Download PARTE 3 IGUALDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

MATERIAL DE APOYO PARA LA PREPARACIÓN EN EL
CONTENIDO DE GEOMETRÍA PLANA .
APUNTES DE UNA EXPERIENCIA
PARTE 3
IGUALDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
ELABORADO POR
M.Sc. ROGER RIVERÓN RIVAS
2010
1
PRELIMINARES
La solución de ejercicios geométricos de igualdad y semejanza de triángulos,
constituye desde la perspectiva de este autor una forma de fijar propiedades y
relaciones de los conceptos geométricos estudiados hasta el momento. De ahí
que una problemática común en muchos casos a la hora de tratar ejercicios de
este contenido es “intenta fijar los que no se sabe”, en este sentido es notorio
la ocupación que en el ámbito de la enseñanza de la Matemática se le otorga
al “procedimiento” de solución,
en detrimento en muchos casos de los
conocimientos necesarios que permiten organizar y desarrollar el propio
procedimiento.
La forma de trabajar y discutir los ejercicios que se le proponen como parte del
material exigen:
1. La comparación de los conceptos geométricos en atención a las
características que sirven de base a su definición. El análisis
de
propiedades comunes y diferentes.
2. El establecimiento de nexos entre los conceptos geométricos y sus
relaciones..
3. La utilización de diagramas,
figuras de análisis, esquemas u otros
medios o recursos de aprendizaje en fundón de la visualización y la
comprensibilidad del contenido del ejercicio.
4. La aplicación en la solución de ejercicios
de las propiedades y
características que les son inherentes a los diferentes conceptos y
procedimientos de trabajo. A partir de reconocer que:
1. todas las propiedades válidas para un concepto lo son para sus
conceptos
( PARALELOGRAMO
subordinados.





RECTÁNGULO

 CUADRADO

ROMBO

2
SECCIÓN 1
Conceptos esenciales que se deben tener en cuenta en la solución de ejercicios
sobre el contenido de igualdad y semejanza de triángulos:
1. Igualdad de triángulos
2. Grupo de Teoremas de las transversales.
3. Semejanza de triángulos.
Contenidos
en el programa vigente para el ingreso a la Educación Superior
relacionados con la geometría plana
 Cálculo en figuras planas (incluyendo ejercicios en que se aplique la
trigonometría).
 Demostración de posiciones relativas entre rectas, de la igualdad de longitudes
de segmentos y de la igualdad de amplitudes de ángulos.
Para los ejercicios de cálculo y demostración se aplicarán los contenidos relativos
a:
 Ángulos. Ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, de lados respectivamente paralelos o perpendiculares y entre paralelas. Polígonos y sus
propiedades. Ángulos en la circunferencia: central, inscrito y semiinscrito.
 Relaciones métricas en la circunferencia.
 Igualdad y semejanza de triángulos. Grupo de Teoremas de Pitágoras y de las
transversales.
 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
 Fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas (incluyendo ejercicios en
que se aplique la trigonometría).
3
Una
información básica y necesaria sobre algunos de los conceptos
anteriores:.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

B

A
1
1
B1

1
C
C1
A1
Dos triángulos son iguales cuando superpuestos
coinciden sus vértices (existe un movimiento que
transforma a uno en el otro). Si dos triángulos son
iguales, entonces sus tres lados y sus tres ángulos
son respectivamente iguales.
  1
AB  A1 B1
  1
BC  B1C 1
 1
AC  A1C 1
Ángulos y lados homólogos
Si dos triángulos tienen dos lados y los ángulos
comprendidos
respectivamente
iguales,
entonces son iguales.
lal
R
A
B

P
C
 

Q
 AB  RP

BC  PQ
4
Si dos triángulos tienen un lado y los ángulos
adyacentes a ese lado respectivamente iguales,
entonces estos triángulos son iguales
.
ala
R
A
B

P


Q
C
 
 
Si dos triángulos tienen sus tres
respectivamente iguales, entonces
triángulos son iguales.
lll
BC  PQ
lados
estos
R
A
P
B
Q
C
 AB  RP

