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CAPACITANCIA EN CAPACITORES
RONAL ANDRES CEBALLO MEDINA
MAIROM JOSE MARENCO CONTRERAS
OSCAR GUILLERMO PAVA RAMOS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
VALLEDUPAR, CESAR
2016
CAPACITANCIA EN CAPACITORES
RONAL ANDRES CEBALLO MEDINA
MAIROM JOSE MARENCO CONTRERAS
OSCAR GUILLERMO PAVA RAMOS
Informe presentado como requisito de evaluación parcial en la asignatura de
electromagnetismo grupo 15, al profesor
Lic. Juan Pacheco Fernández
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
VALLEDUPAR, CESAR
2016
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN
Muchos dispositivos electrónicos que empleamos en nuestra vida cotidiana como
es el caso de los televisores, computadoras, cargadores de celulares etc. Poseen
dispositivo de almacenamiento de energía llamado condensadores o capacitores.
Aplicando la ley de Gauss y otros principios físicos deduciremos las ecuaciones
para calcular que tanta energía puede almacenar un capacitor y que tanto influye
la simetría.
OBJETIVO GENERAL
Analizar la capacitancia en sistemas de condensadores de distinta formas
geométricas.
OBJETIVO ESPECIFICOS
Indentificar los modelos matemáticos de la capacitancia dependiendo de su forma
geométrica
Precisar las razones por las cuales disminuye la capacitancia al disminuir el área
del capacitor.
Comprobar experimentalmente el valor de la capacitancia de distinto sistemas de
capacitores.
PROBLEMA
Al tener un capacitor (en este caso un capacitor cacero) podemos notar que al
disminuir el área disminuye la capacitancia que este posee para almacenar
energía.
¿Cómo explicar desde los principios físicos el cambio de la capacidad en un
capacitor?
TEORIA
Capacitor: es una clase de elemento de circuito que podemos combinar con otros
para fabricar circuitos electrico, estos almacenan carga y enegía.
Capacitancia: Es la capacidad eléctrica que tiene un cuerpo para mantener una
carga eléctrica. La capacitancia también es un medida de energía eléctrica
almacenada para una diferencia de potencial eléctrico dada.
Carga eléctrica: La carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de algunas
partículas subatómicas que se manifiesta mediante fuerzas de atracción y
repulsión entre ellas.
Diferencia de potencial: Es el impulso que necesita una carga eléctrica para que
pueda fluir por el conductor de un circuito eléctrico.
Material conductor: Son materiales en donde los electrones se mueven con
bastante libertad sobre la superficie del material.
Material dieléctrico: Se denomina dieléctrico a un material con una
baja conductividad eléctrica (σ << 1); es decir, un aislante, el cual tiene la
propiedad de formar dipolos eléctricos en su interior bajo la acción de un campo
eléctrico. Así, todos los materiales dieléctricos son aislantes pero no todos los
materiales aislantes son dieléctricos.
Campo eléctrico: Es un campo físico que perturba el espacio mediante un
modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de
naturaleza eléctrica. Se describe como un campo vectorial.
Ley de Gauss: El flujo eléctrico a través de un área, se define como el campo
eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada sobre un plano
perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general, que se aplica a
cualquier superficie cerrada. Es una herramienta importante puesto que nos
permita la evaluación de la cantidad de carga encerrada.
Densidad de carga superficial: cantidad total de carga (Q) distribuida de manera
uniforme sobre una superficie de área A, la densidad de carga superficial
σ (sigma letra griega minúscula) expresa la cantidad de carga por unidad de
superficie.
PROCEDIMIENTO
Un condensador es un dispositivo que almacena energia, y se llama capacitancia
o capacidad a la cantidad de carga eléctrica que es capaz de almacenar. Existen
distintos tipos de capacitores dependiendo su forma es el caso de los
condensadores de placas parcelas y cilíndrico, también es el caso de la
capacitancia en serie y paralelo.
Para la construcción de un condensador casero de placas paralelas y cilíndrico se
requiere de los siguientes.

Papel aluminio (material conductor).

Bolsa de plástico (material dieléctrico).

Tijera.

Dos bornes.
Para construir un condensador de placas paralelas debemos recortar dos placas
cuadradas de longitud L e introducir un dieléctrico en este caso la bolsa entre las
placas, conectamos lo bornes en cada placa para luego medir la capacitancia con
un multímetro. Después procederemos a recortar el capacitor con el objetivo de
disminuir su área y volveremos a conectar los bornes para medir la capacitancia
que posee el condensador para encontrar la relación del área y la capacitancia.
