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UNIVERSIDAD AUTONOMA
METROPOLITANA
U.E.A: Proyecto terminal I - II
Profesores:
Otón Gandarilla Carrillo
_____________________
Eleuterio Castaño Tostado
_____________________
Título del proyecto:
Cavidades resonantes cónicas
Alumno:
Fernández Rodríguez Javier
Fecha de entrega:
14/07/10
1
Trimestre lectivo: 10-I
INDICE
1.- Marco Teórico
1.1.- Introducción
1.1.1.- Principios de operación
1.1.2.- Aplicaciones
2.- Objetivos
3.- Metas a Alcanzar
4.- Análisis teórico
4.1.- Ondas Transversales Electromagnéticas
4.2.- Ondas Transversales Magnéticas
4.3.- Ondas Transversales Eléctricas
4.4.- Cavidades resonantes rectangulares
4.5.- Modo TMmnp
4.6.- Modo TEmnp
4.7.- Factor de calidad de las cavidades resonantes
4.8.- Cavidades resonantes cónicas y bicónicas
5.- Desarrollo
5.1.- Código Fuente
5.2.- Resultados obtenidos en Matlab
6.- Análisis de resultados
7.- Funciones asociadas de Legendre
7.1.- Código Fuente
8.- Construcción de las cavidades
8.1.- Primera cavidad resonante
8.2.- Segunda cavidad resonante
8.2.1.- Pruebas experimentales con la segunda cavidad
Mediciones Experimentales con la segunda
8.2.2.- cavidad
8.2.3.- Resultados
8.3.- Tercera cavidad resonante
9.- Conclusiones
10.- Bibliografía
10.1.Articulo Relacionado a las cavidades resonantes cónicas
Página
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38
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41
42
42
44
46
47
2
1. Marco teórico
Guías de onda rectangulares
1.1. Introducción.
Si bien es cierto algunos sistemas de telecomunicaciones utilizan la propagación de
ondas en el espacio libre, también se puede transmitir información mediante el
confinamiento de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas de transmisión
y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la
transmisión de la información sea la adecuada y, por lo tanto, son poco útiles para
aplicaciones HF (altas frecuencias) o de bajo consumo de potencia, especialmente en el
caso de las señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, es decir,
microondas.
La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que
se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las
líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que se presentan poca atenuación para el
manejo de señales de alta frecuencia.
Este nombre, guías de onda, se utiliza para designar los tubos con una sección transversal
que es rectangular, circular, elíptica, cónica, bicónica, etc. En los cuales la dirección de
transmisión de la energía electromagnética es principalmente conducida a lo largo de la
guía y limitada al interior de sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la
onda al interior por reflexión, debido a la ley de Snell en la superficie así como también por
efectos de frontera que señala la escasa o nula penetración de ondas electromagnéticas en
buenos conductores; el interior del tubo puede estar vacío o relleno de un dieléctrico, el
cual le da soporte mecánico al tubo y reduce la velocidad de propagación. En las guías de
ondas tanto los campos eléctricos como los magnéticos se encuentran confinados en su
interior, de este modo no hay pérdidas de potencia debido a la radiación y las perdidas por
el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que las
interferencias sean nulas en el campo por acción de otros objetos, de una forma contraria de
lo que ocurriría en los sistemas de transmisión abiertos.
3
En los sistemas de microondas existe otro sistema llamado cavidad resonante. Este se
presenta en una forma geométrica que lo lleva a la resonancia. A estas cavidades se les
agrega en su interior algunos elementos reflejantes para simular el comportamiento de los
sistemas cuánticos.
1.1.1. Principios de operación.
Dependiendo de la frecuencia, las cavidades resonantes se pueden construir con
materiales conductores o dieléctricos. Generalmente, cuanto más baja es la frecuencia,
mayor es la guía de onda. Por ejemplo, el espacio entre la superficie terrestre y la ionosfera,
la atmósfera, actúa como una guía de onda. Las dimensiones limitadas de la Tierra
provocan que esta guía de onda actúe como una cavidad resonante para las ondas
electromagnéticas en la banda ELF.
Las guías de onda también pueden tener dimensiones de pocos centímetros. Un ejemplo
puede ser aquellas utilizadas por los satélites de EHF (Frecuencia extremadamente alta) y
por los radares.
1.1.2. Aplicaciones.
Las guías de onda son muy adecuadas para transmitir señales debido a su bajas
pérdidas, por esa razón se usan en microondas, a pesar de su ancho de banda limitado y
volumen mayor que el de líneas impresas o coaxiales para la misma frecuencia. También se
realizan distintos dispositivos en guías de onda, como acopladores direccionales, filtros,
circuladores, antenas e incluso en los radares. Actualmente, son especialmente importantes,
y lo serán más en el futuro, las guías de onda dieléctricas trabajando a frecuencias de la luz
visible e infrarroja, habitualmente llamadas fibra óptica, útiles para transportar información
de banda ancha, sustituyendo a los cables coaxiales y enlaces de microondas en las redes
telefónicas y, en general, las redes de datos.
Guía de onda rectangular
2. Objetivos:
Diseñar algunas cavidades resonantes para medir coeficiente de reflexión en guías
de onda con una carga.
Introducir una señal por medio de una antena en el circuito resonante.
4
Realizar una serie de mediciones de los diferentes parámetros en el analizador de
redes a varias frecuencias.
Modificar la geometría de la cavidad y repetir el paso anterior para diferentes
posiciones de la antena y objetos dentro de la cavidad.
Interpretar los resultados recolectados en el laboratorio.
Elaborar el reporte de Proyecto Terminal describiendo el comportamiento del
sistema consistente un circuito de alta frecuencia con cavidad resonante.
3. Metas a alcanzar:
I. Buscar información de aplicaciones de microondas actualmente utilizadas para
estudiar sistemas quánticos.
II. Elección de los dispositivos para obtener las características de un sistema de
cavidades resonantes óptimo para esta medición.
III. Armar el sistema de Radiofrecuencia y Microondas.
IV. Interpretar los resultados por medio de tablas y gráficas para verificar el
comportamiento del coeficiente de reflexión como función de la frecuencia y la
cavidad resonante.
V. Realizar un reporte.
4. Análisis Teórico.
Las guías de onda electromagnéticas se analizan resolviendo las ecuaciones de
Maxwell. Estas ecuaciones tienen soluciones múltiples, o modos, que son las autofunciones del sistema de ecuaciones, cada modo es pues caracterizado por un valor, que
corresponde a la velocidad de propagación axial de la onda en la guía.
Los modos de propagación dependen de la longitud de onda, de la polarización y de las
dimensiones de la guía. El modo longitudinal de una guía de onda es un tipo particular de
onda estacionaria formado por ondas confinadas en la cavidad. Los modos transversales se
clasifican en tipos distintos:
modo TE (Transversal eléctrico), la componente del campo eléctrico en la
dirección de propagación es nula.
modo TM (Transversal magnético), la componente del campo magnético en
la dirección de propagación es nula.
modo TEM (Transversal electromagnético), la componente tanto del campo
eléctrico como del magnético en la dirección de propagación es nula.
modo híbrido, son los que sí tienen componente en la dirección de
propagación tanto en el campo eléctrico como en el magnético.
En guías de onda rectangulares el modo fundamental es el TE10 y en guías de onda
circulares es el TE11, mientras que para otros tipos de guías depende del análisis realizado.
El ancho de banda de una guía de onda viene limitado por la aparición de modos
5
superiores. En una guía rectangular, sería el TE01. Para aumentar dicho ancho de banda se
utilizan otros tipos de guía, como la llamada Double Ridge, con sección en forma de "H".
Los elementos de parámetros concentrados a frecuencias de microondas, ya no son
prácticos como elementos de circuito o como circuitos resonantes (como las inductancias y
las capacitancias) conectados por alambres, debido a que las dimensiones de los elementos
tendrían que ser muy pequeñas, debido a que las resistencias de los circuitos de alambres es
muy elevada por el efecto de penetración, y a la radiación. Se puede usar una caja
conductora hueca de dimensiones apropiadas como dispositivo resonante de Q muy alta.
Esta caja, que en esencia es una sección de guía de ondas con los extremos cerrados, se
denomina cavidad resonante.
El cálculo de cavidades resonantes se da a partir de las siguientes ecuaciones las cuales se
mencionan a continuación:
Primero supondremos que las ondas se propagan en dirección +z con una constante de
propagación γ = α + jβ que aún queda por determinar. Para el caso de la dependencia
armónica con el tiempo con frecuencia angular ω, se puede describir la dependencia de zy t
de todas las componentes del campo mediante la ecuación de onda con factor exponencial:
e- γz ejωt = e(jωt - γz) = e- αz ej(ωt - βz) ……(a)
Usaremos el coseno como referencia y así podremos escribir la expresión instantánea del
campo E en coordenadas cartesianas como:
E(x, y, z; t) = ℜ [E0(x, y)e(jωt-γz)]…….(b)
Donde E0(x, y) es un fasor vectorial bidimensional que solo depende de las coordenada
transversales, al usar una representación fasorial en las ecuaciones que relacionan las
cantidades de campo podemos reemplazar las derivadas parciales con respecto a t y z por
productos como (jω) y (-γ), respectivamente se puede eliminar el fasor común e(jωt - γz).
De acuerdo con las siguientes ecuaciones las intensidades de los campos eléctrico y
magnético en la región dieléctrica interior libre de cargas satisface las ecuaciones
vectoriales homogéneas de Helmholtz:
2
E + k2E = 0…….(c)
Y
2
H + k2H = 0…..(d)
Donde E y H son fasores vectoriales tridimensionales y k es el número de onda:
k = √…..(e)
6
El operador laplaciano tridimensional 2 puede separarse en dos partes: 2u1u2 para las
coordenadas transversales y 2z para la coordenada longitudinal. Para las guías de ondas
con una sección transversal rectangular se usan coordenadas cartesianas:
2
E = (∇
+ ∇
)E = (∇
+
)E……(f)
∇
E + γ2 E……..(g)
Al combinar ambas ecuaciones (f) y (g) se obtiene:
∇
E + (γ2 + k2) E = 0……(1)
Y de manera similar par el campo magnético.
∇
H + (γ2 + k2) H = 0……(2)
En realidad las ecuaciones (1) y (2) son tres ecuaciones en derivadas parciales de segundo
grado, una para cada componente de E y H. La solución exacta de estas ecuaciones para las
componentes depende de la geometría transversal y de las condiciones de frontera, las
diversas componentes de E y H no son todas independientes y no es necesario resolver las
seis ecuaciones en derivadas parciales de segundo grado para las seis componentes de E y
H.
Al manipular estas ecuaciones podemos expresar las componentes de campo transversales
, , y en términos de las dos componentes longitudinales y y haciendo
algunos arreglos llegamos a las siguientes ecuaciones:
= −
= −
= − = −
"
"
+ − − + !........(3)
!……(4)
!….…(5)
!……(6)
Donde:
h2 = γ2 + k2……(7)
4.1. Ondas Transversales Electromagnéticas
Puesto que Ez = 0 y Hz = 0 en las ondas transversales electromagnéticas (TEM) en una guía,
podemos ver que las ecuaciones (3) a (6) constituyen un conjunto de soluciones triviales a
menos que el denominador h2 también sea igual a cero, las ondas transversales
electromagnéticas únicamente existen cuando:
7
#$
+ k
= 0
#$ = jk = jω)µε
o
Que es exactamente la misma expresión para la constante de propagación de una onda
plana uniforme en un medio ilimitado. La siguiente ecuación nos describe la velocidad de
propagación de una onda TEM:
*+,#$- =
.
/
=
√01
(m/s)
La impedancia de onda se calcula de la siguiente manera:
0
2#$ = 3 = η (Ω)
1
Se observa que ZTEM es igual que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico. Las guías
de onda de un solo conductor no pueden transportar ondas TEM, las líneas de flujo
magnético siempre se cierran sobre sí mismas, por lo tanto si una onda TEM existiera en
una guía de ondas, las líneas de campo de B y H describirían trayectorias cerradas en un
plano transversal. Si no hay conductor interno, no habrá corriente de conducción
longitudinal en la guía de ondas. Por definición, una onda transversal electromagnética no
tiene componente Ez; por lo tanto no hay corriente de desplazamiento longitudinal.
La ausencia total de una corriente longitudinal en la guía de ondas nos lleva a la conclusión
de que no puede haber trayectorias cerradas de línea de campo magnético en ningún plano
transversal, en conclusión las ondas electromagnéticas no pueden existir en una guía de
ondas de un conductor hueco (o relleno con un dieléctrico), cualquiera que sea su forma.
4.2. Ondas Transversales Magnéticas
Las ondas transversales magnéticas (TM) no tienen componente del campo magnético en la
dirección de propagación, Hz = 0. Podemos analizar el comportamiento de las ondas TM
resolviendo la ecuación (1) para Ez sujeto a las condiciones en la frontera de la guía, para
después usar las ecuaciones (3) a (6) y determinar las otras componentes. Si escribimos la
ecuación (1) para Ez tenemos:
∇
+ , + 4 - = 0
∇
+ ℎ
= 0
ó
(8)
Una vez determinado , podemos hallar las otras componentes del campo usando las
ecuaciones (3) a (6) con = 0. Es posible expresar la relación entre las componentes
transversales de la intensidad de campo magnético, y , y las de la intensidad de
campo eléctrico, y , en términos de la impedancia de la onda, ZTM para el modo
transversal magnético.
8
2#$ =
6
"7
=−
7
"6
=
8
9.1
(Ω)
Es importante observar que ZTM no es igual a /, ya que γ para las ondas transversales
magnéticas no es igual a √, como en el caso de #$ .
