de 20.
a) ¿Cuál es la probabilidad que la telefonista deje a alguien sin atender durante las
horas pico?
b) ¿Cuál es la probabilidad que no llame nadie durante 5 minutos?
Cuando en una distribución binomial n mayor que 20 y p es menor igual al 5% se
puede utilizar la distribución de Poisson como una buena aproximación a ella. En ese
caso, λ se reemplaza por el valor esperado E(x) de la binomial. Compruebe esto último
si en una distribución binomial n = 30 y p = 0,04, si r vale 2; 3; y 5 respectivamente.
Sobre la base de la experiencia los encargados de un centro de Revisión Técnica
Obligatoria saben que el 5% de los automóviles que se presentan son rechazados por
deficiencias de distintos tipo. Se esperan que en los próximos días lleguen 200
vehículos para ser revisados, calcule la probabilidad de que entre 15 y 68 sean
rechazados. Verán que se trata de una distribución binomial muy difícil de calcular por
los altos valores que hay que manejar, en estos casos la distribución normal es una
buena aproximación a la solución del problema.
Mediante registros muy rigurosos la supervisión escolar sabe que el tiempo promedio
para realizar una prueba de suficiencia en matemática se distribuye normalmente con
una media de 80 minutos y una desviación de 20 minutos.
a) ¿Qué porcentaje de alumnos presentará la evaluación antes del tiempo medio?
b) Si 100 personas realizan el examen ¿cuántas terminarán antes de la primera hora?
c) Si el tiempo máximo para terminar la prueba es de 2 horas ¿Cuántos alumnos
entregarán el examen sin tiempo para terminarlo?
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Parte práctica muestreo
1) La siguiente tabla contiene cantidad de dinero que tienen en ese momento , 40 persona de
una clase de Estadística: (Puede usar Excel para realizar este práctico)
$151,10
$4,50
$5,45
$1,50
$23,45
$5,20
$3,90
$1,00
$3,65
$12,00
$1,25
$2,15
$34,10
$4,10
$14,35
$2,35
$10,00
$1,60
$7,75
$1,50
$1,00
$1,30
$0,85
$9,00
$1,75
$13,5
$2,70
$2,45
$1,25
$2,50
$12,1
$5,60
$21,20
$11,00
$3,90
$15,60
$8,90
$17,75
$9,15
$8,30
a) Realice un muestreo simple con reposición de 10 muestras de tamaño 5.
b) Calcule la media de cada una de las muestras.
c) Calcule la media de las medias muestrales obtenidas. Compárela con la media
poblacional determinando el error en valores absoluto y porcentual.
d) Construya una tabla de distribución de la media muestral.
e) Represente gráficamente la distribución de muestreo.
2) Una empresa dedicada a la encuestas debe realizar un estudio sobre las preferencias del
público respecto de determinado producto. Para ello han seleccionado una sección de la
ciudad que según su opinión es representativa de la ciudad completa. La sección
comprende 40 manzanas y en cada manzana hay 10 casas. Diseñe un método que en dos
etapas, una etapa para elegir la manzana y otra para elegir la casa de la manzana
seleccionada.
3) Se sabe que el 5% de la producción de determinada máquina no es aceptable por
presentar severas fallas. Ud. debe obtener una muestra de 15 elementos. ¿Cómo puede
usar la tabla de números aleatorios para simular observaciones?
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