Para realizar el capacitor cilíndrico tenemos que envolver nuestro primer capacitor
con la finalidad de modelar la capacitancia.
MODELACIÓN
Comúnmente tenemos que la capacidad de un condensador está definida 𝑐 =
Q
∆V
,
pero también encontramos ecuaciones particulares que dependen de la geometría
del capacitor es el caso de un condensador de placas paralelas, cilíndrico y para n
cilindros concéntricos, para un condensador de placas paralelas como el de la
Fig.1.
Fig.1
Tenemos la definición de diferencia de potencial es (∆𝑉 = Ed ) se debe calcular el
campo en dicho condensador de placas paralelas para luego hallar el potencial y
poder calcular una ecuación particular para hallar la capacidad en el condensador.
Aplicando la ley de gauss tenemos que:
ϕ𝐸 = ∮ 𝐄. 𝐝𝐀 =
Q
𝜀𝑜
ϕ𝐸 = ∮ E dA cosθ =
Q
𝜀𝑜
La dirección de los vectores normales van en la misma dirección que las líneas de
campo, formando un ángulo θ = 0 donde el cos0 es 1, entonces:
E ∮ dA =
EA =
Q
𝜀𝑜
Q
𝜀𝑜
Donde la carga encerrada en el capacitor es la carga total.
E=
Q
𝐴𝜀𝑜
Tenemos que ∆𝑉 = Ed remplazando el campo nos queda de la siguiente manera:
∆𝑉 =
Q
d
𝐴𝜀𝑜
∆𝑉 =
dQ
𝐴𝜀𝑜
Como se había mencionado anteriormente la definición de capacitancia es:
𝐶=
Q
∆𝑉
Remplazando el potencial tenemos que:
𝐶=
𝐶=
Q
dQ
𝐴𝜀𝑜
𝐴𝜀𝑜
d
Donde 𝐶 =
𝐴𝜀𝑜
d
; es la capacitancia de un capacitor para placas paralelas. En base
a la ecuación podemos preguntarnos ¿qué pasa con la capacidad si disminuimos
el área de las placas del capacitor, manteniendo la misma distancia de
separación?
Como vemos 𝐶 =
𝐴𝜀𝑜
d
podemos deducir que “C α A” el cual se lee (la capacitancia
es directamente proporcional al área) como se mantiene la distancia constante se
puede ver que la capacitancias disminuye conforme a la disminución de área.
¿Qué sucede si se mantiene el área de las placas constante y disminuimos la
distancia de separación?
Lo que ocurriría es que aumentaría la capacidad del condensador, ya que la
capacitancia es inversamente proporcional a la distancia de separación, es decir
si la distancia aumenta la capacidad disminuye, pero si disminuye la distancia de
separación de las placas la capacidad aumenta.
En la práctica se habla de capacitor con dieléctrico y capacitor sin dieléctrico,
¿pero en realidad hay capacitores sin dieléctrico? La respuesta es no, lo que
ocurre es que hay unos capacitadores donde la constante dieléctrica del material
que separa las placas es mayor que 1 o menor, sea caso anterior donde el
dieléctrico es el aire y su constante es aproximadamente 1 (K=1 donde
k: constante dieléctrica)
Para calcular la capacidad para un capacitor con dieléctrico como el de la fig.2
fig.2
Aplicando la ley de gauss
ϕ𝐸 = ∮ 𝐄. 𝐝𝐀 =
Q
𝐾𝜀𝑜
ϕ𝐸 = ∮ E dA cosθ =
Q
𝐾𝜀𝑜
La dirección de los vectores normales van en la misma dirección que las líneas de
campo, formando un ángulo θ = 0 donde el cos0 es 1, entonces:
E ∮ dA =
Q
𝐾𝜀𝑜
EA =
E=
Q
𝐾𝜀𝑜
Q
𝐾𝐴𝜀𝑜
Tenemos que ∆𝑉 = Ed remplazando el campo nos queda de la siguiente manera:
∆𝑉 =
Q
d
𝐾𝐴𝜀𝑜
∆𝑉 =
dQ
𝐾𝐴𝜀𝑜
Como se había mencionado anteriormente la definición de capacitancia es:
𝐶=
Q
∆𝑉
Remplazando el potencial tenemos que:
𝐶=
Q
dQ
𝐾𝐴𝜀𝑜
𝐶=K
𝐴𝜀𝑜
d
Donde 𝜀 = K𝜀𝑜 ; es la permitividad del dieléctrico.