Cuando iniciemos la tarea de resolver la ecuación homogénea bidimensional de Helmholtz
(8) sujeta a las condiciones en la frontera de una guía de ondas determinada, descubriendo
que las soluciones solo son posibles para valores discretos de h. Habrá una infinidad de
estos valores discretos, pero las soluciones no son posibles para todos los valores de h. Los
valores de h para los cuales existe una solución de la ecuación se denominan valores
característicos o valores propios del problema de condiciones en la frontera. Cada uno de
los valores característicos determina las propiedades características de un modo TM
específico de la guía de ondas dada. A partir de la ecuación (7) tenemos:
= √ℎ
− 4 = )ℎ
− ……(9)
Si γ = 0
;
= ℎ
<; =
ó
=√01
……(10)
La ecuación (10) se denomina frecuencia de corte, el valor de fc para un modo específico en
una guía de ondas depende del valor característico, h, del modo. Usando la ecuación (10)
podemos escribir la ecuación (9) como:
?
?
= ℎ31 − ? ! ……(11)
@
a) ! > 1 B < > <; En este intervalo, > ℎ
y γ es imaginaria. A a partir de las
?@
ecuaciones (9) y (10) tenemos:
= 431 −
?@
?
……(12)
El modo se propaga con constante de fase β:
C = 431 −
?@
?
(rad/m)
La longitud de onda correspondiente en la guía es:
DE =
=
F
=
G
……(13)
3HI?@ /? J
9
Es la longitud de onda plana de frecuencia f en un medio dieléctrico ilimitado, podemos
reagrupar la ecuación (13) para obtener una relación sencilla entre D, la longitud de onda en
la guía DE y la longitud de onda de corte D; = */<;
G
=
GK
+
G@
……(14)
La velocidad de fase de la onda que se propaga en la guía es:
*+ =
*
)1 − ,<;
/< -
=
DE
*>*
D
Las guías de ondas de un solo conductor son sistemas de transmisión dispersivos, aunque
un medio dieléctrico sin perdidas ilimitado sea no dispersivo. Al sustituir la ecuación (12)
en la ecuación de la impedancia de la onda (ZTM).
?
2#$ = L31 − ?@ !
(Ω)
La impedancia de la onda de los modos TM que se propagan en una guía de ondas con un
dieléctrico sin perdidas es puramente resistiva y es siempre menor que la impedancia
intrínseca del medio dieléctrico
?
b) ! < 1 B < < <; . Cuando la frecuencia del modo es menor que la frecuencia de
?@
corte, γ es real y la ecuación (11) puede escribirse como:
= N = ℎO1 − P
<
Q
<;
Todas las componentes del campo contienen el factor de propagación R H8 = R HS , de
manera que la onda disminuye rápidamente con z y se dice que es evanescente. Una guía de
ondas exhibe la propiedad de un filtro pasa-altas, para un modo determinado, sólo las ondas
con frecuencia superior a la de corte del modo pueden propagarse en la guía. La impedancia
de la onda de los modos TM evanescentes a bajas frecuencias, inferiores a la de corte, es
puramente reactiva, lo cual indica que no hay flujo de potencia asociado con las ondas
evanescentes.
4.3. Ondas Transversales Eléctricas
Las ondas transversales eléctricas (TE) no tienen componente del campo eléctrico en la
dirección de propagación, Ez = 0. Podemos analizar el comportamiento de las ondas TE
resolviendo primero la ecuación (2) para Hz.
10
∇
+ ℎ
= 0
Hay que satisfacer las condiciones en la frontera en las paredes de la guía. Las componentes
transversales del campo se determinan después sustituyendo Hz en las ecuaciones (3) a (6)
con Ez igual a cero.
Las componentes transversales de la intensidad de campo eléctrico, y , están
relacionadas con las de la intensidad de campo magnético, y , a través de la
impedancia de la onda. Tenemos:
"7
2# = 6 = − " =
7
6
9.0
8
(Ω)……(15)
Observe que ZTE en la ecuación (15) es bastante diferente de ZTM para las ondas
transversales magnéticas, ya que γ de las ondas TE no es igual a √, como sucede con
#$ .
Como no hemos cambiado la relación entre γ y h, las ecuaciones (9) a (14) e incluso la de la
velocidad correspondientes a las ondas transversales magnéticas también se aplican a las
ondas transversales eléctricas. A sí mismo, hay también dos intervalos distintos de γ que
dependen de si la frecuencia del modo es mayor o menor que la frecuencia de corte, fc,
expresada por la ecuación (10).
?
a) ! > 1 B < > <; . En este intervalo, γ es imaginaria y tenemos un modo que se
?@
propaga. La expresión de γ es la misma que la presentada en la ecuación (12);
?
= C = 431 − ?@ ……(16)
Las formulas de β, DE y *+ también son validas para las ondas TE. Si se usa la ecuación (16)
en la ecuación (15) se obtiene:
2# =
T
)H,?@ /?-
……(17)
Esta ultima ecuación indica que la impedancia de onda de los modos transversales
eléctricos (TE) que se propagan en una guía de ondas con un dieléctrico sin perdidas es
puramente resistiva y siempre es mayor que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico.
b)
?
! < 1 B < < <; .
?@
En este caso, γ es real y tenemos un modo evanescente o que no se propaga:
? = N = ℎ31 − ? ! ……(18)
@
11
Puesto que γ es puramente real en la ecuación (18) , la impedancia de la onda de los modos
TE en la ecuación (15) con < < <; :
.0
2# =
)H,?/?@ -
……(19)
Es puramente reactiva, lo que indica una vez más que no hay flujo de potencia asociado a
las ondas evanescentes. La componente tangencial del campo eléctrico debe desaparecer de
la superficie de las placas conductoras perfectas, por lo cual se deben satisfacer las
siguientes condiciones en la frontera:
En y = 0, ,0- = 0.
En y = b, ,V- = 0.
(i)
(ii)
La condición en la frontera (i) requiere que Bn = 0, mientras que la condición en la frontera
(ii) requiere que WRX ℎV = 0 o ℎV = XY, lo que determina el valor característico h:
ℎ=
Z=
[
,
n = 1, 2, 3,…..
Por lo tanto, ,\- debe tener la forma siguiente:
,\- = ]Z WRX Z=
[
!……(20)
Donde la amplitud An depende de la intensidad de excitación de la onda TM. Las únicas
otras componentes de campo distintas de cero se obtienen de las ecuaciones (3) a (6),
teniendo en cuenta que = 0 y que
,\- =
9.1
= 0.
]Z ^BW ,\- = − ]Z ^BW 8
Z=
[
Z=
[
!……(21)
!……(22)
La variable γ es la constante de propagación, que se puede determinar mediante la siguiente
ecuación:
Z= = 3 ! − ……(23)
[
La frecuencia de corte es la frecuencia a la cual γ = 0. Tenemos:
<; =
Z
[√01
……(24)
Hay varios modos TM que se propagan (modos característicos o propios) posibles,
dependiendo de los valores de n, que corresponden a los distintos valores característicos h,
12
cada modo tiene sus propias características. Cuando n = 0, Ez = 0 y sólo pueden existir las
componentes transversales Hx y Ey, por lo tanto, el modo TM0 es el modo TEM, un caso
especial para el cual fc = 0.
4.4. Cavidades resonantes rectangulares:
A continuación analizaremos el comportamiento de las guías de ondas rectangulares.
Se considera que la propagación de las ondas con dependencia armónica con el tiempo es
en la dirección +z, con una constante de propagación γ. Analizaremos los modos TM y TE,
considerando los ejes como en la figura 1.
Figura 1.
Haciendo algunas consideraciones y manipulaciones con la ecuación (1) anteriormente
vista se llega a una expresión para las ondas transversales magnéticas dado por la siguiente
ecuación:
,_, \- = WRX `=
a
Z=
_! WRX [
\!
(V/m)……(25)
Donde se ha sustituido E0 por el producto A1B1, que se determinara a partir de las
condiciones de excitación de la guía de onda. Las otras componentes del campo se obtienen
de las ecuaciones (3) a (6), poniendo = 0.
El valor característico y la constante de propagación γ están dados de la siguiente manera:
ℎ
= `= a
Z= ! + [ ! ……(26)
`=
Z=
= C = √4 − ℎ
= 3 − ! − ! ……(27)
a
[
Cada una de las combinaciones de los enteros m y n define un modo posible que puede
designarse como el modo TMmn; por lo tanto, hay un número doblemente infinito de modos
TM. El primer subíndice denota el número de variaciones de medio ciclo de los campos en
la dirección x, y el segundo subíndice indica el número de variaciones de medio ciclo de los
campos en la dirección y. El corte de un modo dado es la condición para la cual se anula γ.
La frecuencia de corte del modo TMmn y la longitud de onda de corte son las siguientes:
13
,<; -mn=
b
π)µε
=
π)µε
(λc)mn =
3c! + e! ……(28)
d
3g! ij!
h
k
f
……(29)
Para los modos TM en guías de ondas rectangulares m y n no pueden ser cero.
Si así fuera, desaparecerían ,_, \- en la ecuación (25) y las demás componentes del
campo, por lo tanto, el modo TM11 tiene la menor frecuencia de corte de todos los modos
TM en una guía de ondas rectangular.
Haciendo algunas consideraciones y manipulaciones con la ecuación (2) anteriormente
vista se llega a una expresión para determinar las ondas transversales eléctricas dado por la
siguiente ecuación:
,_, \- = ^BW `=
a
_! ^BW Z=
[
\!
(A/m)……(30)
Las otras componentes de campo se obtienen de las ecuaciones (3) a (6):
,_, \- =
9.0 Z=
,_, \- = −
! ^BW [
9.0 `=
8
`=
,_, \- = 8
a
`=
,_, \- = [
a
`=
a
`=
! WRX ! WRX ! ^BW `=
a
`=
a
_! WRX a
Z=
[
_! ^BW \!……(31)
Z=
Z=
[
\!…..(32)
_! ^BW [ \!……(33)
Z=
_! WRX [ \!……(34)
Las ecuaciones para la frecuencia de corte y para la longitud de onda de corte
correspondientes para este caso son:
,<; -TE10 =
a√01
=
,D; -TE10 = 2n
l
a
(Hz)……(35)
(m)……(36)
Modo con menor frecuencia de corte (longitud de onda de corte más larga) se denomina
modo dominante. El modo de TE10 tiene importancia especial, ya que posee la constante de
atenuación más baja de todos los modos en una guía de ondas rectangular y su campo
eléctrico claramente polarizado en una dirección en todas las posiciones. En la figura (2) se
muestran los ejes para el caso de una cavidad resonante rectangular.
14
Figura 2.
Considere una guía de ondas rectangular con los dos extremos cerrados por una pared
conductora. Las dimensiones interiores de la cavidad son a, b y d, como puede verse en la
figura (2). Para nuestros fines elegiremos el eje z como referencia de la dirección de
propagación, en realidad, la existencia de paredes conductoras en z = 0 y z = d genera
reflexiones múltiples y crea ondas estacionarias; las ondas no se propagan en una cavidad
cerrada. Se requiere un subíndice de tres símbolos (mnp) para designar una distribución de
onda estacionaria TM o TE en una cavidad resonante.
4.5. Modo TMmnp
Considere la componente transversal ,_, \, o-. Las condiciones en la frontera en las
superficies conductoras requieren que sea cero en z = 0 y z = d. Esto significada que:
1) Su dependencia con z debe ser del tipo sen βz.
2) C = pY/q.
El mismo argumento se aplica a la otra componente del campo transversal eléctrico,
,_, \, o-. Las relaciones entre las componentes transversales , y , donde es
nula para los modos TM. La presencia del factor (-γ) es el resultado de una diferenciación
con respecto a z. Entonces, si ,_, \, o- depende de sen βz, podemos llegar a la conclusión
de que ,_, \, o- debe variar de acuerdo con cos βz. Para el modo TMmnp tenemos:
pY
rY
XY
pY
,_, \, o- = ,_, \-^BW o! = WRX _! WRX \! ^BW o!
q
n
V
q
Las demás componentes del campo se escriben usando Ez, notando que la multiplicación
por (-γ) representa una diferenciación parcial con respecto a z. Si se sustituye C = pY/q se
obtiene la frecuencia resonante de los modos TMmnp * =
!:
√0s
0
`
Z
+
<`Z+ = 3 ! + ! + ! ……(Hz)
a
[
u
15
De esta ecuación es evidente de que la frecuencia resonante aumenta al elevarse el orden
del modo.
4.6. Modos TEmnp
Se siguen las mismas reglas utilizadas para los modos TMmnp:
1) Las componentes del campo transversal eléctrico (tangencial) deben de desaparecer
en z = 0 y z = d.
2) El factor γ indica una diferenciación parcial negativa con respectivo a z.
Para la primera regla se requiere un factor sen ,pYo/q- en ,_, \, o-, ,_, \, o- y
,_, \, o-; la segunda regla indica un factor cos ,pYo/q- en ,_, \, o- y ,_, \, o-.
Tenemos
pY
o!
q
rY
XY
pY
_! ^BW \! WRX o!
= ^BW n
V
q
,_, \, o- = ,_, \-WRX Las demás componentes del campo se escriben usando Hz y observando que la
multiplicación por (-γ) significa una diferenciación parcial con respecto a z. La expresión
de la frecuencia resonante fmnp, es la misma que se obtuvo para los modos TMmnp. Los
modos distintos que tienen la misma frecuencia resonante se denominan modos
degenerados, de esta manera, los modos TMmnp y TEmnp siempre son degenerados si
ninguno de los índices del modo es cero. El modo con menor frecuencia resonante para u
tamaño dado de cavidad resonante se conoce como modo dominante.
Un modo determinado en una cavidad resonante puede excitarse a partir de una línea
coaxial usando una pequeña sonda o una antena de bucle. Esta sonda es de hecho una
antena que acopla la energía electromagnética a la cavidad resonante. Como alternativa,
podemos excitar la cavidad resonante introduciendo una pequeña espira en lugar de un flujo
magnético del modo deseado ligado a la espira sea máximo.
