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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA
EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Dirección del Área de los EGEL
ENERO • 2017
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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA
EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Dirección del Área de los EGEL
ENERO • 2017
Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General
para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) y está
vigente a partir de agosto de 2015.
El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a
revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que
hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación
superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del
Consejo Técnico del examen.
El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELECTRO agradecerán todos los
comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:
Dirección del Área de los Exámenes
Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y
Arquitectura
Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C.
Av. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 37
Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón,
C.P. 01000, México, CDMX
Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103
http://www.ceneval.edu.mx
Email: eloin.alarcon@ceneval.edu.mx
D. R. 2017
Centro Nacional de Evaluación
para la Educación Superior, A. C. (Ceneval)
Octava edición
[EGEL-IINDU]
Directorio
Dirección General
Dr. en Quím. Rafael López Castañares
Dirección del Área de los Exámenes
Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL)
M. en Ed. Luz María Solís Segura
Encargado del Despacho de la Dirección del Programa de Evaluación de Egreso
(EGEL) en Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Ing. Eduardo Ramírez Díaz
Coordinación del Examen General para el Egreso
de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Ing. Eloín Alarcón Maldonado
Consejo Técnico
Representantes de instituciones educativas
M. en C. Arnulfo Luis Ramos
Benemérita Universidad Autónoma de
Puebla
Dr. Jorge de la Torre y Ramos
Universidad Autónoma de Zacatecas
M. en C. Arturo Javier Escoto Méndez
Centro de Enseñanza Técnica y Superior
Dr. Ramón García Hernández Universidad
Autónoma del Carmen
M. en C. Jorge Carlos Canto Esquivel
Instituto Tecnológico de Mérida
Dr. Armando Rafael San Vicente Cisneros
Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey
M. en I. Carlos Roberto González
Escarpeta
Instituto Tecnológico de Veracruz
Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez
Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo
Dr. Edgar Omar López Caudana
Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey
M. en C. Eduardo Rodríguez Ángeles
Universidad Autónoma del Estado de
México
M. en C. Gabriel Domínguez Sánchez
Universidad Autónoma de Aguascalientes
M. en C. Juan Carlos Aldaz Rosas
Universidad de Guadalajara
M. en C. Marco Antonio Félix Lozano
Universidad Autónoma de Baja California
Mtro. Víctor A. Gutiérrez Martínez
Cámara Nacional de la Industria Electrónica
de Telecomunicaciones y Tecnologías de la
Información
M. en C. David García Chaparro
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
M. en C. Mauricio Alberto Ortega Ruiz
Universidad del Valle de México
Dr. José Luis Tecpanecatl Xihuitl
Universidad Autónoma de San Luis
Potosí
M. en I. José Antonio Sánchez Flores
Universidad de la Salle Bajío
Dr. Gerardo Romero Galván
Universidad Autónoma de Tamaulipas
Dr. Armando Gregorio Rojas Hernández
Universidad de Sonora
Dr. Miguel Ángel Carrasco Aguilar
Universidad Autónoma de Tlaxcala
Dr. Luis Alfredo González López
Universidad de Sonora
Contenido
Administración de sistemas electrónicos ......................................................... 11
Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos .................................... 11
Inversión inicial ............................................................................................................ 11
Tasa mínima aceptable de rendimiento ....................................................................... 11
Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta .............................................................. 11
Valor presente neto (con TMAR) .................................................................................. 12
Valor presente neto (con anualidad e interés) .............................................................. 12
Tasa interna de retorno ................................................................................................ 12
Periodo de recuperación de la inversión ...................................................................... 13
Punto de equilibrio en ventas ....................................................................................... 13
Costo beneficio ............................................................................................................ 13
Ingeniería económica ................................................................................................... 14
Interés simple ........................................................................................................................... 14
Interés compuesto .................................................................................................................... 14
Valor futuro pago único............................................................................................................. 14
Valor presente pago único ........................................................................................................ 14
Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 14
Fondo de amortización ............................................................................................................. 15
Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 15
Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 15
Series de gradiente ................................................................................................................... 15
Tasa efectiva de interés anual .................................................................................................. 15
Capitalización continua ............................................................................................................. 15
Definición de “e” ........................................................................................................................ 15
Pagos continuos ....................................................................................................................... 16
Tasa mixta ................................................................................................................................ 16
Métodos de análisis de inversiones.............................................................................. 17
Valor presente .......................................................................................................................... 17
Valor futuro ............................................................................................................................... 17
Costo anual uniforme equivalente (CAUE)............................................................................... 17
Serie uniforme equivalente ....................................................................................................... 17
Recuperación de capital ........................................................................................................... 17
Retiro y reemplazo .................................................................................................................... 17
Tasa interna de retorno ............................................................................................................ 17
Periodo de recuperación........................................................................................................... 17
Razón costo-beneficio .............................................................................................................. 18
Diseño e integración de sistemas electrónicos ................................................ 19
Construcción e implementación de sistemas electrónicos............................. 19
Comunicaciones .......................................................................................................... 19
Radiofrecuencia ........................................................................................................................ 19
Parámetros de dispersión ......................................................................................................... 23
Líneas de transmisión .................................................................................................. 25
Impedancia característica ......................................................................................................... 25
Línea de transmisión de tipo microcinta ................................................................................... 26
Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas ................................................... 26
Constante de propagación ....................................................................................................... 27
Velocidad de propagación ........................................................................................................ 27
Tiempo de retardo .................................................................................................................... 27
Ondas estacionarias ................................................................................................................. 27
Coeficiente de reflexión ............................................................................................................ 27
Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión (𝚪) ................................... 28
Impedancia de entrada (Zin) ..................................................................................................... 28
Tabla de parámetros distribuidos ............................................................................................. 29
Antenas ....................................................................................................................... 30
Ganancia directiva .................................................................................................................... 30
Resistencia de radiación........................................................................................................... 30
Ancho de banda de la antena ................................................................................................... 30
Longitud efectiva ....................................................................................................................... 30
Área efectiva ............................................................................................................................. 30
Densidad de potencia radiada .................................................................................................. 30
Impedancia característica del medio ........................................................................................ 30
Potencia total radiada ............................................................................................................... 30
Directividad ............................................................................................................................... 31
Lóbulo ....................................................................................................................................... 31
Ancho del haz principal............................................................................................................. 31
Intensidad del campo................................................................................................................ 31
Conectores .................................................................................................................. 32
RJ45.......................................................................................................................................... 32
RJ11.......................................................................................................................................... 33
VGA .......................................................................................................................................... 34
USB........................................................................................................................................... 35
DB9 ........................................................................................................................................... 35
DB-25 ........................................................................................................................................ 36
IEEE.488 ................................................................................................................................... 37
RS-232 DB9 .............................................................................................................................. 38
RS – 422/485 DB – 9 ................................................................................................................ 39
Formulario general .............................................................................................. 40
Matemáticas ................................................................................................................ 40
Álgebra...................................................................................................................................... 40
Álgebra lineal ............................................................................................................................ 46
Cálculo diferencial .................................................................................................................... 48
Cálculo integral ......................................................................................................................... 53
Geometría ................................................................................................................................. 63
Geometría analítica plana......................................................................................................... 65
Geometría analítica del espacio ............................................................................................... 67
Trigonometría ........................................................................................................................... 71
Números complejos .................................................................................................................. 77
Análisis vectorial ....................................................................................................................... 79
Fracciones racionales ............................................................................................................... 86
Series de Fourier ...................................................................................................................... 87
Transformada de Fourier .......................................................................................................... 91
Transformada de Laplace ......................................................................................................... 95
Probabilidad y estadística ....................................................................................................... 100
Física ......................................................................................................................... 106
Mecánica ................................................................................................................................ 106
Electricidad y magnetismo ...................................................................................................... 116
Química ..................................................................................................................... 121
Análisis de circuitos eléctricos.................................................................................... 123
Ley de Ohm con fasores......................................................................................................... 123
Voltaje y corriente en elementos reactivos(con condiciones iniciales iguales a cero) ........... 123
Divisor de corriente ................................................................................................................. 124
Divisor de voltaje .................................................................................................................... 124
Leyes de Kirchhoff .................................................................................................................. 125
Potencia .................................................................................................................................. 126
Resonancia RLC serie ............................................................................................................ 127
Resonancia RLC paralelo ....................................................................................................... 128
Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias ................................. 129
Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales............................................. 130
Teoremas de redes ................................................................................................................. 131
Parámetros de dos puertos .................................................................................................... 133
Respuesta transitoria .............................................................................................................. 135
Función de transferencia ........................................................................................................ 141
Diagramas de Bode asintóticos .............................................................................................. 142
Sistemas acoplados ................................................................................................................ 143
Sistemas trifásicos .................................................................................................................. 144
Potencia trifásica .................................................................................................................... 146
Electrónica analógica ................................................................................................. 147
Diodo de propósito general .................................................................................................... 147
Diodo Zener ............................................................................................................................ 147
Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) ........................... 148
Transistor de unión bipolar (BJT) ........................................................................................... 151
Transistor de efecto de campo (FET) ..................................................................................... 161
Transistor MOSFET ................................................................................................................ 168
Amplificadores operacionales ................................................................................................. 169
Filtros activos .......................................................................................................................... 175
Filtros pasivos ......................................................................................................................... 179
Convertidores ......................................................................................................................... 180
Amplificadores de corriente .................................................................................................... 182
Electrónica digital ....................................................................................................... 186
Algebra de Boole .................................................................................................................... 186
Mapa de Karnaugh ................................................................................................................. 187
Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3 ..................................... 188
Circuitos digitales básicos ...................................................................................................... 188
Flip-flops ................................................................................................................................. 190
Electrónica de potencia .............................................................................................. 192
Fórmulas básicas .................................................................................................................... 192
Dispositivos ............................................................................................................................. 194
Teoría de control ........................................................................................................ 204
Terminología de la ingeniería de control ................................................................................ 204
Modelos de control ................................................................................................................. 204
Tipos de respuesta ................................................................................................................. 205
Regla de Mason ...................................................................................................................... 209
Controladores ......................................................................................................................... 210
Comunicaciones ........................................................................................................ 213
Osciladores ............................................................................................................................. 213
Modulación y demodulación AM-FM ...................................................................................... 218
Decibel .................................................................................................................................... 219
Oscilador de relajación UJT ................................................................................................... 220
Oscilador de relajación PUT ................................................................................................... 221
Instrumentación ......................................................................................................... 222
Valor promedio ....................................................................................................................... 222
El valor rms ............................................................................................................................. 222
Errores en medición ................................................................................................................ 222
Puentes de Wheatstone ......................................................................................................... 223
Puente de Kelvin ..................................................................................................................... 224
Ruido térmico o ruido de Jhonson .......................................................................................... 224
Termopar ................................................................................................................................ 224
Termistor ................................................................................................................................. 226
Sensores ................................................................................................................................. 227
Transformada Z ...................................................................................................................... 232
Tablas adicionales de datos prácticos........................................................................ 233
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Administración de sistemas electrónicos
Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos
Inversión inicial
II CO CP CA
donde:
II =Inversión inicial
CO = Costos de operación
CP = Costos de producción
CA = Costos de administración y ventas
Tasa mínima aceptable de rendimiento
TMAR * i
n
donde:
TMAR = Tasa mínima aceptable de rendimiento
µ = Monto
i = Tasa de interés
n = Número de periodos a considerar
Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta
TMARmixta I1 PR1 %I1 %PR1 I2 PR2 %I2 %PR2
donde:
TMARmixta = Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta
In = Inflación
PRn= Premio al riesgo
%In = Inflación ÷ 100
%PRn = Premio al riesgo ÷ 100
11
In PRn %In %PRn
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Valor presente neto (con TMAR)
n
St
t 1
1 i t
VPN S0
donde:
VPN =Valor presente neto
SO = Inversión inicial
St = Flujo de efectivo neto del periodo t
N = Número de periodos de la vida del proyecto
I = Tasa de recuperación mínima atractiva
Valor presente neto (con anualidad e interés)
1 i n 1
VS
VPN P A
i 1 i n
donde:
VPN = Valor presente neto
P = Inversión inicial
A = Anualidad
i = Tasa de interés
VS = Valor de salvamento al final del periodo n
n = Número de periodos
Tasa interna de retorno
n
TIR
1
FNEn
(1 i )
n
VS
(1 i )n
donde:
TIR = Tasa interna de retorno
FNE = Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación
VS = Valor de salvamento al final del periodo n
i = Tasa de interés
n = Número de periodos
12
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Periodo de recuperación de la inversión
ROI
UN
I
donde:
ROI = Periodo de recuperación de la inversión
UN =Utilidad neta
I =Inversión
Punto de equilibrio en ventas
PE
CF
CV
1
VT
donde:
PE = Punto de equilibrio
CF = Costos fijos
CV = Costos variables
VT = Ventas totales
Costo beneficio
B B D
C
C
donde:
B = Beneficios asociados al proyecto
C = Costo neto del proyecto
D = Valor de las desventajas
13
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Ingeniería económica
Glosario de términos para ingeniería económica
I:
n:
i:
P:
F:
A:
G:
Ief:
R:
m:
Inversión
Periodo
Tasa de interés
Valor presente
Valor futuro
Serie uniforme
Gradiente
Tasa efectiva
Tasa de interés divisible
Periodo de intervalo
 :
RC:
Vs:
Θ:
Pr:
B:
C:
D:
e:
Factor de pago continuo
Factor de recuperación de capital
Valor de salvamento
Tasa mixta
Periodo de recuperación
Beneficio
Costo
Desventaja
Base de logaritmos neperianos
Interés simple
I niP
Interés compuesto
i n
F
1
I
Valor futuro pago único
F P 1 i
n
Valor presente pago único
P F
1
1 i n
Cantidad compuesta serie uniforme
1 i n 1
F A
i
14
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Fondo de amortización
i
AF
1 i n 1
Recuperación del capital de una serie uniforme
i 1 i n
A P
1 i n 1
Valor presente de una serie uniforme
1 1 I n
P A
i
Series de gradiente
1
A G
i n
1 i n 1
Tasa efectiva de interés anual
m
ief
r
1 1
m
Capitalización continua
m
r
i lim 1 1 er 1
m
m
Definición de “e”
15
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
m
1
i lim 1 e
m
m
F
em
P
P
e m
F
em 1
F
A
er 1
1 em
P
A
er 1
A 1 n
G 1 e m em 1
Pagos continuos
em 1
F
r
Aˆ
em 1
P
Aˆ
rem
Tasa mixta
i
1
16
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Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Métodos de análisis de inversiones
Valor presente
n
Vp Flujo(P / F , i , j )
j 0
Valor futuro
n
Vp Flujo(F / P, i , j )
j 0
Costo anual uniforme equivalente (CAUE)
n
Vp Flujo(P / F , i , j ) * A / P, i , j
j 0
Serie uniforme equivalente
SAUE CAUE
Recuperación de capital
CAUE SAUE RC
P Vs
A
iVs
P, i , n
Retiro y reemplazo
CAUE j RC j A j
Tasa interna de retorno
n
Vp Flujo inicial Flujo(P / F, i , j )
j 1
Periodo de recuperación
Pr
ABS(flujo )
ingreso por periodo
17
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Razón costo-beneficio
B
D
B
C
C
Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.
18
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Diseño e integración de sistemas electrónicos
Construcción e implementación de sistemas electrónicos
Comunicaciones
Radiofrecuencia
Criterio de estabilidad de Linville
C
YrYt
2g1g0 Re YrYt
Si C < 1 el transistor es incondicionalmente estable
Si C > 1 el transistor es potencialmente inestable
Factor de estabilidad de Stern
K
2 g1 Gs g0 GL
YrYt Re YrYt
Ganancia máxima disponible en el transistor (MAG)
MAG
2
Yr
4g1g0
donde:
Yr = La admitancia de transferencia inversa
Yt = La admitancia de transferencia directa
g1 = La conductancia de entrada
g0 = La conductancia de salida
Re = La parte real del producto entre paréntesis
Gs = La conductancia de la fuente
GL = La conductancia de la carga
Criterio de estabilidad incondicional en términos de los parámetros S
2
K
2
1 S11 S22
2
2 S12S21
donde:
S11S22 S12S21 1
19
1
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Teorema de Miller
Cent (Miller ) Cbo 1 Av
1 Av
Csal (Miller ) Cbo
Av
Capacitancia de entrada Miller, donde C=Cbo
Capacitancia de salida Miller, donde C=Cbo
donde: Cbo es la capacitancia entre la entrada y la salida del amplificador.
Respuesta en frecuencia de un amplificador
Modelo de señal pequeña del BJT
Modelo de señal pequeña del FET
20
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)
Modelo equivalente de señal pequeña del amplificador
Los polos del circuito son:
1
fp1
fp 2
R
2ro C C 1 g mRL L C CL
ro
CgL C g m g o gL CL g o
gm
C CL
2C C CL C
donde:
RL
1
gL
r o
1
g o
21
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Respuesta en altas frecuencias de un amplificador fuente común (FET)
Considere el caso anterior (Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)) y
en las expresiones según la figura.
Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)
SiCi>> Cπ y Cµ es despreciable
La función de transferencia está dada por:
𝐶
r
ro
g R s2
Ri r RL ro m L
H s
1
1
s
s
Ci Ri r
Co ro RL
Los polos del circuito están dadas por:
fp1
1
2Ci Ri r
22
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
fp 2
1
2Co ro RL
Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador fuente común (FET)
Si Cµes despreciable:
La función de transferencia está dada por:
H s
ro
1
g Rs
Ri Cgs RL ro m L
1 Ci Cgs
s
Ri Ci Cgs
1
s
Co ro RL
y los polos del circuito son:
1
Ci Cgs
fp1
2R1
fp 2
Ci Cgs
1
2Co ro RL
Parámetros de dispersión
23
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b1 S11 S12 a1
b S
2 21 S22 a2
S11
b1
a1 a
Coeficiente de reflexión del puerto 1 (Entrada)
b2
a1
Coeficiente de transmisión del puerto 1 al 2 (Ganancia)
a2 0
b1
a2
a10
2 0
S21
S12
S22
b2
a2
Coeficiente de transmisión del puerto 2 al 1 (Ganancia en inversa)
Coeficiente de reflexión del puerto 2 (Salida)
a10
24
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
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Líneas de transmisión
Impedancia característica
Z0 276log
2D
d
donde:
D = distancia entre conductores o diámetro exterior
d = diámetro del conductor o diámetro interior
Impedancia característica para cable coaxial:
Z0
1 D
D
ln 138 r log
2 d
r
d
donde:
D = distancia entre conductores o diámetro exterior
d = diámetro del conductor o diámetro interior
r y r es la permeabilidad relativa y la permitividad relativa del material aislante, respectivamente.
