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CÓMO SE USA ESTE LIBRO
Una gran imagen y una breve introducción nos presentan la Unidad. Las Cuestiones iniciales son un recordatorio y una preparación para enfrentarnos a los contenidos
de una manera segura.
u1
u2
Números reales
unidad 1
unidad 2
Las matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los primeros en descubrir los números
irracionales, es decir, aquellos números que
no pueden ser expresados a través de una
fracción.
Polinomios.
Fracciones algebraicas
El álgebra es ante todo un lenguaje. Un
lenguaje en el que, con pocos símbolos y letras, podemos expresar muchas propiedades. Por eso se dice que es un lenguaje muy
conciso. Pero, además, es un lenguaje preciso en cuanto al significado de cada símbolo y a la elección del mismo.
Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la Mezquita de Córdoba, entre
otros. En esta última aparece la llamada
bóveda cordobesa, que puedes observar en
la imagen. En ella está el número cordobés:
El origen del lenguaje con símbolos suele
atribuirse a los árabes, y ya aparece en textos escritos del siglo IX. Civilizaciones anteriores (babilónica, egipcia y griega) ya utilizaban letras en la escritura de números, en
procedimientos de cálculo y en la resolución de problemas.
1
ᎏᎏ
– 兹苶
2
兹2苶
La palabra «álgebra» proviene del título
del libro Al-jabr w’al-muqabalah, escrito
por Al-Khwarizmi alrededor del año 825 d. C.
en Bagdad.
número irracional que es la relación existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de
este.
cuestiones iniciales
1. Simplifica y expresa el resultado como potencia:
⎡⎛ 1⎞ 3 ⎤
b) ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
a) 92 · 3–2 · 27
−2
· 25
2. Determina los valores aproximados de
cuestiones iniciales
36 · 28 · 53
93 · 253 · 44
c)
1. Realiza las operaciones que se indican:
0,6 = 0,774 596 6... y
6 = 2,449 489 7... truncando o redondeando:
a) A las décimas
b) A las milésimas
c) A las millonésimas
3. La velocidad de la luz es, aproximadamente, 3 · 10 m/s. Calcula el
tiempo que tardará en recorrer 300 km.
MAPA CONCEPTUAL
Para ampliar nuestros conocimientos y disfrutar con la
lectura, el apartado Lectura recomendada presenta un
libro cuyo argumento gira en torno a las matemáticas.
vienen
afectadas de
Identidad
de polinomios
para igualar
polinomios usamos
POLINOMIOS
se hacen
Errores
x 3 + 3x 2 − 4
x 2 − 5x + 4
⎛
x ⎞ ⎛
x ⎞
: x+
b) ⎜ x −
⎝
x + 1⎟⎠ ⎜⎝
x + 1⎟⎠
Cantidades
se obtienen
todos son
Números
b)
x−2
x +1
·
x2 − 1 x2 − 4x + 4
a)
MAPA CONCEPTUAL
Medir
magnitudes
x2 − 1
x2 − 4x + 3
4. Opera y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:
n
se utilizan
para
d) (2x2 – 3x + 1)2
a)
11 − 4 6 = 2 2 − 3
5. ¿Para qué valores de n y a se cumple 兹a苶 X ⺢?
NÚMEROS REALES
c) (x2 – 2x)3
3. Simplifica estas fracciones algebraicas:
4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros:
Al comenzar la Unidad, el cuadro Mapa conceptual nos
ofrece un esquema muy útil para organizar los contenidos de la misma.
a) (x4 + 3x2 – 5x + 6) · (2x – 3)
b) (2x3 – 5x2 + x) : (x – 3)
2. Calcula el valor de a para que x = 3 sea una raíz del polinomio
P (x) = x3 – 2x2 – 4x + a.
8
operaciones
Aproximaciones
clases
Suma
se representan en
Aproximaciones
decimales
Recta
real
Redondeos
Producto
Potencia
División
Truncamientos
la división por
(x – a)
se hace con la
el cociente de dos polinomios
da lugar a
operaciones
subconjuntos importantes
Intervalos
Regla de Ruffini
FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Operaciones
elementales
Entornos
da lugar al
Teorema del resto
y teorema del factor
operaciones
Radicación
se usa en la
Producto y
potencia
Suma
Radicales
equivalentes
Operaciones
Cociente
Descomposición factorial
de polinomios
Racionalización
de los
denominadores
LECTURA RECOMENDADA
LECTURA RECOMENDADA
Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones
Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.
El protagonista de El hombre que calculaba (Veron Editores), Beremir Samir, aparece a
un lado del camino que lleva a Bagdad. Allí se encuentra con el narrador de la historia, que trata de las vicisitudes en las que participan ambos personajes, y que muestra
el talento del protagonista en el dominio de los problemas numéricos.
Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque no
las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y lo conduce por el
mágico mundo de los números.
Los desafíos a los que se enfrenta el calculador tienen lugar en el antiguo Irak; y en
cada uno de ellos se muestra la sabiduría matemática junto a reflexiones éticas o de
justicia que afectan a los distintos problemas.
Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando
anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja en el
mundo de las matemáticas.
En este relato aprendemos que Beremir Samir, un hombre sabio, no va en busca del
poder, sino de la tranquilidad de una vida plena, hablando con los demás, contando
historias y buscando un equilibrio real y justo.
Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver.
Y
Y
A lo largo de las páginas de teoría, el bloque principal
de la Unidad, nos encontramos con tablas y cuadros
sombreados que resaltan las ideas principales. Los
márgenes incluyen textos e imágenes de apoyo y ampliación.
La aplicación práctica de los conceptos que vamos estudiando se plasma en las Actividades resueltas.
Unidad 1 Y
12
Leopold Kronecker (1823-1891)
Números reales
13
1. Números naturales y enteros
2. Números racionales. Potencias
Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea.
Los números enteros también son insuficientes para resolver otras muchas situaciones, por ejemplo:
5x = 3
Debido a esto surgen los números racionales.
• El conjunto de los números naturales se representa por ⺞ y sus elementos son:
⺞ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como:
• El conjunto de los números racionales se representa por ⺡ y está formado por:
a
⺡ = ᎏ a, b 僆 ⺪ y b ≠ 0
b
冦
冧
冨
Representación de números
racionales
2
• Representamos
5
• La cronología antes y después de Jesucristo.
Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma
análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como
indica el denominador, como se muestra en el margen.
• Las temperaturas sobre y bajo cero.
• Las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1.
Al igual que en los números enteros, utilizamos la representación gráfica para
comparar números racionales, siguiendo el mismo criterio que en aquellos.
Debido a esto surgen los números enteros.
Fue un gran matemático alemán que
trabajó la teoría de números. Pronunció la siguiente frase: «El buen
Dios creó los números naturales, todo
lo demás es obra del hombre».
• El conjunto de los números enteros se representa por ⺪ y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos.
⺪ = ⺪– 傼 {0} 傼 ⺪+ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
|a| =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
a si a ≥ 0
–a si a < 0
a
b
• Un número entero b es mayor que otro número entero a cuando en
la representación gráfica b está situado a la derecha de a. Se escribe:
b > a
a
b
Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el
número natural que resulta de suprimir el signo + o – que precede al número
entero.
0
1
2
3
4
7
3
0
n
–n
• Si el exponente es entero negativo:
a < b
n
n
...
• Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en
la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe:
( ab ) = ba
( ab ) = 1
( ab ) = ( ba ) = ba
n
Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros.
Valor absoluto de un número
entero
La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir:
7
3
4
• Si el exponente es cero:
• Representamos
( 25 ) = 25 · 25 · 25 · 25 = 25 ·· 25 ·· 25 ·· 25 = 25
• La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb
fine por:
• Si el exponente es entero positivo:
...
2
1
2
5
El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es
el mismo que el de base un número entero y exponente natural, ya conocido:
4
Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente
un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero, dando lugar a
los enteros positivos, y a la izquierda del cero, dando lugar a los enteros negativos:
0
2.1. Potencias de números racionales
n
n
Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un
número entero:
1)
( ab ) = ab
3)
( ab ) : ( ab ) = ( ab )
5)
[( ab ) · ( dc )] = ( ab ) · ( dc )
2)
( ab ) · ( ab ) = ( ab )
4)
[( ab ) ] = ( ab )
6)
[( ab ) : ( dc )] = ( ab ) : ( dc )
n
1
n
m
n
n m
n–m
n
m
n
n+m
n·m
n
n
n
Y
1B Matematicas aplicadas CCSS I - primeras_1B_MAT_OPC_A_PRIMERAS.qxd 27/04/15 09:39 Página 7
IMPORTANTE
Todas las actividades propuestas en este libro deben realizarse
en un cuaderno de trabajo, nunca en el propio libro.