 BC  PQ
CA  QR

5
Se llama MEDIATRIZ de un triangulo a las rectas que pasan
por los puntos medios de los lados del triangulo y de forma
perpendicular.
C
ma
b
a
Al punto de intersección de las mediatrices se le llama
circuncentro.
c
mc
A
B
C
Se llaman ALTURAS de un  ABC a los segmentos ha, hb y
hc a las perpendiculares trazadas desde los vértices del
triangulo a las rectas que contiene a los lados opuestos; los
pies de dichas perpendiculares se llaman pie de las alturas.
b
ha
Al punto de intersección de las alturas se le llama ortocentro.
A
Se llaman MEDIANAS de un  ABC a los
segmentos ma, mb y mc determinados por los
vértices del triangulo y el punto medio de los lados
opuestos.
mb
hb
a
hc
c
B
C
b
El punto de intersección de las medianas se llama
baricentro.
A
ma
mc
c
Se llaman BISECTRICES de un triángulo ABC a los
segmentos de las bisectrices ba, bb, y bc de los ángulos
interiores A, B y C del triángulo, determinados por los vértices
y el lado opuesto a cada uno de ellos.
Al punto de intersección de las bisectrices se llama incentro.
Todo punto situado en la bisectriz equidista de los lados del A
ángulo..
a
mb
B
C
b
ba
bc
c
a
bb
B
Todo punto situado en la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
6
La RAZÓN entre dos números a y b es la fracción
a
, b ≠ 0.
b
Para hallar la razón entre dos números se plantea el cociente entre ellos y se
simplifica tanto con sea posible.
La igualdad entre razones es una PROPORCIÓN.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Razón entre segmentos: Segmentos proporcionales.
Llamamos RAZÓN entre dos SEGMENTOS a la razón entre los números que
expresan sus medidas en la misma unidad de longitud.
Los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos A1 B1 y C1 D1 si
AB A1 B1

CD C1 D1 .
TEOREMA DE LAS TRANSVERSALES
Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas paralelas,
entonces se cumple que la razón entre dos segmentos de una de ellas es igual a
la razón entre los dos segmentos correspondientes en la otra.
P
A
C
PA PB

AC BD
B
D
PA
PB
PC = PD
AC BD

PC PD
RECÍPROCO DEL TEOREMA DE LAS TRANSVERSALES
Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas de manera que
la razón entre dos segmentos de uno de ellos es igual a la razón entre los dos
segmentos correspondientes en la otra, entonces las rectas son paralelas.
7
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A1
A
1

B


B1
C
1
Dos triángulos son semejantes si tiene sus
ángulos respectivamente iguales y sus lados
homólogos son proporcionales.
  1
AB  k  A1 B1
  1
BC  k  B1C 1
 1
AC  k  A1C 1
1 1
C
Ángulos y lados homólogos
Toda recta paralela a un lado de un triangulo
forma con los otros dos lados (o con sus
prolongaciones) otro triangulo que es semejante
A
al triangulo dado DE AB  ABC  CDE
B
D
E
C
Si dos triángulos tienen dos ángulos
respectivamente
iguales,
entonces
son
semejantes    1 ,    1  ABC  A1 B1C 1
A1
A
B 

C
B1  1
1
C1
8
Si
dos
triángulos
tienen
dos
lados
respectivamente proporcionales e igual el
ángulo comprendido entre dichos lados,
entonces estos triángulos son semejantes.
  1


AB  k A1 B1   ABC A1 B1C 1

BC  k B1C 1 
A1
A
B 
C
B1  1
C1
Si dos triángulos tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales, entonces son
semejantes.
A1
A
AC  k A1C 1 