25
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Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Línea de transmisión de tipo microcinta
Si t<<W
60 8b W
ln
e W 4b
Z0
120
e W / b 1.393 0.667ln W / b 1.444
donde:
e
r 1 r 1
1
2
2
1 12b / W
En otro caso:
Z0
5.98b
ln
1.41 0.8W t
87
r = constante dieléctrica
W = ancho de la pista
t = espesor de la pista
b = distancia entre la pista al plano a tierra
Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas
Z0
60
4d
ln
0.67W 0.8 t / b
Impedancia característica
Z0
R j L
G j C
26
Sí
W
1
b
Sí
W
1
b
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Constante de propagación
R j L G j C
Velocidad de propagación
1
vp
LC
Tiempo de retardo
td LC
Ondas estacionarias
Ondas estacionarias en una línea de transmisión en circuito abierto
Coeficiente de reflexión
Vr
Vi
ZL Z0
ZL Z0
Si Vmax 1 y Vmin 1
entonces:
Vmax Vmin
Vmax Vmin
donde:
= Coeficiente de reflexión
Vr = Voltaje reflejado
Vi = Voltaje incidente
27
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión (𝚪)
SWR
V max 1
V min 1
y
SWR 1
SWR 1
Si ZL y ZL Z0 , entonces:
SWR
ZL
Z0
SWR
Z0
ZL
Si ZL y ZL Z0 , entonces:
Impedancia de entrada (Zin)
Zin Z0
ZL jZ0 tan l
Z0 jZL tan l
donde:
β = es el número angular de onda
l = es la longitud de la línea
Para una línea de transmisión de / 2
Zin ZL
Para una línea de transmisión de / 4
Zin
Z02
ZL
28
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Tabla de parámetros distribuidos
Coaxial
Bifilar
d
Doble cinta
a
a
b
2a
b
t
C (F/m)
2
In b/a
In d/a
b
a
L (Hy/m)
In b/a
2
In d/a
a
b
2 cq
2 cq
cq b
G (Ω M)-1
Alta
frecuencia
Baja
frecuencia
In b/a
In d/a
R (Ω/m)
Rs 1 1
+
2 a b
Rs
a
2 Rs
b
Z0 (Ω)
In b/a
2
In d/a
a
b
p 1
1
+
2
a
2bt
2p
2p
bt
R (Ω/m)
a
2
R i L
G i C
Z0 (Ω)
29
a
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Antenas
Ganancia directiva
GdB
Pantena de prueba
Pantena de referencia
dB
Resistencia de radiación
Rr
Pradiada
2
Ientrada
2
l
Rr 790
Ancho de banda de la antena
fm fL fH
Longitud efectiva
le
292
f
Área efectiva
Aef
Wr
Pi
Densidad de potencia radiada
P , Re E H
Impedancia característica del medio
E
H
Potencia total radiada
Wr P , ds
30
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Directividad
D
Pmax
Wr
4r 2
Lóbulo
Lóbulo principal
Lóbulos menores
HPBW
Lóbulo trasero
Lóbulo lateral
Ancho del haz principal
BWn 2.25BW3dB
Intensidad del campo
E
30Dt Pt
d
31
0.5
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Conectores
RJ45
Cable cruzadoT568A
Cable cruzado T568B
32
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RJ11
Posición RJ11 RJ10 RJ14 Par T/R ± Colores cat 5e/6
1
1
2
2
1
3
4
3
4
2
3
5
5
4
6
6
1
2
3
T
+
blanco/verde
2
T
1
1
R
T
+ blanco/naranja
–
azul
+
blanco/azul
2
R
–
naranja
3
R
–
verde
33
Colores
antiguos
naranja
Colores
alemanes
rosa
blanco/naranja
azul/blanco
blanco/azul
negro
verde
rojo
verde
blanco
marrón
naranja/blanco
verde/blanco
amarillo
amarillo
azul
gris
Colores
blanco/verde
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
VGA
Pines
Un conector DE15 hembra.
Pin 1
RED
Canal rojo
Pin 2
GREEN
Canal verde
Pin 3
BLUE
Canal azul
Pin 4
N/C
Sin contacto
Pin 5
GND
Tierra (HSync)
Pin 6
RED_RTN
Vuelta rojo
Pin 7
GREEN_RTN Vuelta verde
Pin 8
BLUE_RTN
Vuelta azul
Pin 9
+5 V
+5 V (Corriente continua)
Pin 10
GND
tierra (Sincr. Vert, corriente continua)
Pin 11
N/C
Sin contacto
Pin 12
SDA
I²C datos
Pin 13
HSync
Sincronización horizontal
Pin 14
VSync
Sincronización vertical
Pin 15
SCL
I2Velocidad reloj
34
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
USB
Patillaje
The standard USB A plug (left) and B plug (right)
Pin 1
VCC (+5 V)
Pin 2
Data-
Pin 3
Data+
Pin 4
Ground
DB9
Se debe tener en cuenta que existen adaptadores DB9-DB25 para convertir fácilmente un enchufe
DB9 en uno DB25 y viceversa.
Pines
Número de clavija
Nombre
1
CD: Detector de transmisión
2
RXD: Recibir datos
3
TXD: Transmitir datos
4
DTR: Terminal de datos lista
5
GND: Señal de tierra
6
DSR: Ajuste de datos listo
7
RTS: Permiso para transmitir
8
CTS: Listo para enviar
9
RI: Indicador de llamada
35
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DB-25
Asignaciones de patas el conector D-25 para impresoras:Este conector trabaja para el puerto
paralelo.
Pata
Señal
E/S
Definición
1
STB#
E/S
Estrobo
2
PD0
E/S
Bit 0 de datos de impresora
3
PD1
E/S
Bit 1 de datos de impresora
4
PD2
E/S
Bit 2 de datos de impresora
5
PD3
E/S
Bit 3 de datos de impresora
6
PD4
E/S
Bit 4 de datos de impresora
7
PD5
E/S
Bit 5 de datos de impresora
8
PD6
E/S
Bit 6 de datos de impresora
9
PD7
E/S
Bit 7 de datos de impresora
10
ACK#
E
Reconocimiento
11
BUSY
E
Ocupado
12
PE
E
Fin del papel
13
SLCT
E
Seleccionar
14
AFD#
S
Avance automático
15
ERR#
E
Error
16
INIT#
S
Iniciar impresora
17
SLIN#
S
Seleccionar
18–25
GND
N/D
Tierra de señal
36
Formulario para el sustentante del
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IEEE.488
Terminales
Conector hembra IEEE-488
Pin 1
DIO1
Entrada de dato / bit de salida
Pin 2
DIO2
Entrada de dato / bit de salida.
Pin 3
DIO3
Entrada de dato / bit de salida
Pin 4
DIO4
Entrada de dato / bit de salida
Pin 5
EOI
Final o identificación
Pin 6
DAV
Validación de datos
Pin 7
NRFD
No está listo para recibir dato
Pin 8
NDAC
No se acepta el dato
Pin 9
IFC
Interfaz limpia
Pin 10
SRQ
Servicio
Pin 11
ATN
Atención de datos
Pin 12
SHIELD
Pin 13
DIO5
Entrada de dato / bit de salida
Pin 14
DIO6
Entrada de dato / bit de salida
Pin 15
DIO7
Entrada de dato / bit de salida
Pin 16
DIO8
Entrada de dato / bit de salida
Pin 17
REN
Remoto activado
Pin 18
GND
(emparejado con DAV)
Pin 19
GND
(emparejado con NRFD)
Pin 20
GND
(emparejado con NDAC)
Pin 21
GND
(emparejado con IFC)
Pin 22
GND
(emparejado con SRQ)
37
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
RS-232 DB9
PIN 1:
PIN 2:
PIN 3:
PIN 4:
PIN 5:
PIN 6:
PIN 7:
PIN 8:
PIN 9:
Detector de acarreo
Recibe dato
Transmite dato
Terminal de dato lista
Tierra
Dato listo
Requisita para mandar
Limpia para enviar
Indicador
Convertidor RS-232 a DB-25
38
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
RS – 422/485 DB – 9
PIN 1:
PIN 2:
PIN 3:
PIN 4:
PIN 5:
PIN 6:
PIN 7:
PIN 8:
PIN 9:
39
Salida auxiliar +
Dato de salida +
Tierra
Entrada de dato +
Salida auxiliar +
Salida auxiliar –
Salida de dato –
Entrada de dato –
Entrada auxiliar –
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Formulario general
Matemáticas
Álgebra
Propiedades de desigualdades
Si x y
Si x y; z 0
Si x y; z 0
Si x y; y z
x z y z
xz
yz
x,y,z
xz
yz
x
z
Teorema del residuo
f x ; g x 0 , existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f x g x q x r x , con
gr r gr g o r x 0
Teorema de la raíz racional
f ( x ) an x n an 1x n 1 ... a1x a0
an 0
a0 0
Las raíces racionales de f son de la forma
p
donde p es factor de a0 y q de an.
q
40
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Para matrices A y B
AB 1 B 1 A1
A y B no singulares
tr(A B) tr A + tr B
tr aA a tr A
AB T BT AT
det A det AT
det AB det A det B
A Adj A Adj A A
det (A-1 )
1
det (A)
A no singular
donde:
tr A= traza de A
AT= transpuesta de A
Fórmulas para potencia y raíces
p an q an p q a n
am an am n
am
a a
a
a
n
n
a m n
m
an
n
b
1
an
p n a q n a p q n a
n
n
n
m
amn
a n
b
ab n a n b
1
a a n
n
n
b b
b
n
a
n
am
n
a
m
n x
m
an
amx n am
a i a
*No es válida en algunos casos por ejemplo:
22
2,
Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares
41
2
2
2
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Transformación de expresiones algebraicas usuales
a b 2 a2 2ab b2
a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3
a b c 2 a2 2ab 2ac b2 2bc c 2
a2 b2 a b a b
a3 b3 a b a2 ab b2
ax 2 bx c 0
x1,2
a3 b3 a b a2 ab b2
b b2 4ac
2a
x 2 px q 0
x1,2
p
2
a b c 2 a2 2ab 2ac b2 2bc c 2
a b n a n
n n 1 n 2 2 n n 1 n 2 n 3 3
n n 1
a b
a b
a b
1
1 2
1 2 3
an bn a b an 1 an 2b an 3b2
abn 2 bn 1
bn
Logaritmos
x
log x log y
y
1
log n x log x
n
loga a 1
log x y log x log y
log
log x n n log x
loga n n log a
log1 0
Binomio de Newton
n n n n 1
n n 2 2 n n 3 3
b a
b
a a b a
0
1
2
3
a b n
Donde n tiene que ser un número entero
n n n 1 n 2 n k 1
1 2 3 k
k
42
p2
q
4
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Teorema del binomio (de Newton)
1 x 1
n
nx n n 1 x
1!
2!
2
Teorema binomial
n k n k
x a
k 0 k
n
x a n
Permutaciones
Número de permutaciones de n elementos
Pn n ! 1 2 3
n
Combinaciones y ordenaciones
Número de combinaciones sin
repetición
Ckn
Número de combinaciones con
repetición
n
k 1! n k 1
r n
Ck
k
k ! n 1 !
n
n!
k ! n k ! k
r con repetición
Número de ordenaciones sin repetición
n
n!
Okn Ckn Pk k !
n k !
k
Número de ordenaciones con repetición
r
Okn nk
donde:
C = número de combinaciones posibles
N = número de elementos dados
K = número de elementos seleccionados de entre n elementos dados
O =número de ordenaciones posibles
Serie binómica o binomial
f x 1 x 1 x
1
2!
x2
es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario
1 2 3
n!
n
43
n 1
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Serie de Taylor (serie de McLaurin)
f x f a
f ´ a
1!
x a
f ´ a
2!
x a 2
Forma de McLaurin, cuando a 0
f x f 0
f ´ 0
1!
x
f ´´ 0
2!
x2
Expansión de Taylor
ex 1
x x2 x3
1! 2! 3!
x
Determinantes por la regla de Cramer para la solución de ecuaciones simultáneas
Determinantes de segundo orden
Para el sistema de dos ecuaciones:
A1x B1y C1
A2 x B2 y C2
Se resuelve mediante:
=
x
y
A1
B1
A2
B2
C1
B2
C2
B2
A1
C2
A2
C2
= A1 B2 - B1 A2
C1 B2 B1 C2
A1 C2 C1 B2
Para el sistema de tres ecuaciones:
A1x B1y C1z D1
A2 x B2 y C2 z D2
A3 x B3 y C3 z D3
44
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Se resuelve mediante:
A1
A2
x
y
z
B1
C1
B2 C2 A1B2C3 A2B3C1 A3B1C2 A3B2C1 A1B3C2 A2B1C3
A3
B3 C3
D1
B1
D2
B2 C2
D3
B3 C3
C1
A1
D1
A2
D2 C2
A3
D3 C3
D1B2C3 D2B3C1 D3B1C2 D3B2C1 D1B3C2 D2B1C3
A1D2C3 A2D3C1 A3D1C2 A3D2C1 A1D3C2 A2D1C3
A1B2D3 A2B3D1 A3B1D2 A3B2D1 A1B3D2 A2B1D3
C1
A1
B1
D1
A2
B2
D2
A3
B3
D3
45
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Álgebra lineal
Si B v 1, v 2 ,
, v n es base de un espacio V; x V
y x 1v 1 2v 2
n v n ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es:
x
B
1, 2 ,
, n
T
Si u, v , w V C espacio vectorial, entonces f u,v u | v es producto interno en V si:
1) u | v v |u
3) u | v u | v
4) u | u 0 si u 0
2) u | v w u | v u | w
v v |v
12
norma de v
d u, v v u distancia de u a v
cos
u
v
u
v
Si B g1, g2 ,
i
v | g
g | g
i
i
Si e1, e2 ,
coseno del ángulo entre u y v
, gn es base ortogonal de un espacio V; v V y v
B
1, 2 , , n entonces
T
i 1, 2, ..., n
i
, em es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V; entonces, la
v |ei ei
m
proyección de v sobre W es:
i=1
46
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Para la transformación lineal T:VW
T V T v | v V
N T v V / T v O
dim V = dim T V + dim N T
recorrido de V
núcleo de T
Para T:VW
A v1, v 2 ,
,v n base de V y B base de Wla matriz asociada a T, MBA T tiene por columnas a:
T v1 , T v 2 ,
B
B
, T v n
B
para T:VV, v V es vector característico de T si:
T v v con 0 y v 0
47
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Cálculo diferencial
Relación de cambio: Derivada
Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio
Pendiente de una curva
En una curva y f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P
es también la tangente en dicho punto:
m tan
y '
x '
Relación media de cambio (cociente incremental)
La intensidad media de variación de la función y f ( x ) es la relación de los incrementos
y
x
correspondientes al segmento de curva PP1
y f ( x x ) f ( x )
x
x
Derivada (cociente diferencial)
Cuando x tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en
P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la
derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P:
y dy
f '( x )
x 0 x
dx
y ' lim
Interpretación geométrica de la derivada
Curvas de derivadas sucesivas
Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se
obtendrá la curva de y ' f '( x ) , o de la primera derivada de la curva dada y f ( x ) . Si se deriva la
curva y ' f '( x ) se obtendrá y '' f ''( x ) o la segunda derivada de la curva dada y f ( x ) , etc.
Radio de curvatura en un punto dado x.
(1 y 2 )3
y
48
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio
y ''
ax
1 y 2
y
y
by
1 y 2
y
Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión
Valores máximos y mínimos
Hágase y ' 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x a en y ''
Si y ''(a) 0 habrá un mínimo en x a
Si y ''(a) 0 habrá un máximo en x a
Punto de inflexión
Hágase y '' 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x a en y ''
Si y ''(a) 0 habrá un punto de inflexión en x a
Forma de la curva y f ( x )
49
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Crecimiento y decrecimiento
y '( x ) 0
y '( x ) 0
y '( x ) 0
y ( x ) crece si aumenta x
y ( x ) decrece si aumenta x
y ( x ) tiene en x una tangente paralela al eje x
Curvatura
y ''( x ) 0
y ''( x ) 0
y ''( x ) 0
y ( x ) será cóncava hacia arriba
y ( x ) será cóncava hacia abajo
con cambio de signo y ( x ) tendrá en x un punto de inflexión
sin cambio de signo y ( x ) tendrá en x un máximo o un mínimo
Otros casos
Si para x a
y '(a) y ''(a) y '''(a)
siguientes:
y ( n 1) (a) 0 , pero y n 0 , pueden presentarse los cuatro casos
50
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Tablas de derivadas
d
cx c
dx
d
du dv dw
u v w
dx
dx dx dx
d
dv
du
uv u v
dx
dx
dx
du
dv
v u
d u
dx
dx
2
dx v
v
du
1
dx dx
du
d
(c ) 0
dx
d
cx n ncx n 1
dx
d
du
cu c
dx
dx
d
dw
dv
du
uvw u v u w v w
dx
dx
dx
dx
d
du
u n nu n 1
dx
dx
dF dF du
(Regla de la cadena)
dx du dx
Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas
d v
d v ln u
d
du
dv
u
e
ev ln u
v ln u vuv -1 dx uv ln u dx
dx
dx
dx
loga e du
d
loga u
dx
u dx
d u
du
a au ln a
dx
dx
a 0, a 1
d
d
1 du
ln u
loge u
dx
dx
u dx
d u
du
e eu
dx
dx
Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas
d
du
sen u cos u
dx
dx
d
du
cot u csc 2 u
dx
dx
d
du
cos u sen u
dx
dx
d
du
sec u sec u tan u
dx
dx
d
du
tan u sec 2 u
dx
dx
d
du
csc u csc u cot u
dx
dx
d
1 du
cos1 u
dx
1 u 2 dx
d
1
du
sen1 u
2
dx
1 u dx
0 cos1 u
d
1 du
tan1 u
dx
1 u 2 dx
sen1 u
2
2
d
1 du
cot 1 u
dx
1 u 2 dx
tan1 u
2
2
0 cot 1 u
51
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
d
1
du
1
du
sec 1 u
,
dx
u u 2 1 dx u u 2 1 dx
d
1
du
1
du
csc 1 u
,
dx
u u 2 1 dx u u 2 1 dx
1
si 0 sec u 2
si sec 1 u
2
si
si
2
1
csc u 0
2
0 csc 1 u
Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas
d
du
senh u cosh u
dx
dx
d
du
coth u csc h2 u
dx
dx
d
du
cosh u senh u
dx
dx
d
du
sec h u sec h u tanh u
dx
dx
d
du
tanh u sec h2 u
dx
dx
d
du
csc h u csc h u coth u
dx
dx
d
1
du
sen h-1u
dx
u 2 1 dx
d
1 du
tanh1 u
,
dx
1 u 2 dx
d
1 du
cos h -1u
,
dx
u 2 1 dx
d
1
du
csc h-1u
,
dx
u 1 u 2 dx
si cosh1 u 0, u 1
si cosh1 u 0, u 1
si u 0, si u 0
d
1
du
sec h-1u
,
dx
u u 2 1 dx
d
1 du
coth1 u
,
dx
1 u 2 dx
u 1 ó u 1
si sec h 1u 0, 0 u 1
si sec h 1u 0, 0 u 1
52
1 u 1
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Cálculo integral
Significado de la integración
Por integración se entiende el encontrar una función F ( x ) a partir de una función dada y f ( x ) de
manera que la derivada F ( x ) sea igual a la original f ( x ) . Por lo tanto,
F ( x )
dF ( x )
f (x)
dx
La integral indefinida
f ( x )dx F ( x ) C
C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es
igual a cero.
Significado geométrico de la integral indefinida
Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas y F x con pendiente o derivada y F x .
Todas las curvas y f x son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y . La
constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto x0 , y 0 se tendrá:
C y 0 F ( x0 )
53
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La integral definida
La integral definida tiene la forma:
b
a f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a)
b
En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo
resultado del primero. Desaparece así la constante C.
