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Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, Septiembre 2016
3er. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
Memorias
La refutación de aserciones en un contexto de propiedades del triángulo
rectángulo
Alma Luz Téllez Ortega (Becaria)
amaluteo@hotmail.com
Unidad Académica Preparatoria No.1, Universidad Autónoma de Guerrero.
Guadalupe Cabañas-Sánchez (Asesor)
gcabanas.sanchez@gmail.com
Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.
Introducción
El estudio de los argumentos producidos por estudiantes y matemáticos es un tema de
interés en la agenda de investigación en Matemática Educativa (Inglis, Mejia & Simpson, 2007;
Knipping, 2008). Su análisis se sustenta de las prácticas discursivas. Varios investigadores
sostienen que la argumentación es central en el desarrollo del pensamiento crítico e importante
para el aprendizaje (e.gr. Andriessen, 2006 en Warner et al, 2014; González y Planas, 2013). En
matemáticas, contribuye al desarrollo del pensamiento general de los estudiantes y del
matemático en particular; de ahí que una gran cantidad de currículos escolares como sostienen
González y Planas (2013), plantean la idea de que la educación matemática debe contribuir a la
formación de ciudadanos reflexivos, críticos y con capacidad de análisis y argumentación, pues
en este marco institucional, la argumentación es una habilidad básica que se desarrolla de manera
progresiva a lo largo de las etapas de la educación obligatoria.
Es en el contexto de los argumentos que se sitúa la presente investigación. Se analizaron
como un medio para comprender el papel que cumple la refutación en las argumentaciones
colectivas de estudiantes de primaria. Una cuestión importante sin duda, es ¿qué se refuta en un
proceso argumentativo? Al respecto, Reid y colaboradores (Reid et al, 2010) reconocen que al
menos tres elementos en una estructura argumentativa pueden ser refutados. Esto es, que los
datos del argumento pueden ser refutados, dejando a la conclusión de duda. La garantía del
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argumento puede ser refutada, dejando de nuevo la conclusión en duda. O la conclusión en sí
misma puede ser refutada, lo que implica que o bien los datos o la garantía no es válida, pero no
dice cuál.
El estudio de la refutación en este trabajo, se sustenta de la reconstrucción de las
estructuras argumentativas de estudiantes de primaria mientras discuten la posibilidad de dibujar
un triángulo rectángulo con determinadas características, relativas a sus lados. Nos apoyamos
para ello, del modelo argumentativo de Toulmin, útil para describir y analizar todo tipo de
argumentos.
Objetivo
El objetivo de la investigación, es reconocer el papel que cumple la refutación en las
argumentaciones colectivas desarrolladas con estudiantes de primaria, mientras analizan la
posibilidad de dibujar un triángulo rectángulo con determinadas características.
Aspectos Teóricos
El sustento teórico de esta investigación son los conceptos de argumento, argumentación,
argumentación colectiva y refutación,
con los que se analizan y explican las refutaciones
derivadas de las argumentaciones que se suscitan en lo colectivo mientras se discuten la
posibilidad de dibujar un triángulo rectángulo.
Un argumento es una estructura compleja de datos (Toulmin, 1958; Toulmin, Rieke y
Janik, 1984) que involucra un movimiento que parte de una evidencia y llega al establecimiento
de una aserción (o tesis). El movimiento de la evidencia a la aserción es la mayor prueba de que
la línea argumental se ha establecido con efectividad. La garantía permite la conexión entre los
datos y la aserción. La garantía a su vez, tiene un respaldo y un cualificador modal que indica el
grado de fuerza o probabilidad de la aserción. Pueden existir objeciones o reservas.
La argumentación por su parte, se refiere a toda la actividad de hacer aserciones,
refutándolas, apoyándolas mediante la producción de razones y
criticando esas razones
(Toulmin, 1958/2003). Se concibe como un proceso secuencial que permite inferir conclusiones a
partir de ciertas premisas, implica un movimiento comunicativo e interactivo entre personas
(Toulmin, Rieke & Janik, 1984).