La sección Resolución de problemas nos muestra pautas,
estrategias y modelos para resolver problemas. A partir
del protocolo de resolución de un problema ponemos en
práctica los pasos a seguir y la estrategia a utilizar. Para
practicar estas técnicas, se incluyen varias Actividades.
Regístrate en nuestra web y accede a los
recursos adicionales: <www.editex.es>
Unidad 1 Y
26
Números reales
27
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Un triángulo en un cuadrado
A
D
¿Qué es un problema?
En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura.
¿Cómo te parece que es el triángulo APD?
FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a
datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase está clara en el problema que nos ocupa
y se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.
P
15°
15°
C
Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias que se
nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la figura propuesta.
LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA
A lo largo del texto se ha tenido muy presente la utilidad
de las tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas. Se
han desarrollado las herramientas de la calculadora científica en los márgenes de las páginas de varias unidades.
A
D
A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la
que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas
pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida.
En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por
la experiencia acumulada, sabemos que los procedimientos geométricos
suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos.
Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles,
como el de la figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado, figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.
90°
T
60°
P
B
150°
15°
C
Las principales características que debe reunir un problema son:
• Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.
• Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.
BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
B
recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de
antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla.
Un problema matemático es una situación que plantea una
meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos
obstáculos. Resolver un problema, o intentarlo, requiere una
toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.
A partir de este dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es
igual que el triángulo BPC, ya que tienen dos lados iguales (AT = BP y
TP = PC) e igual que el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°;
de la igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se
sigue que el triángulo APD es equilátero.
• No ha de plantear un bloqueo inicial a la persona que lo
intente resolver.
• Proporcionar satisfacción al intentar resolverlo.
• Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás.
Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es
realmente un problema, pues cumple con las características que
lo definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para ti
un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus
conocimientos sobre trigonometría. En ese estadio poseerás
BIBLIOGRAFÍA
Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de problemas,
están tomados de los siguientes libros o revistas:
– CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid.
– CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia.
– FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma n.º 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao.
– GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza.
– GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona.
– MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona.
– WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.
A C T I V I D A D E S
REVISAR EL PROCESO Y SACAR
CONSECUENCIAS DE ÉL
䊏 Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:
Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si nos
es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras
situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc.
Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes:
¿qué sucede si trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?,
¿y qué pasa si dividimos otro polígono regular en vez de un cuadrado?
1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros?
2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente,
o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez
que completa 100 km cargado.
El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi?
Y
Unidad 1 Y
28
NUEVAS TECNOLOGÍAS
Aritmética con Wiris
Wiris es un programa, de software libre, que permite trabajar aspectos de aritmética,
álgebra, geometría y cálculo.
Trabajamos con el menú Operaciones que contiene paréntesis, corchetes, potencias,
fracciones y raíces, entre otros elementos.
PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN O DE FRACCIÓN A DECIMAL
Expresamos los siguientes números decimales en fracción y las fracciones en decimal:
72
7
a) 12,35
b)
c) 0,14
d)
13
9
a) Escribimos racional (12.35), con el número decimal con punto, nunca con coma,
y pulsando
obtenemos la fracción buscada.
)
En el apartado Nuevas tecnologías se han descrito diferentes herramientas informáticas, como la calculadora
gráfica y programas de software libre, como Funciones
para Windows, GeoGebra y Wiris.
Además, puedes descargarte las app de Matemáticas de
Editex, te servirán de gran ayuda para trabajar los ejercicios. Para descargarte estas aplicaciones, regístrate en
la zona de usuarios en <www.editex.es> introduciendo
el código MATB1-2015.
Las Actividades finales incluyen ejercicios y problemas
fundamentales para entender y dominar los contenidos
teóricos tratados así como para trabajar las competencias.
b) y d) Introducimos la fracción dada mediante el operador
o bien mediante /.
Como queremos la solución en forma decimal, ponemos un punto al final del número del numerador o del denominador.
c) El número decimal periódico lo introducimos mediante el paso a fracción ya conocido.
Si queremos la solución con un número determinado de cifras decimales comenzamos escribiendo precisión(n) y nos da la solución con n ≤ 15 cifras significativas. En
la imagen adjunta podemos ver las soluciones buscadas.
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Efectuamos las siguientes operaciones:
1
1 – ᎏᎏ
3
a) ——————
1
1+ᎏ
1
1 – ᎏᎏ
3
b) (5,12 · 103) [(2,93 · 10–2) – (6,78 · 10–4)]
a) Escribimos la fracción, y pulsando
obtenemos la solución.
b) Introducimos la expresión usando los paréntesis, corchetes, potencias y las operaciones correspondientes del menú Operaciones y obtenemos el resultado que vemos en la imagen:
Unidad 1 Y
30
Números reales
33
ACTIVIDADES FINALES
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
AUTOEVALUACIÓN
3 4
3 7
1. El resultado de operar ⎜⎛ + ⎟⎞ : ⎜⎛ 2 − · ⎟⎞ expresado como fracción irreducible es:
⎝ 5 9⎠ ⎝
5 9⎠
1. Ordena de mayor a menor los siguientes números: 0,5; –0,4; 24; –3,2; 0; –30; 284.
2. Efectúa los siguientes cálculos haciendo uso de la jerarquía de las operaciones:
a) 9 – 4 · (–6) + 5 – 7 · (–4 + 9)
b) 6 · 42 – (–3)3 + [5 – (7 – 5)2]
a) − 4
9
c) (–5)2 – 52 + 4 · (–3)2
b) 47
69
c) 23
45
3. Efectúa las siguientes operaciones simplificando el resultado lo máximo posible:
a)
Para finalizar la Unidad se plantea una Autoevaluación
con ejercicios tipo test con el fin de comprobar si se han
adquirido los conocimientos y procedimientos descritos
en la Unidad. Las soluciones de estas autoevaluaciones se
encuentran al final del libro.
2 3 3
− + −3
3 5 4
3
2
b) ⎜⎛ 3 − ⎟⎞ · 2 − 3 +
⎝
2⎠
3
1
3
5 3
d) ⎜⎛ 3 − ⎟⎞ · ⎜⎛ 2 − ⎟⎞ : ⎜⎛ + ⎟⎞
⎝
4⎠ ⎝
7⎠ ⎝ 2 4⎠
1
f) 2 − 2 : ⎜⎛ 2 − ⎟⎞
⎝
4⎠
3. El intervalo resultante de la intersección (–∞, 5) ∩ [2, 6) es:
a) [2, 6)
b) [5, 6)
c) [2, 5)
4. Efectúa y da el resultado en forma de potencia de exponente natural:
⎡⎛ 2 ⎞ 3 ⎤
a) ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
3
−2
3
1⎞ ⎛ 7 ⎞
⎛
c) ⎜ 2 − ⎟ · ⎜ ⎟
⎝
4⎠ ⎝ 4⎠
−2
5
4
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
e) ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ · ⎜ ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
4. El resultado de operar 6 8 − 3 27 − 2 72 + 2 75 es:
3
a) 0
5
2
2
2
b) ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
0
⎡ 2 −4 3 3 3 6⎤
d) ⎢⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢⎝ 3 ⎠
2
8
6
6
f) ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
−5
⎛ 5⎞
:⎜ ⎟
⎝ 6⎠
a)
28
126
b) −
36
225
c)
73
63
42
528
e)
c)
2
5. Si racionalizamos el denominador de la fracción
a) 3 + 2 3
d)
b)
3
3
5. ¿Qué tipo de decimal genera cada uno de los racionales siguientes?
6
48 − 6
, obtenemos:
b) 2 + 3 3
c) 2 + 3 2
2 145
2 100
6. Expresa cada decimal en forma de fracción, opera y convierte el resultado final en número decimal:
a) 3,1 + 5,21 + 2,8
b) (5,4 − 3,42) · 2,7
c) 6,14 : 3,4 · 2,44
d) 12,5 + 3,78 : 1,4
7. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:
a) 323,25
b) 0,372151515…
c) 0,021333…
d) 37,34 334 3334 33334…
3
de los be5
2
de los que quedan y el tercer socio, el resto. ¿Qué cantidad corresponde a cada socio?
3
8. Una empresa reparte 15 000 euros de beneficios anuales entre sus tres socios. El primer socio recibe los
neficios; el segundo socio, los
Cada unidad concluye con una propuesta de Proyecto de
investigación. Al comienzo de cada bloque pueden encontrarse pautas para la realización de los proyectos citados.
2. Expresamos cada decimal como fracción y operamos 4,2 − 3,24 + 1,7 ; el resultado en fracción irreducible es:
a) 2,67
b) 2,76
c) 2,67
2 3⎞
⎛
e) 3 + 2 · ⎜ 1 − · ⎟
⎝
5 2⎠
2 3 3
: ·
3 5 4
c)
9. Un alumno tarda en pasar un trabajo a ordenador 12 horas, un segundo alumno tarda en pasar el mismo trabajo 8 h. El
primer alumno trabaja durante 4 h y deja el resto del trabajo para el segundo. ¿Cuánto tiempo tardará este en finalizarlo?
10. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
– 49
Menor
conjunto
numérico al
que pertenece
23,5
0
11
2,13
–
1,4
0,5
23
3
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
Contando cuadrados
Vamos a contar cuadrados sobre cuadrículas de puntos.
a) ¿Cuántos cuadrados se pueden dibujar de manera que tengan sus vértices sobre los puntos de la cuadrícula 3 × 3 del dibujo?
b) ¿Cuántos tipos diferentes de cuadrados se pueden dibujar sobre la citada cuadrícula?
c) ¿Cuántos cuadrados y de cuántos tipos diferentes se pueden dibujar sobre una cuadrícula de 4 × 4 puntos?
d) Intenta encontrar alguna regularidad repitiendo la situación anterior para las cuadrículas 5 × 5 y 6 × 6.
Calcula cuántos cuadrados y de cuántos tipos podremos dibujar en una cuadrícula de 8 × 8 puntos.
–42
3
–27
5
e) ¿Cuántos cuadrados se podrían dibujar sobre una cuadrícula de dimensión n × n?
Nos gustaría investigar cuántos triángulos y de cuántos tipos se pueden trazar sobre las mismas cuadrículas. ¿Te atreverías a contar segmentos, rectángulos…?
Y si las cuadrículas son de dimensiones m × n, ¿cuántos cuadrados, triángulos, segmentos, rectángulos… se pueden dibujar?
Z
Y
Bloque I: Números y álgebra
8
Radicales cuadráticos
105 mm
210 mm
841 mm
1
420 mm
A8
A7 A6
148 mm
74 mm
A4
297 mm
A5
A2
A3
A0
594 mm
El número 2 aparece al calcular la medida de la diagonal
de un cuadrado de lado 1. Es el primer número que los griegos no pudieron expresar como una fracción, surgiendo así
una nueva clase de números llamados «irracionales».
52 mm
1189 mm
Los números radicales cuadráticos de la forma n aparecen
por primera vez en problemas geométricos, pero pronto
multiplicaron sus apariciones. Asomaron junto a un nuevo
descubrimiento matemático que suponía un nuevo problema a resolver: las ecuaciones de segundo y tercer grado. Los
métodos de resolución de estas dieron lugar al álgebra.
A1
2
1
En el dibujo se pueden ver cuatro cuadrados de lado 1 que,
juntos, forman un cuadrado de lado 2. Al unir los puntos
medios de los lados de este último cuadrado obtenemos un
cuadrado interior (sombreado) de área 2. Como el lado del
cuadrado interior multiplicado por sí mismo debe valer 2,
obtenemos así la raíz cuadrada de 2.
1
La raíz cuadrada de 2 aparece en el número
de2− 2
nominado «proporción cordobesa» por su reiterada aparición en algunos elementos de los monumentos de la ciudad de Córdoba. Se muestra como la razón entre el radio de
una circunferencia y el lado del octógono inscrito en ella.
También podemos encontrar la raíz cuadrada de 2 en los formatos de papel DIN A, estos van desde A0, con un metro
cuadrado de superficie, hasta A8, que es un poco mayor que
una tarjeta de visita. La medida del lado grande de A0 es
igual a la del pequeño por 2 , y así sucesivamente.
Todas las raíces cuadradas están ligadas a longitudes o proporciones de figuras geométricas. Encontramos 3 en el
triángulo equilátero y en el hexágono regular. También están
presentes en poliedros de todo tipo, en las longitudes de sus
diagonales, alturas y proyecciones.
El arte y el diseño también recogen las raíces cuadradas. La
raíz cuadrada de 3 aparece en el característico arco gótico y
en el triángulo de Reuleaux.
La raíz cuadrada de 5 la podemos encontrar en pentágonos
y decágonos, formando parte del número áureo:
1+ 5
≈ 1,618...
2
Todos ellos los podemos ver en la espiral de Teodoro que se
muestra en el dibujo.
ϕ=
1
1
1
1
Otro lugar donde aparece la raíz cuadrada de 2 es en los
números f, llamados así en fotografía, y que determinan
la apertura manual de los objetivos de las cámaras fotográficas.
4
5
1
1
6
3
2
1
7
8
1
Proyecto de investigación
9
¿Qué es un proyecto de investigación matemática?
Un proyecto de investigación matemática es un conjunto de
problemas matemáticos sobre un tema específico. También
puede definirse como una actividad que recoge situaciones
a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo
de las matemáticas.
Requiere la exploración, la consideración de casos especiales, el pensamiento inductivo, la generalización, la propuesta de conjeturas, su prueba o refutación y el planteamiento
de nuevos problemas originales extraídos del problema inicial.
El objetivo principal de una investigación es el aprendizaje de
dos habilidades: la habilidad investigadora y la habilidad de
comunicar por escrito y oralmente los resultados obtenidos.
Las principales características que debe reunir un proyecto
de investigación matemática son:
• Impone un reto adecuado a la capacidad de quien intenta realizarlo y su solución no se obtiene de forma rutinaria
o mecánica.
• Trabaja situaciones problemáticas, aptas para ser matematizadas, en cuya resolución se requieren diferentes estrategias y destrezas matemáticas.
• Hay que planificar adecuadamente el proceso de investigación: tomar decisiones, seguir estrategias, buscar información, establecer resultados y contrastarlos, fijar las conclusiones, describir las fuentes de información, etc.
• Exige elaborar un informe en el que se exponga el proceso
seguido, los resultados obtenidos, las conclusiones a las
que se llegan y las fuentes consultadas. Para ello usaremos
diferentes tipos de lenguajes: algebraico, gráfico, geométrico, estadístico, etc.
• Proporciona al autor libertad y autonomía para explorar,
tantear, imaginar, simular, buscar conexiones, relacionar,
analizar, generalizar, reflexionar y sacar conclusiones.
• Permite que el autor sea el protagonista principal del proceso y le proporciona alegrías y satisfacciones en los avances parciales o en la superación de retos que aparecen a lo
largo del proceso.
Requiere buscar conexiones entre la realidad y el mundo
de las matemáticas: historia de la humanidad e historia de
las matemáticas, arte y matemáticas, tecnología y matemáticas, economía y matemáticas, ciencias naturales y
matemáticas, etc.
• Permite establecer conexiones entre ámbitos matemáticos
distintos: finitos e infinitos, numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, discretos y continuos, etc.
Bibliografía
DE LA FUENTE, C. (2013). «De la resolución de problemas a las investigaciones matemáticas». Revista UNO n.º 64. Graó.
Barcelona.
ESPOT, M. R. (2009). «Cómo se hace un trabajo de investigación en Bachillerato».
<http://www.unav.es/gep/Metodologia/TrabajoInvestigacionBachillerato.html>. [Con acceso el 25 de abril de 2014].
Y
u1
unidad 1
Números reales
Las matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los primeros en descubrir los números
irracionales, es decir, aquellos números que
no pueden ser expresados a través de una
fracción.
Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la Mezquita de Córdoba, entre
otros. En esta última aparece la llamada
bóveda cordobesa, que puedes observar en
la imagen. En ella está el número cordobés:
1
ᎏᎏ
– 2
2
número irracional que es la relación existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de
este.
cuestiones iniciales
1. Simplifica y expresa el resultado como potencia:
2
–2
a) 9 · 3 · 27
⎡⎛ 1⎞ 3 ⎤
b) ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
−2
· 25
2. Determina los valores aproximados de
c)
36 · 28 · 53
93 · 253 · 44
0,6 = 0,774 596 6... y
6 = 2,449 489 7... truncando o redondeando:
a) A las décimas
b) A las milésimas
c) A las millonésimas
3. La velocidad de la luz es, aproximadamente, 3 · 108 m/s. Calcula el
tiempo que tardará en recorrer 300 km.
4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros:
11 − 4 6 = 2 2 − 3
n
5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ⺢?
MAPA CONCEPTUAL
NÚMEROS REALES
se utilizan
para
Medir
magnitudes
Cantidades
se obtienen
se hacen
todos son
Números
Errores
vienen
afectadas de
Aproximaciones
clases
se representan en
Aproximaciones
decimales
Recta
real
Redondeos
Truncamientos
operaciones
subconjuntos importantes
Intervalos
Entornos
Operaciones
elementales
Radicales
equivalentes
Radicación
Operaciones
Racionalización
de los
denominadores
LECTURA RECOMENDADA
Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones
Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.
Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque no
las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y lo conduce por el
mágico mundo de los números.
Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando
anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja en el
mundo de las matemáticas.
Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver.
Y
Unidad 1
12
1. Números naturales y enteros
Leopold Kronecker (1823-1891)
Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea.