54
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Reglas de integración
Formas fundamentales
u dv uv v du
n
u du
e
u
1 n 1
u
C
n 1
n 1
du eu C
au
C
ln a
u
a du
du
ln u C
u
Formas trigonométricas
sen u du cos u C
csc u cot u du csc u C
cos u du sen u C
tan u du ln sec u C
sec
csc
2
u du tan u C
cot u du ln sen u C
2
u du cot u C
sec u du ln sec u tan u C
sec u tan u du sec u C
csc u du ln csc u cot u C
Formas cuadráticas
a2 u 2 du
u
a budu
2
15b
3bu 2a a bu
3
2
2
du
a u
2
2
du
a
2
u2
3/2
a2 u 2
2
a u
a
2
a u
2
2
du
a u
2
2
sen1
du
1
u
du
u 2 a2
du
1
u
C
a
1 u
a
C
1
u
sec 1 C
a
a
u a
a2 u 2 2a ln u a
C
u
a2 u 2 a tan
C
a2 u 2
a a2 u 2
du a2 u 2 a ln
C
u
u
u2
u
a2
a2 u 2
ln u a2 u 2 C
2
2
du
1
u a
u 2 a2 2a ln u a
C
55
C
C
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a2 u 2
du
u2
2
2
2
u a u du
u 2du
a2 u 2
a2 u 2
ln u a2 u 2 C
u
1
u a2 u 2 a ln
u
2u 2 a2
8
a2 u 2
a4
u
sen1 C
8
a
u 2
a2
a u 2 ln u a2 u 2 C
2
2
a2 u 2
a a2 u 2
du a2 u 2 a ln
C
u
u
1 a a2 u 2
C
u a2 u 2 a ln
u
u2
du
a u
2
u 2du
a bu 2
du
a
2
u2
u 2du
u 2 a2
un
2
3
a bu
a bu
du
a2 u 2 C
2
a u
u
a
2
1
1
a2
a
bu
2a ln a bu
a bu
b3
du
udu
2
a u
2
2
C
2
3b
2
1
a n 1 u
n 1
bu 2a
u
u a bu a ln a bu
b 2n 3
ln u a2 u 2 C
2
u 2du
a2 u 2
u 2
a2
u
a u2
sen1 C
2
2
a
a2 u 2
u n du
u 2 a2
a
du u 2 a2 a cos1 C
u
u
u
du
2
u 2 a2
du
u a
u 2 a2
ln u u 2 a2 C
u
du
u2
2
1 2
u
a u 2 sen1 C
u
a
2u n a bu
2na
u n 1du
b 2n 1
b 2n 1 a bu
a bu
C
a bu
a u
ln u u 2 a2 C
2
a bu b2 a bu a ln a bu C
u 2
a2
u a2
ln u u 2 a2 C
2
2
du
2
du
u
a2
u
a2 u 2
sen1 C
2
2
a
a2 u 2 du
u
a2
u 2 a2
ln u u 2 a2 C
2
2
u 2 a2 du
a2 u 2 a
C
u
du
udu
du
2a n 1 u n 1 a bu
du
u2
a bu
C
56
u 2 a2
du
u 2 a2
u
1
3
du
a bu
2
a
u 2 a2
a2u
u
a
2
tan1
1
a
C
2
ln
u 2 a2
C
a bu a
a bu a
C, si a 0
a bu
C, si a 0
a
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
du
1
b
udu
a
u 2 a bu au a2 ln
a bu
C
u
1
a bu 2 b2 a bu b ln a bu C
u a bu 2 a a bu a2 ln
a bu
C
u
a
du
u2
2
1
3
2
du
2
2
2
u a u du
1
u
2u 2 5a2
8
u 2
a 2u 2
8
a2 u 2
a2 u 2
a bu
du
du 2 a bu a
u
u a bu
a bu
u
2
du
a bu b
du
u
2 u a bu
3a 4
u
sen1 C
8
a
a2
ln u a2 u 2 C
8
u 2du
1
2
2
a bu 2b3 a bu 4a a bu 2a ln a bu C
2
2
2
u u a du
u
2u 2 a2
8
u 2 a2
a4
ln u u 2 a2 C
8
Otras formas trigonométricas
csc
3
sen u du 21 u 41 sen2u C
2
cos u du 21 u 41 sen2u C
u du 21 csc u cot u 21 ln csc u cot u C
2
n 1
senn 2 u du
n
n 1
n
n 1
n 2
cos u du n1 cos u sen u n cos u du
1
n
n 1
n 2
tan u du n 1tan u tan u du
1
n
n 1
n 2
cot u du n 1cot u cot u du
1
n2
n
n 2
n 2
sec u du n 1 tan u sec u n 1 sec u du
1
n2
n
n 2
n 2
csc u du n 1cot u csc u n 1 csc u du
sen
n
u du n1 senn 1 u cos u
sen au sen bu du
cos au cos bu du
u
n
sen a b u
2 a b
sen a b u
2 a b
sen a b u
2 a b
sen a b u
2 a b
tan u du tan u u C
2
cot
2
u du cot u u C
sen
3
u du 31 2 sen2 u cos u C
cos
3
u du 31 2 cos2 u sen u C
tan u du 21 tan u ln cos u C
3
cot
C
3
sec
C
cos u du u n sen u n u n 1 sen u du
2
u du 21 cot 2 u ln sen u C
3
u du 21 sec u tan u 21 ln sec u tan u C
sen au cos bu du
57
cos a b u
2 a b
cos a b u
2 a b
C
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u sen u du sen u u cos u C
sen
n
u cosm u du
senn 1 u cosm1 u n 1
senn 2 u cosm u du
nm
nm
senn 1 u cosm1 u m 1
senn u cosm2 u du
nm
nm
sen u du u n cos u n u n 1 cos u du
u cos u du cos u u sen u C
u
2u 2 1
u 1 u2
1
u
cos
u
du
cos
u
C
4
4
1
utan u du
1
n
n
1
u sen u du
1 n 1
u n 1du
1
u sen u
, n 1
n 1
1 u 2
sen
n
1
u cos u du
1 n 1
u n 1du
1
u cos u
, n 1
n 1
1 u 2
cos
n
1
u tan u du
tan
1 n 1 1
u n 1du
u tan u
, n 1
n 1
1 u 2
u2 1
u
tan 1u C
2
2
1
u du u sen1 u 1 u 2 C
1
u du u cos1 u 1 u 2 C
1
u du u tan 1u 21 ln 1 u 2 C
Formas exponenciales y logarítmicas
ln u du u ln u u C
1
au 1 eau C
a2
1 n au n n 1 au
n au
u e du a u e a u e du
ue
au
du
au
e sen bu du
au
e cos bu du
eau
a b
2
2
eau
a2 b2
n
u ln u du
u n 1
n 12
n 1 ln u 1 C
1
u ln u du ln ln u C
a sen bu b cos bu C
a cos bu b sen bu C
Formas hiperbólicas
senh u du cosh u C
cosh u du senh u C
tanhu du lncosh u C
coth u du ln senh u C
1
sechu du tan senh u C
sechu du ln tan 21 u C
2
sech u du tanhu C
2
csch u du coth u C
sechu tanhu du sechu C
cschu coth u du cschu C
58
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Otras formas cuadráticas
2au u 2 du
2au u 2
u2
2au u 2
u2
u 2du
2au u 2
u a
a2
a u
2au u 2
cos1
C
2
2
a
du
2 2au u 2
a u
cos1
C
u
a
u 3a
2
u 2au u du
2
1 a
2au u 2
a u
cos1
C
a
2a u u 2
a u
2au u 2 a cos1
C
a
2au u 2
du
u du
2a u u 2
u 2a u u 2 a u C
u
du 2au u a cos
C
a
2
du
3a2
a u
cos1
C
2
a
2u au 3a2
a3
a u
2au u 2
cos1
C
6
2
a
59
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Regla de Simpson
Para curvas hasta de tercer grado
Ai
h
y 0 4y1 y 2
3
Para curvas de grado mayor que el tercero
A
h
y 0 y n 2 y 2 y 4 ... y n 2 4 y1 y 3 ... y n 1
3
Integrales múltiples
x a y f x F x, y dydx x a y f x F x, y dy
b
f2 ( x )
b
1
f2 ( x )
1
dx
donde y f1 x e y f2 x son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras
que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
y c x g y F x, y dxdy y c x g y F x, y dx
d
g2 ( y )
d
1
g2 ( y )
1
dy
donde x g1( y ) , x g2 ( y ) son las ecuaciones de las curvas HPG yPGQ, respectivamente, mientras
que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden
ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres
dimensiones.
s s( t )
t
a
r (t ) dt
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a, t .
Vector tangente unitario
En parámetro arbitrario:
r (t )
t (t )
r (t )
Vector normal principal
n(t ) b(t ) t (t )
Vector binormal
b (t )
r r (t )
r r (t )
60
En parámetro s:
t (s ) r (s )
n( s )
r (s )
r (s )
b (s )
r (s ) r (s )
r (s )
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Los vectores unitarios t , n, b forman una triada positiva b txn, n bxt , t nxb
Recta tangente en t0
Ecuación vectorial
Ecuación paramétrica
r r t0 r t0
x x0 y y 0 z z0
x0
y 0
x0
Plano oscilador t , n en t0
Ecuación vectorial
Ecuación paramétrica
r r t0 r t0 xr t0 0
x x0
x0
y y0
y 0
x0
y 0
z z0
z0 0
z0
Curvatura y torsión
y´´
3
t
r t xr t
r t
1 ( y´)2 2
3
r t r t xr t
r t xr t
d
N B kT
ds
d
T kN
ds
s r s
t
d
B N
ds
Plano normal
Ecuación vectorial
Ecuación paramétrica
r r t0 r t0 0
x0 x x0 y0 y y0 z0 z z0 0
Plano rectificante t , b en t0
Ecuación vectorial
r r t0 n t0 0
Ecuación paramétrica
x-x0
x0
y -y 0
y 0
z-z0
z0
y 0 z0 y 0z0
z0 x0 z0 x0
x0 y 0 x0 y 0
61
2
0
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Componentes tangencial y normal de la aceleración
aT a T
. a
x a
aN a N
Propiedades de la divergencia
i ) div (F G ) div (F ) div (G )
ii ) div (F ) div (F ) (grad ) F
iii ) div (F G ) G rot F -F rot G
62
Formulario para el sustentante del
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Geometría
Áreas
r
Círculo
A r
Trapecio
Bb
A
h
2
2
b
a
B
Triángulo
A
ab sen bh
2
2
a
a
h
α
Volúmenes
Prismas
V SB h
donde SB = área de la base
S h
Pirámides
V B
3
donde SB = área de la base
Esfera
r
V 34 r 3
A 4 r 2
Cilindro
V r 2h
A 2 rh
63
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Cono
V 31 r 2h
A r r 2 h2 r l
V 31 h a2 a b b2
2
a b h 2 b a
A
a b l
64
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Geometría analítica plana
Distancia entre dos puntos
x2 x1 2 y 2 y1 2
Pendiente de una recta
m
y 2 y1
x2 x1
Ecuación de una recta
y y1 m( x x1);
Ax By C 0
Ángulo entre rectas
tan
m1 m2
1 m1m2
Circunferencia
( x h)2 ( y k )2 r 2;
Ax 2 Ay 2 Dx Ey F 0
Parábola
Eje vertical
Eje horizontal
( x h)2 4p( y k );
Ax 2 Dx Ey F 0
( y k )2 4 p( x h);
By 2 Dx Ey F 0
LR 4 p
e 1
Elipse
Eje focal horizontal
x h 2 y k 2
1
; ab
Eje focal vertical
x h 2 y k 2
1
; ab
a2
b2
a2 b2 c 2 ;
b2
a2
LR
2b2
;
a
Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0;
Hipérbola
65
e
c
1
a
AC 0
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Eje focal horizontal
x h 2 y k 2
1
Eje focal vertical
y k 2 x h 2
1
a2
a2
c 2 a2 b2 ;
b2
b2
LR
2b2
;
a
Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0;
66
e
c
1
a
AC 0
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Geometría analítica del espacio
Considerando P1 x1, y1, z1 y P2 x2 , y 2 , z2
Vector que une P1 y P2
P1P2 x2 x1 , y 2 y1 , z2 z1 l , m, n
Distancia entre dos puntos
d
x2 x1 2 y 2 y1 2 z2 z1 2
l 2 m2 n 2
Recta que pasa por dos puntos
Forma paramétrica
x x1 l t
y y1 mt
z z1 n t
Forma simétrica
t
x x1
l
t
y y1
m
t
z z1
n
Cosenos directores
cos
x2 x1 l
d
d
cos
y 2 y1 m
d
d
cos
z2 z1 n
d
d
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte
positiva de los ejes x, y, z, respectivamente.
Ecuación del plano
- Que pasa por un punto P1 x1, y1, z1 y tiene vector normal a a1, a2 , a3 :
a1 x x1 a2 y y1 a3 z z1 0
-Forma general:
Ax By Cz D 0
cos2 cos2 cos2 1
o
l 2 m2 n2 1
67
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Distancia del punto P0 x0 , y 0 , z0 al plano Ax By Cz D 0
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
Coordenadas cilíndricas
x r cos
y r sen
z z
r x 2 y 2
1 y
tan x
z z
Coordenadas esféricas
x sen cos
y sen sen
z cos
x 2 y 2 z2
tan1 yx
z
cos1
2
x y 2 z2
68
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Definiciones geométricas importantes
tan
Ángulo entre dos rectas en el plano
Producto escalar para a y b que pertenecen a
3
m1 m2
1 m1m2
a b a1b1 a2b2 a3b3
i
j
k
a x b a1 a2 a3
Producto vectorial
b1 b2
b3
a1 a2 a3
a b c b1 b2
c1 c2
Producto mixto
Ángulo entre dos vectores
cos
ab
a
b3
c3
ax b
sen=
;
b
a
p po +tu
Ecuación vectorial de la recta
x xo at
y y o bt
z z ct
o
Ecuaciones paramétricas de la recta
u a, b, c
x xo y y o z zo
a
b
c
u (a, b, c)
Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma
simétrica
d
Distancia de un punto Q a una recta
PoQ x u
u
d
Distancia entre dos rectas
P1P2 u1x u2
u1 x u2
p po r u sv
Ecuación vectorial de un plano
x xo ru x sv x
y y o ruy sv y
z zo ruz sv z
Ecuaciones paramétricas de un plano
Ax By Cz D 0
Ecuación cartesiana de un plano en forma
general
N ( A, B, C)
PoP N 0 ;
Ecuación normal de un plano
69
N A,B,C
b
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PoQ N
Distancia de un punto Q a un plano
d
Ángulo entre una recta y un plano
sen
N
u
u
70
N
N
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Trigonometría
Medida de ángulos planos
Representación
La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco
(radianes). Se representa a veces, respectivamente, por y ̂ .
Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo (").
1° = 60'; 1' = 60"
Unidad de arco
1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco
también unitario. Por lo tanto:
1 rad
1m
1(número adimensional )
1m
Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla.
̂
0°
0
0
30°
/6
0.52
45°
/ 4
0.78
60°
/3
1.05
75°
5 /12
1.31
71
90°
/2
1.57
180°
3.14
270°
3 / 2
4.71
360°
2
6.28
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
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Equivalencias
Por definición:
360 2 rad, 1 rad
180
57.2967
rad 0.017453 rad
180
ˆ
180
57.2967
longitud de arco
ˆ arc
radio
1
La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central ̂ (en radianes) de la
circunferencia: b r ˆ
Funciones trigonométricas
72
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En un triángulo rectángulo:
cateto opuesto a
hipotenusa
c
cateto adyacente b
cos
hipotenusa
c
cateto opuesto
a
tan
cateto adyacente b
sen
Operaciones con funciones trigonométricas
sen2 A cos2 A 1
sen2 A 21 21 cos2A
sec 2 A tan2 A 1
cos2 A 21 21 cos2A
csc 2 A cot 2 A 1
sen2A 2sen A cos A
sen A
cos A
cos A
cot A
sen A
sen A csc A 1
cos2A cos2 A sen2 A
cos A sec A 1
tan A tan B
1 tan A tan B
A
1 cos A
sen
2
2
A
1 cos A
cos
2
2
tan A
tan A cot A 1
sen A sen A
cos A cos A
tan A tan A
sen A B sen A cos B cos A sen B
cos A B cos A cos B sen A sen B
tan A B
sen A sen B 21 cos A B cos A B
sen A cos B 21 sen A B sen A B
cos A cos B 21 cos A B cos A B
73
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Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A,
B, C.
Ley de los senos
a
b
c
sen A sen B sen C
Ley de los cosenos
c 2 a2 b2 2 a b cos C
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a b tan 21 A B
a b tan 21 A B
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Teorema de Pitágoras
a2 b2 c 2
74
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Valores de las funciones de ángulos importantes
sen
cos
tan
cot
sec
csc
0°
0
1
0
1
30°
1
2
3
3
3
2 3
3
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
2
2
3
3
3
2
2 3
3
1
0
0
1
45°
60°
90°
Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo
s e n
cos 90
cos
s e n(90 )
1 cos2
1 s e n2
cos
2
2
tan
2sen
1 tan2
cos2 cos2
1
1 cot
2
cos2
s e n2
2
2
cot
1 tan2
2
1 tan2
2
s e n2
cos2
1
cot
sen
cos
sen
1
tan
cos
sen
cos
1
2
1 tan2
2
2 tan
cot
tan(90 )
1 cot 2
1 2 s e n2
2
tan
cot(90 )
1 s e n2
1
1
cos2
2 tan
2
1 tan2
2
1 cos2
1
1
s e n2
cot 2 1
2
2cot
2
tan2
cot 2
1 tan2
75
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cos2 s e n2
2s e n cos
2cos 1
2
1 2sen
2
sen
2
1 cos
2
cos
2 tan
1 tan
2
cot tan
2
sen
1 cos
1 cos
sen
1 cos
1 cos
2
tan
1 cos
2
76
2
cot 2 1
2cot
1
1
cot tan
2
2
2
sen
1 cos
1 cos
sen
1 cos
1 cos
cot
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Números complejos
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
y
Se tiene que r z ( x, y ) y que arg( z ) tan1
x
Luego:
sen
cos
y
y r sen
r
x
x r cos
r
Por lo tanto:
z ( x, y ) x yi r cos i r sen r (cos i sen )
Forma exponencial de un número complejo
Sea z r (cos i sen ) un número complejo donde r es su módulo y su argumento. Entonces
mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:
z r (cos i sen ) r ei
Operaciones de números complejos en forma polar
r1
1 r2 2 r1 r2 1 2
n
r n r
k 360
n
Nota: cos i sen
;
ln r ei ln r 2 k i ;
k entero
k entero
Teorema de De Moivre
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
r cos isen r p cos p isenp
p
Sea n cualquier entero positivo y p 1 , entonces:
n
77
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r cos isen
1
n
r
1
n
cos n2k isen n2k
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un
número complejo haciendo k 0,1, 2, , n 1 .
78
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Análisis vectorial
Magnitud, dirección y componentes de vectores
Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección.
Coordenadas del punto inicial A del vector a : x1, y1, z1
Coordenadas del punto final B del vector a : x2 , y 2 , z2
Vectores unitarios sobre los ejes OX , OY , OZ : i , j , k
Componentes escalares
ax , ay , az 0
ax x2 x1
ay y 2 y1
az z2 z1
Componentes vectoriales
a ax ay az
a ax i ay j az k
Magnitud de un vector: a (o bien, a )
a ax2 ay2 az2
( a siempre 0 )
Cosenos directores de un vector: cos , cos , cos
79
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, , son los ángulos entre el vector a y los ejes OX ,OY ,OZ , , 0
cos
ax
,
a
cos
ay
a
cos
,
180
az
a
Cálculo de las componentes.Si se conocen a , , , ,
ax a cos ;
ay a cos ;
az a cos
Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores,
sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes
OX ,OY ,OZ
Adición y sustracción de vectores
Suma vectorial s de dos vectores libres a y b
s a b s x i s y j sz k
sx ax bx , sy ay by , sz az bz
s sx2 sy2 sz2
Diferencia vectorial s de dos vectores libres a y b
80
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s a b
sx ax bx , sy ay by , sz az bz
s sx2 sy2 sz2
Valores
importantes
s para 2
vectores
0°; 360°
a b
a b
a b
2 a
90°
a
2
b
a
180°
2
2
a b
0
270°
a
2
a
Suma vectorial s de dos vectores libres a y b , c , etc.:
s a b c s x i s y j sz k
sx ax bx c x , sy ay by c y , sz az bz cz
s sx2 sy2 sz2
Producto de un escalar por un vector
Escalar: Magnitud física sin dirección.
