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BOLETÍN:
“LAS MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA”
Número 27 año 3
20 de MAYO
URUGUAY
de 2005
www.matematicaparatodos.com
Ruben Gamondi
Marcela Uhart
ARGENTINA
¿Porque los ángulos de un triángulo a veces no suman 180 º?
Gamondi, Rubén (*)(**)
–
Uhart, Marcela (**)
Introducción:
En este trabajo se muestra un problema trigonométrico, su resolución permite sacar conclusiones
para los docentes que trabajen este tema. Esta situación se le presentó a alumnos del
profesorado de matemática que realizaron sus prácticas docentes en el nivel Polimodal de
escuelas del nivel medio de la provincia de Buenos Aires, en este problema se observa un
procedimiento, el cual consiste en resolver un triángulo, y según el método usado y es posible
cometer un error, el cual muestra que la suma de los ángulos interiores de un triángulo no es
180º.
Desarrollo:
Al trabajar el concepto trigonometría, luego de definir la operaciones trigonométricas a partir de
un círculo trigonométrico, muchas veces se hace hincapié en que el alumno reduzca al primer
cuadrante, con el correr del tiempo este proceso es asimilado y el alumno lo adopta de manera
definitiva sin analizar que es lo que está calculando o resolviendo. Así, si se tiene que calcular el
arco seno de 0.5 resulta 30º y en muchos los alumnos no observan que también vale 150º.
Al avanzar en los contenidos trigonométricos, cuando se llega a la resolución de triángulos, y por
este entendemos completar los datos faltantes ya sean lados o los valores de los ángulos, se
consideran además otras herramientas que dependen del tipo de triángulo a resolver. Para los
triángulos rectángulos la primer herramienta usada es el teorema de Pitágoras el cual se enuncia
de la siguiente manera:
Teorema de Pitágoras:
En un Triángulo rectángulo se verifica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.
Al definir las funciones trigonométricas:
senx ; cosx ; tgx
tangente de x respectivamente, sobre
seno de x , coseno de x y
aparece la identidad (consecuencia de Pitágoras)
sen 2 x   cos 2 x   1
-1-
un círculo trigonométrico,
Cuando se trabaja con triángulos no rectángulos, se utilizan un par de resultados conocidos
como el teorema del Coseno, y el teorema de Seno.
Teorema del Coseno: Sea
figura
ABC un triángulo cualesquiera, de lados a, b, c tal como ilustra la
entonces se verifican:


 2 b c cosAˆ 
c 2  a 2  b 2  2 a b cos Cˆ
b 2  a 2  c 2  2 a c cos Bˆ
a2  c2  b2
Nota: (este teorema también vale para los triángulos rectángulos, convirtiéndose en este caso en
el teorema de Pitágoras, ya que el cos90º   0 )
Teorema del Seno: Sea
figura
entonces se verifican:
ABC un triángulo cualesquiera de lados a, b, c tal como ilustra la
sen Aˆ  senBˆ  senCˆ 


a
b
c
con estas herramientas es posible resolver cualquier tipo de triángulos, entonces a modo de
ejemplo mostramos la resolución realizada por un alumno del siguiente
Problema:
Dos barcos salen de un mismo puerto en dos direcciones diferentes, las cuales forman un ángulo
de 72º40’ y navegan respectivamente hasta que se les termina el combustible 78 millas marítimas
y 16 millas marítimas. Se desea saber cuántas millas marítimas los separa, además de los
ángulos que forman la semirrecta que conecta los dos barcos con las direcciones iniciales
tomadas por cada barco.
Al representar gráficamente el problema se tiene un triángulo como muestra la figura en la que se
ˆ y Cˆ :
desconocen los valores a, B
-2-
a:
a  c  b  2 b c cosAˆ 
mediante el teorema del coseno el alumno calcula el lado
2
de donde
a
78 millas
2
2
2
 16 millas  2 78 millas 16 millas cos72º 40'
2
a  74,80 millas
con el teorema del seno calcula el ángulo
C:
sen Aˆ  senCˆ 

a
c
resulta
 senAˆ  
Cˆ  arc sen
c 
 a

es decir
 sen72º 40'

Cˆ  arc sen
78 millas   84º31'3' '
 74,8 millas

luego calcula el ángulo B con la ayuda del seno de la siguiente manera:
sen Aˆ  senBˆ 

a
b
 senAˆ  
Bˆ  arc sen
b 
 a

 sen72º 40'

