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Universidad ECOTEC
Estadística I
Tarea 2
Andrés Endo Fienco
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Estadística I 2012
Tabla de contenido
Introducción ....................................................................................................................................... 3
Marco Teórico ................................................................................................................................... 3
Medidas de tendencia Central .................................................................................................... 3
Media .......................................................................................................................................... 3
Mediana ..................................................................................................................................... 3
Moda ........................................................................................................................................... 5
Media Ponderada ..................................................................................................................... 5
Media Geométrica .................................................................................................................... 5
Medidas de Dispersión ................................................................................................................ 6
Rango ......................................................................................................................................... 6
Varianza. .................................................................................................................................... 6
Desviación Estándar. ............................................................................................................... 6
Coeficiente de Variación. ........................................................................................................ 7
Medidas de posición no central.................................................................................................. 8
Desarrollo........................................................................................................................................... 8
Ejercicio 1. ..................................................................................................................................... 8
Ejercicio 2. ..................................................................................................................................... 9
Ejercicio 3. ..................................................................................................................................... 9
Ejercicio 4. ................................................................................................................................... 10
Ejercicio 5. ................................................................................................................................... 10
Ejercicio 6. ................................................................................................................................... 11
Ejercicio 7. ................................................................................................................................... 12
Ejercicio 8. ................................................................................................................................... 12
Ejercicio 9. ................................................................................................................................... 13
Conclusiones ................................................................................................................................... 13
Bibliografía ....................................................................................................................................... 14
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Estadística I 2012
Introducción
Identificar las medidas de tendencia central y dispersión para datos no agrupados
y aplicarlas para la resolución de problemas.
Marco Teórico
Medidas de tendencia Central
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la
información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse
hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de
tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a
la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de
que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas
de posición. (Férnandez Fernández & Alejandro Córdoba, 2002)
Media
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada
promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el
valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio
que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se
obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de
sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre
de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
(Wikipedia, Wikipedia - Media Aritmética)
Mediana
En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable
de posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con
esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana
representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana
representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana
coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su
cálculo no se ve afectado por valores extremos.
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Estadística I 2012
Datos sin agrupar
Sean
los datos de una muestra ordenada en
orden creciente y designando la mediana como
, distinguimos
dos casos:
a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la
posición
una vez que los datos han sido ordenados (en
orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es
decir:
.
b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos
observaciones centrales. Cuando es par, los dos datos que están
en el centro de la muestra ocupan las posiciones
Es decir:
y
.
.
Datos agrupados
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una
frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con
la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna
abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en
el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la
siguiente equivalencia:
Donde
y
son las frecuencias absolutas acumuladas
tales que
,
y
son los extremos, interior
y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana
y
es la abscisa a calcular, la moda. Se observa
que
es la amplitud de los intervalos seleccionados
para el diagrama. (Wikipedia, Wikipedia - Mediana)
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Estadística I 2012
Moda
En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una
distribución de datos. (Wikipedia, Wikipedia - Moda)
Media Ponderada
Es una Medida de Tendencia Central o Medida de Posición Central, que se
determina en un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los
números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso, y
obteniendo a continuación la media aritmética del conjunto formado por los
productos anteriores. Se utiliza la media ponderada cuando no todos los
elementos componentes de los que se pretende obtener la media tienen la misma
importancia.
Para una serie de datos
A la que corresponden los pesos
La media ponderada se calcula como:
Un ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas de en la que se
asigna distinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que consta el
examen, entonces se multiplicaría cada nota por su correspondiente peso y el
resultado obtenido se divide entre la suma de los pesos asignados. (Wikipedia,
Wikipedia - Media Ponderada)
Media Geométrica
En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad
arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto
de todos los números, es recomendada para datos de progresión
geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.