El producto escalar k con el vector a da el vector c
c k a
c x k ax ; cy k ay ; cz k az ; c k a
Si k 0 entonces c a por lo que:
Si k 0 entonces c a por lo que:
81
b
2
2
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Productos de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores libres a y b da el escalar k
Símbolo del producto escalar: punto “ ”
k a b b a a b cos a
b cos
k ax bx ay by az bz
cos1
ax bx ay by az bz
a
b
b
Φ
a
b cos Φ
Valores
importantes
a
b cos
0°; 360°
90°
180°
270°
a b
0
a b
0
Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F en el desplazamiento s
W Fuerza Desplazamiento F s
W F s cos
s
Φ
s cos Φ
F
El producto vectorial de dos vectores libres a y b da el vector c
82
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Símbolo del producto vectorial: cruz “x”
c ab ba
c ab sin a b sin
ca y c b
a , b , c forman una triada derecha
c x ay bz az by
c y az bx ax bz
cz ax by ay bx
c c x2 c y2 cz2
0°<Φ<180°
c
<
(c = 0)
>
b
Φ
a
Φ
b
Valores
importantes
180°<Φ<360°
a
c
0°; 360°
90°
180°
270°
a b sin
0
a b
0
a b
A B A B cos
0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A1B1 A2B2 A3B3
donde:
83
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A A1 i A2 j A3 k
B B1 i B2 j B3 k
Son resultados fundamentales:
i
j
k
Producto cruz: A B A1 A2
B1 B2
A3 A2B3 A3B2 i A3B1 A1B3 j A1B2 A2B1 k
B3
Magnitud del producto cruz A B A B sen
El operador nabla se define así:
i
j k
x
y
z
En las fórmulas siguientes se asume que U U( x, y, z) y A A( x, y , z ) tienen derivadas parciales.
Gradiente de U
U
U
U
grad (U ) U i
j k U
i
j
k
z
y
z
x y
x
Divergencia de A
A
A A
div ( A) A i
j k A1i A2 j A3k 1 2 3
z
x
y
z
x y
Rotacional de A
rotA A i
j k A1i A2 j A3k
z
x y
i
j
k
x
A1
y
A2
z
A3
A A A A
A
A
3 2 i 1 3 j 2 1 k
z z
x x
y
y
Laplaciano de U
84
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
2U (U )
2U
x 2
85
2U
y 2
2U
z 2
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Fracciones racionales
Descomposición
y(x)
P ( x ) a0 a1x a2 x 2 ... am x m
Q( x ) b0 b1x b2 x 2 ... bn x n
donde n y m son enteros y n>m.
Los coeficientes a , b pueden ser reales o complejos. Si n son las raíces de Q x , se obtiene la
forma factorizada:
y(x)
P( x )
P( x )
Q( x ) ( x n1)k1( x n2 )k 2 ...( x nq )kq
En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad k1, k2 , ..., kq de Q x , que pueden
ser reales o complejas; α es un factor constante.
Descomposición de fracciones parciales
Para lograr un manejo más sencillo de y ( x ) es conveniente descomponerla en fracciones parciales:
y(x)
A
A12
P( x )
11
Q( x ) x n1 ( x n1 )2
A21
A22
x n2 ( x n2 )2
Aq1
x nq
Aq 2
( x nq )2
A1k 1
( x n1 )k 1
A2k 2
( x n2 )k 2
...
Aqkq
( x nq )kq
Si los coeficientes de Q( x ) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas
conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales
reales. Si en b '1, n2 n1 (compleja conjugada de n1 ) y debido a su aparición por parejas k1 k2 k3 ,
entonces las fracciones parciales de b ' 2 , con las constantes A11,..., A2k 2 pueden agruparse en las
fracciones parciales:
B11x C11
x ax b
2
B12 x C12
( x ax b )
2
2
86
...
B1k x C1k
( x 2 ax b )k
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Series de Fourier
Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad x en
un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie
convergente de la forma:
f x
a0
an cos nx bn s e n nx
2 n 1
Los coeficientes de cada término se forman como sigue:
ak
1
f x cos kx dx
bk
Funciones pares: f x f x
ak
2
f x cos kx dx
0
para k 0,1,2, ,
bk 0
87
1
f x s e n kx dx
Formulario para el sustentante del
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Funciones impares: f x f x
ak 0
bk
2
f x s e n kx dx
0
para k 0,1,2, ,
Tablas de desarrollo en series de Fourier
88
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
y
y a para 0 x
y a para x 2
4a
se n(3 x ) se n(5 x )
y
sen x
...
3
5
a
π
o
y a para x
y a para x 2
4a
1
y
cos s e n x cos(3)s e n(3 x )
3
2π
3π
x
y
a
o
π/2
π
3π/2
2π
3π
x
2π
3π
x
-a
1
cos(5 )s e n(5 x ) ...
5
y a para x 2
y f 2 x
y
y
2a s e n( )
s e n 2( )
cos x
cos 2x
2
1
3
o
s e n3( )
cos 3 x ...
3
π
α
ax
para 0 x b
b
y a para b x b
a( x )
para b x
y
b
4a 1
1
y
s e n b s e n x 2 s e n(3b)s e n(3 x )
2
b 1
3
y
s e n(5b )s e n(5 x ) ...
5
ax
para 0 x 2
y
2
a
1
2
y f 2 x
a a s e n x s e n 2x s e n3 x
...
2 1
2
3
2ax
para 0 x / 2
y
2a x
para x
y
2
y
89
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
y f x
s e n3 x s e n5 x
a s e n x
...
2
2
3
5
ax
para 0 x
y
a 2 x
para x 2
y
y
8
2
y f 2 x
a 4a cos x cos3 x cos5 x
...
2
2
2 2 12
3
5
y a s e n x para 0 x
y a s e n x para x 2
y
y f x
2a 4a cos 2x cos 4 x cos 6 x
...
1 3
35
57
y 0 para 0 x
2
3
y a s e n( x ) para x
2
2
2
y
y f 2 x
2a 1
cos 2x cos 4 x
cos 6 x
cos x 2
2
. 2
...
2 4
2 1 4 17
6 1
2
y x para x
y
y f x f 2 x
2
cos x cos 2x cos 3 x
4 2
...
2
2
3
2
3
1
ax
para 0 x
y
y f 2 x
y
a 2a cos x cos 2 x cos 3 x
2 2
...
2
2
4 1
2
3
a s e n x s e n 2 x s e n3 x
...
1
2
3
y
90
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Transformada de Fourier
Definiciones:
F s t S w
s t e
jwt
j 1
dt ;
F 1 S w s t
1
jwt
S w e dw;
2
j 1
Reglas de operación
Desplazamiento en tiempo
F s t S w e jwt
Convolución
s1 t * s2 t
s1 s2 t d s2 * s1 t d
F s1 t s2 t S1 w * S2 w
F s t S w
F s at
1 w
S
,
a a
a0
F s1 t s2 t S1 w S2 w
Enseguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas importantes funciones del
tiempo.
Función tiempo s(t )
Densidad espectral S(w )
2ATsen(wt )
S(w )
wT
Función rectángulo A RT (t )
91
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Función tiempo s(t )
Función rectángulo con cambio de signo
Densidad espectral S(w )
S(w ) j 2 AT
sen 2
wt
2
S(w ) 4 AT cos(2wt )
s(t )
sen(w 0t )
A
w0
w 0t
w0
2
T
senwt
wt
S(w ) ARw 0 (w ) (Función rectángulo)
2
Función triángulo
wt
2
Tw
sen
2 AT
S(w )
Tw
2
ADT (t )
92
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Función tiempo s(t )
Rectángulo modulado
A RT (t )cos(w0t ) w 0
Densidad espectral S(w )
2 2
T0 aT
S(w ) A
Impulso de Gauss
Ae a
senT (w w0 )
senT (w w 0 )
A
w w0
w w0
2 2
t
w 2
A
2
S(w )
e 4a
a
Impulso coseno A cos(w0t ) w 0
2
T
T
cos w
AT
4
S(w )
2
T
1 w
2
2
2
2
Impulso cos2 A cos (w0t ) w 0 T
T
sen w
AT
1
4
S(w )
2
4
T
T
4 w 1 w
4
93
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Función tiempo s(t )
Impulso exponencial
Densidad espectral S(w )
S(w )
94
A
jw a
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Transformada de Laplace
Definiciones:
L f (t ) F (s ) f (t )e st dt ;
0
L1 F (s ) f (t )
1
2j
F (s )e
st
ds;
j 1
Reglas de operación
Linealidad
L f1(t ) f2 (t ) F1(s ) F2 (s )
L c f1(t ) cF1(s )
Teorema de traslación
Teorema de convolución
L f (t a) eas F (s )
t
t
0
0
f1(t ) f2 (t ) f1( ) f2 (t )d f2 ( ) f1(t )d
L f1 t f2 t F1 s F2 s
Cambio de variable
Diferenciación
1 t
L f F a s
a a
L f '(t ) sF s f 0
L f "(t ) s 2F s sf 0 f ' 0
n 1
n
k
L f (t ) s n F s f 0 s n k 1
Integración
L
k 0
f t dt s1 F s
95
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Tabla de transformadas de Laplace:
f(t)
F(s) = L {f(t)}
1
s
1.
1
2.
t n , n 1, 2,3,...
3.
t 1/ 2
4.
e at
5.
senkt
n!
sn 1
s
1
s
a
k
s k2
2
6.
cos kt
s
s2 k 2
7.
senhkt
k
s k2
8.
cosh kt
s
s k2
9.
eat t
F s a
10.
t a , a 0
11.
t a U t a , a 0
12.
t n t ,
13.
n t ,
14.
0 g t d
15.
t t0 , t0 0
16.
t n eat ,
2
2
e as
s
e as F s
1
n 1, 2, 3...
n
dn
ds n
F s
s nF s s n 1 0 ...
n 1, 2, 3...
F s G s
t
e st0
n!
( s a)n 1
n 1, 2, 3...
96
n 1
0
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
k
( s a)2 k 2
17. eat senkt
18.
eat cos kt
19.
tsenkt
20.
t cos kt
sa
( s a)2 k 2
2ks
( s k 2 )2
2
s2 k 2
(s 2 k 2 ) 2
2k 3
(s 2 k 2 )2
21. senkt - kt cos kt
2ks 2
22.
senkt + kt cos kt
23.
senhkt - senkt
24.
cosh kt - cos kt
25.
26.
27.
28.
s
2
2k 2s
s4 k 4
k2
s s2 k 2
k3
s s2 k 2
asenbt bsenat
s4 k 4
kt - senkt
s
cos bt cos at
s
2
2
a2 b2
29.
t
30.
t n 1
n 1
31.
exp at 1
32.
1
exp t / T
T
a
2
a
2
s
2
b2
2
b2
s
s
1
1
sn
a
s s a
1
1 Ts
97
1
2
ab a b
k2
2k 3
1 cos kt
2
2
Formulario para el sustentante del
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33.
34.
35.
s
1
sin kt
2k
s
1
sin kt
2k
t
cos kt
2
cos kt
s
s
36.
37.
1 at
e sin kt
k
2
40.
k2
2
2
2
1
s a s b
1
s a 2 k 2
1
t
s
1
t
s s
1
4 t
5
3
s
2
1 at
e e bt
t
43.
1
sin a t
t
a
2t t
e
s s
2
42.
44.
k2
2
1
2 t
3
41.
2
s3
ebt eat
,b a
ba
39.
s2
k
t sin kt
2
38.
k2
2
In
tan1 a s
a2
e 4t
e a s ; a 0
1 a s
e
; a0
s
a
45.
erfc
46.
Función de Bessel J0 kt
sb
sa
2 t
1
s2 k 2
Transformada inversa
Fracciones parciales
98
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Sea:
G(s )
Q(s )
P (s )
donde:
P(s ) s n an 1s n 1
a1s a0
Si G(s) tiene polos simples
G(s )
K1
K2
s s1 s s2
Kn
s sn
Q(s )
K i s si
P (s ) s s
i
Si G(s) tiene polos de orden múltiple
G(s )
Q(s )
P (s ) s s
1
Q(s )
s s2 s snr s si r
Siendo: i 1,2, , n r
G(s )
K1
K2
s s1 s s2
K( n r )
s s( n r )
A1
A2
s si s s 2
i
n - r términos de polos simples
Ar 1
d
r
s si G(s )
s si
ds
Ar 2
1 d2
s si r G(s )
2
2! ds
s si
1
d r 1
s si r G(s )
r 1
r
1
!
ds
s si
99
Ar
s si r
r términos de polos repetidos
r
Ar s si G(s )
s si
A1
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Probabilidad y estadística
Parámetro
Estimador
puntual
Intervalo de confianza
(1-) 100%
Media
(varianza 2 conocida)
X
1 n
Xi
n i 1
X z
2
n
X z
2
Varianza 2 (de una distribución normal)
Sn21
1 n
Xi X
n 1 i 1
n 1 sn21 2 n 1 sn21
2
x 2
2
Desviación estándar de distribución de medias
X
n
Valor promedio (media)
n
X
Xi
i 1
n
Media de medias
m
Xj
X
j 1
n
Intervalo o rango de valores
R Vmax Vmin
Media de rangos
m
Rj
R
j 1
m
100
, n 1
x2
1 , n 1
2
n
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Hipótesis nula
H0 : = 0,
Estadístico de prueba
2 conocida
H0 : = 0,
Z0
2 desconocida
t0
X 0
n
X 0
Sn 1
n
n
a
1
a n
a
n
b b
b
n
x02
Regresión lineal
y 0 1 x
0 y 1 x
1
n
n
y
xi
i
n
i 1
i 1
y i xi
n
i 1
n
xi
n
2
xi i 1n
i 1
2
Coeficiente de correlación de la muestra
y i xi x
n
i 1
r
xi x
i 1
n
y
2 n
i 1
i
y
Permutaciones
Prn
n!
n r !
Combinaciones
n
n!
r
r
!
n
r !
101
1
2 2
n 1 Sn21
02
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Permutaciones con objetos similares
Pnn1,n2 ,...,nk
n!
n1 ! n2 !...nk !
Probabilidad condicional
P A B
P A B
P B
Teorema de Bayes
P Bk A
P Bk P A Bk
N
P Bi P A Bi
i 1
102
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Valor promedio
aprom
a1 a2 ... an
n
donde:
aprom = valor promedio
an = valor de cada lectura
n = número de lecturas
Desviación estándar y varianza
d12 d22 dn2
n 1
donde:
= desviación estándar
di = desviación de la lectura i-ésima con respecto al valor promedio
L a varianza V es el valor de la desviación estándar elevado al cuadro
Distribución gaussiana
V 2
103
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Tabla de distribución de probabilidad normal estándar
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.758
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.999
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.695
0.7291
0.7611
0.791
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.992
0.994
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.983
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.937
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
0.04
0.516
0.5557
0.5948
0.6331
0.67
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
104
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.996
0.997
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.877
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.975
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.834
0.8577
0.879
0.898
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.985
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.648
0.6844
0.719
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.881
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.998
0.9986
0.999
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.883
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.989
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.999
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Modelos probabilísticos comunes
Nombre
Binomial
Distribución
Rango
Media
Varianza
Función
generatriz de
momentos
n x nx
p q
x
x = 0,1,..n
np
npq
(q + pe )n
pq x-1
x = 1,2,...
1
p
q
pe
1 - qe
p
Geométrica
2
p
pe
1 qe
De Pascal
(Binomial
negativa)
x 1 r x r
p q
r 1
x = r,r +1,...
r
p
De Poisson
( t ) x e - t
x!
x = 0,1,2,...
t
t
Uniforme
1
b-a
ax b
a+ b
2
(b - a )2
12
b
a
e -e
(b - a)
Exponencial
e - x
x 0
1
1
-
- < x <
Ji-cuadrada
x>0
2
t de Student
- < x <
0
,> 2
-2
Normal
1
2
1 x
2
e
F (de
Fisher)
0< x<
( t )r -1e - t
(r - 1)!
2
e
2
r
t( e-1)
2
2
,
2 - 2
2 > 2
Erlang
rq
t >0
r
105
2
2 22( 1 + 2 - 2 )
2
1( 2 - 2 ) ( 2 - 4 )
2 > 4
r
2
e
1
22
2
1 2
2
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Física
Mecánica
Centroides
Arco de circunferencia
y
r sen 180
rs
b
Triángulo
y
1
h
3
Sector de círculo
y
2r sen 180
3
2rs
Trapecio
y
h a 2b
3 ab
Segmento de corona circular
y
2 R 3 r 3 sen
3 R2 r 2
y
2 R3 r 3 s
3 R2 r 2 b
Segmento de círculo
y
s3
12 A
106
3b
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Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Estática
Fuerza aplicada paralelamente al plano de deslizamiento
Fricción estática
F1 F1 G tan 1
N G
C 1 variable 0
Valor límite
F F0 G tan 0
N G
0 tan 0
0 constante
Fricción dinámica
F F G tan
N G
tan 0
constante 0
Fuerza aplicada oblicuamente respecto al plano de deslizamiento
F G
0
sen0
G
sen 0 cos
sen 0
Rozamiento en un plano inclinado
tan tan
Fricción de chumaceras
De carga radial
M1 r rF
De carga axial
M
r1 r2
F
2
107
Formulario para el sustentante del
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Fricción rodante
Rodamiento de un cilindro macizo
F
f
f
N G
r
r
Condición de rodamiento
F 0N
Movimiento de una placa sobre rodillos
F
f1 f2 G1 nf2G2
2r
Si f1 f2 f y nG2 G1
f
G
r 1
F =
Fricción en cables
Fuerza de tracción para subir la carga G
F1 e0 G, Ff e0 1 G
Fuerza de tracción para bajar la carga G
F2 e 0 G, Ff 1 e 0 G
Transmisión de banda o correa
Fp
Mi
r
y Fp F
En movimiento
F0
Fp
e
F1 Fp
0
1
e0
e0 1
108
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
e0 1
Fa Fp
e 0 1
En reposo
F0 F1
2 e
1
Fa e0 1
Fa Fp
0
e0 1
e 0 1
Cinemática
F = xi + yj + zk
a=
=
dr
dt
a=
d
dt
d
2
ut +
un
dt
= u t
= r u r + r u
a = (r - r 2 )u r + (r + 2r )u
Movimiento en una dimensión
x = vt
x = x0 + vt
v=
1
(v + v 0 )
2
v = v0 + at
109
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
x = x0 +
1
(v 0 + v)t
2
x = x0 + v 0 t +
1 2
at
2
v 2 = v02 + 2a (x - x0 )
Dinámica
W
F = ma =
g
F =G
α
W: peso
mM
r2
F = m
dV
dt
X B = XB - X A
A
VB = VB - VA
A
aB = aB - aA
A
Características cinemáticas de puntos y segmentos rectilíneos
Conceptos lineales y angulares1
Se tiene que son conceptos lineales:
r = posición, v= velocidad, a = aceleración, t = tiempo
Se tiene que son conceptos angulares:
= posición, w= velocidad, = aceleración, t = tiempo
Expresión que relaciona ambos conceptos:
v wxr
1
Por simplicidad se omite la dependencia del tiempo en las funciones. Por ejemplo: v(t) ≡ V.
110
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Conceptos correspondientes a puntos y partículas en movimiento
Concepto
Símbolo(s)más
común(es)
Vector de posición (lineal)
Relación con
otra(s)función(es)
r
Velocidad (lineal)
v=
v, r
Aceleración (lineal)
a, r
a=
dr
dt
dv d 2 r
dt dt 2
Conceptos correspondientes a segmentos rectilíneos que modifican su dirección durante el
movimiento, y de cuerpos rígidos que contengan ese tipo de segmentos
Concepto
Vector de posición (angular)
Símbolo(s)más
común(es)
Velocidad (angular)
w,
Aceleración (angular)
,
Relación con
otra(s)función(es)
d
dt
dw d 2
=
2
dt
dt
w=
Componentes cartesianas de los vectores de posición, velocidad y aceleración lineales para
movimientos en el espacio, en un plano y rectilíneos.
r r (t ) xi yj zk
v r xi y j zk
a r xi y j zk
Entonces, si P se mueve en el plano xy tenemos:
r r (t ) xi yj
v r xi y j
a r xi y j
Si P realiza un movimiento rectilíneo cualquiera en el eje x se tienen:
r r (t ) xi
v r xi
111
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a r xi
Relaciones entre conceptos lineales y angulares.
a w wr r
Cinemática del cuerpo rígido
v R wx
a R ax wx wx
Ecuaciones aplicables a cualquier tipo de movimiento del cuerpo rígido.