La frecuencia de la señal en la línea coaxial debe ser igual a la frecuencia de resonancia del
modo deseado en la cavidad. Un método común para acoplar la energía de una guía de
ondas a una cavidad resonante es introducir un agujero o un iris en la posición apropiada en
la pared de la cavidad. El campo en la guía de ondas en el agujero debe tener una
componente que sea favorable para la excitación del modo deseado en la cavidad resonante.
4.7. Factor de calidad de las cavidades resonantes.
Una cavidad resonante almacena energía en los campos eléctrico y magnético para
cualquier configuración particular de un modo. Toda cavidad resonante práctica tiene
paredes con conductividad finita (resistencia superficial distinta de cero) y la pérdida de
potencia resultante ocasiona una disminución de la energía almacenada. El factor de
16
calidad, Q de una cavidad resonante, como en cualquier circuito resonante, es una medida
del ancho de banda de la cavidad resonante y se define como:
XRwxín rRqzn {RrpBwn| n|rn^RXnqn
n *Xn <wR^*RX^zn wRWBXnX{R
v = 2Y
XRwxín qzWzpnqn RX *X pRwzBqB
qR RW{n <wR^*RX^zn
4.8. Cavidades resonantes cónicas y bicónicas.
El problema de las guías de onda cónicas es muy importante para entender el
comportamiento básico de las ondas a través de un dipolo en una antena y en cierto tipo de
cavidades resonantes.
En particular, es muy importante considerar que una onda se propaga a través del cono a la
velocidad de la luz y que no tiene componentes de campo en la dirección radial, esto es
análogo a una onda en una línea de transmisión en sistemas cilíndricos.
Figura 3.
Esta onda básica es simétrica con el eje de las guías como se muestra en la figura (3) por
esa razón las dos relaciones que se obtienen a partir de las ecuaciones de Maxwell son
escritas en coordenadas esféricas por ese motivo las variaciones de ϕ son eliminadas, se
puede ver claramente que hay una dependencia entre las variables y los campos Eθ, Hϕ y Er
obteniendo las siguientes ecuaciones:
,}~ }

} e
−

}
,sin ∅ - − } = 0……(38)
,}"∅ -
−}
+ ∅ = 0 ……(37)
}
− = 0……(39)
Ahora solo nos queda pensar en la forma de atacar estas ecuaciones directamente, estas
pueden ser resultas por la substitución de las siguientes soluciones que satisfacen las tres
ecuaciones:
17
w =
T
e
w∅ =
} = 0……(40)
]R 9,.H/}- + R 9,.i/}- ……(41)
e
]R9,.H/}- − R9,.i/}- …..(42)
Estas ecuaciones muestran el comportamiento de propagación ya conocido, el primer
término representa una onda que viaja radialmente hacia el exterior con una velocidad de la
luz en el material dieléctrico que rodea los conos, el segundo término representa una onda
que viaja radialmente al interior con la misma velocidad. El radio del campo magnético y
eléctrico esta dado por +η para una onda que viaja en dirección positiva y –η para una onda
que viaja en dirección negativa. No hay componente de campo en la dirección radial, la
cual es la dirección de propagación.
Por encima de la onda se ve muy similar a un sistema ordinario de líneas de transmisión
para un caso cilíndrico uniforme.
Esta remembranza es de gran importancia si nosotros notamos que el Eθ corresponde a los
diferentes voltajes entre los dos conos.
=H
= −

=H
wq = −L
= 2L ln cot

q
]R9,.H/}- + R 9,.i/}-
sin
]R 9,.H/}- + R 9,.i/}- …..(43)
Donde se trata el caso en donde son iguales los ángulos en los conos como en la figura 3.
Este voltaje el cual es independiente de r, excepto por el término de propagación R ±9/} .
Similarmente el campo magnético acimutal corresponde al flujo de corriente en los conos.
= 2Yw∅ sin
= 2Y]R9,.H/}- − R9,.i/}- ……(44)
Esta corriente es independiente del radio, excepto por el termino de propagación. Un
estudio de la relación de señal muestra que la dirección radial es opuesta en los dos conos
para cualquier radio dado. El radio de voltaje a corriente en una onda simple viaja en
dirección al exterior, una cantidad la cual nosotros llamaremos impedancia característica en
una línea ordinaria de transmisión es obtenida con la condición de B=0 en (43) y (44).
2 =
T e /
=
…..(45)
Para una onda que viaja en dirección negativa, el radio de voltaje a corriente es una
cantidad negativa. Este valor de impedancia es una constante, independiente del radio.
18
Nosotros podríamos suponer que esto se obtiene del concepto familiar de 2 = )/,
desde la inductancia y capacitancia entre los conos por unidad de longitud radial son
independientes del radio. Esto se debe a que la superficie de área aumenta
proporcionalmente con el radio, y la distancia de separación del cono a lo largo de la
trayectoria del campo eléctrico, incluso se incrementa proporcionalmente al radio.
Hasta ahora esta onda es interesante, el sistema se deriva dos conductores ideales coaxiales
cónicos que pueden ser considerados como una línea de transmisión uniforme. Todas las
formulas familiares de impedancia de entrada, voltaje y corriente a lo largo de la línea se
debe directamente a la impedancia característica por la ecuación (45) y con una fase
constante correspondiente a la velocidad de la luz en el dieléctrico.
C=
=
G
= √ ……(46)
Si los conos conductores tienen resistencia, hay una salida a causa de la uniformidad debido
al término de resistencia pero esto no es muy grave para casos prácticos donde se usan los
sistemas cónicos. Por supuesto un largo número de ondas de orden mayor pueden existir en
este sistema cónico y en sistemas similares. Estos en general tienen componente de campo
en la dirección radial y no se propagan a la velocidad de la luz.
Figura 4.
Considere una guía de ondas cónicas o bicónicas con uno de los dos extremos cerrado por
una pared conductora. Como en la figura (4), se obtiene una forma diferente con una capa
pequeña que cube un extremo de la cavidad resonante, formada por un tipo esférico de
radio a como fue estudiado anteriormente. Si este es visto como una línea uniforme se
aplica la siguiente formula con la siguiente condición C = 4 − 1. La impedancia intrínseca
queda de la siguiente manera:
T

2 = = |X^B{ …..(47)
Cuando se tiene el límite de capacitancia cero (los 2 conos están separados por una capa
infinitesimal), el radio a viene exactamente en un cuarto de onda. Las componentes de
19
campo en este caso, se obtienen de forma de una onda estática dadas las siguientes
expresiones:
;
= Z
H∅ =
;/}
}
…..(48)
c sinkr
… . . ,49jηsinθ r
El factor de calidad para dicho resonador esta dado por la siguiente expresión:
Q=
§¨
©ª«
×
eI,® /
-J
eI,® /
-Ji.¯
°×,® -
…..(50)
5. Desarrollo.
Se implementaron las formulas anteriormente mencionadas en Matlab (MATrix
Laboratory, “laboratorio de matrices”)11 que es un software matemático que ofrece un
entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje
M), con ayuda de dicho software de se obtuvo un código que nos mostrara mediante
gráficas y esquemas de alguna manera el comportamiento físico tanto del campo eléctrico
como del campo magnético, también se obtuvieron algunos cálculos que son necesarios
para la construcción de la cavidad resonante cónica o bicónica.
Para esto primeramente se implemento la fórmula para obtener la impedancia intrínseca
para varios valores, esta se obtuvo mediante la siguiente fórmula:
T

2 = = |X^B{ …..,47Para obtener el resultado deseado es necesario que algunos valores sean definidos dentro
del mismo programa y que otros sean dados por el usuario, en este caso:
µ = 4*pi*10e-7; en donde pi ya está determinado en el programa como un valor definido
dentro de este.
Mientras que el usuario proporciona el valor de θ, dicho valor es un ángulo que va de 0° a
360°, esta función es obtenida con el comando de input y por ultimo dado este valor se
realiza una conversión a radianes mediante la siguiente función:
Tetarad = tetacero*pi/180; cambio a radianes
En Matlab se obtiene la siguiente fórmula:
zeta0 = ((mu/pi)*(log(cot(tetarad/2))))
1
Matlab cuyo fabricante es Mathworks, cuya página se puede visitar en el sitio www.mathworks.es/
20
Otro factor importante es el cálculo de la resistencia de carga o interna la cual se calculo
con la siguiente fórmula:
² = )Y</w; …..(51)
Implementándola en el programa obtenemos:
Rs = (sqrt((pi*frecuencia*mu)/rc))
Donde mu nuevamente es obtenida con la siguiente relación y rc está determinada con un
valor de:
mu = 4*pi*10e-7;
rc = 5.8e7, el comando sqrt se refiere a la raíz cuadrada.
En cuanto a la frecuencia esta es pedida al usuario nuevamente con el comando input, de
esta manera el usuario determina la frecuencia que el desee y será realizado el cálculo
necesario.
Después se implemento la fórmula para obtener el campo eléctrico, pero en este caso no se
obtuvo un resultado numérico si no que se obtiene una representación grafica de dicho
campo, también se encuentran valores que el usuario proporciona y otros que tienen que ser
definidos dentro del programa, la fórmula para el campo es la siguiente:
=
;
Z
;/}
}
…..,48-
Al implementarla en el programa queda de la siguiente forma:
Eteta(numang,numradio)=(c/sin(tetarad(numang)))*((cos(k*r(numradio)))/r(numradio));
La cual está en función tanto del ángulo como del radio del cono, en este caso los
parámetros conocidos o determinados dentro del programa son:
c = 3x108 m/seg2
k = omega*sqrt(mu*eps); nuevamente sqrt es la raíz cuadrada de mu x eps
Donde:
omega = 2*pi*frecuencia;
frecuencia = es pedida al usuario mediante el comando input
mu = 4*pi*10e-7;
eps = 1e9/(36*pi);
Los demás valores son pedidos al usuario mediante el comando input, estos valores son:
tetarad = tetacero*pi/180; cambio a radianes
21
Donde:
tetacero = mediante el comando input y el usuario pide un ángulo de 0° a 360°
numang = es un ciclo for (para), que va desde 1 y aumenta en pasos de 1 hasta tamteta
Donde:
tamteta = length(tetarad); tamaño de tetarad
Y por último se tiene:
numradio = es un ciclo for (para), que va desde 1 y aumenta en pasos de 1 hasta tamr
Donde:
tamr = length(r); tamaño de r
r = 0:pasorad:radio;
pasorad=radio/numdat;
numdat = es pedido al usuario mediante el comando input y este determina el tamaño de la
matriz para obtener la gráfica deseada.
radio = es pedido al usuario mediante el comando input
Teniendo todos los valores se procede a realizar el código que permita obtener la gráfica
deseada para el campo eléctrico y esto se realiza de la siguiente manera:
figure(1);
%[X,Y]=meshgrid(numang,numradio);
surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Eteta(1:tamr,1:tamteta));
%surf(X,Y,Eteta)
figure(2);
plot3(tetarad,r,Eteta);
Ahora para obtener la gráfica del campo magnético se realiza lo siguiente, mediante la
siguiente fórmula:

H∅ = ´§e
eµ¶
¶
…..(49)
En Matlab se obtiene:
Hfi(numang,numradio)=((c/(j*mu*sin(tetarad(numang)))))*((sin(k*r(numradio)))/r(numrad
io));
22
En este caso también depende tanto del ángulo como del radio, nuevamente casi todos los
valores pedidos para obtener la gráfica son similares a los descritos anteriormente para el
campo eléctrico, solo basta agregar o complementar el siguiente valore como lo es el valor
complejo y de ahí obtener la magnitud del campo magnético y así obtener valores reales y
enteros.
j=sqrt(-1); numero complejo
Hfimag=abs(Hfi);
Para obtener el comportamiento del campo magnético se realiza lo siguiente donde los
valores pedidos fueron descritos igualmente para el campo eléctrico:
figure(3);
surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Hfimag(1:tamr,1:tamteta));
figure(4);
plot3(tetarad,r,Hfimag);
Otro aspecto importante para determinar la construcción de la cavidad resonante es el factor
de calidad el cual se obtiene mediante:
§¨
eI,® /
-J
Q = ©ª × eI,
«
® /
-Ji.¯
°×,® -
…..(50)
En Matlab se obtiene lo siguiente:
q=((mu*pi)/4*rs)*((log(cot(tetac/2))/(log(cot(tetac/2)))+0.825*csc(tetac)))
Nuevamente hay valores que ya se pidieron con anterioridad por lo que no es necesario
volver a ponerlos, solo se necesita agregar el ángulo de conicidad y el valor de resistencia
de carga como se muestra a continuación:
tetaconica = mediante el comando input el usuario determina el valor del ángulo de
conicidad, este ángulo va de 0° a 180°
tetac = tetaconica*pi/180; cambio a radianes
rs= mediante el comando input el usuario determina un valor para la resistencia de carga.
Calculo de la diferencia de potencial vista como rebanadas de pastel en el cual se obtiene el
valor numérico de este.
Formula necesaria o propuesta para la realización del cálculo:
·∗u
= s ∗¹…..(52)
Formula obtenida en Matlab:
v = ((carga*d)/(eps*A))
23
En donde se deben especificar dentro del programa que:
carga = 1; %Coulomb/seg
d = h/N
N = 4;
h = mediante el comando input el usuario determina la altura del cono en metros.
El área se obtiene mediante:
A = ((D-(h*sin(tetac)^2)*pi)); tetac fue descrita anteriormente y no es necesario volver a
especificarla
Donde:
D = mediante el comando input se le pide que el usuario determine el valor de la base en
metros.
Y por último se determina la diferencia de potencial vista de otra forma, como una ecuación
que está en función del ángulo de conicidad y el ángulo de la base del cono.
Formula necesaria para obtener el valor numérico de la diferencia de potencial es:
=
~
º» ∗¼ ,aZ @» !
~
¼ ,aZ @ !