Una refutación tiene como fin, mostrar que un argumento que se dirige en contra es
cuestionable o insostenible (Walton, 2009). La refutación (Toulmin, 1968/2003) presenta las
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excepciones de la aserción, aquellas condiciones bajo las cuales no es posible sostener la tesis de
un argumento.
Las argumentaciones en este trabajo se analizaron desde lo colectivo. Definimos a la
Argumentación colectiva en el sentido de Yackel (2002), como una construcción para el análisis
de la naturaleza de actividad dentro de las clases de matemáticas que se caracterizan por la
resolución de problemas y la colaboración de discusiones de toda la clase. En este sentido, las
argumentaciones colectivas se construyen, con un objetivo específico.
El modelo argumentativo de Toulmin
La reconstrucción de los argumentos producidos por los estudiantes, se sustenta del
modelo argumentativo de Toulmin (Toulmin, 1958/2003). El modelo se constituye de seis
elementos a los que se denominan categorías, cada una desempeña un papel diferente en un
argumento (Inglis, Mejia & Simpson, 2007; Cabañas-Sánchez, 2011). Los elementos del modelo
son: La Aserción (A), que es la tesis que sustenta el argumentador. El Dato o Evidencia (E), es la
información sobre la cual se fundamenta la aserción, la Garantía (G), justifica la conexión entre
la evidencia y la aserción. El Calificador Modal (C), que especifica la fuerza de la aserción; tales:
como certeramente, siempre, presumiblemente, probablemente, y otros, expresando el grado de
confianza en la tesis. El Soporte o respaldo (S) cumple el rol de presentar ejemplos, reglas,
definiciones matemáticas con el fin de evidenciar una garantía adecuada. La refutación (R) se
caracteriza por presentar las excepciones de la aserción, aquellas condiciones bajo las cuales no
se pueden sostener la tesis del argumento. Las seis categorías del modelo están conectadas en la
estructura que se muestra en la figura siguiente.
Esquema del marco teórico de Toulmin (Inglis, Mejia & Simpson, 2007)
Categorías que no siempre se encuentran explícitas en un texto argumentativo (Cabañas-Sánchez,
2011).
En cada uno de los casos que se discuten en esta investigación, la pregunta o problema es
la evidencia (o dato), la respuesta del estudiante es la aserción, y la justificación a dicha
respuesta, se constituye en la garantía de quien argumenta. Esta última puede apoyarse por
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alguna regla adicional o definición, etc. Así también, quien argumenta, puede dar fuerza a su
argumento mediante un cualificador modal, como: siempre, posiblemente, etc. Su aserción puede
ser refutada por otro (s).
Metodología
a) Participantes y contexto.
La investigación se llevó a cabo con tres estudiantes matriculados en cuarto grado de
primaria (9-10 años de edad), quienes habían estudiado a nivel de introducción, el concepto de
triángulo y algunas de sus propiedades, particularmente las asociadas a sus lados.
b) Etapas del estudio. El trabajo se llevó a cabo en tres etapas (Et):
Et-I: Familiarización. El propósito fue la recuperación de conocimiento previo,
particularmente sobre las características invariantes de los triángulos en función de sus lados.
Esta etapa se desarrolló mediante una actividad propuesta en el libro Desafíos Matemáticos de
cuarto grado para el alumno (SEP, 2015, pp.35-36). Con ella, se situó a los estudiantes a enunciar
(previo a su análisis) las características invariantes de los triángulos isósceles, equilátero y
escaleno, que habían sido objeto de estudio al inicio del ciclo escolar. Estos aspectos fueron
fundamentales, a fin de que estuvieran en condiciones, al menos hipotéticamente, de interactuar
con los problemas planteados.
Et-II: Ejecución. En esta fase se plantearon tres problemas declarados en términos de
preguntas cerradas, que desafiaron a los estudiantes a argumentar de manera individual en un
ambiente de lápiz y papel, si era posible o no dibujar un triángulo rectángulo ya sea equilátero,
isósceles o bien, escaleno.