Centro y eje instantáneo de rotación.
v w
donde es un vector perpendicular al eje instantáneo de rotación.
Primeros momentos de la masa de un sistema de partículas.
Con respecto a los planos xy, xz, yz tenemos:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
M xy mi zi , M xz mi y i , Myz mi xi
Primeros momentos de la masa de un cuerpo rígido.
Mxy zdM, Mxz ydM, Myz xdM
v
v
v
Ecuaciones escalares de centro de masa.
n
n
n
i 1
i 1
i 1
M Xc mi xi , MYc mi y i , MZc mi zi
Para cuerpos rígidos tenemos:
M Xc xdM, MYc ydM, MZc zdM
v
v
112
v
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Momentos de inercia de la masa de un cuerpo rígido.
I xx MM xz MM xy
I yy MM yz MM xy
Izz MM yz MM xz
Dinámica de la partícula
Ecuaciones de movimiento
F ma
Trabajo y energía
dT p dr
Energía cinética y su relación con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una
partícula
EC
1
m2
2
Impulso y cantidad de movimiento lineales
1
Fdt m2 m1
2
Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento lineales
Ecuación diferencial de movimiento para sistemas de partículas
n
F mi a1
i 1
F Mac
n
n
F
dt
m
v
mi v i
i
i
i 1
2 i 1
1
1
2
113
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Ecuación de impulso y cantidad de movimiento lineales para sistemas de partículas
Principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para sistemas de partículas.
n
n
m
v
i i mi v i 0
i 1
2 i 1
1
Ecuación para obtener la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido.
Hcc Icc
Ecuación para obtener la suma de los momentos de los elementos mecánicos que actúan sobre un
cuerpo rígido.
Mcc Icc
Momento de un sistema de fuerzas y/o pares que actúan sobre un cuerpo, con respecto el eje CC.
n
Mcc ( pi Fi )
i 1
Primera forma de la ecuación del trabajo y la energía para un cuerpo rígido que realiza un movimiento
plano general.
1
2
2
n
n
1
1
Fi dpi Q j d j M Vc2 Icc 2
F drc
2
2
i 1 1
j 1 1
2
Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento angulares.
2
Mcc dt Icc 2 1
1
Modelo matemático correspondiente a las vibraciones libres con un grado de libertad.
X 2n X 0 con 2n = cte
Modelo matemático correspondiente a las vibraciones forzadas con un grado de libertad.
X 2n X
donde 2n = cte.
114
Fe
m
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Trabajo, energía y conservación de la energía
U F r
dU F dr
P
U F r
F v
t
t
P: potencia
Psal
Pent
: eficiencia
U K Kf Ki
K
1
mv 2
2
K: energía cinética
W v vf v i
V: energía potencial
V ( y ) mgy
Ve
1 2
kx
2
Impulso e ímpetu
I Fdt
I p
p mv
p pf pi Fdt
p : ímpetu
p : impulso
115
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Electricidad y magnetismo
q1q2 r
r2 r
F k
E
F k
q1q2
r2
r r1 r2
F
q
E E dA
V k
q
0
E : flujo eléctrico
q
r
V : potencial electróstatico
b
Vb Va
Ub Ua
W
ab E dl
q
q
a
m i 1
U
qi q j
i 1 j 1 40 rij
U : energíapotencialelectróstatica
Capacitancia
q CV
C K 0
C
A
d
C k 0
C : capacitancia
A
d
Capacitor de placas paralelas
k 0
2l
In b / a
k : Constante dieléctrica
Capacitor cilíndrico
U
q2 1
1
CV 2 qV
2C 2
2
U : energia almacenada en un capacitor
u
1
k 0E 2
2
u : densidad de energía
116
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Corriente, resistencia y fuerza electromagnética
i
dq
dt
i: corriente eléctrica
i nqvA
j
i
ni qi v i
A
i
E
j
R
V
l
i
A
j: densidad de corriente, A: área
: resistividad
R: resistencia
R R0 1 t
Variación de R con la temperatura
Vab IR
ient isal
Elevaciones de potencial Caídas de potencial
P Vi Ri 2
V2
R
P: potencia eléctrica
117
v i 0
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Magnetismo
F qv B
ν:velocidad,
F il B
l : elemento de longitud
B:campo magnético
NiABsen
B dl
0 i
B dA
B
0 i
2r
B
0I
2a
B
0Ni
2r
dB
B
0I
send
4a
r : distancia
N : número de vueltas
r : radio
0I
cos 1 cos 2
4a
d B
dt
: fuerza electromagnética
Bl
d
dt
118
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Equivalencias
Longitud
1m
1 in
1 ft
1 mi
m
1
2.54x10-2
0.3048
1609
in
39.37
1
12
6.336x104
ft
3.281
8.333x10-2
1
5280
mi
6.214x10-4
1.578x10-5
1.894x10-4
1
Masa
1 kg
1 uma
1 lb
Kg
1
1.661x10-27
0.4536
uma
6.022x1026
1
2.732x1026
lb
2.205
3.662x10-27
1
Fuerza
1 dina
1N
1 lbf
1 kgf
dina
1
105
4.448x105
9.807x105
N
10-5
1
4.448
9.807
lbf
2.248x10-6
0.2248
1
2.205
kgf
1.020x10-6
0.1020
0.4536
1
Presión
1 atm
1 mm Hg
1 Pa
1 bar
atm
1
1.316x10-3
9.869x10-6
0.987
mm Hg
760
1
7.501x10-3
750.062
Pa
1.013x105
133.3
1
105
bar
1.013
1.333x10-3
10-5
1
Energía, trabajo, calor
1 Btu
1 HP∙h
1J
1 cal
1 kWh
1 eV
Btu
1
2545
9.481x10-4
3.969x10-3
3413
1.519x10-22
HP∙h
3.929x10-4
1
3.725x10-7
1.560x10-6
1.341
5.967x10-26
J
1055
2.385x106
1
4.186
3.600x106
1.602x10-19
cal
252
6.413x105
0.2389
1
8.600x105
3.827x10-20
Campo magnético
1 gauss
1 tesla
gauss
1
104
Flujo magnético
119
T
10-4
1
kWh
2.930x10-4
0.7457
2.778x10-7
1.163x10-6
1
4.450x10-26
eV
6.585x1021
1.676x1025
6.242x1018
2.613x1019
2.247x1025
1
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
1 maxwell
1 weber
maxwell Wb
1
10-8
108
1
1 rpm = 6.283 rad/min
120
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Química
Constantes
Carga del electrón = -1.6021 x 10-19 C
Carga del protón = 1.6021 x 10-19 C
Masa electrón = 9.1094 x 10-31 kg
Masa protón = 1.673 x 10-27 kg
Constante de Boltzmann = 1.3805 x 10-23 J/K
Constante de Planck = 6.6261 x 10-34 J s
Constante de Avogadro = 6.022 x 1023 mol-1
Constante gravitacional G = 6.67384 x 10-11 Nm2/kg2
Constante dieléctrica εo = 8.8542 x 10-12 F/m
Constante de permeabilidad = 4π x 10-7 H/m = 1.2566 x 10-6 H/m
Electrón-volt (eV) = 1.6021 x 10-19 J
Radio medio de la Tierra = 6.378 x 106 m
Distancia de la Tierra a la Luna = 3.844 x 108 m
Masa de la Tierra = 5.972 x 1024 kg
Masa de la Luna = 7.349 x 1022 kg
Aceleración en la superficie de la:
Luna 1.62 m/s2
Tierra g = 9.81 m/s2
ρCu = 1.71 x 10-8 Ω.m
ρAl = 2.82 x 10-8 Ω.m
ρAg = 1.62 x 10-8 Ω.m
ρFe = 9.71 x 10-8 Ω.m
δCu = 8.96 x 103 kg/m3
δAl = 2.7 x 103 kg/m3
δmadera = 0.6 - 0.9 x 103 kg/m3
121
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
122
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Análisis de circuitos eléctricos
Ley de Ohm con fasores
I
V
Z
donde:
I = Corriente [A]
V= Voltaje [V]
Z = Impedancia [Ω]
Voltaje y corriente en elementos reactivos(con condiciones iniciales iguales a cero)
Capacitor
v C (t )
1
i (t )dt
C
iC (t ) C
dv (t )
dt
v L (t ) L
di (t )
dt
Inductor libre de acoplamientos magnéticos
i L (t )
1
v (t )dt
L
Inductor con acoplamientos magnéticos
N
i k (t ) kl v l (t )dt
l 1
k 1,2,3,...., N
N
v k (t ) Lkl
l 1
di l (t )
dt
k 1,2,3,.., N
kl
cofLlk
Lkl
donde:
Lkl = Inductancia mutua entre el inductor k y el inductor l
Γkl = Invertancia mutua entre los inductores k y l
Cof Llk = Cofactor del la inductancia mutua Llk
ΔLkl = Determinante del sistema de inductancias propias y mutuas
123
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
k = k-ésimo inductor
N = número total de inductores que se encuentren acoplados
Divisor de corriente
Si el circuito está integrado por n elementos:
If
I1
R1
I X If
I X If
I2
R2
RTotal paralelo
RX
ZTotal paralelo
ZX
donde:
Ix = Corriente en el resistor o impedancia de interés
Rx = Resistor de interés
Zx = Impedancia de interés
Divisor de voltaje
+
R1
R2
Vf
+
V1
V2
+
Rn
Vn
-
124
In
Rn
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
VX Vf
RX
RTotal serie
Leyes de Kirchhoff
Ley de Kirchhoff de voltaje
Ley de Kirchhoff de corriente
Ne
Ni
Vk 0
Ik 0
k 1
k 1
donde:
Ne = Número de caídas o elevaciones de tensión en una malla cerrada
Ni = Número de corrientes que entran o salen a un nodo
K = k-ésimo elemento
125
Formulario para el sustentante del
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Potencia
Potencia activa
P VI cos
W
V2
cos
Z
W
P
W
P I 2 Z cos
Potencia reactiva
Q VI sin
VAR
V2
sin
Z
VAR
Q
Q I 2 Z sin
VAR
Potencia compleja
S VI * VA
Factor de potencia
fp cos
126
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Resonancia RLC serie
Frecuencia de resonancia
1
0
f0
LC
1
2 LC
Frecuencias de corte
2
1 R
1
R
f1
2 2L
LC
2L
f2
2
1 R
1
R
2 2L
LC
2L
Ancho de banda
BW f2 f1
BW
R
L
Factor de calidad
Q
Qs
0
BW
1 L
R C
127
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Resonancia RLC paralelo
Frecuencia de resonancia
1
0
f0
LC
1
2 LC
Frecuencias de corte
2
1
1
1
1
f1
LC
2 2RC
2RC
f2
2
1 1
1
1
2 2RC
LC
2RC
Ancho de banda
BW f2 f1
BW
1
RC
Factor de calidad
Q
0
BW
Qp R
128
C
L
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias
Sea v t una función de la forma:
v t Vo V1sen 1t 1 V2sen 2t 2 ... Vnsen nt n
Entonces, el voltaje eficaz (RMS) en una red excitada con una tensión v t es:
Vrms Vo2
1 n 2
Vk
2 k 1
donde k 1,2,3,..., n
Sea I t una función de la forma:
i t Io I1sen 1t 1 I2sen 2t 2 ... Insen nt n
La corriente eficaz (RMS) en una red en la que circula una corriente i t es:
Irms Io2
1 n 2
Ik
2 k 1
donde k 1,2,3,..., n
La potencia media es:
P VoIo
1 n
Vk Ik cos k k
2 k 1
donde k 1,2,3,..., n
129
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales
Impedancia
Zt
Zkl
co Zkk
donde:
ΔZkl= Determinante de las impedancias propias y mutuas entre mallas
cofZkk = Cofactor de la impedancia de malla donde están las dos terminales
Admitancia
Yt
Ykl
co Ykk
donde:
ΔYkl= Determinante de las admitancias propias y mutuas entre nodos
cofYkk = Cofactor de la admitancia de nodo donde están las dos terminales
130
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Teoremas de redes
Teorema de Thevenin
Pasos para obtener el circuito equivalente de Thevenin
Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el
circuito equivalente de Thevenin.
Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su
equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un circuito abierto.
Calcular el voltaje en los puntos A y B ( Vth ).
Poner en cortocircuito los nodos A y B y calcular la corriente de cortocircuito
( Icc ).
Calcular la impedancia de Thevenin como:
Zth
Vth
Icc
Construir el circuito equivalente de Theveninen los nodos A y B con Vth en
serie con Zth.
El teorema de Thevenin se puede aplicar para redes que cuenten con
acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro del
circuito al que se desea encontrar el equivalente.
Teorema de Norton
Pasos para obtener el circuito equivalente de Norton
Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el
circuito equivalente de Norton.
Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su
equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un cortocircuito.
Calcular la corriente de Norton que circula entre los nodos A y B ( IN ).
Considerar entre los nodos A y B un circuito abierto y calcular el voltaje de
circuito abierto ( Vca ).
Calcular la impedancia de Norton como:
ZN
Vca
IN
Construir el circuito equivalente de Norton.
El teorema de Norton se puede aplicar para redes que cuenten con
acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro del
circuito al que se desea encontrar el equivalente.
Teorema de reciprocidad
131
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Si se tiene un circuito formado sólo por elementos pasivos, entonces, es posible aplicar el
teorema de reciprocidad. Si este circuito tiene una fuente de corriente o voltaje a la
entrada, entonces, los pasos para aplicar el teorema de intercambio de fuentes son:
Identificar los nodos A y B donde se va a aplicar el teorema de reciprocidad.
Calcular el voltaje o corriente entre A y B.
Desconectar la fuente de entrada y conectarla entre A y B.
Si la fuente es de voltaje, la entrada se cortocircuita. Si la fuente es de
corriente, la entrada se pone en circuito abierto.
La corriente o el voltaje, según sea el caso, a la entrada del circuito es la
misma que en el caso original.
Teorema de superposición
Si el circuito es lineal es posible aplicar este teorema. Los pasos necesarios son:
Identificar el número de fuentes que se encuentran en el circuito.
Seleccionar una de ellas y para el resto de las fuentes debe considerarse lo
siguiente: si es una fuente de voltaje, ésta debe substituirse por un
cortocircuito y si es una fuente de corriente, ésta debe substituirse por un
circuito abierto.
Obtener los voltajes y corrientes en el circuito.
Repetir el proceso según el número de fuentes que haya en el circuito
seleccionando en cada iteración una fuente diferente.
Sumar los voltajes y corrientes obtenidos para cada una de las fuentes dadas
en el circuito.
132
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Parámetros de dos puertos
Parámetros de impedancias(Z)
V1 Z11I1 Z12I2
V2 Z21I1 Z22I2
Los parámetros de impedancias están dados por:
V1
I1 I
Z11
V2
I1
Z21
Impedancia de entrada
2 0
Impedancia de transferencia directa
I2 0
V1
I2 I
Z12
Impedancia de transferencia inversa
1 0
Z22
V2
I2
Impedancia de salida
I10
Parámetros de admitancias (Y)
I1 Y11V1 Y12V2
I2 Y21V1 Y22V2
Y11
I1
V1 V
Admitancia de entrada
2 0
Y21
I2
V1 V
Admitancia de transferencia directa
I1
V2 V 0
Admitancia de transferencia inversa
I2
V2 V 0
Admitancia de salida
2 0
Y12
1
Y22
1
133
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Parámetros híbridos directos
V1 h11I1 h12V2
I2 h21I1 h22V2
h11
V1
I1 V
Impedancia de entrada con terminales de salida en cortocircuito
I2
I1 V
Ganancia en corriente
V1
V2
Inverso de la ganancia de voltaje
I10
I2
V2
I10
2 0
h21
2 0
h12
h22
Admitancia de salida con terminales de entrada abiertas
Parámetros híbridos inversos
I1 g11V1 g12I2
V2 g 21V1 g 22I2
g11
g 21
g12
I1
V1 I
V2
V1
Admitancia de entrada con terminales de salida abiertas
2 0
Ganancia en voltaje
I2 0
I1
I 2 V 0
Inverso de la ganancia corriente
V2
I 2 V 0
Impedancia de salida con terminales de entrada en cortocircuito
1
g 22
1
134
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Respuesta transitoria
Condiciones iniciales y finales de los elementos
Elemento
R
L
C
Circuito equivalente inicial para t < 0
Cargado
Descargado
Circuito equivalente para t>>0
Resistencia
iL(0-) = iL(0+)
iL(0+) = 0
Fuente ideal de corriente Circuito abierto
vC(0-) = vC(0+)
VC(0+) = 0
Fuente ideal de Voltaje
Cortocircuito
Cortocircuito
Circuito abierto
Respuesta total en circuitos RC
Para la corriente
t
i t
E v c 0 e RC
R
A
Para el capacitor
t
vC t E vC 0 E e RC
V
Para la resistencia
v R t Ri t E v c 0
Constante de tiempo
RC
donde vc(0) es el voltaje inicial en el capacitor.
135
s
t
RC
e
V
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Respuesta total en circuitos RL
Para la corriente
E
i t 1 e
R
Rt
i 0 e L
Rt
L
A
Para el resistor
Rt
v R t Ri t E 1 e L
Rt
Ri 0 e L
V
Para el inductor
vL t L
di t
dt
Ee
Rt
L
Ri 0 e
La constante de tiempo es:
L
R
136
s
Rt
L
V
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Respuesta libre en un circuito RC
i t
t
E RC
e
[ A]
R
v R Ri (t ) Ee
t
RC
V
t
vC (t ) E v R (t ) E 1 e RC V
Respuesta libre en un circuito RL
i t
E
e
R
vR t
vL t
Rt
L
Rt
Ee L
Rt
Ee L
137
A
V
V
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Respuesta libre de un circuito RLC
Solución General para i(t)
i t k1eD1t k2eD2t
donde D1 y D2 son las raíces:
2
D1
R
1
R
2L
2
L
LC
D2
R
1
R
2L
LC
2L
2
R
2L
2
1
LC
2 2
v c 01 Voltaje inicial en C
Caso I: 2 2
Respuesta bajo amortiguada (raíces complejas conjugadas)
i t k1e
j t
k2e
k1 k2
138
j t
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
v c 0
k
i t
2L
e
v c 0
t
L
sen t A
Caso II: (𝛼 2 = 𝜔2 )
Respuesta críticamente amortiguada (raíces reales repetidas)
i t k1et k2et
k1 0
k2
i t
v c 0
L
te
v c 0
t
L
A
Caso III:(𝛼 2 > 𝜔2 )
Respuesta sobreamortiguada (raíces reales diferentes)
i t k1e
t
k2e
k1 k2
139
t
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
k1
k2
i t
v c 0
2L
v c 0
2L
e
v c 0
t
L
140
senh t
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Función de transferencia
H s
H s
H s
H s
Vo s
Vi s
Vo s
Ii s
Io s
Ii s
Io s
Vi s
Relación de voltajes
Impedancia de transferencia
Relación de corrientes
Admitancia de transferencia
donde Io s y Vo s son la corriente y el voltaje en la salida, respectivamente. Ii s y
Vi s son la corriente y el voltaje en la entrada, respectivamente.
141
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Diagramas de Bode asintóticos
Summary of Bode straight-line magnitude and phase plots.