• El conjunto de los números naturales se representa por ⺞ y sus elementos son:
⺞ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como:
• La cronología antes y después de Jesucristo.
• Las temperaturas sobre y bajo cero.
• Las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1.
Debido a esto surgen los números enteros.
Fue un gran matemático alemán que
trabajó la teoría de números. Pronunció la siguiente frase: «El buen
Dios creó los números naturales, todo
lo demás es obra del hombre».
• El conjunto de los números enteros se representa por ⺪ y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos.
⺪ = ⺪– 傼 {0} 傼 ⺪+ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente
un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero, dando lugar a
los enteros positivos, y a la izquierda del cero, dando lugar a los enteros negativos:
...
–3
–2
–1
0
1
2
3
...
Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros.
Valor absoluto de un número
entero
La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir:
|a| =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
a si
a≥0
–a si
a<0
• Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en
la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe:
a < b
a
b
• Un número entero b es mayor que otro número entero a cuando en
la representación gráfica b está situado a la derecha de a. Se escribe:
b > a
a
b
Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el
número natural que resulta de suprimir el signo + o – que precede al número
entero.
Y
Números reales
13
2. Números racionales. Potencias
Los números enteros también son insuficientes para resolver otras muchas situaciones, por ejemplo:
5x = 3
Debido a esto surgen los números racionales.
• El conjunto de los números racionales se representa por ⺡ y está formado por:
a
⺡ = ᎏ a, b 僆 ⺪ y b ≠ 0
b
冦
冧
冨
Representación de números
racionales
2
• Representamos
5
Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma
análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como
indica el denominador, como se muestra en el margen.
Al igual que en los números enteros, utilizamos la representación gráfica para
comparar números racionales, siguiendo el mismo criterio que en aquellos.
0
El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es
el mismo que el de base un número entero y exponente natural, ya conocido:
( )
4
=
2
2
5
2.1. Potencias de números racionales
2
5
1
• Representamos
7
3
4
2 2 2 2
2·2·2·2
·
·
·
=
= 24
5 5 5 5
5·5·5·5
5
• La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb
fine por:
( )
( )
( ) ( )
• Si el exponente es entero positivo:
• Si el exponente es cero:
• Si el exponente es entero negativo:
a
b
n
a
b
0
a
b
–n
an
bn
=
0
1
2
3
4
7
3
=1
n
b
a
=
n
= bn
a
Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un
número entero:
1)
( )
3)
( ) ( ) ( )
5)
[( ) ( )] ( ) ( )
a
b
a
b
1
=
n
:
a
b
a
b
a
c
·
b
d
m
=
n
=
a
b
a
b
2)
( ) ( ) ( )
4)
[( ) ] ( )
6)
[( ) ( )] ( ) ( )
n–m
n
·
c
d
n
a
b
a
b
n
·
a
b
n m
=
c
a
:
d
b
m
a
b
=
a
b
n
=
n+m
n·m
a
b
n
:
c
d
n
Y
Unidad 1
14
3. Relaciones entre los números
racionales y decimales
Conversión de racional a decimal
[
]
•
131 20 = 22 · 5
= 6,55
20 d. exacto
•
514 257 9 = 32
= 28,5
=
18
9 d. p. puro
•
68 55 = 5 · 11
272
= 1,236
=
220
55 d. p. mixto
]
]
(
[
Cualquier número racional se puede escribir como un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico puro o periódico mixto sin más que dividir numerador entre denominador.
(
[
Como recordarás del curso pasado, entre los números racionales y los decimales existe una estrecha relación.
• Un número racional m (m y n primos entre sí) se convierte en:
n
• Decimal exacto si los únicos factores primos que tiene el denominador son 2 o 5.
• Decimal periódico puro si entre los factores primos del denominador
no se encuentra ni el 2 ni el 5.
• Decimal periódico mixto si entre los factores primos del denominador se encuentra el 2 o el 5 y algún otro.
Conversión de decimal a racional
• 6,55 =
(
• 28,5 =
655 131
=
100
20
De todo lo anterior deducimos la siguiente propiedad:
285 – 28 257
=
9
9
(
• 1,236 =
Análogamente, cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico
mixto se puede expresar como un número racional, como puedes ver en el margen.
• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por
los números enteros, los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.
1 236 – 12
68
=
990
55
decimales
decimales
⺡ = enteros 傼 decimales 傼 periódicos 傼 periódicos
exactos
puros
mixtos
ACTIVIDADES
RESUELTAS
1. En una determinada ciudad se han contabilizado al final del año 4 250 vehículos, parte de los cuales han sido adquiridos
durante ese año. De los no adquiridos durante ese año el 54,545454...% son coches y el 10,2777...% motocicletas. ¿Cuántos vehículos se adquirieron ese año?
Convertimos los decimales dados en fracciones:
(
•
54,545454...
100
=
54,54
100
=
5 454 – 54
9 900
=
6
11
•
10,27
100
=
1 027 – 102
9 000
=
37
360
Por tanto, el número de vehículos no adquiridos ese año ha de ser múltiplo de 11 y de 360 y menor de 4 250. El número más
pequeño que lo verifica es mcm (11,360) = 3 960, con lo que ese año se adquirieron 4 250 – 3 960 = 290 vehículos.
Y
Números reales
15
4. Números irracionales
Según hemos visto, los números racionales coinciden con los números enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos. Sin embargo, existen números decimales con infinitas cifras decimales, y que no son periódicos, como,
por ejemplo:
• 2,010010001…
Godefroy Harold Hardy
(1877-1947)
• 427,232233222333…
A estos números los llamamos irracionales.
• El conjunto de los números irracionales, ⺙, está formado por aquellos
números que, cuando los expresamos en forma decimal, aparecen infinitas cifras decimales, pero no son periódicos. Los números irracionales,
por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción.
Algunos de los números irracionales más conocidos o más importantes son:
• El número p. Es el primer número irracional que manejamos.
π = 3,14159265...
• El número 2
, que aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
Matemático inglés, recoge en su
libro Autojustificación de un matemático dos famosos teoremas de la
matemática griega clásica. El primero de ellos afirma que existen infinitos números primos y el segundo
afirma que 2
es irracional.
A
2 = 1,41421356...
3
También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc.
• El número de oro F (número áureo), que aparece como razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado.
1 + 5
F = ᎏᎏ = 1,61803398…
2
B
C
F=
AC
AB
Y
Este número aparece como razón entre los lados del «rectángulo áureo».
Para los antiguos griegos este rectángulo representaba «la armonía».
( )
1
y= 1+—
x
• El número e aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físicos, etc.
Es el número al que tiende la función que figura en el margen cuando x tiende a + ∞ o – ∞ .
x
e
+1
e = 2,71828182845904...
–1
0
X
Y
Unidad 1
16
5. Números reales. Representación
El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales, y se denotan por la letra mayúscula ⺢.
冦
冧 冦
冧
números
números
⺢ = racionales
q irracionales
=⺡q⺙
A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.
Enteros ⺪
Enteros positivos ⺪
Cero 0
+
Enteros negativos ⺪
Racionales ⺡
Reales ⺢
Decimales
Naturales ⺞
–
Decimales exactos
Decimales periódicos
Irracionales ⺙
En los epígrafes anteriores hemos representado sobre la recta los números naturales, enteros y racionales. Los puntos de la recta que no están ocupados por
números racionales son ocupados por los números irracionales hasta llenar todos los huecos.
• Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos
recta real.
• Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un
número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.
5.1. Representación
Representación en la recta real
del número de oro F
Ya sabemos representar en la recta números naturales, enteros y racionales. Nos
quedarían por representar los números irracionales. Vamos a representar, solamente, los números irracionales de la forma √n con n natural.
Estos números se pueden representar en la recta real mediante procedimientos geométricos que se basan en el teorema de Pitágoras, como podemos ver a
continuación.
5
2
3
0
1
2
F = 1+ 5
2
3
4
1
1+ 5
–1
0
1
2
3
2
5
6
Los restantes números irracionales se representan en la recta real, de forma
aproximada, mediante sus aproximaciones decimales.
Y
Números reales
17
6. Conjuntos en la recta real
Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los
que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen
gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en
la relación de orden de los números reales.
• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la
recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y
gráficamente:
a ≤ b ⇔ ———— o ————
a
b
a = b
Unión de dos conjuntos
A q B es el conjunto formado por
todos los elementos de A y de B.
Intersección de dos conjuntos
A Q B es el conjunto formado por
los elementos comunes de A y de B.
A
B
A
B
El símbolo ⇔ se lee «sí y solo si» e indica equivalencia.
A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.
A q B
A Q B
CONJUNTOS EN LA RECTA REAL
SUBCONJUNTO
SÍMBOLO
Intervalo
abierto
(a, b)
Intervalo
cerrado
Intervalo
semiabierto o
semicerrado
DEFINICIÓN
(a, b) = {x Z ⺢ | a < x < b}
El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
a
b
a
b
[a, b] = {x Z ⺢ | a ≤ x ≤ b}
[a, b]
El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos.