Et-III: Validación grupal: En esta fase se discutieron en colectivo, las conclusiones
(aserciones) a las que arribaron los estudiantes en la etapa previa, con el objetivo de arribar a una
única aserción (o tesis) que desde el punto de vista de la matemática, diera cuenta de la veracidad
o falsedad de dibujar los triángulos rectángulos objeto de estudio. Participaron los estudiantes y
el primer autor de este trabajo (investigador), quien jugó el rol de profesor durante la actividad
matemática.
c) Los problemas:
El estudio se sustenta de tres problemas, planteados a través de preguntas abiertas, en el
marco de las propiedades del triángulo rectángulo. Son las siguientes.
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Caso 1: ¿Será posible dibujar un triángulo rectángulo equilátero? De ser posible,
describe las condiciones que debe cumplir este tipo triángulos. Presenta
un ejemplo de este tipo de triángulos.
Caso 2: ¿Será posible dibujar un triángulo rectángulo isósceles? De ser posible,
describe las condiciones que debe cumplir este tipo triángulos. Presenta
un ejemplo de este tipo de triángulos.
Caso 3: ¿Será posible dibujar un triángulo rectángulo escaleno? De ser posible,
describe las condiciones que debe cumplir este tipo triángulos. Presenta
un ejemplo de este tipo de triángulos
La respuesta a estas preguntas se delimitan por un SÍ o bien un NO. En términos de los
elementos del modelo argumentativo de Toulmin, esta respuesta es la aserción, objeto de debate
en las argumentaciones colectivas.
Resultados
a) Análisis de las argumentaciones individuales
En esta etapa, la tesis (o aserción) objeto de debate en cada caso o problema, se estableció
por los estudiantes como sigue (véase tabla 1):
Estudiante
(E)
E1
E2
E3
Tabla No. 1
Respuestas de los estudiantes a los problemas
Caso 1
Caso 2
¿Triángulo
Rectángulo Equilátero?
Si
Si
Si
¿Triángulo
Rectángulo Isósceles?
No
No
Si
Caso 3
¿Triángulo
Rectángulo Escaleno?
Si
Si
No
Desde el punto de vista de la matemática, es imposible dibujar (en un sentido estricto el
término es construir) un triángulo rectángulo que a la vez sea equilátero, en razón de que los tres
lados de un triángulo equilátero son iguales, del mismo modo, sus ángulos interiores. Esto es,
cada uno de sus ángulos interiores, mide 60º, consecuentemente, deja de cumplir la condición de
ser un triángulo rectángulo. Respecto de los otros dos tipos de triángulos (Casos 2 y 3), dibujarlo
si es posible. No obstante, se observó una variedad de respuestas, como se evidencia en la tabla
No. 1.
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b) Análisis de las argumentaciones colectivas
Caso 1: Una primera refutación que emergió en las argumentaciones colectivas es
precisamente que no es posible dibujar un triángulo que sea a la vez rectángulo y equilátero.
Dado que los tres estudiantes afirmaron en la etapa previa, que si era posible, fue el investigador
(I) o primer autor de este trabajo, quien motivó la reflexión en torno a las características del
triángulo rectángulo y las del equilátero. Con base en ello, E2 refuta las respuestas que incluso él
dio inicialmente, y dijo que “… no era posible construirlo…”, tal como se ilustra mediante las
interacciones colectivas, y la reconstrucción de los argumentos en ese proceso.
E2: ¡No! … no es posible que un triángulo rectángulo sea equilátero…
I: ¿Por qué?
E2: Porque….un triángulo equilátero debe tener todos sus ángulos iguales… y
no puede haber un triángulo con tres ángulos de noventa grados.
Figura 1: Estructura argumentativa asocia al problema del caso 1.
Caso 2: También en lo colectivo, se analizó la posibilidad de dibujar o no un triángulo
rectángulo isósceles. El inicio de las argumentaciones colectivas fueron las respuestas de los
estudiantes en la etapa de trabajo individual. Se siguió con cuestionamientos por parte del
investigador, sobre las características de un triángulo isósceles en términos de lados (dos lados
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iguales y uno desigual) y ángulos, así como del equilátero. Con base en ello, E3, el estudiante que
afirmó que si era posible construirlo, en la etapa previa, refutó a sus compañeros.
