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1.
LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS
En muchas tareas de las matemáticas es preciso trabajar con números de valor desconocido o
indeterminado. En esos casos, los números se representan por letras y se operan con las mismas
leyes y propiedades que en las expresiones numéricas. Veamos algunos casos.
1.1 Representar números en clave
1.2 Expresar y operar números desconocidos
Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no conocemos, operar con él y
relacionarlo con otros números.
• Cuando las letras expresan números, las trataremos como tales en cuanto a las operaciones y sus
propiedades.
• La parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de las expresiones con
letras y números se denomina álgebra.
2.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para representar cantidades generalmente utilizamos números. Sin embargo, hay ocasiones en que
también podemos emplear letras. Una expresión algebraica es una combinación de números y
letras unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas. Estas letras reciben el nombre de
incógnitas o indeterminadas.
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Este curso es una iniciación al algebra, las expresiones algebraicas con las que trabajaremos solo
tendrán una indeterminada y de exponente uno.
Ejemplo 1.
Laura tiene tres hermanos: Pedro, que es dos años menor que ella; Ana, que es tres años
mayor que ella, y Fermín, que le dobla la edad.
a) ¿Cuál es la edad de cada uno si Laura tiene 8 años?
b) ¿Y si desconocemos la edad de Laura?
a)
Si Laura tiene 8 años podemos calcular
la edad de sus hermanos
b) Si desconocemos la edad de Laura,
podemos representarla con la letra x
entonces las edades de sus hermanos
serán
Pedro
Ana
Fermín
8-2=6
8 + 3 = 11
2 · 8 = 16
x-2
x+3
2 ·x
Las expresiones del apartado b) recibe el nombre de expresiones algebraicas.
Para escribir una expresión algebraica, debemos tener en cuenta las siguientes normas:
Normas
Ejemplos
El signo x de la multiplicación puede sustituirse por el signo ·
5xb →5·b
Cuando el signo de la multiplicación aparece entre letras o entre un número y una
letra, suele suprimirse
2 · a = 2a
El factor 1 no se escribe
1·a=a
Para leer una expresión algebraica podemos nombrar las letras y los signos en el orden en el que
aparecen o construir una pequeña frase que la defina.
Se lee
O bien
2x
Dos por equis o dos equis·
Doble de equis
x-3
Equis menos tres
Tres unidades menor que equis
x+5
Equis más cinco
Cinco unidades mayor que equis
Ejemplo 2.
Di un número que al multiplicarlo por 2 y después sumarle 5 dé como resultado 15.
1. Un número → x
2. Multiplicarlo por 2 → 2·x
3. Sumarle 5 → 2·x + 5
4. Da como resultado 15 → 2·x + 5 = 15
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Ejemplo 3.
■ El doble de un número menos su triple → 2x - 3x
x
■ Un número menos su cuarta parte → x −
4
La expresión algebraica más sencilla es el monomio.
2.1 Monomios
Un monomio es una expresión algebraica que únicamente contiene el producto de un número por
una o varias incógnitas.
Ejemplo 4.
Son monomios: 3x, 2, -b, 5xy2
No son monomios; x+3, x+y, 2x-5
Los elementos que caracterizan los monomios son:
• Coeficiente: número incluido el signo del monomio
• Parte literal: producto de letras (indeterminadas o incógnitas) junto
con su exponente
• Grado: suma de los exponentes de cada una de las letras de la
parte literal
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Ejemplo 5.
Determina el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios:
Coeficiente : 8

3 2
3 2 
a) 8ab z
Parte literal : ab z
Grado : 6 (1 + 3 + 2)

