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BLOQUE 1 .TRIGONOMETRIA.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
1ª Parte :Trigonometría:Resolución de
triángulos.
1.-Medida de ángulos.
Un ángulo se puede medir en :
a)Grados sexagesimales (DEG ó D) : 1º=60’ ,1’ =60’’ .
= 90º
,
=180º
b)Grados centesimales (GRAD ó G) : 1g =100m, 1m = 100s.
= 100g
,
=200º
c)Radianes :Se define RADIÁN como el ángulo interior de un sector circular en el
que el radio coincide con el arco.
R
R
1 rad
R
R
Como el ángulo crece proporcionalmente al arco , un ángulo de 180º (cuyo arco es
r ) tendrá un valor de  radianes .Luego 180º =  radianes.
Ejercicio : Escribir en radianes/grados los siguientes ángulos :
1º)270º=

rad=
6
7
6º)
rad=
10
5
7º) rad=.
12
8º)2 rad=
5º)
2º)60º=
3º)360º=

4º)45º=


Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
2.-Definición de las razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo
Dado un triángulo rectángulo, se definen las razones trigonométricas del siguiente
modo:
cateto opuesto
 Se llama SENO de  a sen 
hipotenusa
cateto adyacente
 Se llama COSENO de  a cos  
hipotenusa
cateto opuesto

 Se llama TANGENTE
de  a tg 
cateto adyacente


hipotenusa
Cateto
opuesto a 

Cateto adyacente a 
Asimismo se definen las razones trigonométricas inversas como:
1
 Se llama COTANGENTE de  a cot g  
tg 
1
 Se llama SECANTE de  a sec  
cos 


1
Se llama COSECANTE de  a cosec  
sen 

Por último, se definen las razones trigonométricas recíprocas como:

 Se llama ARCO SENO de x al ángulo (ángulos) cuyo seno es x , es decir :
  arc senx  sen   x

Se llama ARCO COSENO de x al ángulo (ángulos) cuyo coseno es x , es
decir :   arc cosx cos   x

Se llama ARCO TANGENTE de x al ángulo (ángulos) cuya tangente es x ,
es decir :   arc tgx  tg   x ç



Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
3.- Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo es hallar sus seis elementos característicos: es decir sus tres
lados y sus tres ángulos. En el caso de un triángulo rectángulo hay un ángulo que se
conoce siempre que es el de 90º.Para hallar el resto de elementos podemos usar :



La suma de los otros dos ángulos debe ser 90º.
Teorema de Pitágoras.
Las fórmulas de trigonometría.
4.-Resolución de un triángulo cualquiera
Un triángulo queda determinado cuando se conocen:
 Tres lados
 Dos lados y el ángulo comprendido
 Un lado y los ángulos adyacentes.
Aunque siempre cabe la posibilidad de trazar una altura para generar triángulos
rectángulos existen dos resultados nuevos que nos facilitarán esta tarea.
5.-Teorema del seno
a
b
c


sen A sen B sen C
C
a
b
h
B
A

c
En efecto ,sea un triángulo cualquiera, si trazamos la altura ( en este caso sobre c )
,nos quedan dos triángulos rectángulos. Aplicando trigonometría en ambos ,queda :
h
h
sen A = ,sen B = .Ahora despejamos la h en ambos con lo que :
b
a
a
b

h = b sen A , h = a sen B .Igualando : b sen A = a sen B y de aquí
.
sen A sen B

a
c

Si trazáramos la altura sobre b quedaría repitiendo el proceso:
.
sen A sen C
 a
b
c


Ahora igualando ambas expresiones aparece la fórmula :
.
sen A sen B sen C


Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
6.-Teorema del coseno
2
2
2
a = b +c -2bc cos A
C
a
b
h
Am
n
B
c
Demo :
En el triángulo de la derecha por el teorema de Pitágoras :a2 = h2+n2 .
Pero en el otro triángulo h2 = b2-m2 . Con lo que queda que : a2 =b2-m2+n2.
Se ve claramente que n = c-m .Sustituyendo : a2 =b2 –m2 +(c-m)2.
Desarrollamos : a2 =b2 –m2 +c2+m2-2cm.
m
Usamos trigonometría en el triángulo de la izquierda: cos A  ,es decir m=bcosA.
b
Sustituimos y aparece la fórmula a2 = b2+c2-2bc cos A
 y no sólo con las letras con las que
Nota :Conviene saberse este teorema en general
lo hemos enunciado.
7.-Área de un triángulo
Hay varias maneras de calcular el área de un triángulo en función de los datos
obtenidos
b h
1. Con la base y la altura :A =
2
c  a  senB
2. Con dos lados y el ángulo comprendido A=
2
Basta fijarse en que la base es c y h = a sen B

3. En función de los lados .Fórmula de Herón:
p( p  a)(p  b)(p  c) siendop el semiperímetro.

Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
2ª Parte :Trigonometría . Resolución de
expresiones trigonométricas
1.-Relación entre las razones trigonométricas de un
ángulo :