[a, b)
[a, b) = {x Z ⺢ | a ≤ x < b}
(a, b]
(a, b] = {x Z ⺢ | a < x ≤ b}
a
b
r
E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z ⺢ | |x – a| < r}
r
Entorno
simétrico
E (a, r)
El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es
el intervalo abierto de extremos a – r y a + r.
a–r
a
a+r
Entorno
reducido
E *(a, r)
E*(a, r) = E(a, r) – {a}
a–r
a
a+r
Entorno
lateral a
la izquierda
E (a, r)
–
E –(a, r) = (a – r, a)
a–r
a
Entorno
lateral a
la derecha
E (a, r)
+
E +(a, r) = (a, a + r)
a
a+r
Y
Unidad 1
18
7. Aproximaciones decimales
El número p
Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra:
«Soy y seré a todos definible
3 1
4
1
5
9
Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas
cifras decimales, por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.
El número irracional π es:
π = 3,14159265358979323846...
por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades:
3<π<4
mi nombre tengo que daros,
2
6
5
3
5
3,1 < π < 3,2
cociente diametral siempre inmedible
8
9
7
9
soy de los redondos aros».
3
2
3
8
4
3,14 < π < 3,15
3,141 < π < 3,142
3,1415 < π < 3,1416
…
Los números que aparecen a la izquierda de estas desigualdades son aproximaciones de π por defecto, pues son menores que π. Los números que aparecen a la derecha de estas desigualdades son aproximaciones de π por exceso,
pues todas ellas son mayores que π.
• Una aproximación decimal de orden n por defecto es una estimación en
la cual todas las cifras, incluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original, y las demás son cero.
• Una aproximación decimal de orden n por exceso es una estimación en
la cual todas las cifras, excluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original; la que indica el orden es una unidad más y el resto de ellas son cero.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
2. Dado el número de oro F = 1,61803398…, calcula las siguientes aproximaciones decimales:
a) Aproximación decimal a unidades por exceso. La aproximación es 2.
b) Aproximación decimal a centésimas por defecto. La aproximación es 1,61.
c) Aproximación decimal a millonésimas por exceso. La aproximación es 1,618034.
3. Halla dos números que puedan ser valores exactos en cada una de las siguientes aproximaciones decimales:
a) 432 es la aproximación a unidades por exceso. Los números pueden ser 431,74…; 431,2…
b) 432,25 es la aproximación a centésimas por exceso. Los números pueden ser 432,247…; 432,244…
c) 432,266 es la aproximación a milésimas por defecto. Los números pueden ser 432,2667…; 432,2662…
Y
Números reales
19
8. Redondeos y truncamientos
8.1. Redondeos
• Los números 3,14 y 3,15 son aproximaciones decimales por defecto y por
exceso, respectivamente, del número π = 3,14159... Observa que el número π se encuentra comprendido entre ellas.
p
(
)
3,14
3,15
En este caso, la aproximación por defecto está más próxima a π que la aproximación por exceso. Decimos, por tanto, que 3,14 es un redondeo de π a
centésimas.
• Los números 3,1415 y 3,1416 son aproximaciones decimales por defecto y
por exceso de π, respectivamente. Observa que el número π se encuentra
comprendido entre ellas.
p
(
)
3,1415
3,1416
Redondeos y calculadora*
En este caso, el número π está más próximo a la aproximación por exceso,
por tanto, 3,1416 es un redondeo de π a diezmilésimas.
• El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimal
de orden n que se puede dar de ese número.
• En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo. Si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal por
defecto, y si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso.
8.2. Truncamientos
3,14;
3,141;
3,1415;
Para hacer redondeos con el orden
deseado pulsamos varias veces la tecla MODE hasta llegar a esta pan-
(
3,14
Redondeo = Trucamiento
Sci
2
Norm
3
Así, con el número π en pantalla:
p
(
Si pedimos este resultado a la calculadora nos da 3.141592654, que es
el redondeo a las milmillonésimas.
Fix
1
...
son truncamientos del número π.
3,1415
Truncamiento
Ejemplo: π = 3,141592653589...
talla:
Las aproximaciones decimales por defecto del número π:
3,1;
Las calculadoras redondean los resultados presentados en la pantalla a la
última cifra.
)
3,15
p
)
3,1416
Redondeo
• El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimal
por defecto de orden n.
• En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas las
cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación por
defecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal.
• Elegimos Fix 3 y aparece en pantalla 3.142, que es el redondeo a
milésimas.
• Elegimos Fix 5 y aparece en pantalla 3.14159, que es el redondeo
a cienmilésimas.
Para volver a la calculadora a modo
normal, elegimos Norm 1.
(*) Todas las referencias a la calculadora
científica que aparecen en el texto se
han tomado de la calculadora Casio modelo fx-82MS. Otros modelos que comparten las mismas utilidades son fx83MS, fx-85MS, fx-270MS, fx-300MS
y fx-350MS.
Y
Unidad 1
20
9. Errores
• Cuando tomamos 3,14 como aproximación decimal por defecto de
π = 3,141592… estamos cometiendo un error.
Tanto por ciento o porcentaje
de error
| 3,141592… – 3,14 | = 0,001592… < 0,01
• El error relativo, o error por cada
unidad, es un tanto por uno. A
veces este error relativo se expresa
en tantos por ciento.
• Por lo anterior, el tanto por ciento o porcentaje de error se obtiene multiplicando el error relativo
por 100.
p
(
)
3,14
3,15
Error
Cota de error
Dicho error es 0,001592…, y la cota de error es 1 centésima.
• A la vista del dibujo anterior podemos observar que, si tomamos 3,15 como
aproximación decimal por exceso de π, estamos cometiendo un error.
| 3,141592… – 3,15 | = 0,008407… < 0,01
Este error es 0,008407… y la cota de error es también de 1 centésima.
• El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el aproximado.
|valor real – valor aproximado | = error absoluto
• La cota del error absoluto es un número que verifica:
| valor real – valor aproximado | < cota de error
• La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o
por exceso, es una unidad de ese orden. La cota de error de un redondeo
de orden n es media unidad de ese orden.
El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por:
⎜
error absoluto
error relativo = ᎏᎏ
valor real
⎜
ACTIVIDADES
RESUELTAS
4. Completa la siguiente tabla:
Valor exacto
Aproximación
decimal a centésimas
por defecto
y cota de error
Aproximación
decimal a décimas
por exceso y cota
de error
Redondeo a
milésimas y cota
de error
Truncamiento a
milésimas y cota
de error
F = 1,61803…
aproximación: 1,61
cota de error: 0,01
aproximación: 1,7
cota de error: 0,1
redondeo: 1,618
truncamiento: 1,618
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
p = 3,14159…
aproximación: 3,14
cota de error: 0,01
aproximación: 3,2
cota de error: 0,1
redondeo: 3,142
truncamiento: 3,141
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
´ = 2,71828…
aproximación: 2,71
cota de error: 0,01
aproximación: 2,8
cota de error: 0,1
redondeo: 2,718
truncamiento: 2,718
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
2 = 1,41421…
aproximación: 1,41
cota de error: 0,01
aproximación: 1,5
cota de error: 0,1
redondeo: 1,414
truncamiento: 1,414
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
Y
Números reales
21
10. Notación científica y orden
de magnitud
10.1. Notación científica
En la práctica es muy útil escribir los números muy grandes o muy pequeños
en notación científica. Así:
Expresión decimal
Notación científica
Calculadora y notación
científica
5,23 · 1011
523 000 000 000
–134 500 000 000 000
–1,345 · 1014
0,00 000 000 009 235
9,235 · 10–11
–7,91 · 10–7
–0,000 000 791
• Expresar un número en notación científica es ponerlo como un producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una parte
decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólicamente:
a,bcd … · 10n
Cuando la calculadora ha de presentar en la pantalla un número muy grande
o muy pequeño, con más cifras de las que puede mostrar en su visor, lo presenta
automáticamente en notación científica.
Para introducir en la calculadora números en notación científica utilizamos la tecla EXP .
Así, el número 9,423 · 10–20 lo introducimos de la siguiente forma:
- 9 . 4 2 3 EXP - 2 0
y aparece en pantalla: –9.423×10–20.
La calculadora presentará los números que aparecen en el ejemplo anterior en
notación científica de la siguiente forma:
5.23 x1011
–1.345 x1014
9.235 x10–11
–7.91 x10–7
10.2. Orden de magnitud
Cálculo del orden de magnitud
Para hallar el orden de magnitud de
un número hay que situarlo entre
dos potencias consecutivas de 10 y,
después, observar a cuál de ellas se
aproxima más.
Observamos los ejemplos:
• El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a
dicho número.