Se puede establecer una relación con la capacidad del capacitor con dieléctrico
diferente al aire y el capacitor que tiene como dieléctrico al aire.
𝐶𝑜 : Capacidad con dieléctrico como el aire.
𝐶 : Capacidad con dieléctrico diferente del aire.
Como 𝐶𝑜 =
𝐴𝜀𝑜
d
; 𝐶=K
𝐴𝜀𝑜
d
Entonces: 𝐶 = 𝐾𝐶𝑜
Como vemos la capacidad del capacitor cuando tiene dieléctrico diferente al aire
aumenta, pero que pasa con el potencial y el campo.
∆𝑉 : Potencial del capacitor con dieléctrico diferente al aire.
∆𝑉𝑜 : Potencial del capacitor que tiene como dieléctrico al aire.
𝐸 : Campo del capacitor con dieléctrico diferente del aire.
𝐸𝑜 : Campo del capacitor que tiene dieléctrico al aire.
Como: ∆𝑉𝑜 =
𝑑𝑄
𝐴𝜀𝑜
; ∆𝑉 =
𝑑𝑄
𝐾𝐴𝜀𝑜
; entonces: ∆𝑉 =
∆𝑉
𝐾
Podemos notar que el potencial disminuye cuando se le introduce el dieléctrico al
capacitor.
Como: 𝐸𝑜 =
𝑄
𝐴𝜀𝑜
;𝐸 =
𝑄
𝐾𝐴𝜀𝑜
; entonces: 𝐸 =
𝐸𝑜
𝐾
El campo disminuye en un factor k, al introducir un dieléctrico al capacitor.
¿Qué pasaría con la capacitancia de un condensador que en medio de la distancia
entre las placas tenga una parte de dieléctrico aire y otra parte de dieléctrico
diferente al aire?
Como se ha deducido anteriormente 𝐸𝑜 =
𝑄
𝐴𝜀𝑜
;𝐸 =
𝑄
𝐾𝐴𝜀𝑜
; el campo disminuye
cuando tenemos está combinación en los capacitores debido a que se producen
varios campos, uno producido por las placas y un campo producido por el
dieléctrico, el campo producido por el dieléctrico va ser menor que el de las
placas, el campo producido por el dieléctrico va en dirección contraria al que
produce las placas debido a que el dieléctrico se polariza, esto produce que el
campo dentro del capacitor disminuya.
Como: 𝐸𝑜 > 𝐸 ; van en dirección contaría
𝐸𝑇 = 𝐸𝑜 − 𝐸 ; Donde 𝐸𝑇 : es el campo del capacitor.
fig.3
Como se observa en la fig.3 la capacitancia en este sistema se encuentra en
paralelo, por la definición de condensadores en paralelo se puede hallar cada una
de las capacidades por separado y sumarlas, se puede realizar un esquema que
represente el sistema fig.4
∆𝑉
fig.4
Donde el potencial que llega a cada uno de ellos es la misma y la capacitancia del
capacitor será: 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 ; y por la ecuación de capacitancia tenemos que:
𝐶=
𝑄
∆𝑉
; Entonces
𝑄
∆𝑉
=
𝑞1
∆𝑉
+
𝑞2
∆𝑉
; donde 𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2
Para hallar la capacitancia del sistema se calcula la capacitancia por separado y
luego se suman, debido a que hay dos capacitores en el sistema, uno con
dieléctrico distinto al aire y otro con el aire como dieléctrico.
Tenemos que:
𝐶𝑠 = 𝐶𝑜 + 𝐶
𝐶𝑠 =
𝐶𝑠 =
𝐴𝜀𝑜
d
𝜀𝑜
𝑑
+ K
𝐴𝑑 𝜀 𝑜
d
(𝐴 + 𝐴𝑑 𝐾) ; 𝐶𝑠 :Capacitancia del sistema.
Si tenemos un condensador de placas paralelas con un material dieléctrico y
comenzamos a doblarlo nos van a quedar un condensador de placas paralelas
con varias placas y este a su ve quedara en paralelo aumentando así la
capacitancia del sistema como se observa en las siguientes imágenes.
Imagen 1
Imagen 2
Imagen 3
Imagen 4
Imagen 5
Como se puede observar la capacitancia aumenta (la magnitud que se mide en el
multímetro es pasiva en este caso mide en microfaradio).
