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MÓDULO 1: TRIGONOMETRÍA
1. DATOS INFORMATIVOS:
2. NOMBRE DE LA U. E.
3. DIRECTOR
4. GRADO
5. ÁREA
6. DOCENTE
: Caranavi Bolivia
: Lic. Juan Edwin Uño Ariviri
: Quinto de Secundaria
: Matemática
: Lic. Elior Choque Quispe
: Lic. J. Magdalena Laura F.
7. NOTA APROBATORIA
: 51
8. BIMESTRE
: Primero
9. FECHA
: 6 de febrero a 21 de abril
2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO: “Comunicación y educación sobre el uso y
disposición final de residuos sólidos”.
3. CONTENIDOS
La Trigonometría y su historia a partir de nuestra cultura.
 Sistemas de medidas de ángulos.
 Teorema de Pitágoras en el plano.
 Relaciones trigonométricas fundamentales.
 Graficas y funciones trigonométricas
Ángulos
̅̅̅̅ , 𝑂𝐵
̅̅̅̅
Es la unión de dos semirrectas, con un punto común inicial. Tal como las semirrectas 𝑂𝐴
y
A
B
O
x
Para designar a un ángulo se emplean las letras del alfabeto griego: 𝛼, 𝛽, 𝛾, … etc. Pero también se
utilizan letras mayúsculas o letras unidas, siendo la letra central la que designa al ángulo. En la
figura el ángulo es 𝐴𝑂𝐵, el ángulo esta en O.
̂ = 𝑨𝑶𝑩
̂ = < 𝑨𝑶𝑩
𝜶=𝑶
Clases de ángulos
Por la magnitud de espacio limitado por las semirrectas pueden ser: rectos, agudos y obtusos.
𝛼 = 90°
Recto
𝛼 < 90°
Agudo
𝛼 > 90°
Obtuso
Medida de ángulos
Para medir ángulos existen tres sistemas básicos:
 EL SEXAGESIMAL o inglés (DEG): en este sistema, una circunferencia
comprende 360° (360 espacios o grados sexagesimales). Un grado
sexagesimal (°) se divide en 60 minutos (`), un minuto se divide en 60
180°
segundos (”).
200 g
𝝅 𝒓𝒂𝒅
 CENTESIMAL o francés (GRAD). En este sistema una circunferencia
g
g
comprende 400 (400 grados centesimales). Un grado ( ) se divide en
100 minutos (m) y un minuto se divide en 100 segundos (s).
 RADIÁNICO o circular (RAD). En este sistema una circunferencia se
divide en 2𝜋 radianes.
Si construyéramos unos transportadores en los tres sistemas descritos, tendríamos:
90°
100 g
𝝅
𝒓𝒂𝑑
𝟐
0°
0g
𝟎 𝒓𝒂𝒅
270°
300 g
𝟑𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝟐
Cuando en el sistema sexagesimal se marca 90° el centesimal marcaría 100 𝑔 , y el radial 1,58 𝑟𝑎𝑑
aproximadamente. Para convertir una medida de ángulo de un sistema a otro, se puede recurrir al Método de
Factores de conversión o Regla de Tres, pero teniendo como referencia una de las siguientes equivalencias:
𝟑𝟔𝟎° = 𝟒𝟎𝟎𝒈 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎° = 𝟐𝟎𝟎𝒈 = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
O sino
𝟗𝟎° = 𝟏𝟎𝟎𝒈 =
𝝅
𝟐
una vuelta
media vuelta
𝒓𝒂𝒅
para cuarta vuelta
Ejemplo 1. Convertir 45° grados sexagesimales a los otros dos sistemas.1
200𝑔
45°
a Centesimal
45° 180𝑜 = 𝟓𝟎𝒈
45°
a Radiánico
45° =
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
=
𝝅
𝟒
Este método de factores de conversión,
consiste en multiplicar el ángulo de un
sistema, por una fracción que equivalen
por entera o media vuelta, tal que al
multiplicar o simplificar las unidades se
cambian.
𝒓𝒂𝒅
Ejemplo 2. Convertir 150𝑔 grados Centesimales a los otros sistemas.
