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Segunda Parcial
LAPSO 2008-2
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
711-1/3
Topología(711)
Fecha: 11/10/2008
Lic. En Matemática
PRUEBA DE DESARROLLO / CORRECCIÓN MANUAL
Tiempo de Prueba: 3 horas
INSTRUCCIONES
1. En esta prueba se evalúan los objetivos 5, 6 y 7 de la asignatura TOPOLOGIA(711).
Estos objetivos se volverán a evaluar en la Integral.
2. Debe responder las preguntas en la HOJA DE RESPUESTA que se anexa. Si es
necesario solicite hojas adicionales al Supervisor de la Prueba, las cuales debe firmar y
colocar su número de cédula de identidad.
3. El trabajo es estrictamente individual y cualquier actitud sospechosa por parte del
estudiante que pueda alterar los resultados de la prueba será penalizada con la anulación
de la misma.
PREGUNTAS
0BJ 5
PTA 1
Sean, f : X ⎯⎯
→ Y y g : X ⎯⎯
→ Y funciones continuas de un espacio topológico X en un
espacio de Hausdorff Y. Probar que: A = { x : f ( x) = g ( x)} es un subconjunto cerrado de
X
Justifique completamente su respuesta
Solución:
Se probará que AC = { x : f ( x) ≠ g ( x)} es un conjunto abierto en X.
Si x ∈ AC , entonces f ( x) ≠ g ( x) , como Y es Hausdorff existen vecindades de f(x) y de f(y)
disjuntas: U f ( x ) ∩ U g ( x ) = ∅ . Entonces f −1 (U f ( x ) ) y f −1 (U g ( x ) ) son abiertos disjuntos de x en
X. Además x ∈ f −1 (U f ( x ) ) ⊂ AC ¿porqué?, lo que indica que AC es abierto en X , por lo tanto
A es cerrado en X.
0BJ 6
PTA 2
Considerando a R con la topología usual, comprobar que la función f : R ⎯⎯
→R definida
x
por: f ( x) = e .
a) Es abierta
b) No es cerrada
Justifique completamente su respuesta
Criterio de corrección: Debe responder ambas partes de forma correcta para obtener el
objetivo
Área de Matemática
Segunda Parcial Topología
Solución:
a) Es obvio que
b)
711−2/3
f (( a, b )) = ( ea , eb ) para todo intervalo (a,b)
f ( R ) = ( 0, +∞ ) no es cerrado , siéndolo R en la topología usual
0BJ 7
PTA 3
Si X espacio topológico arcoconexo, y f : X ⎯⎯
→ Y continua. Demostrar que f ( X ) es
también arcoconexo.
Justifique completamente su respuesta
Solución:
Se debe recordar que un espacio topológico X se denomina arcoconexo si para cada par de
→ X h continua, tal que
puntos p, q de X , existe un camino o trayectoria: h : [ 0,1] ⎯⎯
h(0) = p y h(1) = q .
Sean p, q ∈ f [ X ] , entonces existen p* , q* ∈ X tal que f ( p* ) = p y f (q* ) = q , como X es
→ X h continua, tal que h(0) = p* y h(1) = q* . Entonces
arcoconexo, existe h : [ 0,1] ⎯⎯
→ f (X )
( f o h ) : [0,1] ⎯⎯
es continua y ( f o h ) (0) = p y
es arcoconexo.
FIN DE LA PRUEBA
( f o h ) (1) = q . Por lo tanto f ( X )
Segunda Parcial Topología
711−3/3
Lapso 2008 - 2
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
PRUEBA DE DESARROLLO / HOJA DE RESPUESTAS
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Firma Supervisor
Centro local:
Nombre:
Asignatura: Topología
Momento de Prueba: Segunda Parcial
Código Carrera:
C.Identidad:
Código:711
Fecha: 11/10/2008
RESULTADOS DE CORRECCIÓN
OBJ N°
1=L
0 = N.L.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11