(Wikipedia, Wikipedia - Media Geométrica)
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Medidas de Dispersión
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la
variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor
sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la
mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
(Wikipedia, Wikipedia - Medidas de Dispersión)
Rango
En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido
estadístico al intervalo de menor tamaño que contiene a los datos; es igual
a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello,
comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de
la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están
los datos de un conjunto. (Wikipedia, Wikipedia - Rango)
Varianza.
En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como
) de
una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del
cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. (Wikipedia,
Wikipedia - Varianza)
(Rosero, 2012)
Desviación Estándar.
La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ)
es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio
o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
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Estadística I 2012
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la
desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de
distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada
en las mismas unidades que la variable. (Wikipedia, Wikipedia - Desviación
Estándar)
(Rosero, 2012)
Coeficiente de Variación.
En estadística es el coeficiente de variación a distintas escalas pero que
están correlacionadas estadísticamente y sustantivamente con un factor en
común.
Es decir, ambas variables tienen una relación causal con ese factor. Su
fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media
aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de
variabilidad que la desviación típica o estándar. Por otro lado presenta
problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es
variable ante cambios de origen.
Por ello es importante que todos los valores sean positivos y su media dé,
por tanto, un valor positivo. A mayor valor de C.V. mayor heterogeneidad de
los valores de la variable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en los
valores de la variable. Suele representarse por medio de las siglas C.V.
(Wikipedia, Wikipedia - Coeficiente de Variación)
Exigimos que:
Se calcula:
Donde es la desviación típica. Se puede dar en tanto por ciento
calculando:
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Estadística I 2012
Medidas de posición no central.
En estadística descriptiva, las medidas de posición no central permiten conocer
otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales.
Entre las medidas de posición no central más importantes están los cuantiles.
(Wikipedia, Wikipedia - Medidas de posición no central)
Los cuantiles suelen usarse por grupos que dividen la distribución en partes iguales;
entendidas estas como intervalos que comprenden la misma proporción de valores. Los
más usados son:
 Los Cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los
cuantiles 0.25, 0.50 y 0.75);
 Los Quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes (corresponden a los
cuantiles 0.20, 0.40, 0.60 y 0.80) ;
 Los Deciles, que dividen a la distribución en diez partes;
 Los Percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.
Desarrollo
Ejercicio 1.
1. Los siguientes datos representan el número de interrupciones por día de
trabajo debido a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos:
3 0 5 4 3 1 3 5 2 2
Calcule la media, mediana y moda del número de interrupciones por día.
a. La media (media aritmética) se la obtiene por medio de la sumatoria de
sus elementos dividido para la cantidad total (conteo) de elementos. En
este caso:
a.i.1.
Número de elementos: 10
a.i.2.
Sumatoria de elementos: 28
a.i.3.
Media: 2,8
b. Para obtener la mediana realizamos el siguiente procedimiento:
b.i.1.
Se ordenan los números en forma ascendente:
b.i.1.1.
0 1 2 2 3 3 3 4 5 5
b.i.2.
Se obtiene la posición realizando el siguiente calculo,
(n+1)/2
b.i.2.1.
El resultado es: 5,5
b.i.3.
Se ubica la posición obtenida: Me: 3
c. Finalmente para obtener la moda, se realiza el conteo del elemento con
mayor participación en los datos que brinda el ejercicio.
c.i.1.
Moda: 3
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Estadística I 2012
De acuerdo a los datos proporcionados, por cada día de trabajo, en la
planta procesadora de alimentos, se presentan 3 interrupciones originadas
por fallas mecánicas en las maquinarias.
Ejercicio 2.
2. Un periódico local indica que el número promedio de hijos por familia en
Cuenca es 2.25 hijos por familia.
a. Explique qué significa para usted esta frase.
La referencia en la que se basa el periódico local es que en la ciudad,
como miembros de cada una de las familias cuencanas, se consideran 2
hijos por cada una de ellas.
b. Se han elegido 4 familias y el número promedio de hijos entre las 4
familias es 2.25 hijos por familia. Los García tienen 1 hijo, los Pérez
tienen 3 hijos y Los Mejía tiene 4 hijos ¿cuántos hijos podrían tener la
otra familia para que la media de hijos en las cuatro familias sea 2.25?