…..(53)
En Matlab se obtiene lo siguiente:
V2=((v0*log(tan(tetaconici)/2))/(log(tan(tetacono)/2)))
En este caso se le piden al usuario tanto el ángulo de conicidad como el de la base del cono
mediante el comando input y se obtiene lo siguiente:
tetaconica = mediante el comando input el usuario determina un ángulo entre 0° y 360°.
tetacono = tetaconica*pi/180; conversión a radianes
tetaco = mediante el comando input el usuario determina un ángulo entre 0° y 90°.
tetaconici= tetaco*pi/180; conversión a radianes
v0 = mediante el comando input el usuario decide qué valor ponerle al voltaje inicia.
5.1. Código Fuente:
clear all
%Cálculo de la impedancia intrínseca
mu=4*pi*10e-7;
24
tetacero=input('Dame el valor de teta en número entero entre 0 y 360');
tetarad=tetacero*pi/180;
zeta0=((mu/pi)*(log(cot(tetarad/2))))
frecuencia=input('Dame la frecuencia en Hz');
rc=5.8e7
Rs=(sqrt((pi*frecuencia*mu)/rc))
radio=input('Dame el valor de radio en metros');
numdat=input('Dame el número de datos de la matriz cuadrada');
pasoang=360/numdat;
pasorad=radio/numdat;
r=0:pasorad:radio;
teta=0:pasoang:360;
tetarad=teta*pi/180;
c=3e8;
tamr=length(r);
tamteta=length(tetarad);
omega=2*pi*frecuencia;
mu=4*pi*10e-7;
eps=1e9/(36*pi);
k=omega*sqrt(mu*eps);
for numang=1:1:tamteta
for numradio=1:1:tamr
Eteta(numang,numradio)=(c/sin(tetarad(numang)))*((cos(k*r(numradio)))/r(numradio));
end
end
figure(1);
%[X,Y]=meshgrid(numang,numradio);
surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Eteta(1:tamr,1:tamteta));
%surf(X,Y,Eteta)
figure(2);
plot3(tetarad,r,Eteta);
%Cálculo del campo magnético
j=sqrt(-1);
eps=1e9/(36*pi);
k=omega*sqrt(mu*eps);
Hfi(numang,numradio)=((c/(j*mu*sin(tetarad(numang)))))*((sin(k*r(numradio)))/r(numrad
io));
Hfimag=abs(Hfi);
figure(3);
surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Hfimag(1:tamr,1:tamteta));
figure(4);
plot3(tetarad,r,Hfimag);
%Cálculo del factor de calidad
tetaconica=input('Dame el valor de conicidad en número entero entre 0 y 180');
tetac=tetaconica*pi/180;
rs=input('Dame el valor de resistencia');
q=((mu*pi)/4*rs)*((log(cot(tetac/2))/(log(cot(tetac/2)))+0.825*csc(tetac)))
25
%Cálculo de diferencia de potencial
carga=1; %Coulomb/seg
h=input('Dame la altura en metros');
%N=input('Dame el número de rebanadas');
N=4;
d=h/N
D=input('Dame el valor de la base en metros');
A=((D-(h*sin(tetac)^2)*pi));
v=((carga*d)/(eps*A))
%Cálculo de diferencia de potencial
tetaconica=input('Dame un ángulo de 0 a 360');
tetacono=tetaconica*pi/180;
tetaco=input('Dame un ángulo de 0 a 90');
tetaconici=tetaco*pi/180;
v0=input('Dame un valor para el voltaje inicial');
V2=((v0*log(tan(tetaconici)/2))/(log(tan(tetacono)/2)))
%Cálculo del campo
E1=-(v0/((r*sin(tetaconici)*(log(tan(tetaco)/2)))))
5.2. Resultados obtenidos en Matlab:
•
Primera prueba:
Valor dado por el usuario teta = 100°
zeta0 = -7.0170e-007 valor calculado impedancia característica
Valor dado por el usuario frecuencia = 1000Hz
rc = 58000000 valor fijo
Rs = 2.6090e-005 valor calculado para resistencia de carga
Valor dado por el usuario radio en metros r = 0.95m
Valor dado por el usuario número de la matriz = 20
26
x 10
25
28
x 10
2
8
1
6
0
4
-1
2
-2
1
0
1
8
8
6
0.5
6
0.5
4
4
2
0
2
0
0
Gráfica 1: Esta gráfica nos muestra un Campo
Eléctrico muy inestable, donde se ve no es
constante en ningún punto.
0
Gráfica 2: Esta gráfica nos muestra un Campo
Magnético estable, solo que en cierta región se
dispara.
Valor dado por el usuario conicidad = 30°
Valor dado por el usuario resistencia= 150Ω
q = 0.0039 valor calculado para el factor de calidad
Valor dado por el usuario altura = 10m
d = 2.5000 valor calculado para la distancia
Valor dado por el usuario base = 5m
v = -9.9070e-008 valor calculado para la diferencia de potencial
Valor dado por el usuario ángulo del cono = 150°
Valor dado por el usuario ángulo de conicidad = 70°
Valor dado por el usuario voltaje inicial = 50V
V2 = -1.7284 - 4.3702i valor calculado para la diferencia de potencial
•
Segunda prueba:
Valor dado por el usuario teta = 250°
zeta0 = -1.4255e-006 +1.2566e-005i valor calculado impedancia característica
Valor dado por el usuario frecuencia = 200000Hz
rc = 58000000 valor fijo
Rs = 3.6896e-004 valor calculado para la resistencia de carga
Valor dado por el usuario radio en metros r = 10m
27
Valor dado por el usuario número de la matriz = 25
24
x 10
27
x 10
1
5
0
4
3
-1
2
-2
1
-3
10
0
10
8
8
6
5
6
5
4
4
2
0
2
0
0
Gráfica 3: Esta gráfica nos muestra un Campo
Eléctrico más estable, solo se puede observar
una discontinuidad.
0
Gráfica 4: Esta gráfica nos muestra un Campo
Magnético estable, solo que en cierta región se
dispara dicho campo, muy parecido a la gráfica 2.
Valor dado por el usuario conicidad = 50°
Valor dado por el usuario resistencia = 300Ω
q = 0.0061 valor calculado para el factor de calidad
Valor dado por el usuario altura = 30m
d = 7.5000 valor calculado para la distancia
Valor dado por el usuario base = 15m
v = -2.1044e-008 valor calculado para la diferencia de potencial
Valor dado por el usuario ángulo del cono = 200°
Valor dado por el usuario ángulo de conicidad = 85°
Valor dado por el usuario voltaje inicial = 60V
V2 = -61.3828 valor calculado para la diferencia de potencial
•
Tercera prueba:
Valor dado por el usuario teta = 300°
zeta0 = 2.1972e-006 +1.2566e-005i valor calculado para la impedancia característica
Valor dado por el usuario frecuencia = 600000Hz
rc = 58000000 valor fijo
28
Rs = 0.0020 valor calculado para la resistencia de carga
Valor dado por el usuario radio en metros r = 25m
Valor dado por el usuario número de la matriz = 25
23
x 10
27
x 10
6
2
4
1.5
2
1
0
0.5
-2
-4
30
0
30
8
20
6
2
0
Gráfica 5: Esta gráfica nos muestra un Campo
Eléctrico algo inestable, donde se aprecia una
forma de seno cardinal, el cual tiene un máximo.
y va decayendo, dependiendo de la región.
4
10
2
0
8
20
6
4
10
0
0
Gráfica 6: Esta gráfica nos muestra un Campo
Magnético estable, solo que en cierta región se
dispara. Igual que en las gráficas 2 y 4.
Valor dado por el usuario conicidad = 130°
Valor dado por el usuario resistencia = 3000Ω
q = 0.0615 valor calculado para el factor de calidad
Valor dado por el usuario altura = 35m
d = 8.7500 valor calculado para la distancia
Valor dado por el usuario base = 25m
v = -2.5038e-008 valor calculado para la diferencia de potencial
Valor dado por el usuario ángulo del cono = 300°
Valor dado por el usuario ángulo de conicidad = 80°
Valor dado por el usuario voltaje inicial = 85V
V2 = -1.2885 -28.1410i valor calculado para la diferencia de potencial
•
Cuarta prueba:
Valor dado por el usuario teta = 345°
zeta0 = 8.1104e-006 +1.2566e-005i valor calculado para la impedancia característica
Valor dado por el usuario frecuencia=1000000000000Hz
29
rc = 58000000 valor fijo
Rs = 0.8250 valor calculado para la resistencia de carga
Valor dado por el usuario radio en metros r = 0.25m
Valor dado por el usuario número de la matriz = 20
29
x 10
26
x 10
1
4
0.5
3
0
2
-0.5
1
-1
0.4
0
0.4
0.3
0.3
8
6
0.2
0.1
2
0
0
Gráfica 7: Esta gráfica nos muestra un Campo
Eléctrico muy inestable, donde se ve no es
constante en ningún punto. Presenta un
Comportamiento similar a la gráfica 1.
4
0.1
2
0
8
6
0.2
4
0
Gráfica 8: Esta gráfica nos muestra un Campo
Magnético estable, solo que en cierta región se
dispara.
Valor dado por el usuario conicidad = 170°
Valor dado por el usuario resistencia = 500Ω
q = 0.0284 valor calculado para el factor de calidad
Valor dado por el usuario altura = 0.50m
d = 0.1250 valor calculado para la distancia
Valor dado por el usuario base = 0.25m
v = 6.9767e-008 valor calculado para la diferencia de potencial
Valor dado por el usuario ángulo del cono = 350°
Valor dado por el usuario ángulo de conicidad = 60°
Valor dado por el usuario voltaje inicial = 1V
V2 = 0.0222 + 0.0287i valor calculado para la diferencia de potencial
6. Análisis de resultados:
30
Mediante las gráficas se puede ver claramente que el campo eléctrico depende del
ángulo y no del radio. En cuanto al campo magnético se puede observar que las gráficas
obtenidas para este no varían mucho en cuanto a su forma, al parecer esta si depende más
del radio que del ángulo dado, en este caso se tiene que obtener la magnitud ya que la
formula nos da el calculo que esta dado por el uso de un complejo.
En cuanto al factor de calidad se puede decir que este tiene una gran dependencia del
ángulo de conicidad y de la resistencia, mientras más chica sea la resistencia y el ángulo
este entre 0° y 180° tendremos un valor un poco grande.
La diferencia de potencial dentro del cono depende tanto de la base del cono como de la
altura de este, mientras menor sean estos valores la diferencia de potencial no dará un valor
positivo y viceversa mientras más grandes sean dichos valores se obtendrán valores
negativos.
Por último para el cálculo del campo se necesitan tanto el voltaje inicial, los ángulos de
conicidad y el ángulo que forma al cono y si estos valores son grandes se tendrá un valor de
campo entero positivo o negativo dependiendo de los valores, en otro caso se obtendrán
valores en números complejos.
7. Funciones asociadas de Legendre:
La ecuación asociada a Legendre es:
1 q
q\
r²
¿\ = 0
sin
+ ½¾,¾ + 1- −
sin q
q
WzX²
… ,54-
Para coordenadas esféricas y cavidades esféricas, tenemos el caso donde v es un entero n y
θ están dentro de, 0 ≤ θ ≤ π. En este caso, las dos soluciones independientes de (54) son las
funciones asociadas de Legendre del primer tipo ÁZ` ,cos-y del segundo tipo vZ` ,cos-.
Dado que vZ` es singular en cos = ±1, no es útil para describir campos en cavidades
esféricas. Por lo tanto, de aquí en adelante solo consideraremos ÁZ` .
La ecuación (54) se puede poner en otra forma útil haciendo la sustitución * =
cos. El resultado es el siguiente:
,1 − *²-
q²\
q\
r²
¿\ = 0
− 2u
+ ½X,X + 1- −
q*²
q*
1 − *²
. . . ,55-
Consideremos primero el caso, m=0, donde (55) se reduce a la ecuación ordinaria de
Legendre:
,1 − *²-
q²\
q\
− 2u
+ X,X + 1-\ = 0
q*²
q*
. . . ,5631
La solución para (56) que es finita sobre el rango -1 ≤ u ≤ 1, son los polinomios de
Legendre ÁZ ,*-, que pueden ser escritos como una suma finita.
ÁZ ,*- =
Ç
ÄÅÈ,−1-Å ,2n − 2l-!
2Z |! ,X − | -! X − 2l!
* Z
Å
… ,57-
Donde L=n/2 o (n-1)/2, en todo caso es un entero, una expresión alterna para los
polinomios de Legendre está dada por la formula de Rodríguez:
1 qZ
ÁZ ,*- = Z
,*² − 1-Z
2 X! q* Z
. . . ,58-
Los primeros polinomios de Legendre de bajo orden son:
. . . ,59Á ,*- = 1
Á ,*- = *
1
Á
,*- = ,3u² − 12
1
ÁÊ ,*- = ,5u⁵ − 3u2
1
Á© ,*- = ,35u⁴ − 30u² + 38
La ecuación (59) puede ser escrita en términos de θ:
Á ,cos- = 1
. . . ,60Á ,cos- = cos
1
Á
,cos- = ,3cos2 + 14
1
ÁÊ ,cos- = ,5cos3 + 3cos8
1
Á© ,cos- =
,35cos4 + 20cos2 + 964
Son soluciones a la ecuación asociada de Legendre se pueden obtener diferenciando el
polinomio de Legendre.
q` ÁZ ,*`
`
`⁄
ÁZ ,*- = ,−1- ,1 − *². . . ,60q* `
Para m>n, ÁZ` ,*- = 0. También, ÁZ ,*- = ÁZ ,*-. El orden bajo de las funciones asociadas
de Legendre con n=3, son:
32
Á ,*- = −,1 − *²-⁄
. . . ,61
⁄
Á ,*- = −3,1 − *²- *
Á
,*- = 3,1 − *²-⁄
3
ÁÊ ,*- = − ,1 − *²-⁄
,1 − 5u²2
Á
Ê ,*- = 15,1 − *²-*
ÁÊÊ ,*- = −15,1 − *²-⁄
Una manera útil de calcular un número mayor de funciones asociadas de Legedre es por
relaciones recurrentes. Una formula de recurrencia en n está dada por:
`
`
,r − X − 1-ÁZi
,*- + ,2n + 1-*ÁZ` ,*- − ,r + X-ÁZH
=0
Una formula recurrente en m está dada por:
ÁZ`i ,*- +
2mu
`
ÁZ` ,*- + ,r + X-,X − r + 1-ÁZ
,1 − *²-⁄
… ,62,l-È
. . . ,63-
Existen algunas formulas para derivar con respecto al argumento:
1
[−X*ÁZ` ,*- + ,X + r-ÁZ` ,*-]
1 − *²
1
`
=
[,X + 1-*ÁZ` ,*- − ,X − r + 1-ÁZi
,*-]
1 − *²
r* `
,X + r-,X − r + 1- ` =−
ÁZ ,*- +
ÁZ
,*1 − *²
,1 − *²-⁄
r* `
1
=−
ÁZ ,*- −
ÁZ`i . . . ,64⁄
1 − *²
,1 − *²-
ÁZ ,*- =
`9
Las formulas recurrentes (62) y (63) y las formulas derivadas en (64) también se aplican a
las funciones asociadas de Legendre del segundo tipo.
