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CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
1. La posición de una particula que se mueve a lo largo de una línea recta está
definida por la relación x=t3-6t2-15t+40, donde x se expresa en metros y t en
segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b) la
posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la
aceleración de la partícula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la
partícula desde t=4s hasta t=6s.
2. Sobre una cuña, cuyo plano forma un ángulo α con la horizontal, se coloca
un cuerpo A. ¿Qué aceleración es necesario transmitir a la cuña en dirección
horizontal para que el cuerpo A caiga libremente en dirección vertical hacia
abajo?
3. Hallar las componentes tangencial at y la componente normal an del vector
aceleración si los vectores velocidad y aceleración de una partícula son
conocidos.
4. Mostrar que el vector velocidad v de una partícula que rota alrededor de un
eje fijo L se puede escribir como v = ωxr, siendo r la posición de la partícula
con respecto a L. Obsérvese que el origen O puede ser cualquier punto de L.
5. Para un cuerpo en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada por a =
32-4v, las condiciones iniciales son x=0 y v=4 cuando t=0. Encontrar v(t), x(t)
y x(v).
6. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta está
dada por a=-kv2, con k una constante, y v=vo cuando t=0. Encontrar la
velocidad y el desplazamiento en función del tiempo y v(x).
7. Dos carriles están unidos formando entre sí un ángulo recto. Por ellos se
mueven dos carritos unidos mediante una barra articulada de longitud l. El
carrito A comienza a moverse del punto de intersección de los carriles y
sube uniformemente con una rapidez v. Determinar la ley del movimiento y la
rapidez del carrito B.
8. Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones
paramétricas son x= 3e-2t, y= 4sen3t, z= 5 cos3t, donde t es el tiempo. A)
Hallar su velocidad y aceleración en cualquier tiempo. B) Hallar las
magnitudes de la velocidad y aceleración en t=0.
1
PROBLEMAS PROPUESTOS
9. Una partícula que se mueve tiene un vector posición dado por r = cosωt i
+ senωt j, donde ω es una constante. Demostrar que: a) la velocidad de la
partícula es perpendicular a r, b) la aceleración a está dirigida hacia el
origen y tiene una magnitud proporcional a la distancia desde el origen, c)
rxv es un vector constante.
10. Un hombre de altura h pasa cerca de un farol que esta suspendido a la
altura H sobre la Tierra. Encontrar la magnitud y la dirección de la
velocidad del movimiento de la sombra proyectada por la cabeza del
hombre
sobre
la
tierra,
siendo
la
velocidad
del
hombre
v.
Rpta:V=(h/(H-h))v
11. Una partícula se mueve a lo largo de una curva en el espacio r = (t 2+t) i
+(3t-2) j +(2t3-4t2 ) k. Hallar: a) la velocidad, b) la aceleración, c) la
rapidez o la magnitud de la velocidad, d) la magnitud de la aceleración en
el tiempo t=2, e) la aceleración tangencial f) la aceleración centrípeta.
Rpta si t=2: a) v=(5i +3j + 8k), b) a = (2i + 16k), c) v=2√7, d) a=2√65
e)at = (345/49 i +207/49 j +552/49 k ) f) ac=(-247/49 i -207/49 j +232/49 k)
12. Una partícula se mueve de manera que su vector posición en cualquier
tiempo t sea r = (t i +1/2 t2 j +t k). Hallar: a) la velocidad, b) la rapidez, c) la
aceleración, d) la magnitud de la aceleración, e) la magnitud de la
aceleración tangencial, f) la magnitud de la aceleración normal.
Rpta: a) v = (i +tj +k ), b) v=√((t2+2) ), c) a =j , d) a=1, e) at = t/√((t^2+2) ),
f) ac = √2/√((t^2+2))
13. Si (ut) es un vector unitario tangencial a una curva C en el espacio,
demostrar que: dut/ds es normal a ut.
14. Dada una curva C en el espacio con vector posición r = (3 cos (2t)i + 3
sen (2t)j +(8t-4)k ), a) Hallar un vector unitario ut tangente a la curva,
b) Si r es el vector posición de la partícula que al tiempo t se mueve sobre
la curva C, verificar que en este caso v= │v│.ut , c) Hallar la curvatura, d)
el radio de curvatura, e) el vector unitario radial ur en un punto cualquiera
de la curva. Rpta: a) ut = (-3/5 sen (2t) i + 3/5 cos (2t)j + 4/5 k), b) v= v. ut,
c) k=3/25, d)
r=25/3 , e) ur = (-cos(2t)i –sen (2t)j)
2
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
15. Demostrar que la aceleración a de una partícula que viaja a lo largo de
una curva en el espacio con rapidez v se da por a= (dv/dt) ut + (v²/R) ur.
16. La aceleración de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x se
expresa en metros. Suponiendo que vo=10m/s cuando xo= 0 m, encontrar
la velocidad en cualquier otra posición.