E3: Si se puede, por que dos de sus lados miden lo mismo y uno no
E2: Yo digo que no . . . por lo mismo… dos de sus lados miden diferente y
uno desigual
E3:
Si se podría …Porque los lados que miden lo mismo serían los que
forman el ángulo de noventa grados y el otro … pues… quedaría
desigual . . . y así ya es un triángulo isósceles
El argumento en contra de E3, contribuye a que E1 y E2 analicen de nueva cuenta el problema.
Con base en ello, concluyen que si es posible dibujar un triángulo de este tipo.
Figura 2: Estructura argumentativa asocia al problema del caso 2.
Caso 3: El análisis de las respuestas escritas que dieron los estudiantes en la etapa previa,
acerca del problema planteado en este caso, de igual modo fue el preámbulo de la discusión
grupal. Dos respondieron que sí y uno que no (véase tabla No. 1). El investigador, cuestiona a los
estudiantes sobre las características del triángulo escaleno y del triángulo rectángulo. La
respuesta que dio E1, es que si e inmediatamente justificó su respuesta, afirmando en un
triángulo escaleno “… todos sus lados miden diferente y que sus ángulos pueden ser desiguales
…” “… podía haber uno de noventa grados…”. Después de este análisis, el investigador
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preguntó a E3, el por qué había dicho que no era posible en su respuesta individual. Su respuesta,
fue “…porque todos sus lados eran desiguales…”, pero que después de analizar la respuestas de
sus compañeros se dio cuenta de que la que dio era errónea. Con el análisis grupal sobre las
características invariantes del triángulo rectángulo y del escaleno, E3 concluyó y sus compañeros,
afirmaron que “… si es posible construir un triángulo de ese tipo…”.
E1: Si se puede construir … porque todos los lados miden diferente y
también sus ángulos…...así que puede tener un ángulo de 90 grados
I: ¿Por qué dijiste que no se podía dibujar un triángulo rectángulo
isósceles? (pregunta dirigida a E3)
E3:
Porque … sus lados miden diferente…pero no ya vi que si se
puede
En el análisis colectivo sobre la posibilidad de dibujar un triángulo rectángulo ya sea equilátero,
isósceles o escaleno, los estudiantes usaron el término construir como un sinónimo, aunque es
eviden que un dibujo es distinto a una construcción en matemáticas, pues esta última se sustenta
de definiciones y propiedades intrínsecas a los objetos matemáticos.
Conclusiones
Desde el punto de vista teórico, tres elementos pueden ser refutados en una
argumentación: la aserción, la garantía o bien los datos. Por el tipo de situaciones objeto de
estudio en esta investigación desde las argumentaciones colectivas, la refutación se estableció en
el marco de la aserción. Un aspecto fundamental es que las argumentaciones colectivas en el
salón de clases se construyen, con la finalidad de analizar la actividad matemática en el salón de
clases. En esta investigación, se construyeron a fin de analizar la posiblidad de dibujar un
triángulo rectángulo, basado en características invariantes, en término de sus lados. Desde lo
colectivo se favoreció la reflexión y discusión de reglas o propiedades de los objetos
matemáticos.
De otra parte, la refutación, desde las argumentaciones colectivas, contribuyó en la
construcción de conocimiento matemático por los estudiantes. Dado que inicialmente (en la etapa
de trabajo individual), una mayoría dio como respuesta en cada caso, una que desde el punto de
vista de la matemática no era válida (véase tabla No. 1).
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El rol del profesor es importante en el diseño de situaciones que favorezca el que emerjan
en el salón de clases, argumentos “en contra” de otro, esto es, a modo de refutación, ya que
favorecen el desarrollo del pensamiento de los estudiantes, y como sostienen González y Planas
(2013), se contribuye a la formación de ciudadanos reflexivos, críticos y con capacidad de
análisis y argumentación.
En el caso de los problemas planteados, a modo de preguntas, son las que dan lugar a la
refutación sobre aserciones, consecuentemente, al desarrollo de argumentos, siempre que las
intervenciones del profesor coadyuven en ello.
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