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Integral de Matemática I
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Lapso 2008 - 2
INTEGRAL MATEMÁTICA I (175-176-177)
FECHA PRESENTACIÓN: 10-01-2008
MODELO DE RESPUESTAS
OBJ 1 PTA 1
Si la suma de dos números enteros consecutivos que son múltiplos de 7 es 175.
Halla el valor de los números.
Solución
Sea a un número entero, entonces 7a es múltiplo de siete y 7 (a +1) es el número
entero consecutivo de 7 a.
Sabemos que:
7 a + 7 (a +1) = 175.
Entonces,
14 a + 7 = 175.
De donde,
14 a = 168.
Por lo tanto,
a = 12.
En conclusión, los números consecutivos múltiplos de siete son:
7 a = 84 y 7(a+1) = 91.
♦
Integral de Matemática I
OBJ 2 PTA 2
Rellene el siguiente recuadro marcando con una X donde considere si el número
de la columna de la izquierda es RACIONAL o IRRACIONAL.
Justifica tu respuesta
RACIONAL IRRACIONAL
3
7
−
4
2
9
2
− 11
Solución (ver páginas 65 y 101-107 del Módulo I)
RACIONAL IRRACIONAL
3 = 1,732050807568877 . . .
X
Expresión decimal NO PERIÓDICA
7
= ─ 1,75
4
Expresión decimal FINITA
−
2
= 0,222222222222…
9
Expresión decimal INFINITA PERIÓDICA
2 = 1,4142135623730950. . .
X
X
X
Expresión decimal NO PERIÓDICA
− 11 = ─ 3.31662479035539984. . .
X
Expresión decimal NO PERIÓDICA
♦
Integral de Matemática I
OBJ 3 PTA 3
Para el logro del objetivo debes responder dos opciones correctamente
En el cuadro que se te da al final de los siguientes enunciados están las posibles
respuestas que corresponden a los espacios en blanco que hace que dichos
enunciados sean verdaderos. Complétalos.
Justifica tus respuestas.
a. La inecuación | x | ≥ 5 la resuelve la ________ de los conjuntos ________ y
________.
b. El _____________ solución de la ____________ | x | ≤ 5 es ______________.
c. El
intervalo
(5, +∞)
es
inecuación____________.
el
______________
solución
de
Cuadro de posibles respuestas:
Intersección
Unión
(−5 , 5)
[−5 , 5]
(−∞, −5), (5, +∞)
(−∞, −5], [5, +∞)
Número
Ecuación
Inecuación
Conjunto
|x|>5
|x|<5
x>5
x<5
Solución
Las palabras que completan los enunciados para que sean verdaderos son en
cada caso los siguientes (ver p.155 del texto-Módulo I):
a. Unión,
b. Conjunto,
c. Conjunto,
(−∞ , −5] y [5, +∞).
Inecuación,
x > 5.
♦
[−5, 5].
la
Integral de Matemática I
OBJ 4 PTA 4
Si las coordenadas del punto medio entre los puntos (1 , 9) y (x , y) son (3 , 2).
Halla las coordenadas del punto (x, y).
Solución:
La fórmula dada en la página 48 del Módulo II del texto, para hallar las
coordenadas del punto medio del segmento de extremos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2)
es:
⎛ x1 + x 2 y1 + y 2 ⎞
,
⎜
⎟.
2
2
⎝
⎠
En nuestro caso tenemos que:
⎛ x +1 y + 9 ⎞
,
⎜
⎟ = (3 , 2),
2 ⎠
⎝ 2
de donde se tiene :
x +1
y+9
=3 y
= 2.
2
2
Por lo tanto,
x+1=6
e
y + 9 = 4.
En conclusión las coordenadas del punto (x, y) son: x = 5 e
(x , y) = (5 , − 5).
OBJ 5 PTA 5
Haz la gráfica de la función g: IR→IR, definida por:
⎧ 2 , t ≤ −2
⎪
g(t) = ⎨− 1 , 2 < t < 2
⎪2 ,
t≥2
⎩
y determina si esta función es par.