7.1. Código Fuente:
clear all; clc;
P = legendre(3,.7);
P2=legendre(2,0:0.1:0.2);
%%%%%%%%
X3 = rand(2,4,5);
n3 = 2;
P = legendre(n3,X3);
%%%%%%%%%%%
%n=2
%x=rand(.5,.7,.9)
33
%P4=legendre(n,x);
%%%%%%%%%%
tetacono=0:1:90;
teta=tetacono(21)*pi/180+1e-6;
m=0;
ntope=25;
ntopemas=ntope+1;
Pnm(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;
Pnm2(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;
x=cos(teta);
for nconta=1:1:ntope;
Pnm=legendre(nconta,x);
ndis=nconta-1;
Pnmdism=legendre(ndis,x);
[renP colP]=size(Pnm);
[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);
for nval=1:1:renP
Pnm2(nval,nconta)=Pnm(nval,colP);
end
for nvaldis=1:1:renPdis
Pnm2dis(nvaldis,nconta)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);
end
n(nconta)=nconta;
nmas=nconta+1;
QPrim(nconta)=[nconta*cos(teta)*Pnm2(1,nconta)*(cos(teta))(m+nconta)*Pnm2dis(1,nconta)*(cos(teta))]/sin(teta);
%Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta))
Q(nconta)=Pnm2(1,nconta);
Q1(nconta)=nconta*(nconta+1)*Q(nconta);
end
figure(1);plot(n,QPrim)
figure(2);plot(n,Q)
figure(3);plot(n,Q1)
%%%%%%%%%%
m=0;
ntope=25;
ntopemas=ntope+1;
Pnm(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;
Pnm2(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;
nconta1=6;
nconta2=15;
nconta3=24;
contador=0;
for tetacono=0:1:20;
teta=tetacono*pi/180+1e-6;
contador=contador+1;
tetagr(contador)=tetacono;
34
x=cos(teta);
Pnm=legendre(nconta1,x);
ndis=nconta1-1;
Pnmdism=legendre(ndis,x);
[renP colP]=size(Pnm);
[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);
for nval=1:1:renP
Pnm2(nval,nconta1)=Pnm(nval,colP);
end
for nvaldis=1:1:renPdis
Pnm2dis(nvaldis,nconta1)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);
end
n(nconta1)=nconta1;
nmas=nconta1+1;
QPrimtet(contador)=[nconta1*cos(teta)*Pnm2(1,nconta1)*(cos(teta))(m+nconta1)*Pnm2dis(1,nconta1)*(cos(teta))]/sin(teta);
%Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta))
Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta1);
Q1tet(contador)=nconta1*(nconta1+1)*Qtet(contador);
end
figure(4);plot(tetagr,QPrimtet)
figure(5);plot(tetagr,Qtet)
figure(6);plot(tetagr,Q1tet)
%%%%%%%%%%%%%%%%
for tetacono=0:1:20;
teta=tetacono*pi/180+1e-6;
contador=contador+1;
tetagr(contador)=tetacono;
x=cos(teta);
Pnm=legendre(nconta2,x);
ndis=nconta2-1;
Pnmdism=legendre(ndis,x);
[renP colP]=size(Pnm);
[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);
for nval=1:1:renP
Pnm2(nval,nconta2)=Pnm(nval,colP);
end
for nvaldis=1:1:renPdis
Pnm2dis(nvaldis,nconta2)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);
end
n(nconta2)=nconta2;
nmas=nconta2+1;
QPrimtet(contador)=[nconta2*cos(teta)*Pnm2(1,nconta2)*(cos(teta))(m+nconta2)*Pnm2dis(1,nconta2)*(cos(teta))]/sin(teta);
%Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta))
Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta2);
Q1tet(contador)=nconta2*(nconta2+1)*Qtet(contador);
35
end
figure(7);plot(tetagr,QPrimtet)
figure(8);plot(tetagr,Qtet)
figure(9);plot(tetagr,Q1tet)
%%%%%%%%%%%%
for tetacono=0:1:20;
teta=tetacono*pi/180+1e-6;
contador=contador+1;
tetagr(contador)=tetacono;
x=cos(teta);
Pnm=legendre(nconta3,x);
ndis=nconta3-1;
Pnmdism=legendre(ndis,x);
[renP colP]=size(Pnm);
[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);
for nval=1:1:renP
Pnm2(nval,nconta3)=Pnm(nval,colP);
end
for nvaldis=1:1:renPdis
Pnm2dis(nvaldis,nconta3)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);
end
n(nconta3)=nconta3;
nmas=nconta3+1;
QPrimtet(contador)=[nconta3*cos(teta)*Pnm2(1,nconta3)*(cos(teta))(m+nconta3)*Pnm2dis(1,nconta3)*(cos(teta))]/sin(teta);
%Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta))
Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta3);
Q1tet(contador)=nconta3*(nconta3+1)*Qtet(contador);
end
figure(10);plot(tetagr,QPrimtet)
figure(11);plot(tetagr,Qtet)
figure(12);plot(tetagr,Q1tet)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%(1/2) [1/(?r3) J±(n+1/2)(k r) ± k/(?r) (J±(n-1/2)(k r) - J±(n+3/2)(k r))]
frec=input('Dame la frecuencia');
omega=2*pi*frec;
%r1=input('Dame el radio menor');
%r2=input('Dame el radio mayor');
toper=input('Dame el tope del radio');
C=3e8;
%k=2*pi*frec/C;
k=2;
topealfa=.7;
topord=3;
contalfa=0;
contar=0;
alfa=.16;
36
%alfa=.44;
%alfa=.58;
%for n=1:1:topord
%n=6.38323;
n=0;
for r=0+1e-4:.001:toper
contar=contar+1;
valradio(contar)=r;
ord1=n+.5;
ord2=n-.5;
ord3=n+1.5;
rfunmas(contar,1)=(1/2)*[(1/sqrt(r^3))*besselj(ord1,k*r)+(k/sqrt(r))*(besselj(ord2,k*r)besselj(ord3,k*r))];
rfunmen(contar,1)=(1/2)*[(1/sqrt(r^3))*bessely(-ord1,k*r)+(k/sqrt(r))*(bessely(ord2,k*r)-bessely(-ord3,k*r))];
runoalfa(contar,1)=cos(alfa)*rfunmas(contar,1)+sin(alfa)*rfunmen(contar,1);
end
% end
figure(13);plot(valradio,runoalfa(:,1));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%B = -R±(r) Q'(?) e?
%E== (c2/?) [(1/r) R±(r) Q1(?) er + R±1(r) Q'(?) e? ]
contateta=0
contar=0;
for r=0+1e-4:.001:toper
contar=contar+1;
valradio(contar)=r;
contador=0;
for tetacono=0:1:20;
teta=tetacono*pi/180+1e-6;
contador=contador+1;
tetagr(contador)=tetacono;
Bmas(contar,contador)=-rfunmas(contar,1)*QPrimtet(contador);
Bmen(contar,contador)=-rfunmen(contar,1)*QPrimtet(contador);
Emasr(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmas(contar,1)*Q1tet(contador)];
Emenr(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmen(contar,1)*Q1tet(contador)];
Emastet(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmas(contar,1)*QPrimtet(contador)];
Ementet(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmen(contar,1)*QPrimtet(contador)];
end
end
figure(14);plot(Bmas);
figure(15);surf(Bmas);
figure(16);plot(Bmen);
figure(17);surf(Bmen);
37
figure(18);plot(Emasr);
figure(19);surf(Emenr);
figure(20);plot(Emastet);
figure(21);surf(Ementet);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for r=0+1e-4:.001:toper
contar=contar+1;
for tetacono=0:1:20;
teta=tetacono*pi/180+1e-6;
contador=contador+1;
tetagr(contador)=tetacono;
x=cos(teta);
contafi=0;
for angfi=1e-6:1:360
contafi=contafi+1;
fi=angfi*pi/180;
for mval=1:1:renP
ord2=nval+0.5;
ord3=nval+1.5;
Erad(contar,contador,contafi,mval)=((nval*(nval+1)*k)/((k*r)^1.5))*besselj(ord3,k*r)*Pn
m2(nval,colP)*cos(x)*cos(mval*fi);
G(contar)=(k/((k*r)^1.5))*((nval+1)*besselj(ord2,k*r))-k*r*besselj(ord3,k*r);
Erad(contar,contador,contafi,mval)=G(contar)*(m/sin(x))*Pnm2(nval,colP)*cos(x)*sin(mval*fi);
Erad(contar,contador,contafi,mval)=((nval*(nval+1))/((k*r)^1.5))*besselj(ord3,k*r)*Pnm2(
nval,colP)*cos(x)*cos(mval*fi);
end
end
ndis=nconta3-1;
Pnmdism=legendre(ndis,x);
[renP colP]=size(Pnm);
[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);
end
end
8. Construcción de las cavidades:
8.1. Primera cavidad resonante:
Para el diseño de la primera cavidad resonante, se pensó en realizar una cavidad que
no fuera tan grande como del tamaño de una regla de plástico de 30cm y que solo serviría
para hacer pruebas experimentales, para esta cavidad se determino una base con un
diámetro de 20cm y una altura de 35cm, el diseño de esta cavidad se planeo para que fuera
38
truncada por la parte superior y con tapa plana, mientras que la parte inferior contaba con
una tapa plana, el material usado para la construcción de esta cavidad fue papel cartoncillo,
pegamento, cinta adhesiva y aluminio, para su formación se realizó un circulo de cartón de
20cm de diámetro el cual serviría como la base inferior del cono, para que este fuera
resistente se pegaron 3 pliegos de papel cartoncillo uno encima de otro, de esta manera
obtenemos mayor resistencia en lo que sería el cuerpo del cono, por ultimo solo basta con
pegar el aluminio para que por dentro esta se comportara como un conductor, una vez que
se tuvo esto se le dio la forma de cono y se obtuvo por fin el primer diseño de la cavidad
aunque este fue fallido ya se presentaron algunos inconvenientes.
El primero y más importante fue que el aluminio que forma parte fundamental de la
cavidad estaba demasiado arrugado y esto podría generar que no resonara la cavidad, el
segundo problema fue que a la parte trunca superior no se le pudo dar un valor de diámetro
ya que no se genero un círculo perfecto y quedaba un poco deforme, y el tercero fue que la
cavidad no tenía la forma de un cono como tal así que esta se tuvo que desechar se pensó
en la forma de hacer otra que si funcionara.
8.2. Segunda cavidad resonante:
Al ver que la primera cavidad construida tenía muchas deficiencias, se diseño una
nueva cavidad resonante, sola que esta vez tendría algunas variantes tanto en el material,
como para su construcción y el diseño de la misma, en esta ocasión se pensó una vez más
en realizarla trunca de la parte superior y con tapa plana, mientras que la tapa inferior
contaría con una base un poco esférica ya que si se hacía plana podría haber problemas con
el campo eléctrico o que no resonara, ahora el material implementado sería cartón caple,
cinta adhesiva y papel aluminio más grueso como si fuera para repujado en cuanto a las
medidas que se utilizaron en esta nueva cavidad corresponden a las siguientes:
La base mayor tiene un radio de 20cm, para realizar la tapa y que esta fuera cóncava se
tomo como muestra una tapa de un recipiente de vidrio, dicha tapa era algo cóncava así
que se utilizo como molde y sobre esta se hizo la tapa inferior del cono. La base superior
tiene un radio de 5cm y la tapa se hizo con el mismo cartón y de forma plana, mientras que
la altura con la que cuenta este cono es de 25cm, para encontrar el ángulo de conicidad se
utilizo la siguiente fórmula:
=
}
a
× 360°…..(65)
39
Figura para realización del cono
Donde:
r = radio de la base mayor del cono (10cm)
a = altura del cono (25cm)
Sustituyendo los valores en la formula obtuvimos un ángulo de:
= 144°
Para el diseño y construcción de
del cono se trazo la figura de arriba en el papel caple, una
vez obtenido el trazo se corto y de esta manera se obtuvo el molde, después a este se le
adhirió el papel aluminio lo más estirado posible para que este no presentara arrugas, una
vez obtenido el diseño completo se enrollo de tal forma que nos diera el cono, a este se le
dejo una pestaña para que pudiera ser pegado finalmente con cinta adhesiva, para la
realización de las tapas se procedió de la siguiente manera, para la tapa superior se trazo un
circulo de diámetro de 5cm en el mismo papel caple,
caple, dejándole medio centímetro más para
que este fuera utilizado como pestañas y así embonara en el cono, este círculo también fue
forrado con aluminio para que funcionara como conductor, la capa inferior se explico hace
rato que debía de ser cóncava y que se utilizo una tapadera de un molde de vidrio para su
diseño y así poder hacerla cóncava, para su construcción se utilizo papel caple nuevamente
y también se forro con papel aluminio pero a la hora de pegarla a esta nueva tapa dicho
papel aluminio se tuvo que empalmar un poco para que no hubiera perdidas, esta tapa
también contaba con pestañas y embonaba perfectamente en la parte inferior del cono, por
último se construyo el cono uniendo ambas tapas, cabe mencionar que estas eran
desmontables, este cono tenia
nia mejor diseño y solo faltaba probarlo en el laboratorio.