Partiendo de los datos proporcionados, tenemos como resultado que el
promedio de hijos por familia es de 2.25, para un total de 4 familias,
realizando una sumatoria de los demás familias, los García (1), los
Pérez (3) los Mejía (4) y la familia que es nuestra incógnita (x)
realizamos el siguiente cálculo:
1 + 3 + 4 + x
= 2.25
4
Donde x = 1
Finamente, conocemos que la última familia considerada en el análisis
posee 1 solo hijo.
Ejercicio 3.
3. Obtenga la moda de los siguientes conjuntos.
a. 5 5 5 3 1 5 1 4 3 5
En el primer conjunto de datos, el valor que representa la moda
es el número 5. Distribución modal.
Mo. 5.
b. 1 2 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9
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Estadística I 2012
Para el siguiente conjunto, el número tenemos una consideración
especial, teniendo en cuenta tenemos 3 puntuaciones con la
misma frecuencia, lo cual determina que es una distribución
bimodal. No se obtiene el promedio, debido a que su distribución
no es adyacente.
Mo = 2, 6.
c. 1 2 3 6 7 8 9 10
Finalmente con este conjunto, no se puede determinar la moda,
ya que cuenta con las mismas frecuencias.
Ejercicio 4.
4. Una librería especializada se dedica principalmente a la venta de libros
usados. Los libros de pasta suave se venden a $1 y los de pasta dura a
$3,50. De 50 libros que se vendieron 40 fueron de pasta suave y el resto de
pasta dura. ¿Cuál fue el precio promedio de venta de cada libro?
El precio promedio de cada libro se lo puede obtener aplicando la media
ponderada, debido a que sus valores no tienen igual peso, partiendo de
esta premisa podemos indicar que la resultante es de $1,5 por cada libro.
X
$ 1,0
$ 3,5
W
40
10
XW
$
$
$
40
35
75
_
x
=
1(40) + 3,5(10)
40 + 10
=
$ 1,50
Ejercicio 5.
5. María y Pedro dedican cada uno 8 horas el fin de semana a hacer deporte
mientras que otros 8 estudiantes dedican 4 horas.
a) ¿Cuál es el número promedio de horas que hacen deporte cada fin de
semana los 10 estudiantes?
Horas
X
8,00
4,00
Estud.
W
2,00
8,00
XW
16,00
32,00
48,00
_
x
=
8(2) + 4(8)
2+8
=
4,80
El número promedio de horas que hacen deporte cada fin de semana los
10 estudiantes es de 4,8 horas por fin de semana.
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Estadística I 2012
b) María y Pedro dedican además 1 hora cada fin de semana a escuchar
música y los otros 8 estudiantes, 3 horas. ¿Cuál es el número medio de
horas que escuchan música los 10 estudiantes?
Horas
X
1,00
3,00
Estud.
W
2,00
8,00
XW
2,00
24,00
26,00
_
x
=
1(2) + 3(8)
2+8
=
2,60
El número promedio de horas que se dedican a escuchar música cada
fin de semana los 10 estudiantes es de 2,6 horas por fin de semana.
c) ¿Cuál sería el número medio de horas que estos 10 estudiantes
dedican, cada fin de semana, entre las dos actividades: hacer deporte y
escuchar música?
Horas
X
7,40
Estud.
W
10,00
XW
74,00
74,00
_
x
=
7,4(10)
10
=
7,40
El número promedio de horas que se dedicaron entre las dos
actividades, hacer de porte y a escuchar música cada fin de semana los
10 estudiantes es de 7,4 horas por fin de semana.
Ejercicio 6.