Anteriormente se había deducido que: 𝐶 =
𝐶=n
𝐴𝑘𝜀𝑜
d
para “n” placas tendríamos que:
𝐴𝑘𝜀𝑜
d
Para un condensador con n cilíndrica concéntrica y con dieléctricos diferente del
aire tenemos que envolver el capacitor de placas paralelas de la imagen 1 de tal
forma que nos quede varios cilindros cada uno de ellos siendo un capacitor, la
capacitancia para este sistema será la suma de cada capacitor cilíndrico pero
antes debemos deducir la ecuación de la capacitancia para un condensador
cilíndrico basado en las fig.6 (a) y fig.6 (b)
fig.6 (a)
fig.6 (b)
ϕ𝐸 = ∮ 𝐄. 𝐝𝐀 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
ϕ𝐸 = ∮ E dA cosθ =
;
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
La dirección de los vectores normales van en la misma dirección que las líneas de
campo, formando un ángulo θ = 0 donde el cos0 es 1, entonces:
E ∮ dA =
EA =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
Donde A es el área de la superficie gaussiana que está dada por: A=2πrl y
𝑙
𝑄𝑖𝑛𝑡 : 𝑄
𝐿
E2πrl =
E=
𝑙𝑄
𝐿𝜀𝑜
𝑄
2πr𝐿𝜀𝑜
Para calcular el potencial en el capacitor cilíndrico tenemos que:
dV = Edr
𝑉
𝑏
∫ 𝑑𝑉 = ∫
𝑉𝑜
𝑎
𝑄
𝑑𝑟
2πr𝐿𝜀𝑜
𝑏
𝑄
𝑑𝑟
V=
∫
2π𝐿𝜀𝑜 𝑎 r
V=
𝑄
(lnb − lna)
2π𝐿𝜀𝑜
𝑏
𝑄𝑙𝑛( )
𝑎
V=
2π𝐿𝜀𝑜
Como el potencial inicial va ser cero entonces podemos decir que ∆V = V
De donde se deduce que ∆V =
siguiente manera 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
𝑏
𝑎
𝑄𝑙𝑛( )
2π𝐿𝜀𝑜
; como la capacitancia está definida de la
; entonces 𝐶 =
𝑄
𝑏
𝑄𝑙𝑛( )
𝑎
2π𝐿𝜀𝑜
; luego la capacitancia para un
condensador cilíndrico estará definida así:
𝐶=
2π𝐿𝜀𝑜
𝑏
𝑙𝑛( )
𝑎
Como habíamos mencionado anteriormente la capacitancia para un
condensador de n cilindros concéntricos y con dieléctrico diferente del aire va
ser la suma de la capacitancia de cada cilindro que conforma el sistema
multiplicada por la constante dieléctrica “K” luego la capacitancia para el
sistema quedara de la siguiente manera:
𝐶𝑠 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛
𝐶𝑠 =
2π𝐿𝜀𝑜 2π𝐿𝜀𝑜 2π𝐿𝜀𝑜
2π𝐿𝜀𝑜
+
+
+ ⋯+
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑙𝑛( 1 ) 𝑙𝑛( 2 ) 𝑙𝑛( 3 )
𝑙𝑛( 𝑛 )
𝑎1
𝑎2
𝑎3
𝑎𝑛
𝑛
2π𝐿𝜀𝑜
𝑏𝑖
𝑖=1 𝑙𝑛( )
𝑎𝑖
𝐶𝑠 = ∑
De esta manera quedara defina la capacitancia del sistema formado por n
capacitores cilindros concéntricos.
BIBLIOGRAFIA
SERWAY, Raymond A. JEWETT, John W. Física Para Ciencia e Ingeniería Vol.2
Sexta Edición. Califonia State Polytechic Universit Pomona. P.70-96
[Citado
el
14
de
Octubre
de
2016]
<https://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_el%C3%A9ctrico
Disponible
en
[Citado
el
14
de
Octubre
de
2016]
Disponible
<http://es.slideshare.net/scorpion910211/elaboracion-de-un-capacitor-casero
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[Citado
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15
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Octubre
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Disponible
<https://www.youtube.com/watch?v=cyGOM0VpQ&list=PLgeh_RfSoZhK6FbqP33mXtI7gV2zvhGne&index=45 min.0.55-6.20
en
[Citado
el
23
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Octubre
de
<https://www.youtube.com/watch?v=BuL98uILJpM
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2016]
Disponible