8.2.1. Pruebas experimentales en el laboratorio con la segunda cavidad:
Para la realización de las pruebas experimentales al cono se le tuvieron que hacer unas
perforaciones, en la tapa superior se le hizo una, la cual serviría como la fuente de
transmisión, los orificios que servirían para la fuente de recepción se encontraban
encontraba alrededor
40
del cuerpo del cono y otros tantos en la tapa inferior de este. Para realizar las mediciones
correspondientes se trabajo con un equipo llamado analizador de redes el cual trabaja con
frecuencia que van desde los 40MHz hasta los 3.8GHz, este aparato cuenta con varios tipos
de mediciones estas las obtiene haciendo un barrido entre las frecuencias antes
mencionadas, en donde el usuario determina la frecuencia de inicio y la de parada de dicho
barrido.
Algunas de las mediciones que este equipo maneja son la magnitud lineal, logarítmica,
exponencial, el uso de la carta Smith, la forma polar de la señal, el coeficiente de reflexión,
entre otras, cuenta con una fuente que en este caso es el transmisor y dos salidas que sirven
como receptores, para obtener las mediciones es necesario tener los cables necesarios estos
son del tipo de cable coaxial pero deben de manejar una impedancia de 50Ω para que la
señal no se vea afectada o atenuada en demasía, dichos cables tienen en un extremo un
conector BCN y por el otro extremo se debe de tener un poco de más cuidado ya que se
tiene que pelar el cable de tal forma de dejar la punta lo más conductora posible y de
ponerle esmalte, dichos cables van conectados al analizador de redes pero para esto es
necesario tener un conector para que las entradas concuerden con las del tipo BCN.
Una vez teniendo estas consideraciones se procede a medir, poniendo un cable en la entrada
que dice fuente, este ira a la tapa superior de la cavidad, el otro cable ira en la entrada que
dice receptor y se irá cambiando de orificio para obtener los resultados necesarios en cada
punto tanto del cuerpo del cono como de la tapa inferior, por último se debe de tener mucho
cuidado a la hora de realizar las mediciones ya que si las puntas no están bien aisladas e
introducirlas en los orificios estas podrían no dejar observar nada en la pantalla del
analizador o no conducir.
8.2.2. Mediciones que se obtuvieron experimentalmente con esta cavidad:
Muestra
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Frecuencia GHz
3.391 099 294
3.378 254 807
2.969 319 301
3.391 099 294
3.403 992 617
3.416 934 961
3.469 198 296
3.302 203 135
3.026 198 532
3.469 198 296
3.456 057 994
3.469 198 296
Volts
56.316m
53.548m
48.311m
84.114m
60.366m
65.560m
65.153m
39.934m
37.416m
69.337m
84.520m
80.311m
Capacitivo
8.170pF
12.701pF
Inductivo
117.025pH
303.367pH
12.784pF
82.212pH
7.220pF
31.813pF
28.915pF
6.884pF
291.432pH
389.914pH
Polar
59.191m
45.576m
40.379m
66.324m
44.645m
25.535m
69.258m
14.734m
34.703m
63.306m
69.815m
88.968m
deg
-116.22
135.16
75.79
-99.81
40.54
-72.78
-87.19
-148.36
-88.24
103.31
86.05
Relación de
Onda
Estacionaria
1,480
1,467
1,240
1,428
1,414
1,417
1,422
1,431
1,415
1,423
1,420
1,428
41
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
AA
BB
CC
DD
3.469 198 296
3.469 198 296
3.014 736 182
3.469 198 296
3.403 992 617
2.456 132 269
3.630 833 723
2.958 072 393
2.958 072 393
2.958 072 393
3.327 361 532
2.958 072 393
2.958 072 393
2.958 072 393
2.958 072 393
2.958 072 393
2.958 072 393
2.958 072 393
83.552m
71.476m
45.257m
99.905m
40.760m
75.230m
2.078m
122.614m
59.122m
150.045m
20.035m
85.300m
122.417m
13.707m
147.600m
110.554m
123.301m
110.808m
357.230pH
6.671pF
12.416pF
13.499pF
147.287pH
20.311pF
93.147pF
11.463pF
47.321pF
34.513pF
7.701pH
16.254pF
14.900pF
34.517pH
19.160pF
11.442pF
6.491pF
25.635pF
81.334m
69.933m
43.706m
40.117m
36.307m
73.448m
6.684m
101.811m
51.273m
71.544m
15.702m
45.717m
116.456m
57.413m
142.570m
108.015m
136.877m
114.358m
88.93
-71.21
-72.71
-63.38
56.1
-19.82
-129.44
-29.51
-18.38
-12.04
176.14
-149.04
-20.86
163.51
-6.5
-29.43
-30.87
-14.85
1,427
1,426
1,411
1,422
1,429
1,218
1,465
1,238
1,233
1,238
1,432
1,231
1,236
1,239
1,242
1,243
1,245
1,272
Nota: El coeficiente de reflexión se puede obtener por medio de la siguiente fórmula:
Donde:
Z1 = impedancia de carga al final de la línea.
Z0= impedancia característica de la línea de transmisión.
8.2.3. Resultados:
Analizando los valores obtenidos en las mediciones de forma experimental se obtuvieron
30 puntos de recepción y experimentalmente podemos notar que esta cavidad si cumplió su
objetivo, ya que si resonó, las frecuencias a las que trabaja esta cavidad van desde 2.456
132 269GHz hasta los 3.391 099 294GHz, algunos de los orificios de recepción se
comportan como si fueran capacitivos y otros como inductivos, además se puede ver que
obtuvimos valores en forma polar y que el ángulo de recepción dependiendo de cada
orificio variaba ya que en algunos casos era positivo y en otros era negativo, por último se
obtuvo el valor del coeficiente de reflexión, el cual se obtuvo con un mínimo de 1.218
mientras que el máximo fue un valor de 1.480, con estos valores se pudo observar que la
construcción de esta cavidad fue buena y que en su interior si conduce y por lo tanto
resuene.
42
8.3. Tercera Cavidad Resonante:
Al ver que los resultados de la cavidad construida anteriormente fueron satisfactorios, se
pensó en diseñar una cavidad que fuera optima, es decir que tuviera las medidas correctas
para una frecuencia dada. Para determinar las medidas optimas se planteo despejar a r y θ
de las siguientes ecuaciones, para después ser derivadas e igualadas a cero y encontrar el
máximo.
=
;
Z
;/}
}

H∅ =
´§e
….. (48)
eµ¶
¶
….. (49)
De la ecuación A se despeja a θ y se considero:
sin =
Y considerando que = 1 {RXRrBW:
sin =
; /}
~
}
; /}
= sinH
}
…..(66)
…..(67)
; /}
}
…..(68)
Ahora derivando a θ con respecto a r se obtiene:
u~
u
=
3H @ ®Ò« Ó!

/}
× −^
}
+
µe /}
}
…..(69)
Igualando a cero la derivada tenemos:
u~
u
=
3H @ ®Ò« Ó!

−^
/}
}
+
µe /}
}
= 0…..(70)
Pero en esta parte se presento un problema, al tratar de despejar r se tienen muchos
problemas ya que esta variable está en función del seno y de la misma r así que esta idea de
sacar el radio óptimo para la cavidad se tuvo que descartar.
Al notar que la cavidad construida anteriormente manejaba frecuencias entre 2GHz y
3.8GHz se pensó en diseñar ahora una con el doble de altura y con mayor base de esta
manera será posible manejar otro rango de frecuencias.
Nuevamente el material de la nueva cavidad cambio un poco, en esta ocasión se utilizó
papel caple, periódico, cinta adhesiva, engrudo, una bola de unicel del número 16 y pintura
metálica de plata, para su realización se corto la bola de unicel a la mitad, esta sirvió como
43
molde para hacer la base inferior del cono y así lograr que fuera más cóncava,
cónc
para esto se
preparo el engrudo y se fue rodeando la media bola con papel periódico hasta obtener la
base cóncava, esta base tiene un diámetro de 22cm y después fue cubierta con la pintura de
plata metálica, esta tapa se puede quitar y poner cuando el usuario lo desee para la
elaboración de tapa superior igual que en la cavidad anterior se corto un circulo de diámetro
de 6cm al cual también se le dejo un espacio de más el cual serviría como pestañas y que
dicha tapa fuera desmontable
desmontable, esta tapa también fue pintada con plata metálica en cuanto a
la altura esta fue de 36cm, para diseñar el cuerpo del cono se trazo la misma figura
anteriormente mencionada en el papel caple y se calculo el ángulo de conicidad, mediante
la fórmula antes vista:
Figura para realización del cono
Fórmula para la conicidad:
=
}
¬ 360°…..(65)
a
Donde:
r = radio de la base mayor del cono (11cm)
a = altura del cono (36cm)
Sustituyendo los valores en la formula obtuvimos un ángulo de:
&
11
¬ 360°
36
= 110°
Teniendo todas las medidas necesarias y el trazo en el papel caple, se corto el dibujo y este
se cubrió con pintura de plata metálica en un extremo,, para unir el cuerpo se enrollo un
poco y se dejo una pestaña para poderlo pegar mediante la cinta adhesiva y obtener la
forma del cono deseada,, finalmente se le añaden las tapas de ambos lados y la construcción
del cono quedara finalizada. Para realizar las mediciones correspondientes basta con hacer
las perforaciones necesarias para nuestros receptores y comprobar
obar experimentalmente si
esta nueva cavidad realmente funciona.
44
9. Conclusiones:
Este trabajo muestra básicamente lo que se trabajo y realizo en el proyecto terminal tanto
en el I como en el II, como se puede observar la primera parte se baso en la recopilación y
búsqueda de toda la información posible relacionada con las cavidades resonantes, para
esto se usaron medios como libros tanto de física, comunicaciones y microondas, así como
de artículos de revista, internet, etc, esta parte del proyecto fue un poco difícil ya que tanto
en los libros e internet no hay mucha información sobre este tema o es muy escasa, a pesar
de que estas cavidades resonantes cónicas tienen gran cantidad de aplicaciones como en
antenas, radares, propulsores, etc. Una vez obtenida la información necesaria se fue
desarrollando la teoría de lo que sería este reporte la cual inicia desde el concepto de una
cavidad resonante y como es que esta surge hasta la teoría y formulas matemáticas de las
cuales se obtiene un análisis de ellas, una vez planteado esto, se analizan las formulas que
podrían ser útiles para su construcción y análisis.
Dichas formulas tendrían que ser las adecuadas para así determinar el comportamiento de
las cavidades, las cuales deben de estar en función de alguna variable para determinar cómo
se comportan con diferentes valores o como pueden afectar o no a las cavidades, las
formulas implementadas y que nos ayudarían en este caso son la del campo eléctrico y
magnético, la resistencia de carga, la impedancia intrínseca, el factor de calidad, la
constante de propagación, entre otras. Para implementarlas se codificaron por así decirlo en
un programa llamado Matlab el cual nos muestra el comportamiento de estas dependiendo
de los valores que el usuario decida y hasta poder obtener el comportamiento mediante un
método grafico.
La segunda parte del proyecto consistió en la construcción de las cavidades resonantes, para
esto primero se diseño una cavidad cónica la cual no fue nada buena y presentaba muchos
errores, tales como que el conductor no era perfecto y las medidas fueron tomadas por puro
método inductivo, sin realización de cálculo alguno, al ver que los resultados no fueron
satisfactorios, se realizo una segunda cavidad la cual vario bastante en relación con la
primera, ya que tanto el diseño como el material utilizado para su construcción de esta fue
muy diferente y las tapas en esta ocasión serían diferentes, la tapa inferior tendría que ser
un poco cóncava mientras que la superior seria plana, en este caso se implementaron
formulas y se pensó mejor en las medidas de esta, las tapas se propusieron de esa manera
para evitar pérdidas por parte del campo eléctrico y que si resonara, esta cavidad fue
probada en el laboratorio y se pudo ver experimentalmente mediante un analizador de
redes, este aparato sirvió para realizar las pruebas necesarias y así comprobar que realmente
si funcionaba nuestra cavidad ya que esta manejaba frecuencias muy cercanas a la de las
microondas, estas frecuencias van desde 2.456 132 269GHz hasta los 3.391 099 294GHz, y
referente a las otras mediciones se obtuvieron los valores deseados, se presentaron problemas
como el de las puntas necesarias para realizar las mediciones ya que estas debían de ser como del
tipo de cable coaxial pero con una impedancia de 50Ω, del cual un extremo consta de una
terminación BNC mientras que el otro es el filamento que sale de este cable, este filamento tenía
que ser metido totalmente vertical y estar perfectamente aislado en su parte baja ya que si no, no
se obtenía medición alguna debido a que el conductor entraría en contacto con el conductor
interno de la cavidad resonante, una vez resuelto este problema se pudo verificar que esta cavidad
45
cónica si servía y tuvo mayor éxito que la primera. Los datos obtenidos en el laboratorio se
tabularon y se obtuvo un pequeño análisis de estos los cuales también fueron agregados en el
reporte.