Factor
Magnitude
Phase
20log10 K
K
0
90N
20N dB /decade
jN
1
j
N
1
1
20N dB /decade
90N
20N dB /decade
j
1 z
90N
N
0
z
z
10
p
10
0
p
1
1 j p N
20N dB /decade
z
10z
p
10 p
90N
180N
40N dB /decade
2 j j 2
1
n
n
N
n
k
1
1 2 j / j / 2
k
k
N
0
n
10
k
10
0
n
k
10n
10k
40N dB /decade
180N
142
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Sistemas acoplados
Factor de acoplamiento
K kl
Llk
Lkk Lll
Inductancia mutua
Lkl Kkl Lkk Lll
donde:
Kkl= factor de acoplamiento entre los inductores k y l
Lkl = inductancia mutua entre los inductores k y l
Lll= inductancia propia del inductor l
Lkk= inductancia propia del inductor k
143
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Sistemas trifásicos
Resistencia y reactancia en serie
La impedancia Z de una carga reactiva que está formada por una resistencia R y una
reactancia en serie es:
Z R jX
Convirtiéndola a su admitancia equivalente Y:
Y
R jX
Z
2
donde:
Z R2 X 2
Según la ley de Ohm:
V ZI
y
I YV
Entonces:
I
VR jVX
Z
I
VR
Z
2
2
j
VX
Z
2
I IP jIQ
donde IP e IQ son las corrientes activa y reactiva, respectivamente.
La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ son:
IP
VR
IQ
VX
Z
Z
2
2
I cos
I sin
144
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
donde está dada por:
P
Q
Q
tan1 cos1 sin1
S
S
P
Si se aplica una tensión V, a una carga reactiva Z y la corriente I que circula en el circuito,
entonces, la potencia compleja S, potencia activa P y potencia reactiva Q están dadas
por:
S VI *
ZV 2
Z
2
P VIP
Q VIQ
2
I Z
V 2R
Z
2
V2X
Z
2
El factor de potencia ( fp ) y el factor reactivo ( fr ) son:
fp cos
R
Z
fr sen
X
Z
145
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Potencia trifásica
Para una carga balanceada conectada en estrella con una tensión de línea Vlinea y una
corriente de línea Ilínea :
Vestrella
Vlinea
3
Iestrella Ilínea
Zestrella
Vestrella
Vlinea
Iestrella
3Iestrella
Sestrella 3VestrellaIestrella 3VlineaIlínea
Vlinea 2
3Ilínea 2Zestrella
Zestrella
Para una carga balanceada conectada en delta con una tensión de línea Vlinea y una
corriente de línea Ilínea :
Vdelta Vlínea
Idelta
Zdelta
Ilínea
3
Vdelta
V
3 línea
Idelta
Ilínea
Sdelta 3VdeltaIdelta
3Vlínea 2
Ilínea 2Zdelta
Zdelta
Note que la equivalencia entre cargas balanceadas conectadas en estrella y delta es:
Zdelta 3Zestrella
146
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Electrónica analógica
Diodo de propósito general
Ecuación de Shockley del diodo
qVD
ID IS e nk T 1
donde:
ID = Corriente a través del diodo [A]
Is = Corriente de saturación (10-12 A)
VD = Voltaje de polarización directo [V]
q= Carga del electrón (1.6022E-19) [C]
n = Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8
k = Constante de Boltzman 1.3806E-23 [J/K]
T = Temperatura absoluta [K]
Diodo Zener
Regulación de línea =
Rz
Rz Rs
Regulación de carga Rz Rs
Regulación Zener
Rs
Rz Rs
Vzo Vz (Rz Iz )
Para RL = 0
Iz
Vs Vzo
Rz Rs
El voltaje de salida está dado por:
Vo Vzo (Rz Iz )
Rs
Vs Vzo Rz Iz
Iz IL
147
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
En caso de conocer los rangos de VS e IL
Rs
Vs(max) Vzo Rz Iz(max)
Rs
Iz(max) IL(min)
Vs(min) Vzo Rz Iz(min)
Iz(min) IL(max)
Pz Vz Iz
Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación)
Rectificador de media onda
Voltaje de rizo pico-pico
Voltaje de salida VO
Voltaje rizo rms
Factor de rizo
Cálculo del capacitor
Relación Vrms y VL
Vm
f RL C
Vr ( pp )
VO(cd )
Vr ( rms )
FR
C
Vm 2f RLC 1
2f RL C
Vm
1
FR
2 2f RL C 1
1
1
2 RF
Vrms
1
0.0024
VL
420
Regulación de voltaje
Regulación línea
Vsal
100%
Vent
Regulación carga
VNL VFL
VFL
Regulación de carga
148
VO(cd )
Vm 4f RLC 1
Vr ( rms )
2 2 f RL C
1
2f RL
Rectificador de onda
completa
Vm
Vr ( pp )
2f RL C
Rsal
100
RFL
C
4f RL C
Vm
4 2 f RL C
1
2 4f RL C 1
1
4f RL
1
1
2 RF
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
donde:
VNL = Voltaje sin carga
VFL = Voltaje a plena carga
Regulador básico en serie con OA
R
Vo 1 2 Vref
R3
Reguladores en paralelo lineales básico
ILmax
Vin
RL
Reguladores de conmutación básicos
t
Vo off Vin
T
donde:
T = tin + toff
Reguladores de voltaje en circuito integrado
149
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
R
Vsal Vref 1 2 I ADJ R2
R1
IL(max)
Vsal
IG
R11
150
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Transistor de unión bipolar (BJT)
Parámetros de corriente directa
cd
Ic
IB
cd
Ic
IE
donde:
βcd=Ganancia en corriente en CD
αcd=Factor de amplificación de corriente en polarización directa
IC=Corriente de colector
IB=Corriente de base
IE=Corriente de emisor
Corrientes en un transistor
IE IC IB
Voltaje entre la base y el emisor
VBE 0.7 V
Corriente en la base
IB
VCC VBE
RB
donde:
VBB = Voltaje de polarización en la base
VBE = Voltaje base-emisor
RB = Resistencia de base
Voltaje en el colector con respecto al emisor
VCE VCC IC RC
donde:
VCC =Voltaje de polarización en el colector
VCE = Voltaje colector-emisor
RC =Resistencia de colector
151
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Voltaje en el colector con respecto a la base
VCB VCE VBE
donde:
VCB =Voltaje colector-base
VCE = Voltaje colector-emisor
RC =Resistencia de colector
Condición de corte
VCE corte VCC
Corriente de saturación en el colector
IC SAT
VCC VCE SAT
RC
Corriente de base mínima para saturación
IBmin
IC SAT
cd
Polarización
Polarización con realimentación del emisor
VB IE RE VBE
VC VCC IC RC
152
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
VE VB VBE
IE
VCC VBE
RE RB / cd
IC IE
Polarización con realimentación del colector
VC VCC IC RC
VB VBE
VE 0 V
IC
IC
VCC VBE
RC
VCC VBE
R
RC B
cd
VCE VCC IC RC
IE IC
IB
VC VBE
RB
153
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Polarización de base
VB VBE
VC VCC IC RC
VE 0 V
V VBE
IC cd CC
RB
IE IC
IB
VC VBE
RB
VCE VCC IC RC
154
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Polarización del emisor
VB VE VBE
VC VCC IC RC
VE VEE IE RE
IE
IE
VEE VBE
RE
VEE VBE
R
RE B
cd
IE IC
IB
VB
V
IB B
RB
RB
155
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Polarización con divisor de voltaje
R2
VB
VCC
R1 R2
VC VCC IC RC
VE VB VBE
IE
VE
RE
IE IC
IE
VTH VBE
R
RE TH
cd
IB
VB
cd RE
156
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Parámetros de corriente alterna (amplificador)
Amplificador emisor común
Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden
r 'e
25mV
IE
Rin R1 R2
ca r 'in
Rout RC RL
AV
RC RL
r 'e
AI
IC
Iin
157
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Impedancia de entrada de un seguidor de voltaje
Zin Rin RB
Rs RE
RL
Amplificador con compensación para variación de temperatura
AV
RC RL
RE1
Rout RC RL
Rin R1 R2 ca 1 r 'e RE1
158
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificador colector común
Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden
r 'e
Rin R1 R2
25 mV
IE
ca 1 r 'e RE
RL
Rout RE RL r 'e R1 R2 rout ca 1
AV
Re
1
r 'e Re
Ai
Ie
Iin
Amplificador en base común
Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden
r 'e
25 mV
IE
159
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Rent(emisor) r 'e
Rsal RC
AV
RC
r 'e
Ai 1
donde:
r’e=Resistencia interna de CA en el emisor
Rent=Resistencia de entrada
Rsal=Resistencia de salida
Av=Ganancia en voltaje
Ai=Ganancia en corriente
160
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Transistor de efecto de campo (FET)
Parámetros de corriente directa
Características de transferencia de un JFET
VGS
ID IDSS 1
VGS (corte)
2
Transconductancia
VGS
gm gm0 1
VDS corte
2
Transconductancia con VGS = 0
gm0
2IDSS
VGS(corte)
Característica de transferencia de E – MOSFET
ID K VGS VGS(umbral)
161
2
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Polarización
Polarización fija
VGS VGG
IDS
VDD VDS
RD
VDD IDS VDS
Autopolarización
IDS
RS
VGS
RS
VGS(OFF )
IDSS
162
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
IDS
VGS
IDSS 1
VGS
(OFF )
2
K1 0.382
IDS K1IDSS
VGSQ 0.382VGSoff
IDS
VDD VDS
RD RS
VDD IDS RD RS VDS
Polarización por divisor de voltaje
IDS
VGG VGS
RS
RG R1 R2
VGG
IDS
R1
VDD
R1 R2
VDD VDS
RS RD
163
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificador fuente común
RG R1 R2
RL RC RL
Zi RG
Zo rds RD
AV
RG
VL
gm rds RD RL
VS
RG rS
Ai
rDS RD
VL
gm RG
VS
rDS RD RL
ID RS
ID IDSS 1
VGS
(CORTE )
AV gmRd
164
2
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
V
Rent RG GS
IGSS
Parámetros de corriente alterna (amplificador)
Amplificador drenaje común
Característica
Drenaje común
Zi
RG
Z0
r
Rs ds
1
AV 1
VL
Vin
AI1
IL
Iin
1
RS RL
RS RL
AV 1
I R
ID IDSS 1 D S
VGS (corte )
AV
gmRS
1 gmRS
V
Rent RG GS
IGSS
165
Zin
RL
2
rds
1
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificador en compuerta común
Característica
Compuerta común
Zi
r RD RL
RS ds
1
Z0
RD rds 1 RS ra
AV 1
VL
Vin
AI1
IL
Iin
1
g m rds RD RL
rds
1
RD RL
AV 1
I R
ID IDSS 1 D S
VGS (corte )
AV gmRD
1
Rent
RS
gm
donde:
ID=Corriente a través de un FET autopolarizado
Av=Ganancia en voltaje
Rent=Resistencia de entrada
166
2
Zin
RL
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
IDSS=Corriente en drenaje
VGS=Voltaje en la compuerta
RS=Resistencia en la fuente
IGSS=Corriente de fuga en inversa
Capacitancia
Compuerta común
Ci
1
2 FL ra Zin
1
C0
f
2 L rL Zout
10
167
Drenaje común
1
F
2 L ra Zin
10
1
2 fL Zo
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Transistor MOSFET
Curva característica
ID
IDmax
C
e
r
r
a
d
o
Pmax
VGS = 15 V
VGS = 12 V
VGS = 7 V
SOAR
A
v
a
l
a
n
c
h
a
VGS ○ VGS,TH
Corte
VDSmax
VDS
ID
D
VDS
G
VGS
S
𝑃 = 𝑅𝑂𝑁 𝐼𝐷2
Para un MOSFET de canal inducido tipo n en su región lineal:
V2
ID( Act ) K VGS VT VDS DS
2
bn
en la que b es el ancho del canal, μn la movilidad de los electrones, ε es
LW
la permitividad eléctrica de la capa de óxido, L la longitud del canal y W el espesor de
capa de óxido.
donde: K
Cuando el transistor opera en la región de saturación, la fórmula pasa a ser la siguiente:
ID(sat )
K 1
VGS VT 2
K0
168
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificadores operacionales
Características
Razón de rechazo de modo común
CMRR
AVd
AVc
A
CMRR 20log Vd
AVc
Rapidez de variación de voltaje (slew-rate)
Vsal
t
SR
Corriente de polarización de entrada
I polarización
I1 I2
2
Desequilibrio de corriente de entrada
IOS I1 I2
Voltaje de error de salida
Vsal error Av Ios Rent
Frecuencia máxima de operación
fmax AB
fmax
SR
2Vp
si
si
169
AB
SR
2Vp
AB >
SR
2Vp
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Configuraciones de amplificadores
Amplificador no inversor
Av 1
R2
R1
Seguidor de voltaje
AV 1
Amplificador inversor
AV
Rf
Rin
Zent Rin
170
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificador sumador inversor con ganancia de n entradas
V
V
V
Vout Rf in1 in 2 inn
R2
Rn
R1
Amplificador restador
R R4
R2
Vsal 1 2
V2
V1
R1 R3 R4
R1 R2
Amplificador derivador
Vout RC
dVin
dt
Amplificador integrador
Vout
1
Vin t dt Vc 0
RC
171
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificador de disparo alto
Vdisparo alto
R2
Vsal
R1 R2
max
Vdisparo bajo
R2
Vsal
R1 R2
max
Amplificador de disparo bajo
Amplificador de histéresis
VH Vdisparo alto Vdisparo bajo
Amplificador de instrumentación
1
Ig V2 V1
Rg
2R
Vintermedio V2 V1 1 1
Rg
2R R
Vout V2 V1 1 1 3
Rg R2
Amplificador de aislamiento
Av 1
Rf 1
1
Ri 1
Av 2
Rf 2
1
Ri 1
172
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificador logarítmico
V
Vout 0.025 ln in
IEBO R
Amplificador anti logarítmico
Vin
Vout R IEBO ln1
25mV
Convertidor de voltaje a corriente
Iout
Vin
Ra
173
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Convertidor de corriente a voltaje
VOUT IIN R1
Disparador Schmitt
RF
Vsat
R1
Vth
RX R1 RF
174
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Filtros activos
Ancho de banda de un filtro pasa bajas
AB fc
Ancho de banda de un filtro pasa banda
AB fcs fci
Frecuencia central de un filtro pasa banda
f0 fcs fci
Factor de calidad de un filtro pasa banda
Q
f0
AB
Filtro pasa bajas de primer orden
Ganacia
en la región
R2
H0LP
R1
Frecuencia de corte
1
fc =
2R2C
de
paso
de
paso
Filtro pasa altas de primer orden
Ganacia
en la región
R2
H0HP
R1
Frecuencia de corte
1
fc =
2R1C
175
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Filtro pasa bajas Sallen&Key (KRC) de segundo orden
Si R1 R2 R y
C1 C2 C
H0LP K 1
RB
RA
1
RC
1
Q
3K
O
Filtro pasa altas Sallen&Key (KRC) de segundo orden
Si R1 R2 R y
C1 C2 C
H0HP K 1
1
RC
1
Q
3K
O
176
RB
RA
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Filtro pasa banda Sallen&Key (KRC) de segundo orden
Si R1 R2 R3 R y
C1 C2 C
K
4K
2
O
RC
2
Q
4K
H0BP
Tabla de diseño de filtros activos
n
2
3
4
5
n
2
3
4
5
Butterworth low-pass filter
f01
Q1
f02
Q2
f03
1
0.707
1
1.000
1
1
0.541
1
1.306
1
0.618
1
1.620
1
f01
1.274
1.453
1.419
1.561
Bessel low-pass filter
Q1
f02
Q2
f03
0.577
0.691 1.327
0.522 1.591 0.806
0.564 1.760 0.917 1.507
Q3
Q3
0.10-dB ripple Chebyshev low-pass filter
n
f01
Q1
f02
Q2
f03
Q3
2
1.820 0.767
3
1.200 1.341 0.969
4
1.153 2.183 0.789 0.619
5
1.093 3.282 0.797 0.915 0.539
1.00-dB ripple Chebyshev low-pass filter
n
f01
Q1
f02
Q2
f03
Q3
2
1.050 0.957
3
0.997 2.018 0.494
4
0.993 3.559 0.529 0.785
5
0.994 5.556 0.655 1.399 0.289
177
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
donde:
n = orden del filtro
O 2fc f0n para el filtro pasa bajas
O 2fc f0n para el filtro pasa altas
Filtros Butterworth
La magnitud de la función de transferencia al cuadrado es:
H j
1
2
1 2n
La función de transferencia para un filtro Butterworth se expresa como:
H s
1
Bn s
Los polinomios normalizados para los filtros Butterworth son:
B1 s s 1
B2 s s 2 1.4142s 1
B3 s s3 2s 2 s 1
178
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Filtros pasivos
Filtro pasa bajas de primer orden
Frecuencia de corte
1
fc =
2RC
Filtro pasa altas de primer orden
Frecuencia de corte
1
fc =
2RC
Filtro pasa bajas de segundo orden
O
1
LC
1 L
Q
R C
Filtro pasa altas de segundo orden
O
1
O
1
LC
1 L
Q
R C
Filtro pasa banda de segundo orden
LC
1 L
Q
R C
179
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Convertidores
Convertidores de voltaje a frecuencia
f0
Vref
v1
Rent Cref
donde:
V1 = voltaje de entrada
Vref = voltaje de refencia
Cref = capacitancia de referencia
Convertidores de frecuencia a voltaje
V0 Vref RintCref fent
donde:
fent = frecuencia de entrada en Hz
Vref = voltaje de referencia en V
Rint = resistencia del integrador interno
Cref = capacitancia de referencia
Convertidores digital analógico
B
B
B B
Is Vref 0 1 2 3
R0 R1 R2 R3
B
B
B B
V0 RF IF RFVref 0 1 2 3
R0 R1 R2 R3
donde:
R0
R1
R2
R
20
R
1
2
R
2
2
180
R
R
2
R
4
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
R3
R
3
2
R
8
Convertidordigital analógico con red de escalera R – 2R
V0
V0
V0
Vref RF B0
para LSB = 1 único
3R 24
Vref RF B3
para MSB = 1 único
3R 21
Vref RF B0 B1 B2 B3
cuando el sistema está completamente activado
3R 24 23 22 21
Convertidor analógico digital de aproximaciones sucesivas
1 para Va Vb
Vconv sgn Va Vb
0 para Va Vb
Proceso de aproximaciones sucesivas
Paso
1
2
3
4
Vb
B3 B2 B1 B0 Comparaciones Respuesta
8V
1 0 0 0
¿Es Va > 8 V?
Sí
12 V 1 1 0 0 ¿Es Va > 12 V?
No
10 V 1 0 1 0 ¿Es Va > 10 V?
Sí
11 V 1 0 1 1 ¿Es Va > 11 V?
No
10 V 1 0 1 0
Leer salida
181
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Amplificadores de corriente
Fuente de corriente con BJT
VBE1 VBE 2 VCE1 0.7 V
La corriente en el colector
IC1 IC 2
R1
IR
1
2
F
VCC VBE1
IR
Fuente de corriente Widlar
La suma de las tensiones en la base de los transistores
182
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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
VBE1 VBE2 IC2RE 0
Para el análisis de esta fuente de corriente es preciso utilizar la ecuación de Ebers-Moll
simplificada de un transistor en la región lineal que relaciona la IC con la tensión VBE:
VT ln
donde: IC1
IC1
IS
IS RE
VCC VBE
R1
La resistencia de salida de esta fuente es:
F RE
1
ZO hoe
2 1
hie 2 RE
Fuente de corriente Wilson
IE 2 1 F IB2
Si los transistores son idénticos
1 IC1
IE 2 IC 3 IB3 IB1 1
F F
IOUT
VCC 2VBE
R1
Resistencia de salida
183
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Zout
1
hfe hoe
2
Fuente de corriente Cascode
Iout
VCC 2VBE
R1
1
Zout hfe hoe
Fuentes de corriente controlada con voltaje
Si R2 = R4
184
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
IS
R2Ve
RS R1
Para que el operacional esté en equilibrio se debe de cumplir que:
V Ve V RS IS
R4 R1
R2
Para la polarización del transistor
V2 V RSIS
185
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Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Electrónica digital
Algebra de Boole
a) Propiedad conmutativa:
a+b+c+d=d+c+b+a
a b c d=d c b a
d c b a+d c a+b c=d c a+c b+d a c b
b) Propiedad asociativa:
a + b + c + d = (a + b) + (c + d)
d c b a = (d c) (b a)
c) Propiedad distributiva:
a (b + c) = a b + a c
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
d) Propiedad de identidad de elementos neutros 0 y 1:
0+a=a
1.a=a
e) Leyes del algebra de Boole:
f)
a+0=a
a 0=0
a+1=1
a 1=a
a+a=a
a a=a
a + a' = 1
a a' = 0
0+0=0
0-0=0
0+1=1
0-1=1
1+0=1
1-0=1
1 + 1 = 10
1-1=0
Suma y resta binaria:
g) Teorema de Shanon: Cualquier expresión booleana negada es equivalente a la
misma expresión en la que todas las variables son negadas y se sustituyen las
operaciones (+) por (·) y viceversa:
( (a + b) c )' = (a b)' + c'
186
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
h) Primer teorema de De Morgan: El complemento de un producto de variables es
igual a la suma de los complementos de las variables:
(a b)' = a' + b'
i)
Segundo teorema de De Morgan: El complemento de una suma de variables es
igual al producto de los complementos de las variables:
(a + b)' = a' b'
Mapa de Karnaugh
Reglas para simplificar una función mediante mapas de Karnaugh
Determinar el número de variables involucradas
Ejemplo: A y B
Realizar un mapa que cumpla con la relación 2N. Donde N representa el número
de variables y 2N el número de combinaciones posibles
Ejemplo: Si N es igual a 2 entonces 22 = 4 combinaciones posibles
A B SALIDA
0
0
0
1
1
0
1
1
Debe de existir un cuadro para cada combinación de entrada.