6. Durante el periodo de 2007 a 2010, se observó una gran volatilidad en el
valor de las inversiones. Los datos que se presentan a continuación
representan los saldos totales de un certificado de depósito
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Año
Saldos
2007
5.000,00
2008
6.710,00
2009
8.353,95
2010
6.574,56
Estadística I 2012
Calcule la tasa de rendimiento promedio de los certificados de depósito
La tasa de rendimiento promedio de los certificados de depósito es del
9,6%
¿Cuál será el saldo proyectado para el año 2011?
El saldo proyectado para el 2011 es de $ 7205.71
Ejercicio 7.
7. En 2006 había 42 millones de suscriptores en los servicios de localización
de personas. En 2009 esa cifra aumento a 70 millones ¿Cuál es el
crecimiento porcentual promedio anual en dicho periodo?
El crecimiento porcentual promedio anual en dicho periodo es del 18.56%
Ejercicio 8.
8. Los siguientes datos representan el total de grasas en las hamburguesas y
productos de pollo de una muestra tomada de cadenas de comidas rápidas.
Hamburguesas: 19 31 34 35 39 43 39
Pollo: 7 9 16 18 15 16 25 22 33 39 27
Para las hamburguesas y los productos de pollo calcule lo siguiente por
separado, (puede utilizar calculadora para obtener la media, desviación y
varianza)
a. Varianza, deviación estándar, rango.
i. Hamburguesas:
1. Varianza: 60.89
2. Desviación Estándar: 7.80
3. Rango: 24
ii. Pollo
1. Varianza: 113.96
2. Desviación Estándar: 10.67
3. Rango: 32
b. Coeficiente de variación e indique cual de los dos productos presenta
mayor variabilidad.
i. Hamburguesa: CV = 22%
ii. Pollo: CV = 51%
iii. De los dos productos analizados el que presenta mayor
variabilidad es el pollo con el 51%.
c. Percentil 20, Cuartil 2, Decil 8.
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Estadística I 2012
i. Hamburguesa:
1. P20 = 26.2
2. Q2 = 35
3. D8 = 11.75
ii. Pollo:
1. P20 = 11.4
2. Q2 = 18
3. D8 = 5.79
Ejercicio 9.
9. Para estudiar los efectos de un nuevo tipo de alimentación sobre ratones
blancos de laboratorio, se observa que, en la camada A, se obtiene una
ganancia media en peso de 7.2 libras, con desviación estándar de 2.4
libras; en otra B, correspondiente a una raza de menor tamaño, la ganancia
media es de 2.8 libras, con desviación estándar de 0.72 libras. ¿Qué
camada posee mayor variabilidad? ¿Sería errónea en este caso una
comparación pura y simple de las desviaciones estándar?
La camada A posee una mayor variabilidad con el 37,5% mientras que la
camada B posee una variabilidad del 25.71%, a mayor error menor
confianza y mayor riesgo.
Conclusiones
La realización del presente trabajo deja como resultado la aplicación del
conocimiento adquirido acerca de las medidas de tendencia central, medidas de
dispersión y las medidas de posición no central, con sus diversas aplicaciones con
ejercicios que pueden presentarse en el campo de acción en el cual nos podamos
desenvolver.
Las medidas de tendencia central de acuerdo a su naturaleza nos permite conocer
en qué lugar se ubica un dato promedio, o típico de un conjunto, sirve como
elemento para realizar comparaciones e interpretaciones de cualquier dato
numérico en relación con el puntaje típico. Finalmente también nos permite
realizar la comparación de los resultados medios obtenidos por dos o mas
conjuntos de datos.
Las medidas de dispersión son convenientes cuando se debe tomar en
consideración todos los datos de la serie dándole el peso a cada dato por su
distancia al centro de la distribución.
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Estadística I 2012
Bibliografía
Férnandez Fernández, S., & Alejandro Córdoba, J. M. (2002). 3.3. Medidas de posición. En
Estadística Descriptiva (2ª edición) (pág. 134). ESIC Editorial.
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14