Para calcular el orden de magnitud de un número se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
• La definición, como podemos ver en el margen.
• La notación científica. El orden de magnitud de un número, escrito en notación científica, es el producto del orden de magnitud de la parte entera
por la potencia de 10 correspondiente. Así, por ejemplo:
a) El orden de magnitud de 6 572 = 6,572 · 10 3 es:
10 · 103 = 104
b) El orden de magnitud de 0,000042 = 4,2 · 10–5 es: 1 · 10–5 = 10–5
c) El orden de magnitud de –364 = –3,64 · 102 es:
1 · 102 = 102
d) El orden de magnitud de 62 milésimas es:
10 · 10–2 = 10–1
• Orden de magnitud de 6 572:
1 000
5 000
10 000
≠
6 572
1 000 < 6 572 < 10 000
Como está más próximo a 10 000
(104) que a 1 000 (103), el orden
de magnitud es 104.
• Orden de magnitud de 0,000042:
0,00001
0,00005
0,0001
≠
0,000042
0,00001 < 0,000042 < 0,0001
Como está más próximo a
0,00001 (10 –5 ) que a 0,0001
(10–4), el orden de magnitud es
10–5.
Y
Unidad 1
22
11. Radicales
3
Como recordarás de cursos pasados, decimos que 9 = 3 y 125
= 5 porque:
9 = 3 ⇔ 9 = 32
3
125 = 5 ⇔ 125 = 53
n
• Raíz enésima de un número a, que se escribe a, es otro número b que
cumple a = bn.
n
a = b ⇔ a = bn
n
El símbolo a se llama radical, donde a es el radicando y n el índice.
n
raíz
enésima
radicando
radical
b
=
índice
a
Raíces cuadradas y cúbicas en la
calculadora
Observamos que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas, por
ejemplo:
Las calculadoras nos ofrecen las
siguientes funciones para el cálculo
de raíces cuadradas y cúbicas:
2 = 4 = 8 = 16
= 32
Permite calcular las raíces cua• dradas de radicando positivo.
Así, para calcular 576
debemos
ejecutar:
3
4
5
A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicales
equivalentes.
• Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces. Para obtener un radical equivalente a otro se multiplican, o se dividen, el índice y
el exponente por el mismo número distinto de cero.
n
pn
pm
am = a
5 7 6
y obtenemos 24.
3
• Permite calcular las raíces cúbicas de cualquier radicando.
El concepto de radicales equivalentes es muy útil en la simplificación de
radicales.
Como ejemplo, vamos a simplificar los radicales siguientes:
3
3
Para calcular 60
debemos ejecutar:
3
6 0
y obtenemos 3.914867641.
3
3
4 096 = 212 = 24 · 3 = 24
• 8
4
2· 4
2·3
• x6 = x
= x3
5
5
• –243
(–3)5 = –3
= Y
Números reales
23
11.1. Los radicales como potencias de exponente
fraccionario
Para trabajar con radicales, en ocasiones resulta muy útil escribir estos como
potencias de exponente fraccionario.
Otras raíces de la calculadora
Con la calculadora científica podemos encontrar el valor de la raíz de
cualquier índice de un número dado.
• Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario de la siguiente forma:
m
––
n
am = a n
x
permite calcular las raíces de
0 índice x.
Escribimos los radicales en forma de potencia cuando queremos simplificar radicales y cuando operamos con ellos.
Ejemplos:
3
3
7
––
3
2 187 = 3 =3 =3
• 4
7
1
2+ ––
3
1
––
2
=3 ·3
2
––
4
1
––
3
5
Para calcular 243
debemos ejecutar:
3
= 9 3
x
5 0 2 4 3
1
––
2
• 4
· a = (2 · a ) = (2a) = (2a) = 2a
2 4
2
2
2
––
3
3
• 52 : 5 = 5 : 5
1
––
2
=5
2
1
–– – ––
3
2
=5
1
––
6
y obtenemos 3.
6
= 5
Las propiedades de las potencias con exponente entero son también válidas
con exponente fraccionario.
m
––
p
––
m
p
–– + ––
q
m
––
n
p
––
q
m p
–– – ––
n q
m p
–– ––
q
4) a n 1) a n · a q = a n
2) a : a = a
m
– ––
n
3) a
m p
–– · ––
q
=an
m
––
n
m
––
n
m
––
m
––
5) (a · b) = a
1
= ᎏᎏ
m
––
an
·b
m
––
n
m
––
6) (a : b) n = a n : b n
ACTIVIDADES
RESUELTAS
5. Expresa en forma de potencia:
4
a) x
Las potencias, con exponente fraccionario, son:
6. Expresa de forma radical:
11
a) x5
Los radicales son:
a) x5/11
5
b) (
x3)
a) x1/4
b) (x3 · y3)1/5
5
b) x3 · y3
3
c) x y
c)
x
3
b) x15/2
d)
x
n m
d) x k/mn
c) x1/6
c) x1/2 · y1/3
k
d) [(x3)1/2]1/5
10
d) x3
4
6
7. Halla radicales equivalentes con índice común para los radicales 5
73 y 3
, 5 .
Consideramos el menor índice común, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices que, en este caso, es el mcm (2, 4, 6) = 12.
Los radicales buscados son:
12
5 = 51/2 = 56/12 = 56
12
12
4
12
73 = 73/4 = 79/12 = 79
6
12
35 = 35/6 = 310/12 = 310
12
Es decir, 5
310 son radicales con igual índice, y respectivamente equivalentes a los dados.
6, 79 y Y
Unidad 1
24
12. Operaciones con radicales
Recuerda que, para operar con radicales, podemos poner estos en forma de potencia y utilizar las propiedades de las potencias, o bien mantener los radicales y utilizar las siguientes propiedades.
12.1. Radicales de igual índice
• El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por
índice el índice común, y por radicando, el producto de los radicandos.
Potencias y raíces
n
n
n
• a · b
a·b
= • a
1
ᎏ
n
·b
n
1
ᎏ
n
= (a · b)
n
n
• El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común, y por radicando, el cociente de los radicandos.
n
• a : b
a:b
= 1
ᎏ
1
ᎏ
1
ᎏ
n
n
• La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando.
• (a)m = am
1
ᎏ m
• a n
•
•
m
ᎏ
=an
m n
n
nm
a m
(a)
a = a
1 1
ᎏ ᎏ
n m
n
n
:b
a : b = a
• a n : b n = (a : b) n
n
n
n
a·b
a · b = 1
ᎏ
n
n
= am
• La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices, y por radicando, el mismo.
1
ᎏᎏ
m·n
=a
m n
m·n
a = a
12.2. Radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dos
formas:
• Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario.
• Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplicando las propiedades anteriores.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
8. Efectúa y da el resultado en forma de radical.
3
3
3
3
3
5 · 25 = 5 · 52 = 5
a) 5
3 = 5
· 25
= 4
reducimos a
índice común
4
utilizamos potencias
de exponente fraccionario
b) 2
· 8
2 · 8
3
3
4
3
3
4
4
4
4
4
3
1
––
1
––
1
––
3
––
reducimos a
índice común
3
12
1
3
–– + ––
4
= 22 · 8 4 = 22 · 24 = 22
c) 81
81 : 3 = 27
33 = 3
: 3 = = d) 27
: 9
4
= 2
22 · 8 = 22 · 23 = 2
2 · 8 = 5 = 22
12
12
12
9
= 27
: 38 = 3
3 : 94 = 3
5
––
= 24 = 2
1
1 + ––
4
4
= 22
Y
Números reales
25
13. Racionalización de denominadores
Al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción se llama racionalización de denominadores.
En la siguiente tabla mostramos los casos más usuales de racionalización con
sus respectivos procedimientos.
EXPRESIONES MÁS
FRECUENTES
PROCEDIMIENTOS
a
ᎏ
b
Expresiones conjugadas
Las expresiones del tipo:
Multiplicamos numerador y denominador por b
.
a + b
y a – b
así como las del tipo:
n
a
con m < n
ᎏ
n m
b
a + b y a – b
Multiplicamos numerador y denominador por b .
n–m
se llaman conjugadas.
a
ᎏ
b ± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador.
a
ᎏᎏ
b ± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador.