Al ver que esta cavidad realmente si funcionó, pero que las frecuencias no eran las
deseadas, se planeó construir una que tuviera las medidas óptimas y trabajará para una
cierta frecuencia, para eso se pensó en trabajar directamente con las ecuaciones de campo
tanto eléctrico cómo magnético de ahí despejar el radio y teta para después derivarlos e
igualarlos a cero para obtener tanto el radio optimo como el ángulo, pero los cálculos se
complicaron y por esa razón se tuvo que descartar la idea de obtenerlo por ese medio, se
trato de hacerlo mediante las funciones de Legendre, de las cuales se realizo un programa
que las calculara y nos graficara su comportamiento, pero tampoco ayudaron de mucho, así
que mejor se planeó construir una al doble de las medidas de la segunda cavidad, pero esto
no fue posible debido a que el material para su construcción no cumplía con las medidas
necesarias.
Así que esta nueva cavidad fue muy semejante a la segunda solo que las medidas fueron un
poco más grandes, en cuanto al material esta ocasión se utilizó pintura metálica de plata
para que esta sirviera como conductor, el diseño de esta cavidad es esencialmente el mismo
que la anterior solo que la tapa inferior ahora era mucho más cóncava.
Por último se realizo un reporte que conlleva todo lo realizado durante ambos proyector en
cual se muestra un marco teórico, introducción, objetivos y metas a alcanzar, los cuales se
cumplieron en cierta medida, un desarrollo, resultados experimentales y su análisis, así
como la manera en que se construyeron las cavidades y los códigos que se realizaron e
implementaron en Matlab. Este proyecto si cumplió su mayor objetivo que a mi parecer
fue el diseño y construcción de las cavidades resonantes cónicas.
10. Bibliografía:
Introduction to Microwaves
Simon Ramo
Mc-Graw-Hill book company, Inc.
First Edition, 1945
New York and London
Fields and waves in communication electronics
Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer
John Wisley & Sons, Inc.
New York, London, Sydney
Fundamentos de la Teoría Electromagnética
J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy
Addison Wesley
46
4a. Edición.
Microwave Transistors Amplifiers: Analysis and Design
G. Gonzalez
Ed. Prenctice Hall
ED-3000 MICROWAVE TRAINES: manual for experiments
ED-Laboratory
ED Co. Ltd.
Sistemas electrónicos de comunicaciones.
Tomasi
Ed. Prentice Hall
Elementos de Electromagnetismo
Matthew N. O. Sadiku
Ed. Prentice Hall
Tercera Edición
10.1.
Artículo relacionado al cálculo analítico de los campos en
cónicas:
cavidades
Este artículo se encuentra en formato pdf, su nombre es “Analytical calculation of wake
fields in conical cavity” (Calculo analítico de los campos en cavidades cónicas), el cual fue
escrito por Andranik Tsakanian y publicado por ELSEVIER, se encuentra disponible en la
página www.sciencedirect.com.
Dicho artículo se encuentra adjunto con este documento.
47
ARTICLE IN PRESS
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 548 (2005) 298–305
www.elsevier.com/locate/nima
Analytical calculation of wake ﬁelds in conical cavity
Andranik Tsakanian
Yerevan State University, Alex Manugyan 1, 375025 Yerevan, Armenia
Received 1 February 2005; received in revised form 15 April 2005; accepted 19 April 2005
Available online 13 June 2005
Abstract
The paper is devoted to the interaction of the charged particles with cavity of conical geometry. The excited
electromagnetic ﬁelds in the cavity are obtained as the expansion over the resonant modes of empty cavity. The
analytical expressions for the longitudinal and transverse wake potentials of a closed conical cavity with perfectly
conducting walls are given. The loss factor for a single mode is calculated.
r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.
PACS: 41.60.m
Keywords: Wake ﬁelds; Cavity; Beam; Eigenmodes
1. Introduction
The knowledge of the analytical presentation of
a wake-potential other than that of the well-known
pillbox cavity [1], could serve as an effective
instrument to test the order of convergence of
computer programs for wake ﬁeld computation
with conformal meshing. The analytical presentation for the wake potential of a spherical cavity is
given in Ref. [2].
In this paper, the analytical presentation of the
wake potentials of a conical cavity is given. The
conical geometry of the pipe is the usual transition
geometry used for the vacuum chamber of the
collimators or small gap insertion devices in
E-mail address: tsakanian@asls.candle.am.
accelerators. After general treatment of the problem, the spherical coordinates are used to deﬁne
the resonant modes of the empty conical cavity.
The induced ﬁelds in cavity are then represented by
the expansion over the cavity modes. Further, the
analytical representation of the longitudinal and
transverse wake potentials of relativistic point
charge is derived. The modiﬁcation of the Panofsky–Wenzel theorem for the conical cavity is
discussed. The numerical example for the longitudinal wake potential of Gaussian bunch is given.
2. The modes of the empty conical cavities
Consider the empty cavity of conical geometry
(Fig. 1). The solutions of the frequency domain
0168-9002/$ - see front matter r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.nima.2005.04.061
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299
indexes m and non-integer lower indexes n, the
Legendre polynomials of positive and negative
indexes m become linear dependent:
Pm
n ðxÞ ¼
Gðn þ m þ 1Þ m
P ðxÞ
Gðn m þ 1Þ n
and the fundamental solutions are given by the
Legendre polynomials of the positive indexes m.
The electric ﬁeld components of the TM modes
in conical cavity are then given by
Fig. 1. Geometry of the conical cavity.
nðn þ 1Þk
Maxwell equations for the TM modes of empty
closed conic cavity in spherical coordinates ðr; y; jÞ
can be expressed as [3]
Er ¼
q2 V
E r ¼ 2 þ k2 V ;
qr
1 q2 V
Ej ¼
r sin y qrqj
E j ¼ G n ðrÞ
H r ¼ 0;
Hy ¼ 1 q2 V
,
Ey ¼
r qrqy
ðkrÞ3=2
E y ¼ G n ðrÞ
J nþ1=2 ðkrÞPm
n ðcos yÞ cos mj
m
Pm ðcos yÞ sin mj
sin y n
dPm
n ðcos yÞ
cos mj
dy
(6)
with
ik qV
;
r sin y qj
Hj ¼
ik qV
r qy
(1)
where k ¼ o=c is the wave number, o is the
frequency, c is the velocity of light, V ¼ rU and
the function Uðr; y; jÞ satisﬁes the wave equation
DU þ k2 U ¼ 0.
(2)
The solution of the wave (2) in spherical geometry
is given by combination of the Bessel functions
J nþ1=2 of argument (kr), associate Legendre polynomials Pm
n of argument ðcos yÞ and the azimuthal
multipoles cos mj. The function V ðr; y; jÞ is then
given by
r
V ðr; y; jÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ J nþ1=2 ðkrÞPm
(3)
n ðcos yÞ cos mj.
kr
The indexes m of Legendre polynomials are integer
numbers as the single valued variation of the ﬁelds
with coordinate j has the periodicity of 2p. The
Legendre polynomials of positive and negative
indexes m are related as
Pm
n ðxÞ ¼
(5)
Gðn m þ 1Þ
Gðn m þ 1Þ
2 ipm
m
m
Pn ðxÞ e sinðpmÞQn ðxÞ
p
ð4Þ
where Qm
n ðxÞ are the Legendre polynomials of the
second kind [4]. For the integer values of upper
pﬃﬃﬃﬃﬃ
d krJ nþ1=2 ðkrÞ
G n ðrÞ ¼
kr dr
k ¼
ðn þ 1ÞJ nþ1=2 ðkrÞ krJ nþ3=2 ðkrÞ .
3=2
ðkrÞ
The complete set of the cavity eigenmodes with
indexes n is determined by the boundary conditions. We assume the perfect conducting boundary
conditions that are given by vanishing of the
tangential component of electric ﬁeld at the cavity
walls E y;j jr¼r0 ¼ 0; E r;j jy¼y0 ¼ 0. In our geometry
the boundary conditions are read as
Pm
n ðcos y0 Þ ¼ 0
ðn þ 1ÞJ nþ1=2 ðkr0 Þ kr0 J nþ3=2 ðkr0 Þ ¼ 0.
(7)
The boundary conditions (7) deﬁne the inﬁnite set
of cavity eigenmodes with the indices n ¼ fm; p; lg.
For any integer m ðm ¼ 0; 1; 2 . . .Þ, the ﬁrst equation
deﬁnes
the
non-integer
values
np ðy0 op=2; p ¼ 1; 2; 3 . . .Þ, while the second equation for given np deﬁnes the wave numbers
kn ¼ ompl =c, thus providing the inﬁnite number
of eigenmodes with indices n ¼ fm; p; lg.
In future, the normalized eigenmodes will be
used
Z
1 ~
0
~
~2 ð~
E n;N ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ E n ; U n ¼
E
rÞ dV
(8)
2 V v
2U n
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300
boundary conditions.
~l ð~
~ r; tÞ ¼ E
~t ð~
r; tÞ þ E
r; tÞ.
Eð~
Fig. 2. Electrical ﬁeld and equipotential lines of fundamental
mode.
where V is the cavity volume, 0 is the vacuum
dielectric constant. Note, that from the deﬁnition of
U n it represents the energy stored in excited mode
TM n up to a multiplicative constant. Taking into
account the boundary conditions (7) and the
integrals derived in Ref. [5], the normalization
coefﬁcients U n are given by the following expression:
U n ¼ 0 dm
nðn þ 1Þ 2 2
½k r nðn þ 1ÞJ 2nþ1=2 ðkn r0 Þ
W p;m kn n 0
(9)
where
Gðn m þ 1Þ
Gðn þ m þ 1Þ
Pm
n ð cos y0 Þ
q m
P ðcos y0 Þjx¼n
sin½ðn þ mÞp
qx x
with n np .
W p;m ¼ ð2n þ 1Þ
From here the indices p for roots np are omitted.
Fig. 2 shows the electric ﬁeld lines of fundamental
TM mode in conical cavity.
(10)
By a ‘‘transverse’’ ﬁeld we mean here the one with
zero divergence everywhere, by ‘‘longitudinal’’ we
mean the one with zero curl everywhere. In terms
of cavity modes and scalar potential, the excited
ﬁelds can be expanded as
X
X
~ r; tÞ ¼
~n ð~
Eð~
an ðtÞE
rÞ þ
bn ðtÞrfn ð~
rÞ
(11)
n
n
~n are the cavity normalized modes (8), fn
where E
satisfy the wave equation (2) with the wave
numbers k0n and fn ¼ 0 on the cavity metallic
surface. The fn are orthogonal and complete and
~l
they can be used to compose any longitudinal E
satisfying the metallic boundary conditions.
The scalar unknown quantities an ðtÞ, bn ðtÞ
describe the instantaneous amplitudes and from
Maxwell equations are given by
Z
qj r
2
E rn dV
a€ n þ on an ¼
V qt
1
bn ðtÞ ¼ Tn
Z
rfn dV
(12)
V
R
0
with T n ¼ kn2 0 V f2n dV . The solutions are
Z minðct;r0 Þ
an ðtÞ ¼ Q
E r;n ðr; y1 ; 0Þ
0
cosðkn r on tÞ dr
bn ðtÞ ¼
8
< 0;
:
ð13Þ
to0; tXr0 =c
Q
f ðr ¼ ct; y1 ; 0Þ;
Tn n
0otor0 =c:
(14)
3. Beam loading and longitudinal wake potential
Consider the ultrarelativistic charge Q entering
into the cavity of conical geometry along the axes
y ¼ y1 (Fig. 1). In spherical coordinates the charge
density
rð~
r; tÞ
is
given
by
rð~
r; tÞ ¼
Qðr2 sin yÞ1 dðjÞdðy y1 Þdðr ctÞ and the current
~
jð~
r; tÞ has only the r component j r ð~
r; tÞ ¼ crð~
r; tÞ. As
usual [1,2], we present the excited electric ﬁeld in
~t
the cavity as the superposition of the transverse E
l
~ ﬁelds satisfying the metallic
and longitudinal E
Let us assume that the ultrarelativistic test charge
q enters the cavity along the direction ðy; jÞ with
the time delay t with respect to exciting charge Q.
The longitudinal wake potential deﬁnes the net
energy gain (lost) of the test charge q in wake ﬁelds
excited by the driving charge Q in the cavity. The
longitudinal wake potential is then deﬁned as
Z
1 r0
w== ðy; j; tÞ ¼
E r ðr; y; j; t ¼ t þ r=cÞ dr.
Q 0
(15)
ARTICLE IN PRESS
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As the scalar potential contribution is vanished for
rXr0 ct ðtXr0 =cÞ, the expression for the longitudinal wake potential is given by
X Z r0 Z minðrþct;r0 Þ
gn ðr; r0 ; tÞ dr0 dr
w== ðy; j; tÞ ¼ n
0
XZ
n
integral to t4r0 =c (the exciting charge has left
the cavity). Using (16) the potential is then
modiﬁed to
w== ðtÞ ¼ 0
r0 ct
f n ðr; tÞ dr
IðtÞ ¼
0
gðr; r ; tÞ ¼ E rn ðr; y; jÞE rn ðr ; y1 ; 0Þ
Z
f ðr; tÞ dr 0
XZ
n
r0 ct
dr
0
r0
gðr; r0 ; tÞ dr0 .
rþct
If the test charge enters after the exciting charge
has already left the cavity ðt4r0 =cÞ, the contribution of scalar potential is vanished ðbn ðtÞ ¼ 0Þ and
the amplitudes an ðtÞ of excited cavity modes are
given by
Q
an ðtÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ kn V n ðr0 ; y1 ; 0Þ sinðon t kn r0 Þ.
2U n
(17)
The wake potential is then expressed as
X k2 V n ðr0 ; y1 ; 0ÞV n ðr0 ; y; jÞ
n
2U n
n
cosðon tÞ.
r0 ct
1 qfn
ðr; y; jÞfn ðr þ ct; y1 ; 0Þ.
T n qr
w== ðy; j; tÞ ¼ XZ
n
cos½kn ðr þ ct r0 Þ
f ðr; tÞ ¼
ð20Þ
where
where
0
X k2 V n ðr0 ; y1 ; 0ÞV n ðr0 ; y; jÞ
n
2U n
n
cosðon tÞ IðtÞ
ð16Þ
0
301
ð18Þ
In Ref. [6] it is proven that the presentation (18)
for the longitudinal wake potential excited in
cavity of arbitrary shape is valid for any t40 if the
driving and the test charges follow the same path.