Solución
La gráfica de la función g es la siguiente:
y
2
−2
2
t
−1
y = −5,
♦
es decir
Integral de Matemática I
Al observar la gráfica de g notamos que la misma es simétrica respecto al eje OY.
Por lo tanto es una función par (ver p.122 del Módulo II).
♦
OBJ 6 PTA 6
A continuación se presenta los datos agrupados en cinco clases de edades de los
niños de una escuela que presentan problemas de aprendizaje:
Intervalo de edad
[ 5 , 6)
[ 6 ,7)
[ 7 , 8)
[ 8 , 9)
[ 9 , 10]
Frecuencia de niños
1
2
4
1
1
Usando esto datos haz un diagrama de frecuencias acumuladas.
Solución
Debemos hacer una diagrama de barras donde vamos sumando las frecuencias
anteriores ( ver p.182 del Módulo II)..
Intervalo
Frecuencia
Frecuencia acumuladas
[ 5 , 6)
1
1
[ 6 ,7)
2
3
[ 7 , 8)
4
7
[ 8 , 9)
1
8
[ 9 , 10]
1
9
De esta manera obtenemos el siguiente diagrama de frecuencias acumuladas
9
8
7
3
.
♦
1
5
6
7
♦
8
9
10
Integral de Matemática I
OBJ 7 PTA 7
Determina el término quinto de la progresión geométrica de razón 3 cuyos
primeros cuatro términos son: 2, 6, 18, 54, . . .
Solución
La sucesión es una progresión geométrica (ver página 27 del Módulo III) debido a
que:
6
2
=
18
6
=
54
18
= 3.
En consecuencia, los términos sucesivos tienen una razón constante de 3; esto
es, r = 3. Asimismo, el primer término es a1 = 2.
Por lo tanto,
a 5 = a 1 r 4 = 2 (3 4) = 162.
OBJ 8 PTA 8
Calcula el siguiente límite:
5x 2 − 4x
lim
,
x → 2 2x + 2
Solución
Ver ejercicio 2 en la pág.102 del Módulo III
♦
♦
Integral de Matemática I
OBJ 9 PTA 9
Sea h:IR → IR la función definida como sigue:
⎧⎪ x 3 si x < 0
h( x ) = ⎨
⎪⎩x − 1 si x ≥ 0
Determina si h es continua en x = 0.
Solución
Para saber si h es continua en x = 0 debemos determinar si (ver p.136 del Módulo
III):
a. 0∈Dom h
b. lím h( x ) existe
c. lím h( x ) = h( 0 )
x→ 0
x→ 0
a. .
Como Dom h = IR, entonces 0∈Dom h. Veamos ahora si lím h( x )
x→ 0
que esto suceda debe cumplirse que:
lím − h( x ) =
x→ 0
Pero:
lím − h( x ) =
x→ 0
lím − x 3 = 0
x→ 0
y
existe, para
lím + h( x ).
x→ 0
lím + h( x ) =
x→ 0
lím + (x − 1) = −1.
x→ 0
Como estos límites laterales son distintos, el límite de h cuando x→0 no existe y
así h no es continua en x = 0.
Otra forma de resolver es haciendo el gráfico de h y observando que nos es
continua porque su gráfica tiene un salto en cero.
♦
Integral de Matemática I
EDUCACION, MENCION DIFICULTAD DE APRENDIZAJE Y PREESCOLAR 175
OBJ 10
PTA 10
Indica los ejes de simetría de la siguiente figura
Solución (ver páginas 99 -111 del Módulo IV (175))
En la figura se señalan los tres ejes de simetría de la figura.