Introducir el valor lógico de cada minitérmino en su cuadro correspondiente.
Ejemplo: F(A,B)= ∑m( 0,1 ).
187
Formulario para el sustentante del
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Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Buscar encerrar 2N cuadros adyacentes. Hacer encierros de 1,2,4,8, etc.
Determinar la función de salida correspondiente:
Ejemplo: Salida = /B
Aspectos a considerar
a) Tratar de hacer el máximo encierro posible
b) Buscar que no exista redundancia en los encierros seleccionados
Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3
Decimal BCD natural BCD Aiken BCD exceso 3
8 4 2 1 2 4 2 1
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
1
0 0 0 1
0 0 0 1
0 1 0 0
2
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 1
3
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 0
4
0 1 0 0
0 1 0 0
0 1 1 1
5
0 1 0 1
1 0 1 1
1 0 0 0
6
0 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 1
7
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
8
1 0 0 0
1 1 1 0
1 0 1 1
9
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
Circuitos digitales básicos
Compuerta
Función
Tabla de verdad
f = A+ B
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
f
0
1
1
1
AND
f = AB
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
f
0
0
0
1
NOT
f=A
OR
A f
0 1
1 0
188
Símbolo
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
NOR
f = A+ B
NAND
f = AB
XOR
f = AB
XNOR
f = AB
B
0
0
1
1
B
0
0
1
1
B
0
0
1
1
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
A
0
1
0
1
A
0
1
0
1
A
0
1
0
1
f
1
0
0
0
f
1
1
1
0
f
0
1
1
0
f
1
0
0
1
189
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Flip-flops
Flip-flop SR básico con compuerta NAND
Flip-flop SR básico con compuerta NOR
Flip-flop SR Temporizado
Q
0
0
0
0
1
1
1
1
S
0
0
1
1
0
0
1
1
Ǭ (t+1)
S R
Q(t+1)
0
0
1
1
inválido inválido
1
0
0
1
Q(t)
Ǭ (t)
0
1
0
1
Ǭ (t+1)
S R
Q(t+1)
0
0
1
1
Q(t)
Ǭ(t)
0
1
1
0
inválido inválido
R
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Q(t+1)
Ǭ (t+1)
0
1
0
1
1
0
indeterminado indeterminado
1
0
0
1
1
0
indeterminado indeterminado
Q D Q(t+1) Ǭ (t+1)
Flip-flop D
0
0
1
1
190
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Flip-flop JK
Q
J
K
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Q(t+1) Ǭ (t+1)
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
Q T Q(t+1) Ǭ (t+1)
Flip-flop T
0
0
1
1
191
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Electrónica de potencia
Fórmulas básicas
Eficiencia
PCD
PCA
Valor efectivo CA
2
2
VCA Vrms
VCD
El factor de utilización del transformador
PCD
Vs Is
TUF
donde:
VS = Voltaje rms en el secundario del transformador [V]
IS = Corriente rms en el secundario del transformador [A]
Distorsión armónica total THD
1
IS2 IS2 2
THD 2 1
IS
1
Rectificador monofásico de onda completa
T
VCD
2V
2 2
Vm sen tdt m
T 0
donde:
Vm = Voltaje máximo inverso [V]
Corriente promedio de carga es
ICD
VCD
R
192
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Corriente rms de salida
Irms
Vrms
R
Voltaje rmssalida
1
Vrms
2 T
2 V
2 Vm2sen 2 tdt m
2
T 0
Rectificador trifásico en puente
VCD
2
3 3
6 3 V cos t dt
Vm
m
0
2 / 6
donde:
Vm = Voltaje máximo [V]
El voltaje rms de salida es:
1
Vcd
1
2
2 3 9 3 2
6 3 V 2 cos 2t dt
V
m
0
2 4 m
2 / 6
193
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Dispositivos
Ecuación del Diodo Schockley
VD
nVT
ID IS e
1
donde:
ID=Corriente a través del diodo [A]
VD=Voltaje de polarización directo [V]
IS=Corriente de fuga [A]
n =Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8
VT
kT
25.8 mV
q
donde:
VT=Voltaje térmico
Q=Carga del electrón (1.6022 x 10-19) [C]
T= Temperatura absoluta [K]
K=Constante de Boltzman 1.3806 x 10-23 [J/K]
Tiempo total de recuperación inversa (trr)
trr ta tb
donde:
ta=Tiempo de almacenamiento de carga en la región de agotamiento[s]
tb=Tiempo de almacenamiento de carga en el cuerpo del semiconductor [s]
Corriente inversa pico (IRR)
IRR t
di
d
2QRR i
dt
dt
donde:
QRR = carga de recuperación inversa [C]
194
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Rectificadores monofásicos de media onda
Potencia de salida en CD
PCD VCD ICD
Potencia de salida en CA
PCA Vrms Irms
195
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
UJT
B2
E
B1
El disparo ocurre entre el emisor y la base1 y el voltaje al que ocurre este disparo está
dado por la fórmula:
Vp 0.7 nVB2B1
donde:
n = intrinsic standoff radio (dato del fabricante)
VB2B1 = Voltaje entre las dos bases
Condición para encendido y apagado
VBB VP
V VV
R1 BB
IP
IV
196
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
PUT
Este transistor se polariza de la siguiente manera:
Cuando IG = 0
RB 2
VG VBB
RB1 RB 2
VG n VBB
donde: n = RB2 / (RB1+RB2)
El periodo de oscilación T está dado en forma aproximada por:
T
R2
Vs
1
RC ln
RC ln 1
f
R1
Vs Vp
Circuito de disparo para un PUT
197
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
DIAC
Si (+V) o (- V) es menor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un circuito
abierto.
Si (+V) o (- V) es mayor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un
cortocircuito.
Circuito equivalente del DIAC
198
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
SCR
Cuando el SCR está polarizado en inversa se comporta como un diodo común (ver la
corriente de fuga Is.
En la región de polarización en directo el SCR se comporta también como un diodo
común, siempre que el SCR ya haya sido activado (On). Ver los puntos D y E.
Para valores altos de corriente de compuerta (IG) (ver punto C), el voltaje de ánodo a
cátodo es menor (VC).
Si la IG disminuye, el voltaje ánodo-cátodo aumenta. (ver el punto B y A, y el voltaje
ánodo-cátodo VB y VA).
Circuito equivalente del SCR
199
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
TRIAC
Circuito equivalente al TRIAC
200
Formulario para el sustentante del
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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
IGBT
ID
Avalancha
Saturación
VGS
VRRM muy bajo si
es un PT-IGBT
Corte
Corte
Avalancha
VDSON menor menor
si es un PT-IGBT
201
BVDS
VDS
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Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
GTO
Característica estática
Al cebarlo por corriente entrante de puerta, tenemos exactamente el mismo proceso que
en el SCR normal.
Para bloquearlo, será necesario sacar los transistores de saturación aplicando una
corriente de puerta negativa:
luego IG
IA
off
donde off es la ganancia de corriente en el momento del corte y vendrá expresada por:
off
2
1 2 1
Para conseguir cortar el GTO, con una corriente soportable por la puerta, debe ser βofflo
mayor posible, para ello debe ser: α2≈1 (lo mayor posible) y α1≈0 (lo menor posible).
202
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
SIT
Curva característica
D
G
S
Nota: A=D y K=S
IG
I A ICBO
1
IG
IA
IA
1 gmRG
ICBO 1 gmRG
1
1 gmRG
1
203
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Teoría de control
Terminología de la ingeniería de control
donde:
r = señal de referencia o set point
e = señal de error (e=r –y)
u = acción de control (variable manipulada)
y= señal de salida (variable controlada)
C = controlador
P= Proceso
Modelos de control
Los modelos clásicos de control clásico comprenden ecuaciones diferenciales de orden n.
a0
d n y t
dt
n
a1
d n 1y t
dt
n 1
... an 2
dy t
dt
an 1y t an k u t
Modelo diferencial de primer orden
dy t
dt
1
k
y t u t
donde:
u(t) = variable de entrada
y(t) = variable de salida
𝜏 = Constante de tiempo
k= ganancia del sistema
Modelo diferencial de segundo orden
Frecuencia amortiguada
d n 1 2
204
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Tipos de respuesta
Respuesta escalón
La respuesta escalón es la variación, respecto al tiempo, de la variable de salida de un
elemento de transferencia, cuando la variable de entrada es una función escalón
r t c, c cte.
Respuesta al escalón de sistemas de primer orden
y t 1 e
t
Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden
Forma estándar del sistema de segundo orden:
n 2
C (s )
2
R(s ) s 2n s n 2
donde:
es el factor de amortiguamiento
es la frecuencia angular
205
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1. Subamortiguado 0 1 , raíces complejas conjugadas.
y t 1 e nt cos n t
sen n t
2 1
2. Críticamente amortiguado 1 , raíces reales e iguales.
y t 1 ent n tent
3. Sobreamortiguado 1 , raíces reales y diferentes.
y t 1
e s1t n te s2t
s2
2 2 1 s1
n
donde:
1
s1 2 1
s2
2
4. No amortiguado 0 , raíces imaginarias puras.
y t 1 cos n t
206
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Parámetros de la respuesta transitoria
Tiempo de retardo (Td)
Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del
valor final.
Tiempo de crecimiento (Tr)
Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del
10 al 90%.
Tr
d
tan1 d
n
Tiempo pico (Tp)
Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso.
Tp
d
Máximo sobreimpulso (Mp)
Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.
Mp
2
1
e
207
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Tiempo de establecimiento (Ts)
Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de
determinado rango alrededor del valor final especificado en porcentaje absoluto del valor
final. Se usa generalmente el 5% o 2%
Para un criterio de 2%, Ts
4
n
Para un criterio de 5%, Ts
3
n
Tiempo de autonomía de una máquina
t
H
I H
C
k
donde:
t = Tiempo de autonomía de una máquina [h]
C = Tiempo de carga del fabricante [Ampere h]
H= Tiempo indicado por el fabricante [h]
I = Corriente total que demanda el sistema [A]
k = Coeficiente de Peukert (1.1 para baterías de gel y 1.3 para baterías de plomo-ácido)
Temperatura
t
Temp kA 1 e
donde:
Temp = Temperatura [°C]
t= tiempo [s]
= Constante de tiempo [s]
208
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Regla de Mason
La función de transferencia entre una entrada U(s) y una salida Y(s) está dada por:
G s
Y s
U s
1
Gi i
donde:
Gi = ganancia de la trayectoria directa i-ésima entre yentrada y ysalida
= determinante del sistema = 1 - (ganancia de todos los lazos individuales) +
(productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que no se
tocan) - (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres
lazos que no se tocan) +...
i = el valor de para aquella parte del diagrama de bloques que no toca la k-ésima
trayectoria directa
Tabla 1. Fórmulas para sintonización por el método de ganancia última
Ganancia
Tiempo
Tipo de controlador
proporcional
integral
Proporcional P
Ku/2.0
-Proporcional-Integral PI
Ku/2.2
Tu/1.2
Proporcional-Integral-Derivativo
Ku/1.7
Tu/2.0
PID
209
Tiempo
derivativo
--Tu/8.0
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Controladores
Raíces en el plano complejo
Controlador
P
Ganancia
Gc s Kc
1
Gc s Kc 1
i s
Gc s Kc 1 d s
PI
PD
1
Gc s Kc 1
d s
i s
PID
Controladores PID
Estructura ideal
Gc s
U s
1
Kc 1
d s
E s
i s
donde:
E(s)=R(s) - Y(s)
R(s) es la transformada de Laplace de la referencia
Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de proceso controlada
U(s) es la transformada de Laplace de la variable de manipulación
Sintonización por criterios integrales para cambios en perturbación para un PID ideal
Proporcional-Integral
ISE
IAE
ITAE
Kc
1.305 to
K
210
0.959
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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
0.984 to
K
0.986
0.859 to
Kc
K
0.977
Kc
0.739
i
to
0.492
0.707
to
i
0.608
0.680
i
to
0.674
Proporcional-Integral-Derivativo
ISE
IAE
ITAE
1.495 to
Kc
K
0.945
1.435 to
K
0.921
1.357 to
Kc
K
0.947
Kc
to
i
01.101
0.771
0.749
i
to
0.878
211
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
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0.738
i
to
0.842
1.006
t
d 0.560 o
1.137
t
d 0.482 o
t
d 0.381 o
0.995
donde:
K = la ganancia del proceso de primer orden
= constante de tiempo
to = tiempo muerto
Sintonización por criterios integrales para cambios en referencia para un PID ideal
Proporcional-Integral
IAE
ITAE
Proporcional-Integral-Derivativo
IAE
ITAE
212
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Comunicaciones
Osciladores
Oscilador controlado por voltaje
Modo de carga
Tiempo de carga en el capacitor
f 1
C1
C
vC 1 VH VL
IQ
IQ
Modo de descarga
f 2
C1
C
C
vC 1 VL VH 1 VH VL
IQ
IQ
IQ
T f 1 f 2
2C1 VH VL
IQ
La frecuencia de oscilación es:
f0
IQ
1
T 2C1 VH VL
IQ Gm vCN vCO
donde:
Gm = Transconductancia de la fuente de corriete, en A/V
VCN = voltaje de control aplicado, en V
VCO = voltaje constante
KvF
df0
Gm
dvCN 2C1 VH VL
213
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
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Oscilador de corrimiento de fase
La función de transferencia del oscilador es:
s
VF s
Vo s
R 3C 3s 3
R 3C 3s 3 6R 2C 2s 2 5RCs 1
La ganancia de voltaje de lazo cerrado es:
A s
Vo s
VF s
RF
R1
La frecuencia de oscilación es:
f0
1
2 6RC
La resistencia de retroalimentación es:
5
RF R1 2 2 2 1
R C
Osciladores de cuadratura
La función de transferencia es:
1
1
s
Cs
Vo s R 1 1 RCs
Cs
Vf s
La frecuencia de oscilación es:
f0
1
2RC
Af
1
2
La ganancia en lazo cerrado es:
214
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
El voltaje en la salida es:
RVo1
1 RCs
Vo
Osciladores de Puente Wien
La función de transferencia es:
s
VF s
Vo s
RCs
R C s 3RCs 1
2
2 2
La ganancia en voltaje de lazo cerrado es:
A s 1
RF
R1
La frecuencia de oscilación es:
f0
1
2RC
La condición para la oscilación es:
RF
2
R1
Oscilador Colpitts
La ganancia de lazo cerrado es:
1 A 0
La frecuencia de oscilación es:
1
1 C1 C2 2
f0
2 C1C2L
215
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Oscilador de Harley
La frecuencia de oscilación es:
1
2
1
1
f0
2 C L1 L2
Osciladores de cristal
La impedancia del cristal esta dada por:
Z s
1 s 2 s2
sCp s 2 2p
La frecuencia de oscilación es:
f0
1
2 LCs
555/556 (Multivibrador astable)
donde:
TA 0.693 Ra Rb C
TB 0.693RbC
La frecuencia con que la señal de salida oscila está dada por la fórmula:
f0
1.44
Ra 2Rb C
y el período es simplemente: T 1/ f0
216
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
555/556 (monoestable)
El tiempo o periodo es igual a:
T 1.1RaC
La especificación mínima de muestras por segundo de una tarjetaDAQ
frecuencia mínima de muestreo = 2*fmax
217
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Modulación y demodulación AM-FM
Modulación en amplitud
Señal moduladora
ys t As cos s t
Señal portadora
y p t Ap cos pt
Señal modulada
y t Ap 1 mAp xn t cos pt
donde:
y(t) = señal modulada
xn(t) = señal moduladora normalizada con respecto a su amplitud = ys(t) / As
m = índice de modulación (suele ser menor que la unidad)=As / Ap
Índice de modulación en A.M.
m
E max E min
E max E min
donde:
y(t) = señal modulada
xn(t) = señal moduladora normalizada con respecto a su amplitud
m = índice de modulación (suele ser menor que la unidad)
218
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Factor de modulación:
mt m12 m22 m32 ...
donde:
mt = índice de modulación total
m1, m2, m3= índice de modulación de las señales moduladoras
Potencia total transmitida
Pt Pc
m2
m2
Pc
Pc
4
4
donde:
Pt = potencia total transmitida (W)
Pc = potencia de portadora (W)
m = índice de modulación
La expresión matemática de la señal modulada en frecuencia está dada por:
f
v t Vpsen 2fpt
cos 2fmt
fm
El índice de modulación es:
m
f
fm
donde:
mf = índice de modulación
Δf = variación de la frecuencia de la portadora
Fm = frecuencia de la portadora
Decibel
P
dB 10log10 1
P0
El decibel referenciado a 1 mW
P1
P dBm 10log10
1 mW
219
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Densidad de flujo (W/m2)
S dB
W /m
2
10log
10
P1
2
1W / m
Decibel referenciado a µV
U
U dBV 20log10 1
1 V
Acoplamiento de impedancias
Decibel en antenas
dBi = Ganancia de una antena referenciada a una antena isotrópica
dBd = Ganancia de una antena referenciada a una antena dipolo
dBq = Ganancia de una antena referenciada a una antena de un cuarto longitud de onda
Decibel en acústica
dB(SPL) = Nivel de presión del sonido relativo a 20 µPa
dB(PA) = dB relativo a un pascal
dB SIL = intensidad de nivel de sonido referenciado a 10 E-12 W/m2
dB SWL = Nivel de potencia del sonido referenciado a 10E – 12W
Oscilador de relajación UJT
Vbb
Re
R2
Ve
UJT
Vb1
Ce
R1
donde:
Vp Vd Va Vd nVbb
n
R1
R
1
R1 R2 Rbb
220
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
T ReCe ln
Re max
1
1 n
Vbb Vp
Ip
Vbb Re minIv Vv
Oscilador de relajación PUT
Vbb
Rb2
R
Vo1
G
Vo3
A
PUT
Vo2
C
Rb1
K
Rk
donde:
Vg
VbbRb1
nVbb
Rb1 Rb 2
Vak Vp Vd Vg 0.7 nVbb
T RC ln
1 Rb1
Rb 2
Vbb Vp
Rmax
Ip
Rmin
Vbb Vv
v
221
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Instrumentación
Valor promedio
Aprom
área bajo la curva
longitud del periodo
Siendo Aprom el valor promedio de la onda
T
Aprom
1
f t dt
T 0
El valor rms
T
Arms
2
1
f t dt
T0
Señal senoidal
Aprom 0
Arms
A0
2
Rectificador de onda completa (señal senoidal)
2A0
Aprom
A0
Arms
2
Arms
Arms
A0
3
Señal senoidal desplazada con
CD
Aprom A0
Señal cuadrada
Aprom
Rectificador de media onda
(señal senoidal)
A
Aprom 0
A0
Arms
2
Señal triangular
Aprom 0
A0
2
A0
Arms A02
2
Errores en medición
Error absoluto = Resultado - Valor verdadero
Error relativo =
Error absoluto
Valor verdadero
222
1 2
A1
2
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Puentes de Wheatstone
Rx R2
R3 R1
Puente ligeramente desbalanceado
RTH R1 R2 R3 Rx
VTH V0
R3 R
2R3Rx R32 Rx2
Si las cuatro resistencias son iguales el puente esta en equilibrio por lo cual:
RTH R
VTH V0
223
R
4R
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Puente de Kelvin
R5 R1
R6 R2
Ruido térmico o ruido de Jhonson
En 4KTR fH fL
donde:
K = constante de Boltzman = 1.38E-23 J/K
T = temperatura (K)
R = Valor de la resistencia (Ω)
fH = frecuencia máxima de operación (Hz)
fL = frecuencia mínima de operación (Hz)
Termopar
La relación de temperatura voltaje es:
V0 AT BT 2
224
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Características de los termopares
Tipo
B
C
E
J
K
N
R
S
Composición
Platino 30% Rodio (+)
Platino 6% Rodio (-)
Tungsteno 5% Renio (+)
Tungsteno 26% Renio (-)
Cromel (+)
Constantán (-)
Hierro (+)
Constantán (-)
Cromel (+)
Alumel (-)
Nicrosil (+)
Nisil (-)
Platino 13% Rodio (+)
Platino (-)
Platino 10% Rodio (+)
Aquí me quede Platino (-)
Rango de
medición
continua
(°C)
Sensibilidad
aprox.