Coeficiente : − 1

3 
3
b) - x
Parte literal : x

Grado : 3
Coeficiente :1

c) x Parte literal : x
Grado :1

Coeficiente : 7

0
0
d) 7 Parte literal : x (Re cuerda x = 1)
Grado : 0

Este curso es una iniciación al algebra, solo trabajaremos con monomios de grado 1 o 0.
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2.2 Operaciones con monomios
 Suma y resta de monomios semejantes: Se suman o restan sus coeficientes,
manteniéndose la misma parte literal.
Ejemplo 6.
a)
b)
7x + 4 x = (7 + 4) x = 11 x
7a – 4a = (7 - 4) a = 3a
 Multiplicación de un monomio por un número: Se multiplica el coeficiente por dicho
número, manteniéndose la misma parte literal.
Ejemplo 7.
(-4) ⋅ 3x = ((-4) ⋅ 3) x = - 12x
Ejemplo 8.
Opera y simplifica:
a) 3 x − 12 x + 4 x = (3 − 12 + 4) x = −5 x
b) 3 x + 4 + 5 x − 7 = 3 x + 5 x + 4 − 7 = (3 + 5) x + 4 − 7 = 8 x − 3
c) x − 2a + 3a = x + ( −2 + 3)a = x + a (Estos monomios no son semejantes y no se
pueden sumar)
d) 2 ⋅ 3 x − 5 = 6 x − 5
3.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para ciertos valores
de las letras.
Ejemplo 9.
2x + 2 = 6 + x
Esta igualdad entre dos expresiones algebraicas puede ser verdadera o falsa, según el valor
numérico que se le asigne a la letra x.
Si sustituimos la x por 4 en la expresión anterior,
2 ∙ 4 + 2 = 6 + 4 ⇒ 10 = 10
Se obtiene una igualdad entre expresiones numéricas, que es cierta. Pero si sustituyéramos
x por 7,
2∙7 + 2 = 6 + 7 ⇒ 16 = 13
La igualdad obtenida es falsa.
3.1 Significado y utilidad.
Una ecuación expresa, en lenguaje algebraico, una relación entre cantidades cuyo valor, de
momento, no conocemos. Esas cantidades se representan con letras.
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Ejemplo 10.
Cinco veces la edad de Laura coincide con la que tendrá dentro de 28 años.
Las ecuaciones permiten codificar relaciones en lenguaje algebraico y, a partir de ahí, manejarlas
matemáticamente. Eso, como comprobarás más adelante supone una potentísima herramienta para
resolver problemas.
3.2 Elementos y nomenclatura
Miembros de una ecuación: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del
signo de igualdad.
Ejemplo 11.
Términos: Son los sumandos que forman los miembros.
Ejemplo 12.
La ecuación anterior tiene cuatro términos. Los términos del miembro de la izquierda son 2x
y -4, y los términos del miembro de la derecha son x y 3.
Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación. También puede referirse a las incógnitas
como indeterminadas.
Ejemplo 13.
2x – 4 = x + 3 → Ecuación con una incógnita, x.
5x + 3y = y – 3 → Ecuación con dos incógnitas, x e y.
Soluciones o raíces de una ecuación: Son los valores que deben tomar las letras para que la
igualdad sea cierta. Cada solución de una ecuación está formada por tantos números como letras
tenga.
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Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras para que la
igualdad sea cierta.
Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y
las mismas soluciones.
3.3 Reglas de equivalencia.
■ Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número o una misma
expresión algebraica, la ecuación resultante es equivalente a la dada:
Ejemplo 14.
Ejemplo 15.
■ Si se multiplica o se divide por un mismo número distinto de cero a los dos miembros de la
ecuación, es decir, a todos los términos de la ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la
dada:
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Ejemplo 16.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, debes despejar esta última aplicando
las reglas de equivalencia. Fíjate en estos ejemplos:
En la resolución de una ecuación de primer grado conviene seguir un orden para facilitar la tarea y no
cometer errores:
a) Trasponer todos los términos que tienen incógnita a uno de los miembros (se suelen
llevar a la izquierda).
b) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro (se suelen llevar a
la derecha).
c) Reducir términos semejantes en los dos miembros.
d) Despejar la incógnita.
e) Comprobar la solución.
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Ejemplo 17.
Resolver la ecuación : 5 x − 4 = 6
a)
Trasponer los términos que no tienen incógnita al miembro de la derecha
5x = 6 + 4
b)
Reducir términos semejantes en los dos miembros.
5 x = 10
c)
d)
Despejar la incógnita.
10
x=
=2
5
Comprobar la solución. Sustituimos x por 2 en la ecuación inicial
5(2) − 4 = 6 ⇔ 10 − 4 = 6 ⇔ 6 = 6
Luego x=2 es la solución de la ecuación.
Ejemplo 18.
Resolver la ecuación : 2x − 4 = 3 x
a)
Trasponer los términos que tienen incógnita
2x − 4 − 3 x = 0
b)
Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro
2x − 3 x = 4
c)
Reducir términos semejantes en los dos miembros.
−x=4
d)
e)
Despejar la incógnita.
4
x=
= −4
−1
Comprobar la solución. Sustituimos x por - 4 en la ecuación inicial
2( −4) − 4 = 3( −4) ⇔ − 8 − 4 = −12 ⇔ − 12 = −12
Luego x=-4 es la solución de la ecuación.
Ejemplo 19.
Resolver la ecuación : 5 x − 3 + 2x + 4 = 5 x + 5 − 2
f)
Trasponer los términos que tienen incógnita
5 x − 3 + 2x + 4 − 5 x = 5 − 2
g)
Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro
5 x + 2x − 5 x = 5 − 2 − 4 + 3
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h)
i)
j)
Reducir términos semejantes en los dos miembros.
2x = 2
Despejar la incógnita.
2
x = =1
2
Comprobar la solución. Sustituimos x por 1 en la ecuación inicial
5(1) − 3 + 2(1) + 4 = 5(1) + 5 − 2 ⇔ 5 − 3 + 2 + 4 = 5 + 5 − 2 ⇔ 8 = 8
Luego x=1 es la solución de la ecuación.
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