L2
L3
L1
Integral de Matemática I
OBJ 11
PTA 11
Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F si
son falsos:
a. En el campo de la matemática es conveniente que la definición del vocablo
“clasificar” sea considerado como “organizar” y no como “ordenar” __.
b. Toda clasificación sobre un conjunto E, determina una relación de
equivalencia sobre dicho conjunto ___.
c. Toda relación de equivalencia sobre un conjunto E, determina una
clasificación sobre dicho conjunto ___.
Solución
a. V Ver página 128 en el Módulo IV (175) del texto.
b. V Ver página 132 en el Módulo IV (175) del texto.
c. V Ver página 132 en el Módulo IV (175) del texto.
♦
ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA 176
OBJ 10 PTA 10
Un empleado de una empresa ahorra Bs. 90 000 si su renta es de Bs. 950 000.
Además por cada bolívar de incremento de su renta aumenta Bs. 0,65. Halle el
nivel de consumo si la renta se incrementa a Bs. 1 050 500, sabiendo que la
función consumo es C = a + 0,65Y.
Solución.-
Integral de Matemática I
Este problema se resuelve análogamente al ejercicio 1.6 de la página 46 del
módulo IV. Como la función consumo es afín y de acuerdo a los datos dados, la
función consumo viene dada por la relación:
C = a + 0,65Y.
Mientras que la función ahorro es:
A = Y − C = Y − a − 0,65Y = 0,35Y − a.
Pero para una renta de Bs. 950 000 hay un ahorro de Bs. 90 000, entonces:
90 000 = 0,35.950000 − a
De donde resulta
a = 242500.
Luego la función consumo está dada por la relación:
C = 242500 + 0,65 Y.
Por lo tanto, el consumo para una renta de Bs. 1 050 500 es:
242500 + 0,65 . 1050500 = 928 375 bolívares. ♦
OBJ 11 PTA 11
Una distribución de ingreso de una determinada población sigue la Ley de Pareto
según:
318 x1010
10 000 ≤ x ≤ 350 000.
y=
3
x2
Determina el número de personas cuyo ingreso sea superior a 10 000.
Solución
Basta con evaluar en x = 10 000 la fórmula dada:
y=
318 x1010
(10000 )
3
2
=
318 x1010
3
4 2
(10 )
=
318 x1010
10 6
= 318 000.
Integral de Matemática I
INGENIERIA, MATEMATICA Y EDUCACION MATEMATICA 177
OBJ 10 PTA 10
Indica cuál es el error que se comente en la siguiente “supuesta” demostración:
Sean a, b números tales que a < b. Entonces:
a−5 <b−5
−4 a + 10 < −4 b +10
−4 a < −4 b
4b<4a
b < a.
Solución
A continuación presentamos en una tabla cada uno de los resultados obtenidos
indicando su justificación y el error cometido
Resultado
Justificación
Se restó un número en ambos miembros de la inecuación.
a−5 <b−5
−4a + 10 < −4b +10
Se multiplicó ambos miembros de la inecuación por el número
positivo 2.
Se restó un número en ambos miembros de la inecuación.
−4 a < −4 b
4b<4a
Se multiplico por −1 ambos miembros de la inecuación pero
no se cambió el sentido de la desigualdad.
Se multiplicó ambos miembros de la inecuación por el número
b<a
positivo 1/4.
♦
Integral de Matemática I
OBJ 11 PTA 11
Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F si
son falsos:
a. Modelo es todo lo que se emplea para describir la estructura o el
comportamiento de una contraparte de la vida real ____.
b. Los Modelos Matemáticos son aquellos modelos que establecen relaciones
entre un conjunto de variables _____.
c. El Modelo Exponencial es un modelo matemático usual y se refiere al
crecimiento o decrecimiento de una cierta cantidad inicial, en forma de
progresión geométrica ____.
Solución
a. V. Ver página 61 y siguientes, o Glosario en el Módulo IV (177) del texto.
b. V. Ver página 96 o Glosario en el Módulo IV (177) del texto.
c. V. Ver página 98 en el Módulo IV (177) del texto.
♦
FIN DE MODELO DE RESPUESTA