1 1 1
AB  k A1 B1   ABC A B C

BC  k B1C 1 

B 

C
B1  1
1
C1
9
1. De acuerdo a tus conocimientos sobre los cuadriláteros completa según se
indica la siguiente tabla.
DATOS DE LA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
FIGURA
Ubica
segmento
en
el
AB del
A
ABC ( AC  AB )
un
D de
punto
manera
que
el
CDA  DCA
Ubica
en
C
B
A
el
triángulo ABC un
punto D de manera
que el ABD sea
B
igual a la suma de
los
ángulos
BAC  ACB
C
10
DATOS DE LA FIGURA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
Traza un segmento en
el ABC , isósceles de
base AB , de manera
B
que se obtenga dos
C
triángulos iguales.
A
Ubica en la recta que
B
contiene al segmento
CA
ABC
del
ACB  90 
0
un punto D de manera
que el segmento BD
coincida con una de las
alturas del triángulo.
C
A
11
DATOS DE LA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
FIGURA
Traza un segmento
en
el
B
ABC ,
rectángulo en
C,
de manera que se
obtenga
C
dos
triángulos
semejantes.
A
Traza un segmento
en
el
rectángulo en
C,
de manera que se
obtenga
B
ABC ,
C
dos
triángulos de igual
área. .
A
12
DATOS DE LA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
FIGURA
Que
condición
deben cumplir los
segmentos AB
y
BC para que AC
Sea
bisectriz
C
D
del
BCD .
A
B
Que condición debe
cumplir el punto C
de manera que las
diagonales
del
C
D
trapecio ABCD ( BD
y
AC )
sean
iguales.
A
B
13
DATOS DE LA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
FIGURA
Ubica
en
el
segmento BC
del
rectángulo
ABCD
un punto
F , de
A
B
manera tal que el
F
triángulo AFD sea
isósceles.
C
D
 ____   ____
En la figura ABCD
es un cuadrado, DB
diagonal, determine
un
segmento
con
los
EF
D
C
A
B
extremos
sobre
los
segmentos
AD y
DB de manera que
los triángulos BCD
y el triángulo DEF
sean semejantes y
la
razón
de
semejanza sea 2.
14
DATOS DE LA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
FIGURA
Que condición debe
DAC
cumplir el
para
A
B
D
C
que
2  AB  DB
 ____   ____
Que condición debe
cumplir
central
el
ángulo
AOB ,
C
k  ___
para que la longitud
del
segmento
O
AB sea igual a la
longitud del radio de
la
dad.
circunferencia
A
B
15
DATOS DE LA
FIGURA DE ANÁLISIS
JUSTIFIQUE
FIGURA
Que condición debe
cumplir
el
C
segmento AC para
que ABC  90 0
O
A
B
Que condición deben
cumplir
los
A
arcos AB , BC y CA
para
el
área
del
triángulo
ABC se
pueda
calcular
mediante
O
la
expresión
A
3
2
 BC
4
B
C
16
1. En la figura ABCD es un cuadrado, El triángulo ACE isósceles, la recta BE contiene a la
diagonal DB, AC diagonal, O punto de intersección de las diagonales y el DCE  15 0 .
a) Seleccione según los datos de la figura el
conjunto formado :
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
C. Por todos los triángulos obtusángulos.
E
D. Por un conjunto de triángulos de igual área.
C
D
b) De la línea A, determine:
 dos triángulos iguales,
O
A
 dos triángulos semejantes.
B
 la razón de semejanza entre los dos
triángulos semejantes anteriores.
Justifique cada caso..
c) De la línea B, determine:
 tres parejas de triángulos en la que la
razón entre las áreas de cada pareja es
igual a 1.
 dos triángulos semejantes.
d) De la línea C, determine:
 Todos los triángulos que tengan por una
de sus alturas un segmento de longitud
igual a la del segmento OC .
e) Clasifique el cuadrilátero ABCE
17
2. En la figura ABCF es un trapecio rectángulo, F y G son las intercepciones de los segmentos
AE y EB con el lado DC del trapecio, el triángulo ADF rectángulo en D, GC  AD . Si G es el
punto medio del segmento FC
a) Forme con los puntos dados en la figura y de
acuerdo a los datos que se ofrecen, el
conjunto formado por:
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
C. Por todos los trapecios rectángulos..
D. Por todos los paralelogramos.
E
F
G
E. Por todos los trapecios isósceles.
C
Justifique cada caso
b) De la línea A, determine:
A
D
B
 dos triángulos iguales.
 dos triángulos semejantes.
 dos triángulos en el que el área de uno es
el doble del área del otro triángulo.
 la razón entre el área de uno de los
triángulos seleccionado y el área del
cuadrilátero BCFD.
c) De la línea B, determine:
 tres triángulos iguales entre si..
 tres triángulos semejantes entre si.
 Dos triángulos en la que la razón entre las
áreas sea 2.
18