Bˆ  arc sen
16 millas   11º 46'55' '
 74,8 millas

el alumno resolvió el problema encontrando todos los datos:
Aˆ  72º 40' Bˆ  11º 46'55' ' Cˆ  84º31'3' ' a  74,8 millas
Si observamos los ángulos, podemos notar que la suma de los mismos no es igual a 180º.
Puesto que
Aˆ  Bˆ  Cˆ  72º40'11º46'55' '84º31'3' '  168º57'58' '
En consecuencia es claro que debe existir un error, y se propone a los alumnos revisar los pasos
y cuentas realizadas, cuando esto sucede, nos encontramos que todos los cálculos están bien, el
teorema del seno con esos valores se verifica, así como el teorema del Coseno.
La pregunta es ¿dónde está la falla?
-3-
Una primera observación que surge de los alumnos es que en lugar de calcular
del seno este se podría haber hecho usando:
B
por el teorema
Bˆ  180º  Aˆ  Cˆ  180º 72º 40'84º31'3' '  22º 48'57' '
el autor de la resolución no quiere ceder su postura, y mientras tanto siguen faltando cerca de
11º.
Por otra parte, si chequeamos el teorema del coseno se tiene que:
b 2  a 2  c 2  2 a c cos Bˆ
entonces debe ser

b
74,8 millas  78 millas
2
2
 2 74,8 millas 78 millas cos22º 48'57' '
b  30,38 millas
lo que resulta falso puesto que el valor de
b era 16 millas.
Cuando se nos enseñan los primeros cálculos trigonométricos se pone mucho énfasis en la
reducción al primer cuadrante y esta sistematización nos lleva a cometer errores como el del
problema anterior, es evidente que en tal caso algo no funciona adecuadamente.
Las funciones trigonométricas no son inyectivas, en consecuencia existen más de un valor del
ángulo tal que su imagen coincide, este hecho indica que al calcular la preimagen de un valor
determinado, en la mayoría de los casos esta preimagen consta de 2 valores, así se tiene para el
problema, mediante el teorema del seno que:
sen72º 40'
senCˆ  
78 millas  0,995425426
74,8 millas
luego se tienen dos posibles valores que son:
 84º31'3' '

Ĉ  
95º 28'57' '

con este razonamiento también deberíamos tener dos ángulos al calcular el valor de
sen72º 40'
16 millas  0,204187572
74,8 millas
lo que implica los siguientes valores de B̂
11º 46'55' '

B̂  
168º13'5' '

B̂ .
senBˆ  
Puesto que ya se tiene un ángulo dado como dato, de 72º40’, B̂ no puede tomar el valor
168º13’5’’, en consecuencia existe una única posibilidad para Ĉ y debe ser de 95º28’57’’.
Así se obtienen los siguientes valores:
Aˆ  72º 40' Bˆ  11º 46'55' ' Cˆ  95º 28'57' '
Observaciones:
 La primer es que al analizar la resolución propuesta por el alumno se comete un primer

error al tomar sólo un valor del ángulo C .
-4-


La segunda observación es que lo lógico hubiera sido, conociendo el valor de dos ángulos
calcular el tercero como 180º menos la suma de estos dos. ¿En este caso se habría
resuelto el problema? ¿es la solución apropiada? Es claro por lo anterior que la respuesta
es no, en consecuencia muchas veces creemos haber resuelto el problema y no es así.
También se puede observar que cuando nos dan un problema trigonométrico, tal como
resolver un triángulo, muchas veces la solución consta de dos posibles triángulos.
Bibliografía:
1. Álgebra y trigonometría. Smith, Stanley; Charles, Randall; Dossey, John; Keedy,
Mervin; Bittinger, Marvin.
2. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad. Caymurano – Net –
Aragón.Estarad Polimodal ISBN – 950-01-07775. año 2000
3. matemática A-Z 3. Englebeert – Pedemonti - Semino
(*) Nucompa – Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de matemática
UNICEN. Tandil 7000. Prov. de Buenos Aires
rgamondi@exa.unicen.edu.ar
(**) GEMBO (Grupo Educativo de Matemática de Bolívar
CIE – Guemes 62
6550 - Bolívar
marcelauhart@yahoo.com.ar
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