Las segundas son conjugadas de las
primeras, y estas son conjugadas de
aquellas.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
12
b) ᎏᎏ
6 + 2
3
a) ᎏ
5
73
9. Racionaliza:
2
d) ᎏ
x–2
5
c) ᎏᎏ
2
5–3
5
5
72
3 = 3
72 = 3
a) ᎏ
·
ᎏ
ᎏ
ᎏ
5
5
5
7
73
73
72
12
12
6 – 2 = 12(6 – 2) = 3 (6 – 2)
b) ᎏᎏ = ᎏᎏ · ᎏᎏ
ᎏᎏ
6–2
6 + 2
6 + 2 6 – 2
5 =
c) ᎏᎏ
2
5–3
5 (25 + 3)
5
5 = 10 + 3
10 + 3
ᎏᎏ
ᎏᎏ = ᎏᎏ
11
20 – 9
(25 – 3)(25 + 3)
2
2 x–2
2 x–2
d) ᎏ = ᎏᎏ
= ᎏᎏ
x–2
x–2
x – 2 · x–2
10. Opera y simplifica las expresiones siguientes:
3
3
a) 316
– 250
+2
3
32
3 · b) ᎏᎏ
4
33
c)
3
3
3
54
24 – 2 · 53 + 2
ᎏᎏ = 3
8
reducimos a
índice común
12
12
36 · 38
= ᎏᎏ
=
12
39
5
5 = 5
5
· 5 · 5
3
4
5
2
3
12
60
2
3
33 · 2
3
3
3
6 3
= 62
ᎏ
– 52 + ᎏ 2 = 42
3
2
2
12
36 · 38
=
ᎏ
39
12
transformamos en potencias
de exponente fraccionario
314
12
= 3
ᎏ
5
39
1
––
1
––
2
––
1
1
2
–– + –– + ––
12 60
= 5 3 · 512 · 560 = 5 3
27
––
9
––
20
= 560 = 520 = 5
9
Y
Unidad 1
26
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Un triángulo en un cuadrado
A
D
En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura.
¿Cómo te parece que es el triángulo APD?
FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a
datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase está clara en el problema que nos ocupa
y se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.
BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
P
15°
B
15°
C
Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias que se
nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la figura propuesta.
LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA
A
D
A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la
que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas
pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida.
En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por
la experiencia acumulada, sabemos que los procedimientos geométricos
suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos.
Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles,
como el de la figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado, figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.
90°
T
60°
P
B
15°
150°
C
A partir de este dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es
igual que el triángulo BPC, ya que tienen dos lados iguales (AT = BP y
TP = PC) e igual que el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°;
de la igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se
sigue que el triángulo APD es equilátero.
REVISAR EL PROCESO Y SACAR
CONSECUENCIAS DE ÉL
Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si nos
es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras
situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc.
Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes:
¿qué sucede si trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?,
¿y qué pasa si dividimos otro polígono regular en vez de un cuadrado?
Y
Números reales
27
¿Qué es un problema?
Un problema matemático es una situación que plantea una
meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos
obstáculos. Resolver un problema, o intentarlo, requiere una
toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.
recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de
antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla.
Las principales características que debe reunir un problema son:
• Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.
• Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.
• No ha de plantear un bloqueo inicial a la persona que lo
intente resolver.
• Proporcionar satisfacción al intentar resolverlo.
• Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás.
Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es
realmente un problema, pues cumple con las características que
lo definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para ti
un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus
conocimientos sobre trigonometría. En ese estadio poseerás
BIBLIOGRAFÍA
Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de problemas,
están tomados de los siguientes libros o revistas:
– CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid.
– CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia.
– FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma n.º 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao.
– GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza.
– GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona.
– MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona.
– WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.
A C T I V I D A D E S
䊏 Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:
1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros?
2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente,
o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez
que completa 100 km cargado.
El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi?
Y
Unidad 1
28
NUEVAS TECNOLOGÍAS
Aritmética con Wiris
Wiris es un programa, de software libre, que permite trabajar aspectos de aritmética,
álgebra, geometría y cálculo.
Trabajamos con el menú Operaciones que contiene paréntesis, corchetes, potencias,
fracciones y raíces, entre otros elementos.
PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN O DE FRACCIÓN A DECIMAL
)
Expresamos los siguientes números decimales en fracción y las fracciones en decimal:
72
7
a) 12,35
b)
c) 0,14
d)
13
9
a) Escribimos racional (12.35), con el número decimal con punto, nunca con coma,
y pulsando
obtenemos la fracción buscada.
b) y d) Introducimos la fracción dada mediante el operador
o bien mediante /.
Como queremos la solución en forma decimal, ponemos un punto al final del número del numerador o del denominador.
c) El número decimal periódico lo introducimos mediante el paso a fracción ya conocido.
Si queremos la solución con un número determinado de cifras decimales comenzamos escribiendo precisión(n) y nos da la solución con n ≤ 15 cifras significativas. En
la imagen adjunta podemos ver las soluciones buscadas.
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Efectuamos las siguientes operaciones:
1
1 – ᎏᎏ
3
a) ——————
b) (5,12 · 103) [(2,93 · 10–2) – (6,78 · 10–4)]
1
1+ᎏ
1
1 – ᎏᎏ
3
a) Escribimos la fracción, y pulsando
obtenemos la solución.
b) Introducimos la expresión usando los paréntesis, corchetes, potencias y las operaciones correspondientes del menú Operaciones y obtenemos el resultado que vemos en la imagen:
Y
Números reales
29
OPERACIONES CON POTENCIAS Y RADICALES
Efectuamos las siguientes operaciones con potencias y radicales:
a)
冢
3
ᎏᎏ
2
1
ᎏᎏ
3
冣
–3
3
3
2兹苶
625
c) ᎏ
– 5兹135
苶
3
27
兹苶
3 ·9
—————
2
ᎏᎏ
9
27
2兹苶
3
2
b) ᎏᎏ – (1 + 3兹6
苶)
3兹苶
2 – 2兹苶
3
d)
5兹苶
25苶
5
25
兹苶
苶
兹2苶
苶
苶
兹苶
3
Introducimos, en cada caso, las potencias y las raíces mediante los operadores
.
En a) factorizamos el resultado inicial para obtener el final en forma de potencia; en
el margen vemos el resultado.
b), c) y d) aparecen resueltos en la imagen siguiente:
A C T I V I D A D E S
1. Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado en forma de fracción y en forma decimal, en este caso con 4 cifras
significativas:
a)
冤冢 冣 冢 冣 冢 冣 冥
2
ᎏ
7
12
7
: ᎏ
2
–7
2
· ᎏ
7
–4 –2
b)
冤冢
冣
冢
1
4
1
3 1–ᎏ –ᎏ 2–ᎏ
3
15
2
冣冥:7
2
2. Opera y simplifica lo más posible las expresiones siguientes:
a)
6
苶冣 ᎏ
ᎏ + ᎏ 兹112
冢7兹63苶 – 8冪莦
4
3
兹苶7
175
4
2 – 2兹苶
3
2 – 3兹苶
b) ᎏ
ᎏᎏ
3
2
–
3
6
兹苶 兹苶
兹苶
3. Halla el valor de x para que cada una de las siguientes igualdades sea verdadera:
a)
冢
2
15
ᎏ·ᎏ
25
9
冣
X
625 · 4–2
= ᎏᎏ
81–1
b)
冤冢 冣
1
ᎏ
9
3
冥
· (3) X
–2
冢 冣
1
: 27 = ᎏ
3
–6
Y
Unidad 1
30
ACTIVIDADES FINALES
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Ordena de mayor a menor los siguientes números: 0,5; –0,4; 24; –3,2; 0; –30; 284.
2. Efectúa los siguientes cálculos haciendo uso de la jerarquía de las operaciones:
a) 9 – 4 · (–6) + 5 – 7 · (–4 + 9)
b) 6 · 42 – (–3)3 + [5 – (7 – 5)2]
c) (–5)2 – 52 + 4 · (–3)2
3. Efectúa las siguientes operaciones simplificando el resultado lo máximo posible:
a)
2 3 3
− + −3
3 5 4
2 3 3
: ·
3 5 4
c)
3
2
b) ⎛⎜ 3 − ⎞⎟ · 2 − 3 +
⎝
2⎠
3
2 3⎞
⎛
e) 3 + 2 · ⎜ 1 − · ⎟
⎝
5 2⎠
1
3
5 3
d) ⎛⎜ 3 − ⎞⎟ · ⎛⎜ 2 − ⎞⎟ : ⎛⎜ + ⎞⎟
⎝
4⎠ ⎝
7⎠ ⎝ 2 4⎠
1
f) 2 − 2 : ⎛⎜ 2 − ⎞⎟
⎝
4⎠
4. Efectúa y da el resultado en forma de potencia de exponente natural:
⎡⎛ 2 ⎞ 3 ⎤
a) ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
3
−2
3
1⎞ ⎛ 7 ⎞
⎛
c) ⎜ 2 − ⎟ · ⎜ ⎟
⎝
4⎠ ⎝ 4⎠
5
2
2
2
b) ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
⎡ 2 −4
d) ⎢⎛⎜ ⎞⎟
⎢⎣⎝ 3 ⎠
2
3
−2
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
·⎜ ⎟ :⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
5
4
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
e) ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ · ⎜ ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
6 0
8
⎤
⎥
⎥⎦
6
6
f) ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
−5
⎛ 5⎞
:⎜ ⎟
⎝ 6⎠
3
3
5. ¿Qué tipo de decimal genera cada uno de los racionales siguientes?
a)
28
126
b) −
36
225
c)
73
63
d)
42
528
e)
2 145
2 100
6. Expresa cada decimal en forma de fracción, opera y convierte el resultado final en número decimal:
a) 3, 1 + 5,21 + 2,8
b) (5,4 − 3,42) · 2,7
c) 6,14 : 3, 4 · 2, 44
d) 12,5 + 3,78 : 1, 4
7. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:
a) 323,25
b) 0,372151515…
c) 0,021333…
d) 37,34 334 3334 33334…
8. Una empresa reparte 15 000 euros de beneficios anuales entre sus tres socios. El primer socio recibe los
neficios; el segundo socio, los
3
de los be5
2
de los que quedan y el tercer socio, el resto. ¿Qué cantidad corresponde a cada socio?