(μV/oC)
50 a 1800
10
Notas
Fácilmente
contaminado, requiere
protección.
0 a 2300
Sin resistencia a la
oxidación. Para usos
en vacío, hidrógeno o
atmósferas inertes.
-40 a 800
68
No someterlo a la
corrosión en
temperaturas
criogénicas.
55
Recomendado en
ambientes reductores o
secos. El cable de
hierro se oxida en altas
temperaturas, por lo
que se usan
calibresgruesos para
compensar.
41
No recomendado en
ambientes con
presencia de azufre. Se
usa en ambientes
inertes o levemente
oxidantes.
39
Mayor resistencia a la
oxidación y al sulfuro
que el tipo “K”; estable
a alta temperatura.
0 a 1600
10
Recomendado en
atmósferas oxidantes.
Fácil de contaminarse,
requiere protección.
0 a 1600
10
Patrón de laboratorio,
altamente reproducible.
Buena resistencia a
-100 a 750
-180 a 1300
-270 a 1300
225
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Características de los termopares
Tipo
Rango de
medición
continua
(°C)
Composición
Sensibilidad
aprox.
(μV/oC)
Notas
ambientes oxidantes,
pobre resistencia a
ambientes reductores.
T
Cobre (+)
-185 a 400
Constantán (-)
43
El más estable en
rangos de temperatura
criogénica. Excelente
en atmósferas
reductoras y oxidantes
dentro del rango de
temperatura.
Termistor
El cambio de resistencia de los termistores en respuesta a cambios en la temperatura
1
3
A B ln R C ln R
T
donde:
T = temperatura (K)
R = resistencia del termistor (Ω)
A,B,C = constantes del ajuste de curva
La proximación de la resistencia se obtiene con:
R R0
1 1
T T
e 0
donde:
R = resistencia a la temperatura T (K)
R0 = resistencia a T0 (K)
= constante del ajuste de curva
226
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Sensores
Sensores resistivos
Potenciómetros
R
l 1 l x
A
A
donde:
x = distancia recorrida desde un punto fijo
= fracción de longitud correspondiente en un punto fijo
= coeficiente de resistividad del material
l = longitud del material
A = sección transversal del material
Galgas extensométricas
Las galgas extensométricas se basan en la variación de la resistencia de un conductor o
un semiconductor cuando es sometido a un esfuerzo mecánico.
R
l
A
Si se somete a un esfuerzo en la dirección longitudinal R cambia.
dR d dl dA
R
l
A
El cambio de longitud que resulta se determina a través de la ley de Hooke
F
dl
E E
A
l
donde:
E = módulo de Young
= tensión mecánica
= deformación unitaria
227
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Fotorresistencia
Energía de la radiación óptica
E hf
donde:
E = energía
h = constante de Planck 6.62 x 10-34Ws2
f = frecuencia
Para la longitud de onda de radiación
hc
E
donde:
c = velocidad de la luz
h = constante de Plack
E = 1.602E-19 J
Sensores capacitivos
Condensadores variables
C 0 r
A
n 1
d
donde:
A = área de las placas
d = distancia entre pares de placas
r = constante dieléctrica relativa
0 = 8.85 pF/m
Los sensores capacitivos no son lineales, su linealidad depende del parámetro que varía y
del tipo de medición. En un condensador plano, si varía A o r por lo cual:
C
A
d 1
donde:
d
x
228
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Condensador diferencial
Vi V
C1
A
d1 x
C2
A
d2 x
1
di x
1
1
di x di x
V
Por lo cual, para el caso en que d1 y d2, se tiene:
V1 V2 V
Sensores inductivos
La inductancia se expresa como:
LN
d
di
donde:
N = número de vuelas del circuito
I = corriente
= flujo magnético
El flujo magnético se obtiene con:
M
R
229
x
d
di x
2di
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
donde:
M = fuerza electromotriz
R = reluctancia
Para una bobina de sección A y de longitud l, la reluctancia es:
R
1 1
0 r A
Sensores electromagnéticos
Sensor basado en la ley de Faraday
e N
d
dt
Tacogeneradores
La tensión inducida por el generador es:
e NBA sentdt
Si es constante
e NBA cos t
Sensores de velocidad lineal
e Blv
donde:
L = longitud del conductor
v = velocidad lineal
230
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Sensores de efecto Hall
AH
VH t
IB
Aportación de magnitud y fase para cada término de la función de transferencia
K
Magnitud
logarítmica
20log K
j
20log
90
1
j
20log
90
j 1
20log
1
j 1
20log
Término
Ángulo de fase
Magnitud logarítmica
Ángulo de fase
0
20log K
Línea diagonal con
pendiente 20 dB/dec
que cruza el punto
(w=1,db=0)
Línea diagonal con
pendiente –20 dB/dec
que cruza el punto
(w=1,db=0)
0 db, hasta la
frecuencia de corte.
1
Pendiente 20
dB/dec a partir de
1
0 db, hasta la
frecuencia de corte
1
0
1
tan
1
tan
Pendiente - 20 dB/dec a
1
Línea horizontal 0 db
hasta n
90
90
de 0 a 90
1
en 45
de 0 a 90
1
en 45
partir de
2
2n
j
1
n
1
2 j
2
1
n n
e j t0
40log
n
2
n
tan1
2
1
n
2
n
1
40log
tan
2
n
1
n
57.3t0
0
231
Pendiente 40 dB/dec
para n
Línea horizontal 0 db
hasta n
Pendiente -40 dB/dec
para n
0
de 0 a 180
en v 90
de 0 a
180 en
v 90
57.3t0
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Transformada Z
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función
X(z) que se define:
X z Z x n
donde:
n= un entero
z= un número complejo
232
x n z n
n
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Tablas adicionales de datos prácticos
Sistema de unidades eléctricas. Fórmulas fundamentales en CD
Magnitud
Fórmulas más
utilizadas para su
cálculo
Sistema
MKSI
Unidad Símbolo
Ampere
A
CGSEM
Unidad Símbolo
Desplazamiento o
inducción
Cantidad de
electricidad
d.d.p. o tensión
Resistencia
Capacidad
Campo eléctrico y
gradiente de
potencia
Desplazamiento o
inducción
electrostática
Inducción
magnética
Campo magnético
I,
i
Q
Coulomb
Q
Q=I·t
U
R
C
E
Volt
Ohm
Farad
V/m
V
Ω
F
--
V=R·I
R=V/I
C=Q/V
E=F/Q
D
Q/m2
--
D=ϵ·E
B
Tesla
W/m2
Gauss
Gs
H
A/m
--
Oersted
Oe
Permeabilidad
Flujo magnético
μ
Φ
-Weber
-Wb
Maxwell
Mx
Ampere
At, A
Gisbert
Gb
Henry
At/Wb
Candela
Lumen
lm/s
Lux
Stilb
H
Fuerza
magnetomotriz
.Inductancia
Reluctancia
Intensidad luminosa
Flujo luminoso
Cantidad de luz
Iluminación
Brillo
L
R
I
Φ
Q
E
Cd
lm
-lx
sb
233
I=V/R
β=1.25 · N · I · μ/L
(Gs)
H=1.25 · N · I/L
(Oe)
μ=β/H
Φ=1.25·N·I·μ·S/L
(mx)
ϵ=1.25 · N · I
L=N·φ/108·I
R=I/S·μ
I=φ/ω
Φ=Q/t
-E=φ/S
Sb=1 cd/1 cm2
1 nit= 1 cd/1 m2
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Resistividad y conductividad de conductores (a 20 °C)
Material
Acero dulce
Aluminio
Antimonio
Cadmio
Carbón
Cobre (eléc.)
Constantán
Cromo-Ni-Fe
Estaño
Hierro fundido
Hierro (puro)
Grafito
Latón Ms 58
mm
m
0.1300
0.0278
0.4170
0.0760
40.000
0.0175
0.4800
0.1000
0.1200
1.0000
0.1000
8.0000
0.0590
2
1
Material
7.700
36.00
2.400
13.10
0.025
57.00
2.080
10.00
8.300
1.000
10.00
0.125
17.00
Latón Ms 63
Magnesio
Manganina
Mercurio
Níquel
Niquelina
Oro
Plata
Plata alemana
Platino
Plomo
Tungsteno
Zinc
mm2
m
0.0710
0.0435
0.4230
0.9410
0.0870
0.5000
0.0222
0.0160
0.3690
0.1110
0.2080
0.0590
0.0610
1
14.00
23.00
2.370
1.063
11.50
2.000
45.00
62.50
2.710
9.000
4.800
17.00
16.50
Resistividad de aislantes
Material
Aceite de parafina
Agua de mar
Agua destilada
Ámbar comprimido
Baquelita
Caucho (hule) duro
Mármol
cm
1018
106
107
1018
1014
1018
1010
Material
Mica
Parafina (pura)
Plexiglás
Poliestireno
Porcelana
Tierra húmeda
Vidrio
cm
1017
1018
1015
1018
1014
108
1015
Coeficiente térmico de resistencia 20 (a 20 °C)
Material
Acero dulce
Aluminio
Carbón
Cobre
Constantán
Estaño
Grafito
Latón
C 1, K 1
+ 0.00660
+ 0.00390
-0.00030
+0.00380
-0.00003
+ 0.00420
-0.00020
+ 0.00150
Material
Manganina
Mercurio
Níquel
Niquelina
Plata
Plata alemana
Platino
Zinc
234
C 1, K 1
+/- 0.00001
+ 0.00090
+ 0.00400
+ 0.00023
+ 0.00377
+ 0.00070
+ 0.00390
+ 0.00370
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Constante dieléctrica r
r
3
2.2
4.7
Material aislante
Aceite de oliva
Aceite de parafina
Aceite de ricino
Aceite mineral para
transformadores
Aceite vegetal para
transformadores
Agua
Aire
Aislamiento para
cable alta tensión
Aislamiento para
cable telefónico
Araldita
Baquelita
Cartón comprimido
Material aislante
r
4
2.5
2.5
Papel Kraft
Papel pescado
Parafina
r
4.5
4
2.2
4.5
Petróleo
2.2
4
Material aislante
2.2
Caucho (hule) duro
Caucho (hule) suave
Compuesto
(compound)
Cuarzo
2.5
Ebonita
2.5
Pizarra
80
1
4.2
Esteatita
Fibra vulcanizada
Gutapercha
6
2.5
4
Plexiglás
Poliamida
Poliestireno
3.2
5
3
1.5
Laca (Shellac)
3.5
Porcelana
4.4
3.6
3.6
4
Mármol
Mica
Micanita
Papel
8
6
5
2.3
Resina fenólica
Teflón
Tela
Trementina
(aguarrás)
Vidrio
8
2
4
2.2
Papel impregnado
5
5
Serie de potenciales electroquímicos
Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno
Material
Aluminio
Berilio
Cadmio
Calcio
Cobalto
Cobre
Cromo
Estaño
Volts
-1.66
-1.85
-0.40
-2.87
-0.28
+0.34
-0.74
-0.14
Material
Hidrógeno
Hierro
Magnesio
Manganeso
Mercurio
Níquel
Oro
Plata
Volts
0.00
-0.41
-2.37
-1.19
+0.85
-0.23
+1.50
+0.80
Material
Platino
Plomo
Potasio
Sodio
Tungsteno
Zinc
Volts
+1.20
-0.13
-2.93
-2.71
-0.58
-0.76
Números estandarizados mediante una razón progresiva
Serie E 6 6 10
1.0
1.5
2.2
3.3
4.7
6.8
Serie E 12 12 10
1.0
2.2
4.7
1.2
2.7
5.6
1.5
3.3
6.8
235
Serie E 24 24 10
1.0
1.1
1.2
1.3
1.5
1.6
2.2
2.4
2.7
3.0
3.3
3.6
4.7
5.1
5.6
6.2
6.8
7.5
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
10
22
etc.
47
1.8
3.9
8.2
10
22
etc.
47
1.8
2.0
10
3.9
4.3
22
8.2
9.1
47
etc.
Intensidad de campo h y permeabilidad relativa r en función de la inducción
magnética b deseada
Inducción o densidad
de flujo
B
Tesla
Gauss(Gs)
(T=Vs/m2)
0.1
1 000
0.2
2 000
0.3
3 000
0.4
4 000
0.5
5 000
0.6
6 000
0.7
7 000
0.8
8 000
0.9
9 000
1.0
10 000
1.1
11 000
1.2
12 000
1.3
13 000
1.4
14 000
1.6
16 000
1.7
17 000
1.8
18 000
1.9
19 000
2.0
20 000
2.1
21 000
2.2
22 000
2.3
23 000
Hierro fundido
H
r
A/m
440
740
980
1 250
1 650
2 100
3 600
5 300
7 400
10 300
14 000
19 500
29 000
42 000
Acero fundido y
lámina tipo
“dynamo”
W
Fe10 3.6
kg
r
H
A/m
181
215
243
254
241
227
154
120
97
77
63
49
36
26
30
60
80
100
120
140
170
190
230
295
370
520
750
1 250
3 500
7 900
12 000
19 100
30 500
50 700
130 000
218 000
236
Lámina de acero
aleado
W
Fe10 1.3
kg
H
r
A/m
2 650
2 650
2 980
4 180
3 310
3 410
3 280
3 350
3 110
2 690
2 360
1 830
1 380
890
363
171
119
79
52
33
13
4
8.5
25
40
65
90
125
170
220
280
355
460
660
820
2 250
8 500
13 100
21 500
39 000
115 000
9 390
6 350
5 970
4 900
4 420
3 810
3 280
2 900
2 550
2 240
1 900
1 445
1260
495
150
103
67
39
14
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Valores para lámina tipo “dynamo” (de la norma din 46 400)
Clase
Tipo
Tamaño
mm x mm
Espesor, mm
Densidad, kg/dm3
Valor máximo
Fe10
de las pérdidas,
Fe10
W/kg
Tesla
B25
Gauss
Tesla
Valor
B50
Gauss
mínimo
de la
Tesla
B100
inducción
Gauss
Tesla
B300
Gauss
Lámina
normal
I 3.6
Lámina de aleación
Mediana
Alta
III 2.3
IV 1.5
IV 1.3
Baja
II 3.0
1 000 x 2 000
750 x 1 500
0.5
0.35
7.8
3.6
7.75
3.0
7.65
2.3
7.6
1.5
1.3
8.6
7.2
5.6
3.7
3.3
1.53
15 300
1.63
16 300
1.73
17 300
1.98
19 800
1.50
15 300
1.60
16 000
1.71
17 100
1.95
19 500
1.47
14 700
1.57
15 700
1.69
16 900
1.93
19 300
1.43
14 300
1.55
15 500
1.65
16 500
1.85
18 500
Explicaciones: B25 = 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mínima de
1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25 A/cm. Para una línea de flujo de,
p. ej., 5 cm, se necesitarán: 5 x 25 = 125 A.
Fe10
Fe15
Pérdidas magnéticas por unidad de masa
con las inducciones de:
10 000 Gs = 1.0 tesla
15 000 Gs = 1.5 tesla
Los valores corresponden a las siguientes condiciones:
Densidad a t=15 °C
Temperaturas (o puntos) de fusión y de ebullición para = 1.0132 bar = 760 Torr
Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea, cambio directo del estado sólido
al gaseoso.
Conductividad térmica a 20 °C
Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de temperaturas 0 < t <
100 °C
Puntos de
Sustancia
Densidad
Fusión
(soldf.)
Ebullición
Aceite de colza
Aceite de linaza
Aceite para calefacción
kg/dm3
0.91(3)
0.94(3)
0.92(3)
°C
-3.5
-20
-5
°C
300
316
175-350
237
Conductividad
térmica
k
W/(mK)(1)
0.17
0.15
0.12
Calor
específico
c
kJ/(kgK)(2)
1.97
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Aceite para máquinas
Aceite para
transformadores
Acero
Acero colado
Acero dulce
Acero de alta velocidad
Acetona
Ácido acético
Ácido cianhídrico
Ácido clorhídrico 10%
Ácido clorhídrico 40%
Ácido fluorhídrico
Ácido nítrico
Ácido sulfúrico
Ácido sulfúrico 50%
Ácido sulfúrico
concentrado
Ágata
Agua
Alcohol
Alcohol etílico 95%
Alcohol metílico
0.91
-5
380-400
0.126
1.67
0.87
-5
170
0.15
1.84
7.85
7.8
7.85
8.4-9.0
0.79(3)
1.08
0.7
1.05
1.20
0.99
1.56(4)
1.49(5)
1.40
~1 350
~1 350
~1 400
~1 650
2 500
47-58
52.3
46.5
25.6
0.46
0.502
0.461
0.498
0.50
3.14
16.8
-15
-14
2 500
2 600
56.1
118
27
102
-92.5
-1.3
-73
19.5
86
-10
0.53
2.72
1.34
1.84
10-0
338
0.5
1.38
~2.6
1.0(6)
0.79
0.82(3)
0.8
~1 600
0
-130
-90
-98
~2 600
100
78.4
78
66
11.20
0.58
0.17-0.23
0.16
0.80
4.183
2.42
238
2.51
Ceneval, A.C.
Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19,
Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, CDMX
www.ceneval.edu.mx
El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin
fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en
la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 de la Ciudad de
México. Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la
Dirección General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se
presenta a continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los
porcentajes que les corresponden en la toma de decisiones:
Asociaciones e instituciones educativas (40%):
Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C.
(ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior,
A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM);
Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán
(UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular
Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC).
Asociaciones y colegios de profesionales (20%):
Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio
Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos
Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C.
Organizaciones productivas y sociales (20%):
Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional
de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C.
Autoridades educativas gubernamentales (20%):
Secretaría de Educación Pública.
• Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de
Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®,
con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1
de julio de 1999.
• Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995.
• Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de
Competencia Laboral (CONOCER) (1998).
• Miembro de la International Association for Educational Assessment.
• Miembro de la European Association of Institutional Research.
• Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration.
• Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE.
Formulario para el sustentante del
Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Dirección del Área de los EGEL
ENERO • 2017
240
![b) Áreas básicas[1]](http://s1.aprenderly.com/store/data/000011425_1-37af52cad5e25a1cd29dc5e9de078814-150x150.png)