Here we show that in conical cavity the presentation (18) is valid also for the time delay 0otor0 =c
if the driving and test charges follow at the paths
ðy1 ; 0Þ and ðy; jÞ respectively.
In the region 0otor0 =c the longitudinal wake
potential is given by
Z
1 r0 ct
E r ðy; j; r; t þ r=cÞ dr
w== ðtÞ ¼
Q 0
Z
1 r0
þ
E r ðy; j; r; t þ r=cÞ dr
ð19Þ
Q r0 ct
where the ﬁrst integral corresponds to tor0 =c (the
exciting charge is still in cavity), the second
In the interval r0 =coto0 (test charge enter the
cavity before the exciting charge) the potential is
given by
Z
1 ct
w== ðtÞ ¼
E r ðy; j; r; t þ r=cÞ dr
Q 0
Z r0
1
þ
E r ðy; j; r; t þ r=cÞ dr.
ð21Þ
Q ct
The ﬁrst integral is equal to zero as the ﬁelds in the
integrand correspond to to0 ð0oro ctÞ (no
ﬁelds in cavity). As in conical geometry the ﬁelds
and the potential have the translation symmetry,
i.e. F ðr; y; jÞ ¼ pðrÞqðy; jÞ, the second integral is
modiﬁed to
Z
1 r0
E r ðy; j; r; t þ r=cÞ dr ¼ JðtÞ ¼ IðtÞ,
Q ct
r0 =coto0.
ð22Þ
From causality principle in conical cavity the
potential JðtÞ is zero as for the time delay
r0 =coto0 the ultrarelativistic test charge moves
ahead the wavefront of exciting charge radiated
ﬁelds. Thus, IðtÞ ¼ 0 for 0otor0 =c and the
longitudinal potential for the conical cavity is
given by (18) for any time delay t40 of the test
charge. The explicit analytical form of the longitudinal wake potential in conical cavity is then
given by
X k n r0
w== ðy; j; tÞ ¼ J2
ðkn r0 ÞPm
n ðcos y1 Þ
2U n nþ1=2
n
Pm
n ðcos yÞ cos mj cosðon tÞ; t40.
ð23Þ
ARTICLE IN PRESS
302
A. Tsakanian / Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 548 (2005) 298–305
The amount of the energy deposited in mode n by
the exciting charge Q is given by Pn ¼ Q2 K n with
the loss factor K n ðtÞ deﬁned as
Kn ¼
k2n V 2n ðr0 ; y1 ; 0Þ
.
4U n
(24)
(30)
4. Transverse wake potential
~? ðtÞ deﬁnes the
The transverse wake potential w
net transverse kick of the test charge in wake ﬁelds
exciting by driving charge Q. It is given by the
integrated transverse wake ﬁelds Lorenz force
acting on the test charge and is read as
Z
1 r0 ~
~ ? gt¼tþr=c dr
~? ðtÞ ¼
w
fE ? þ c½~
er H
(25)
Q 0
where ~
er is the unit vector along the coordinate r.
Let us ﬁrst derive the relation between the
transverse and longitudinal wake potentials in
conical geometry in analogues to the Panofsky–Wenzel theorem for the cylindrically symmetric
structures [7]. The derivative of Eq. (25) with
respect to t is given by
q
~? ðtÞ
w
qt
Z 1 r0 q ~
q ~
E? þ c ~
¼
er H
dr.ð26Þ
Q 0
qt
qt
t¼tþr=c
From the Maxwell equation r E ¼ qH=qt we
obtain
q ~ 1 q ~
~ ?Er
~
¼
ðrE ? Þ r
er H
(27)
qt
r qr
~ ? ¼ rr is given by
where r
q
1 q
~? ¼~
þ~
ej
.
r
ey
qy
sin y qj
The derivative of the transverse wake potential
with respect to t can be rewritten as
Z r0 q~
w?
c
d ~
1 ~
~
E ? þ ðE
¼
dr
r
E
Þ
.
?
? r
Q 0
dr
r
qt
t¼tþr=c
(28)
Since the total derivative of the transverse
component of the electric ﬁeld with respect to r
is given by
d ~
q 1 q ~
E? ¼
þ
E?.
(29)
dr
qr c qt
~?
As the transverse electrical component E
vanishes at the boundaries ðr ¼ 0; r ¼ r0 Þ, we get
the following expression:
Z r0
q~
w?
c
dr ~
~ ? E r Þt¼tþr=c .
ðE ? r
¼
(31)
Q 0 r
qt
Let us evaluate the Eq. (31) for the time delay
t4r0 =c. In terms of function V ðr; y; jÞ the expression (31) is rewritten for each mode as
Z r0
q~
w?n
c ~
r?
¼
dran ðt þ r=cÞ
Q
qt
0
1 1 qV n q2 V n
2
kn V n
ð32Þ
r r qr
qr2
where
Qkn
ﬃ V n ðr0 ; y1 ; 0Þ½cosðon tÞ
an ðt þ r=cÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2U n
sinðkn r kn r0 Þ þ sinðon tÞ
cosðkn r kn r0 Þ.
In terms of function V ðr; y; jÞ the boundary
conditions at r ¼ 0; r ¼ r0 are read as r1 qV =dr ¼
0 and the following presentation of the integrals
are valid:
Z r0 ( sinðkr kr0 Þ )
1 qV 1 q2 V 1 2
k V dr
r2 qr
r qr2
r
cosðkr kr0 Þ
0
8
Z r0
1
V
>
>
cosðkr kr0 Þ 2 dr
> V ðr0 Þ þ
<
r0
r
0
ð33Þ
¼k
>
> R r0 sinðkr kr Þ V dr:
>
:
0 2
0
r
Based on the expression (3) for the function
V ðr; y; jÞ and using the following integrals for
the Bessel functions:
pﬃﬃﬃ
Z a
sin x J nþ1=2 ðxÞ
aJ nþ1=2 ðaÞ cos a
dx
¼
nðn þ 1Þ
x3=2
sin a
cos x
0
(34)
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the integrals in the right-hand side of the expressions (33) are modiﬁed to
8
Z r0 ( cosðkr kr Þ )
<0
0
V
dr ¼ k kV ðr0 Þ .
sinðkr kr0 Þ r2
: nðn þ 1Þ
0
(35)
Finally we get
Z r0 ( sinðkr kr0 Þ )
0
cosðkr kr0 Þ
8
k
>
>
V ðr0 Þ
>
< r0
.
¼
2
>
>
> k V ðr0 Þ
:
nðn þ 1Þ
1 qV 1 q2 V 1 2
k V dr
r2 qr
r qr2
r
Eq. (32) is then modiﬁed to
q
~?n ðy; j; tÞ
w
qt
2
~ ? ckn V n ðr0 ; y1 ; 0ÞV n ðr0 ; y; jÞ
¼ r
2U n
1
kn
sinðon tÞ .
cosðon tÞ þ
r0
nðn þ 1Þ
ð36Þ
wake potential vanishes [6] for any transverse
offset of the exciting and test charges, in conical
cavity the monopole transverse wake vanishes only
for the test charge moving along the axis of the
structure ðy ¼ 0Þ as dPn ðcos yÞ=dy ¼ 0 for y ¼ 0. If
the exciting charge moves along the axis of the
structure ðy1 ¼ 0Þ, the transverse wake potential is
given by
wy ðtÞ ¼
X 1
qPn ðcos yÞ
J 2nþ1=2 ðkn r0 Þ
U
qy
n
n
kn r0 cosðon tÞ
sinðon tÞ
nðn þ 1Þ
ð40Þ
as P0n ð1Þ ¼ 1 and Pm
n ð1Þ ¼ 0 for ma0. The test
charge following along ðy; jÞ is then experience
only the monopole transverse wake potential given
by the index n ¼ f0; n; lg.
5. Longitudinal wake potential of Gaussian bunch
ð37Þ
In terms of the wake potentials, Eq. (37) is
rewritten as
qw==n
q~
w?n
c
1
~
¼ r?
w==n (38)
r0
nðn þ 1Þ qt
qt
which is the analogous of the Panofsky–Wenzel
theorem for the conical geometry. The transverse
wake potential is then given by
X Pm ðcos y1 Þ
n
~? ¼
J 2nþ1=2 ðkn r0 ÞS n ðtÞ
w
Un
n
qPm
n ðcos yÞ
cos mj
~
ey
qy
Pm ðcos yÞ
þ~
ej m n
sin mj
ð39Þ
sin y
where
S n ðtÞ ¼
303
kn r0 cosðon tÞ
sinðon tÞ.
nðn þ 1Þ
Note, that in comparison with the wake ﬁeld
excitation in the structures of cylindrical symmetry
where the monopole term ðm ¼ 0Þ of transverse
The longitudinal wake potential W == ðtÞ induced by the arbitrary bunch is given by the
convolution of the point wake potential w== ðtÞ
and the bunch longitudinal distribution pðtÞ. In
particular, for the longitudinal wake potential
we have
Z
t
W == ðtÞ ¼
w== ðt t0 Þpðt0 Þ dt0 .
(41)
1
Consider the exciting bunch of Gaussian shape
and the test charge following along the axis of the
conical cavity y ¼ 0. We chose t ¼ 0 in the center
of the Gaussian bunch, thus the test charge follows
at the distance s ¼ ct behind the center of the
driving bunch. As mentioned in the previous
section, then the test charge experiences only the
longitudinal monopole wake potential. According
to (19) and (25) the longitudinal wake potential at
the distance s is then given by
Z s
1 X
s0 2
W == ðsÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2K n
exp 2
2s
2ps n
1
cos½kn ðs s0 Þ ds0
!
ð42Þ
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304
with s—the rms length of the bunch and,
K n ¼ k2n V 2n ðr0 ; 0; 0Þ=4U n —the loss factor of the
mode n ¼ f0; n; lg.
We assume the Gaussian bunch extended at the
interval ð5s; 5sÞ that contains 499:99% of the
bunch population. The wake potential behind the
bunch ðs45sÞ is then modiﬁed to
!
Z 5s
X 4K n
s0 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cosðkn sÞ
W == ðsÞ ¼
exp 2
2s
2ps
0
n
cosðkn s0 Þ ds0
X
2K n expðk2n s2 =2Þ cosðkn sÞ.
ð43Þ
n
The main contribution to the wake potential is
dominated by the cavity modes with the frequencies
up to kn s1. The numerical simulations for the
close conic of length r0 ¼ 0:4 m and opening angle
y0 ¼ p=6 have been performed when the ﬁelds are
excited by Gaussian bunch of r.m.s. length s ¼
10 mm and the total charge of Q ¼ 1 pC. The lowest
cavity mode frequency is o011 ¼ 733:9167 MHz
(wavelength l011 ¼ 40:858 cmÞ, thus the bunch
length s5l011 and the multi-mode behavior of the
wake potential dominates. Fig. 3 presents the
longitudinal wake potential within the bunch (left)
and behind the driving bunch (right). For the wake
potential within the bunch the convergence of the
modes summation is presented. The shapes of the
wake potential for the ﬁrst 20, 40, 60, 80 and 100
excited in cavity modes are given. As it is seen, for
the given cavity geometry and the bunch length, the
100 excited modes fully describe the longitudinal
potential. The maximum retarding potential is seen
by the bunch center, while the tail particles of the
bunch experience the accelerating ﬁeld excited by
the head of the bunch. The maximum longitudinal
wake potential behind the bunch does not exceed
twice of the maximum retarding potential within the
bunch in agreement with the beam loading theorem
[8]. The sharp echoes at the distance of about 0.8 m
ðs ¼ 2r0 Þ and 1.6 m ðs ¼ 4r0 Þ are caused by the
reﬂection of the excited in cavity ﬁelds from the
spherical wall of the cavity. The consequent peaks
follow at the distance s ¼ 2nr0 ðn ¼ 3; 4 . . .Þ behind
the center of the bunch.
6. Summary
The analytical presentation of the electromagnetic ﬁelds induced by the point charge in conical
cavity is determined. The induced ﬁelds are
represented by the expansion over the resonant
modes of the empty cavity. The analytical formulas for the resonant modes and the loss factor
are given. The longitudinal and transverse wake
potentials are calculated. The relation between
longitudinal and transverse single mode wake
potentials for the conical cavity is derived. The
obtained expressions for the induced ﬁelds have
been used for simulation of the longitudinal wake
potential, induced by Gaussian bunch.
Fig. 3. Longitudinal wake potentials within (left) and behind the Gaussian driving bunch (right).
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A. Tsakanian / Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 548 (2005) 298–305
Author expresses his thanks to Michael Ivanian
and Vasili Tsakanov for the permanent support of
the work and many helpful discussions. Special
thanks to Martin Dohlus for stimulating discussions on the wake ﬁelds excitations in resonant
structures.
References
[1] T. Weiland, B. Zotter, Part. Accel. 11 (1981) 143–151.
[2] S. Ratschow, T. Weiland, Phys. Rev. ST Accel. Beams 5
052001 (2002).
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[3] L.A. Wainshtein, Electromagnetic Waves, Sovetskoe Radio,
Moscow, 1957 (in Russian).
[4] M. Abramovits, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical
Functions, second ed., vol. 55, Department of Commerce,
1964.
[5] L.B. Felsen, N. Markuvitz, Radiation and Scattering of
Waves, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey,
1973.
[6] K.L. Bane, P.B. Wilson, T. Weiland, Wake Fields and
Wake Field Acceleration, SLAC-PUB-3528, December
1984.
[7] W. Panofsky, W. Wenzel, Rev. Sci. Instrum. 27 (1956) 967.
[8] P. Wilson, AIP Conference Proceedings, vol. 87, New York,
1982, pp. 450–583.

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