3. En la figura ABCD es un cuadrado, EF paralela media, D es le intercepción entre la
diagonal DB y EF.
a) Forme, con los puntos dados en la figura y
de acuerdo a los datos que se ofrecen, el
conjunto formado por:
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
C. Por todos los trapecios rectángulos..
D
C
E
F
A
D. Por todos los cuadrados..
d) De la línea A, determine:
 Dos parejas de triángulos iguales entre si.
D
B
 ____ =  ____
 ____ =  ____
 Dos parejas triángulos semejantes entre
si:
 ____   ____
 ____   ____
 Calcule la razón entre el área del trapecio
EDBA y el área del DAB .
 Si
DC  5,4cm
calcule
el
sombreada.
19
área
4. Los puntos A, B, C Y D pertenecen a la circunferencia de centro O, el BOA  OCB ,
F pertenece a la cuerda BC , OF  FB y AD diámetro.
a) Forme, con los puntos dados en la
figura y de acuerdo a los datos que se
ofrecen, el conjunto formado por:
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
C. Por todos los trapecios rectángulos.
D. Por todos los trapecios isósceles.
O
A
D
E. Por todos los paralelogramos.
Justifique cada caso
B
F
C
b) De la línea A, determine:
 Dos parejas de triángulos iguales entre si.
 ____ =  ____
 ____ =  ____
 Dos parejas triángulos semejantes entre
si:
 ____   ____
 ____   ____
 Calcule la razón entre el área del trapecio
ABCD y el área del BOC .
 Si FC  2,3cm calcule el área del trapecio
ABCD.
20
5. La recta AC pasa por el centro O de la circunferencia, las rectas DA y DC son
tangentes a la circunferencia en los puntos A y B respectivamente.
a) Forme, con los puntos dados en la
figura y de acuerdo a los datos que se
ofrecen, el conjunto formado por:
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
b) Seleccione:
 Dos parejas de triángulos iguales entre si.
 ____ =  ____
O
A
C
 ____ =  ____
B
 Un par de triángulos para los cuales se
cumpla que sus áreas son iguales:
D
A  ____ =A  ____
21
6. En la figura ABCE trapecio rectángulo, ABCD paralelogramo, FB y DG alturas de
los triángulos ABD y BDC respectivamente, AB 
EC
2
a) Forme, con los datos que se ofrecen en el
ejercicio, el conjunto formado por:
C
D
E
A. Un conjunto de segmentos de una misma
longitud.
F
B. El
G
conjunto
de
todos
los
pares
segmentos para los cuales sus longitudes
satisfacen la ecuación y  2 x ( y
A
B
de
longitudes
de
los
y
x
segmentos
seleccionados)
C. El conjunto de todos los ángulos rectos.
D. El conjunto de todos los pares de ángulos
para los cuales sus amplitudes satisfacen
x0
la ecuación y 
( y 0 y x 0 amplitudes
2
0
de los ángulos seleccionados)
E. El conjunto de todos los triángulos de
ángulos interiores iguales.
F. El conjunto de todos los cuadrados.
G. El
conjunto
de
todos
los
trapecios
rectángulos.
H. Un conjunto de más de tres triángulos
iguales.
I. Un conjunto de más de tres triángulos
semejantes entre sí.
justifica cada conjunto seleccionado
22
F pertenecen a los lados DC y
7. En la figura ABCD cuadrado,
G y
AB respectivamente, de manera que DG  FB , FG y AC se cortan en I . E punto
medio de AD .
a) Seleccione tres pares de segmentos de
igual longitud, cada una de las parejas.
Justifique.
b) Conforme un conjunto A formado por 5
D
G
C
ángulos de igual amplitud, que cumpla
que:
90 0  A
E
c) Seleccione y nombre en la figura todos los
II
trapecios rectángulos que se forman con
los puntos dados
A
F
B
d) Pruebe que al trazar desde E un segmento
perpendicular al segmento
CB , este
intercepta a la diagonal AB en I .
e) Pruebe que el triángulo AEI  ABC .
f) Seleccione
una
pareja
de
triángulos
semejantes que no sea la del inciso
anterior. Justifique.
g) Prueba que FE y EC son bisectrices de
los
AEI y
ángulos
IED respectivamente.
h) Clasifique el triángulo BEC según sus
lados.
23
8. En la figura ABCD es un cuadrado, el DCI equilátero, BI intercepta a los lados del
FCD en G y H respectivamente, F  AD , FCB  ABH .
a) Pruebe que FCD  HCB
b) Forme,
un
conjunto
K formado
por
segmentos de igual longitud, de manera
que:
AB  K .
I
c) Seleccione un ángulo para el cual el valor
de su coseno es un número negativo.
d) Seleccione dos triángulos semejantes.
H
D
C
G
Justifique.
F
e) Conforme, el conjunto formado por todos
los trapecios rectángulos.
A
B
f) Calcula la amplitud del DIA .
g) Si el perímetro del cuadrado es de 42cm .
Calcule el área del ICB .
24