3
9. Un alumno tarda en pasar un trabajo a ordenador 12 horas, un segundo alumno tarda en pasar el mismo trabajo 8 h. El
primer alumno trabaja durante 4 h y deja el resto del trabajo para el segundo. ¿Cuánto tiempo tardará este en finalizarlo?
10. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
– 49
Menor
conjunto
numérico al
que pertenece
23,5
0
11
2,13
–
1, 4
0,5
23
3
–42
3
–27
5
Y
Números reales
31
11. Representa en la recta real los siguientes números:
a) 3 2
b) −
18
c) −
8
d) 0,6
9
12. Dibuja sobre la recta real los siguientes conjuntos:
a) A = {a ∈ R | a < –2 y a > –6}
c) C = {c ∈ Z | c > 2 o c > –3}
b) B = {b ∈ R | b < 0 y b > –7}
d) D = (–1, 4] ∩ (0, 3)
e) E (5, 2)
f) F = (–∞, –5]
13. Escribe cada uno de los siguientes conjuntos en forma simbólica y de intervalo cuando sea posible.
a)
c)
–1
b)
– 10
–6
d)
12
–4
–3
3
–1
1
5
3
5
14. Dado el número 1 724,157203…, indica cuáles de las aproximaciones decimales del número son redondeos. En los casos en que lo sean, anota la cota de error.
1 725
1 724,16
1 724,2
1 724,1
15. Arquímedes llegó a determinar que el valor de π cumple que
1 720
1 724,158
1 724,1 572
223
22
. Calcula, aproximadamente, el error abso<π<
71
7
luto y relativo que se comete al tomar cada una de las fracciones como valor aproximado de π.
16. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro φ a centésimas.
17. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud:
a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km
c) Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m
b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km
d) Radio del protón: 0,000 000 000 05 m
18. La capacidad de memoria de un ordenador se mide en:
byte = 23 bits; kilobytes = 210 bytes; megabyte = 210 kilobytes; gigabyte = 210 megabytes.
Expresa como potencia y en notación científica la capacidad de los siguientes ordenadores y disquetes en bytes y bits:
a) Disco duro de 127 gigas
b) Disquete de 1,44 megas
c) CD-ROM de 650 megas
19. Calcula las siguientes raíces:
a)
b)
36 a4 b2
3
c)
− 8 x6 y 3
4
256 z 8
20. Expresa en forma de potencias las raíces, o en forma de raíz las potencias siguientes:
3
a)
4
1
2
b) 32
a
c)
5
a4
d) 73
e)
3
−
f) 7
2
a
3
2
g)
1
−
h) 5
3
a
2
3
21. Pon las siguientes expresiones bajo un único radical:
a)
3
b)
27
(
5
ab2 )
3
c)
5 35 5
d)
625 x 5 y 6
d)
(
a3
b
)
4
22. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:
a)
b)
500
3
c)
a3 b4
4
x2 + x2 y
23. Introduce los factores en el radical:
a) 5 3
b) 3ab
3
a2
c) 3 4 33
d) a4 b2
2a3 b
e) 2 3 2a
f) 4 ab 3 2a2 b
Y
Unidad 1
32
ACTIVIDADES FINALES
24. Calcula, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia:
a)
b)
3 · 33
3
c)
a · a2
4
d)
2a5 : 4 2a3
5
36 : 5 34
25. Efectúa las siguientes operaciones:
3
4
2+5 2−
2
2
5
a) 3 2 −
b) 2 3 16 − 5 3 54 +
13
250
5
c)
4
7
3
8 − 50 +
18 −
5
2
4
98
26. Reduce a índice común, y ordena de menor a mayor las raíces de cada apartado:
a)
b)
2, 5 5
3
c)
10, 5 100
4
d)
4, 6 6
e)
2, 2, 3 2
4
3
f)
2, 9 3, 5
3− 1 , 4 5− 3
27. Opera:
a)
3
b)
5· 2· 46
6
c)
a5 · 5 a3 : 10 a
8
ab3 ·
6
d)
2a2 b2
2ab : 4 8a3 b
e)
3 3 32
28. Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo los resultados:
⎛
2⎞
a) ⎜ 2 −
⎟
2
⎝
⎠
b)
(2
2
7 + 3) − 4 7
2
(
7 + 3)
c)
(2 +
d)
(4
2 ) (2 −
2 ) − (2 +
2)
e)
(3 + 2 2 ) (
18 − 2 12 + 32 ) · 2 2
f)
(
2
2 − 3) 3
72 − 20 − 2 ) ( 2 + 2 8 + 2 5 )
29. Racionaliza las siguientes fracciones:
a)
b)
2
c)
2
3
d)
2 3
2
3
7
e)
5
3
f)
24 3
g)
7 · 33
3
2+
h)
2
3
2− 3
7 +1
2 7 +5
30. Realiza las operaciones, racionalizando previamente:
a)
b)
5
2
96 −
3
7
189
c)
2 18 − 5 8
d)
2
3+2 2
3−2 2
2
1+ 3
−
−
1
2
2
1− 3
31. Efectúa y simplifica:
a)
4 9 3 729
32. La naranja al pelarla pierde
b)
14 + 7 −
4
81
c)
(
3
250 − 3 16 ) · 3 4
d)
5 5 5 55
1
de su peso. Si la naranja pelada pierde al exprimirla un 30 % de su peso, ¿cuántos
5
kilogramos de naranjas hemos de comprar para obtener 2 400 kg de zumo?
33. La cantidad de azúcar moreno que se obtiene de la caña es
obtiene de refinar azúcar moreno es
azúcar blanco?
12
de su peso. La cantidad de azúcar blanco que se
19
4
de su peso. ¿Cuánta caña de azúcar se necesita para obtener 10 toneladas de
3
Y
Números reales
33
AUTOEVALUACIÓN
3 4
1. El resultado de operar ⎛⎜ + ⎞⎟
⎝ 5 9⎠
3 7⎞
⎛
: ⎜ 2 − · ⎟ expresado como fracción irreducible es:
⎝
5 9⎠
a) − 4
9
b) 47
69
c) 23
45
2. Expresamos cada decimal como fracción y operamos 4,2 − 3,24 + 1,7 ; el resultado en fracción irreducible es:
a) 2,67
b) 2,76
c) 2,67
3. El intervalo resultante de la intersección (–∞, 5) ∩ [2, 6) es:
a) [2, 6)
b) [5, 6)
c) [2, 5)
4. El resultado de operar 6 8 − 3 27 − 2 72 + 2 75 es:
a) 0
b)
5. Si racionalizamos el denominador de la fracción
a) 3 + 2 3
c)
2
6
48 − 6
3
, obtenemos:
b) 2 + 3 3
c) 2 + 3 2
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
Contando cuadrados
Vamos a contar cuadrados sobre cuadrículas de puntos.
a) ¿Cuántos cuadrados se pueden dibujar de manera que tengan sus vértices sobre los puntos de la cuadrícula 3 × 3 del dibujo?
b) ¿Cuántos tipos diferentes de cuadrados se pueden dibujar sobre la citada cuadrícula?
c) ¿Cuántos cuadrados y de cuántos tipos diferentes se pueden dibujar sobre una cuadrícula de 4 × 4 puntos?
d) Intenta encontrar alguna regularidad repitiendo la situación anterior para las cuadrículas 5 × 5 y 6 × 6.
Calcula cuántos cuadrados y de cuántos tipos podremos dibujar en una cuadrícula de 8 × 8 puntos.
e) ¿Cuántos cuadrados se podrían dibujar sobre una cuadrícula de dimensión n × n?
Nos gustaría investigar cuántos triángulos y de cuántos tipos se pueden trazar sobre las mismas cuadrículas. ¿Te atreverías a contar segmentos, rectángulos…?
Y si las cuadrículas son de dimensiones m × n, ¿cuántos cuadrados, triángulos, segmentos, rectángulos… se pueden dibujar?
Z