Rpta: v = √(4x²-4x +100) m/s
17. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a la ley x=2t³+5t²+5,
donde x está en metros y t en segundos. Hallar: a) La velocidad y la
aceleración en cualquier momento, b) la posición, la velocidad y
aceleración cuando t=2s y t=3s, c) la velocidad promedio y la aceleración
promedio entre 2 y 3 s.
Rpta: a) a = 12t + 10 m/s², b) x(2) = 41m, v(2) = 44m/s, a(2) = 46m/s², x(3)
= 104m, v(3) = 84m/s, a(3) = 46m/s², c) v = 63m/s,l a = 40m/s
18. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta, su aceleración está dada
por a= -2x, donde x esta en metros y a esta en m/s 2. Encontrar la relación
entre la velocidad y la distancia, suponiendo que para x = 0; V = 4 m/s.
19. Para un cuerpo en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada por
a = 32 – 4V. Las condiciones iniciales son x = 0 y V= 4, cuando t = 0.
Encontrar V en función de t , x(t), x(v).
20. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta
esta dada por a= -kV2, con k una constante y V = Vo cuando t = 0.
Encontrar la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo, y el
desplazamiento en función del tiempo y la velocidad en función de x.
21. La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con una velocidad
angular W = 7.292x10-5 (seg)-1. Encontrar
en función de la latitud, la
velocidad y la aceleración de uj punto sobre la superficie terrestre.
22. Una particula se mueve en un circulo de acuerdo a la ley 𝑆 = 𝑡 3 + 2𝑡 2
donde Sse mide en metros a lo largo del circulo y t en segundos si la
𝑚
aceleración total es 16√2 𝑠2 cuando t = 2 s calcular el radio del circulo y la
distancia recorrida en 𝑋 su velocidad angular su velocidad lineal. Rpta:
𝑅 = 1.56 𝑚; 𝑆 = 16 𝑚; 𝜃 = 32
𝑟𝑎𝑑
𝑠
23.
3
; 𝑉 = −11.03 𝑖 + 16.69𝑗 𝑚
PROBLEMAS PROPUESTOS
24. Una partícula se está moviendo a lo largo de una parábola 𝑦 = 𝑥 2 de tal
forma que en cualquier momento 𝑉𝑥 = 3
𝑚
𝑠
calcular la magnitud y la
dirección de la velocidad y la aceleración de la partícula en el punto 𝑥 =
2
3
𝑚. Rpta: 𝑎 = 18 𝑗; 𝑉 = (3𝑖 + 4 𝑗 )𝑚 2
a) Una partícula se mueve en el espacio y su velocidad es dada por: 𝑽 =
(𝑡 𝑖 + 2𝑗 − 7 √𝑡 𝑘)
𝑚
Determinar a) la aceleración de la partícula en t = 4,
𝑠
b) el desplazamiento de la particula en el intervalo de (2 a 4) s, c) la
distancia recorrida en el intervalo de (2 a 4) s
1
Rpta: 𝑎)𝒂 = (𝑖 − 2 𝑘)
𝑚
𝑠2
; 𝑏) ∆𝒓 = (6𝑖 + 4𝑗 +
8 √2−32
3
𝑘) 𝑚 𝑐) 𝑆 = 10 𝑚
25. Una partícula se mueve rectilíneamente (eje x) y su aceleración está
𝑚
𝑚
dada por: 𝑎 = −𝜋 2 𝑥 (𝑠2 ), con x en m. Si para t=0s, 𝑣0 = 2𝜋 ( 𝑠 ) y parte
del origen, determinar:
a) La velocidad en función de la posición x
b) Posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
c) El desplazamiento y la distancia recorrida en un intervalo de 0s a 2s.
Rpta: a) 𝑣(𝑥) = √4𝜋 2 − 𝜋 2 𝑥 2 ,b) 𝑥(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡),
𝑣 = 2𝜋𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡), 𝑎 =
−2𝜋 2 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡) = −𝜋 2 𝑥, c) 8m.
26. Un punto se mueve en el plano XY de tal forma que 𝑉𝑥 = 4𝑡 3 + 4𝑡, 𝑉𝑦 =
4𝑡 si la posición del punto es (1,2) cuando t = 0, Encontrar la ecuación
cartesiana de la trayectoria, Hallar la aceleración total (a). Rpta:
𝑎=
12𝑡 2 + 4𝑖 + 4𝑗; (𝑥 = (𝑡 2 + 1)2 )(𝑦 = 2( 𝑡 2 + 1))
27. Sobre una cuña, cuyo plano forma un ángulo 𝛼 con la horizontal, colocan
el cuerpo A. ¿Qué aceleración es necesario transmitir a la cuña en
dirección horizontal para que el cuerpo A caiga libremente en dirección
vertical hacia abajo? Rpta:𝑎 = 𝑔𝑐𝑜𝑡𝛼
28. Una partícula se encuentra en el instante t=0 en P y se mueve antihorariamente por la trayectoria circular de 10 cm de radio, con rapidez
angular de ω = t2-8t+15 (rad/s) donde t es el tiempo en segundos.