180°
150 𝑔
a Sexagesimal
150 𝑔 = 200𝑔 = 135°
150 𝑔
a Radiánico
150 𝑔 =
𝜋 𝑟𝑎𝑑
200𝑔
=
𝟑𝝅
𝟒
𝒓𝒂𝒅
Ahora te toca a ti
1. Convertir cada una de los siguientes ángulos a los otros sistemas:
1
Ejemplo extractado de Algebra Básica de Víctor Chungara Castro.
En la práctica son de mayor uso los grados sexagesimales, que se escriben en la forma de
Grado, minuto, segundo (33°24´ 58") o como fracción de grado(33°……), es decir, a
número con decimales.
Para cambiar de Forma de Grado, minuto, segundo, a Fracción Grado se emplea:
𝐵´
𝐶"
es decir
𝐴°𝐵`𝐶" = 𝐴° + 60 + 3600
73°15`45" = 73° +
15`
60
45"
+ 3600 = 𝟕𝟑. 𝟐𝟔𝟐𝟓°
Para cambiar de fracción grado a forma de grado, minuto, segundo:
𝟑𝟓. 𝟐𝟑°
0. 𝟐𝟑 × 60 = 𝟏𝟑. 80
0. 𝟖𝟎 × 60 = 𝟒𝟖
𝟑𝟓°𝟏𝟑´𝟒𝟖"
Ahora te toca a ti
Transforma los siguientes ángulos de su forma de grado, minuto, segundo a fracción
grado:
a) 5°37´48"
b) 53°30´5"
c) 11°18´
d) 171°53´14,4"
Transformar la fracción grado a la forma grado, minuto segundo.
a) 153.5°
b) 54.383°
c) 82.819°
d) 41.409722°
Triángulos.
Un triángulo presenta tres lados y tres ángulos interiores cuya suma es 180°. De acuerdo
a la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en :
Equilátero: Tres lados iguales,
tres ángulos interiores iguales.
Isósceles: Dos lados iguales
entre sí, dos ángulos iguales.
Escaleno: Tres lados diferentes
y tres ángulos diferentes.
Y según sus ángulos se clasifican en:
Rectángulo: Un ángulo
recto 90°.
Acutángulo: sus ángulos
son agudos.
Obtusángulo: presenta un
ángulo obtuso.
Teorema de Pitágoras.
En un triángulo rectángulo el lado más largo y opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa, los otros lados
son los catetos. En la figura, c es la hipotenusa mientras que a y b los catetos.
𝒂
El Teorema de Pitágoras expresa: “En un
triángulo rectángulo la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al
cuadra de la hipotenusa”. Es decir:
𝒄
𝒃
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
Si se conocen sólo dos lados del triángulo rectángulo, el valor del tercer lado se cálculo aplicando el teorema de
Pitágoras.
Ejemplo 1. Calcular el valor de la hipotenusa si los catetos miden 9 y 12 cm.
Datos
𝑚 = 9 𝑐𝑚
N
𝑎2 = 𝑚2 + 𝑛2
2
2
𝑛 = 12 𝑐𝑚
𝑎 = 9 + 12
𝑎 =?
𝑎2 = 225
a
m
2
=
=A
𝒂 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎
M
n
Ejemplo 2. Calcula el valor del cateto faltante, si la hipotenusa y el cateto miden 15 y 6 respectivamente.
Datos
𝑎=6
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑐 = 10
102 = 62 + 𝑏 2
𝑏 =?
100 = 36 + 𝑏 2
c
100 − 36 = 𝑏 2
2
a
64 = 𝑏
b2 = 64
b = √64
b
𝒃=𝟖
Ahora te toca a ti.
1. Plantea el teorema de Pitágoras en los siguientes triángulos rectángulos.
u
v
b
m
s
n
c
a
[Escribir texto]
o
2. Hallar el valor del lado faltante de los siguiente triángulos rectángulos.
7
h
6
3
x
8
30
Solución:
60
r
13
29
17
z
40
8
Funciones trigonométricas básicas.
[Escribir texto]
a