1. Fórmula fundamental : sen2 + cos2 = 1. Trae como consecuencia que
tanto el seno como el coseno sólo puede tomar valores entre -1 y 1.
sen
2. tg 
cos 
cos 
3. cot g 
sen
1
2
4. 1+tg sec2
cos 2 
1
5. 1+cotg2cosec2
sen 2

2.-Valores de las razones trigonométricas de los
 usados
ángulos más
Seno
0º
0
coseno
1
tangente
0

30º
1
2
3
2
3
3
45º
2
2
2
2
1



60º
3
2
1
2
3
90º
1
180º
0
270º
-1
0
-1
0
No
existe
0
No
existe

Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
3.-Ampliación del concepto de ángulo.
Interpretación geométrica de las razones
trigonométricas .
Para medir ángulos usaremos una circunferencia de radio 1 (goniométrica)
.Consideraremos como origen el semieje horizontal positivo y diremos que los
ángulos son positivos si se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo
si el sentido es favorable.
2º


Sen 
1º
0º
3º
4º
cos 
Entonces, dado un determinado ángulo, si consideramos las coordenadas del punto
respecto a los ejes , la abscisa representa el coseno mientras que la ordenada
representa el seno del ángulo.
Debido a esto los signos de las razones trigonométricas en los cuadrantes son :
+
+
-
+
-
-
-
+
seno
coseno
Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
+
+
-
tangente
4.-Relación entre las razones trigonométricas de
algunos ángulos
1. Se llaman ángulos suplementarios a aquellos cuya suma es 180º o 
radianes. Es decir  y 180º- .Entonces se cumple que :
a. sen (180-) = sen .
b. cos (180-) = -cos .
c. tg (180-) = -tg .
2. Se llaman ángulos que se diferencian en 180º a aquellos cuya resta es 180º
o  radianes. Es decir  y 180º+ .Entonces se cumple que :
a. sen (180+) = -sen .
b. cos (180+) = -cos .
c. tg (180+) = tg .
3. Se llaman ángulos opuestos a aquellos cuya suma es 360º o  radianes o
bien aquellos cuya suma sea 0. Es decir:  y 360º- ó y . Entonces se
cumple que :
a. sen (360-) =sen(-)= -sen .
b. cos (360-) =cos(-)= cos .
c. tg (360-) =tg(-)= -tg .
4. Se llaman ángulos complementarios a aquellos cuya suma es 90º o 
radianes. Es decir  y 90º- .Entonces se cumple que :
a. sen (90-) = cos .
b. cos (90-) = sen .
c. tg (90-) = cotg .
5. Por último para calcular razones trigonométricas de ángulos de más de
360º hay que dividir el ángulo entre 360º y quedarse con el resto.
sen 
sen(180-)
cos(180-)
cos 
Ejemplos:
(1). sen 150º= sen (180º-30º) = sen 30º = 0,5.
(2). tg 225º = tg (180º+45º) = tg 45º = 1
(3). cos 240º = cos(180º+60º)=-cos 60º =-0,5.
3
(4). sen(-60º)=-sen 60º =2
(5). cos 780º=cos 60º = 0,5.

Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
5.-Razones trigonométricas de la suma y diferencia
de ángulos.






sen(a+b) = sen a cos b + cos a sen b
sen(a-b) = sen a cos b - cos a sen b
cos(a+b) = cos a cos b - sen a sen b
cos(a-b) = = cos a cos b + sen a sen b
tga  tgb
tg(a  b) 
1 tga  tgb
tga  tgb
tg(a  b) 
1 tga  tgb

6.-Razones trigonométricas del ángulo doble




sen 2a = 2 sen a cos a.
o En efecto sen 2a = sen ( a+a ) = sen a cosa + sen a cos a =2 sen a
cos a
cos 2a = cos2a - sen2a.
o En efecto cos 2a = cos ( a+a ) = cos a cosa - sen a sen a = cos2a sen2a
2tga
Tg 2a =
1 tg 2 a
o Basta repetir el mismo razonamiento en tg ( a+b)
7.-Razones
trigonométricas del ángulo mitad


sen
a
1 cos a
.

2
2
a
a
–sen2
2
2
a
a
a
[Fórmula fundamental] cos a = 1-sen2 –sen2 =1-2sen2 .
2
2
2
a
1 cos a
a 1 cos a
Despejamos : sen2 =
, con lo que : sen   
.
2
2
2
2
Demo :De la fórmula anterior, se cumple que cos a = cos2


a
1 cos a
cos  
2
2
 




Demo: Se hace igual ,salvo que sen la fórmula fundamerntal se cambia
seno por coseno.


tg
a
1 cos a

2
1 cos a
Demo: Basta dividir las dos fórmulas anteriores.

Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
8.-Transformaciones de sumas en productos.




A B
AB
 cos
2
2
A B
AB
sen A -sen B = 2  cos
 sen
2
2
A B
AB
cos A 
+cos B = 2  cos
 cos
2
2
A B
AB
cos A-cos B = 2  sen
 sen
2
2
sen A +sen B = 2  sen


Apuntes trigonometría COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
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