Determinar: a) para el intervalo de 0-6 seg. , la distancia recorrida por la
partícula. b) para el instante en que la partícula vuelve a parar por primera
4
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
vez por el punto P, los vectores posición, velocidad, aceleración en
coordenadas polares con respecto al punto O. c) la rapidez angular y la
aceleración angular del vector posición.
29. Un cuerpo es lanzado verticalmente y es seguido por un radar como se
muestra en la figura. En el momento en que 𝜗 = 60°, se sabe que la
distancia del radar del cohete es 9000m, la velocidad angular con la que
gira el radar es 0.02 (rad/𝑠 2 ) y su aceleración angular 0,002 rad/s2.
Determinar la velocidad y aceleración del cohete.
y
x
𝑚
Rpta: 𝑎 = 155.885 (𝑠2 ),
𝑚
𝑣 = 1558.85 ( 𝑠 )
30. Si las coordenadas de un cuerpo en movimiento son 𝑥 = 𝑎𝑡, 𝑦 =
𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡), demostrar que el valor de la aceleración es proporcional a la
distancia entre el cuerpo y el eje x. Hacer un gráfico de la trayectoria.
Rpta: 𝑎𝑦 = −𝑎2 𝑦
b
-b
31. Sean (r, θ) las coordenadas polares que describen la posición de una
partícula. Si ur es un vector unitario en la dirección del vector posición r y
uθ es un vector unitario perpendicular a r en la dirección en que se
incrementa θ, Demostrar que: a) ur
=
cos θ i + sen θ j ; uθ = -sen θ i + cos
θ j, b) i = cos θ ur – sen θ uθ ; j = sen θ ur + cos θ uθ .
32.
5
PROBLEMAS PROPUESTOS
33. Dos carriles están unidos entre sí formando un ángulo recto. Por ellos se
mueven dos carritos unidos mediante una barra articulada de longitud l. El
carrito A comienza a moverse del punto de intersección de los carriles y
sube uniformemente con una velocidad V. Determinar la ley del
movimiento y la velocidad del carrito B.
34. Estudiar el movimiento de un proyectil puntual que se deja caer en un
instante t=0 por un avión que vuela a una altura h. En particular calcular:
a) A que distancia de un blanco fijo en la Tierra deberá dejar caer el
proyectil para que ésta alcance su objetivo. b) Repetir el apartado anterior
suponiendo que el blanco se mueve con velocidad constante vb en la
dirección del avión.
35. En un terreno se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, con
velocidad inicial Vo. El viento produce una fuerza horizontal constante
sobre la pelota igual a la quinta parte de su peso. Se pide: a) Estudiar el
movimiento de la pelota. b) Hallar la ecuación de la trayectoria. c)
Encontrar la distancia que separa el punto de lanzamiento del punto de
impacto así como la altura máxima alcanzada y la velocidad de la pelota
en el momento del impacto.
36. Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleracion de 1 m/s 2
durante 1s. Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la
friccion, durante 10s a un promedio de 5 cm/s 2. Entonces se aplican los
frenos y el auto se detiene en 5 s mas. Calcular la distancia total recorrida
por el auto. Hacer un grafico de x, v y a frente a t.
37. Un automovil se esta moviendo a una velocidad de 45 km/h cuando una
luz roja se enciende en una interseccion. Si el tiempo de reaccion del
conductor es de 0.7 s, y el auto desacelera a razon de 7 m/s2 tan pronto
el conductor aplica los frenos, calcular la distancia recorrida por el auto
desde el instante que el conductor nota la luz roja hasta que el auto se
detiene.
38. Se deja caer una piedra desde lo alto de un edificio. El sonido de la
piedra al chocar con el suelo se escucha 6.5 s mas tarde. Si la velocidad
del sonido es de 1120 pies/s, calcular la altura del edificio.
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CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
39. La rueda A cuyo radio tiene 30 cm parte del reposo y aumenta su
velocidad angular uniformemente a razon de 0.4 п rad/s. La rueda
transmite su movimiento a la rueda B mediante la correa C. Obtener una
relacion entre las velocidades angulares y los radios de las dos ruedas.
Encontrar el tiempo necesario para que la rueda B alcance una velocidad
angular de 300 rev. por minuto.
40. Un cazador apunta a una ardilla que se encuentra en la rama de un
arbol. En el momento que el dispara su rifle la ardilla se deja caer de la
rama. Demostrar que la ardilla no debio moverse si queria seguir viviendo.
41. Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente
hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe
que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9,81 m/s 2 hacia
abajo, determinar a) la velocidad v y la elevación y de la pelota sobre el
suelo en cualquier tiempo t, b) la elevación más alta que alcanza la pelota
y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en que la pelota golpea el
suelo y la velocidad correspondiente. Dibuje las curvas v-t y y-t.
42. El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t3-12t272t-80, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente.
Determine a) cuando la velocidad es cero, b) la velocidad, la aceleración y
la distancia total recorrida cuando x=0.
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