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GEOMETRÍA CON GEOGEBRA I
MANUEL ELOY MATAS
GeoGebra es un programa dinámico de código abierto para la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. Ofrece un entorno donde el álgebra y la geometría se conectan de forma plena.
En estas dos sesiones vamos a introducirnos en el manejo de Geogebra y resolveremos algunos
problemas geométricos con su ayuda.
1. Nos acostumbramos a manejar Geogebra con ejercicios sencillos
Actividad 1
a) Dibuja el punto A de coordenadas (2, 1)
b) Selecciona el punto A y arrástralo a la posición (-1, 2)
c) Dibuja el punto B(3, 5)
d) Halla el punto medio entre A y B. ¿Qué coordenadas tiene el punto C?
e) Selecciona el punto A o el B y arrástralo donde quieras ¿Qué ocurre con el punto C?
Actividad 2
a) Dibuja los puntos A(3, -1) y B(-2, 1)
b) Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B (observa la ecuación de la recta en la vista
algebraica)
c) Selecciona uno de los puntos y arrástralo donde quieras ¿qué ocurre con la recta? ¿y con la
ecuación?
d) Arrastra uno de los puntos hasta que consigas que la ecuación quede igualada a cero,
¿observas algo especial en la recta?
Actividad 3
a) Desactiva los ejes y la cuadrícula.
b) En el campo Entrada escribe “a=5” y pulsa ENTER
c) Dibuja un segmento de longitud a.
d) Selecciona el punto A y arrástralo, ¿qué ocurre?
e) Selecciona el punto B y arrástralo, ¿qué ocurre?
f) En la vista algebraica selecciona “a” y a continuación presiona varias veces las teclas
¿qué ocurre?
y
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GEOMETRÍA CON GEOGEBRA I
Actividad 4
a) Desactiva los ejes y la cuadrícula.
b) Dibuja una recta que pase por dos puntos A y B.
c) Dibuja un punto C que no esté en la recta.
d) Dibuja una recta que pase por C y sea paralela a la recta anterior.
e) Dibuja una recta que pase por C y sea perpendicular a la anterior.
f) Dibuja la mediatriz del segmento AB.
g) Selecciona el punto A y arrástralo, ¿qué ocurre?
h) Selecciona el punto C y arrástralo, ¿qué ocurre?
i) Dibuja la bisectriz del ángulo ACB
2. Fórmula de Pick
En la primera sesión de Geometría Plana dedujimos la fórmula de Pick, hoy vamos a
comprobarla utilizando Geogebra.
Actividad 5
a) Activa la cuadrícula
b) Dibuja un polígono reticulado (observa que en la vista algebraica aparece “polígono1=(área
del polígono)”)
c) Comprueba que el área del polígono coincide con el valor que se obtiene al aplicar la
Fórmula de Pick.
d) Cambia de posición algún vértice y comprueba de nuevo la Fórmula.
3. Elementos notables de un triángulo
En un triángulo hay una serie de rectas denominadas notables:
• Mediana: recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto
• Altura: recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.
• Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del lado.
• Bisectriz: recta, que pasando por el vértice, divide el ángulo interior del triángulo en
dos parte iguales.
Además, hay una serie de puntos notables que vamos a obtener a continuación:
Actividad 6
Dibuja un triángulo cualquiera ABC y traza las tres mediatrices.
a) Dibuja un triángulo cualquiera ABC y traza las tres mediatrices (observa que las tres
mediatrices se cortan en un punto).
Proyecto ESTALMAT
Castilla-La Mancha
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b) Arrastra los vértices para comprobar que siempre se cortan en un punto. Este punto se
denomina circuncentro.
c) Dibuja la circunferencia cuyo centro sea el punto anterior y que pase por el punto A (observa
que esta circunferencia pasa también por los otros dos vértices del triángulo. Esta es la
circunferencia circunscrita al triángulo)
d) Oculta la circunferencia, las mediatrices y el circuncentro y dibuja alternativamente otros
puntos notables:
Baricentro: punto de corte de las tres medianas.
Ortocentro: punto de corte de las tres alturas.
Incentro: punto de corte de las tres bisectrices.
Actividad 7
Se denomina circunferencia inscrita a un triángulo a aquella que tiene su centro en el incentro
del triángulo y es tangente a cada uno de los lados.
a) Dibuja un triángulo y, una vez obtenido su incentro, intenta dibujar la circunferencia inscrita.
b) Mueve cualquiera de los vértices. Si se mantiene la condición de inscrita, la actividad está
perfecta, pero si por el contrario deja de ser inscrita es necesario averiguar que ocurre.
Actividad 8
En la actividad 6 hemos obtenido los cuatro puntos notables de un triángulo: circuncentro,
incentro, baricentro y ortocentro.
En cualquier triángulo se cumple que tres de los puntos anteriores están alineados, es decir,
están sobre una misma recta que se denomina recta de Euler
a) Dibuja un triángulo y, en él, los cuatro puntos notables.
b) Aprovechando las posibilidades de movimiento de Geogebra intenta averiguar qué puntos
son los que están alineados.
c) Intenta averiguar si los cuatro puntos notables pueden estar alineados. ¿Qué condiciones son
necesarias para que esto ocurra?
d) De los cuatro puntos hay algunos que siempre están del triángulo sea cual sea éste. Indica
cuáles son.
e) ¿Es posible que alguno de los puntos notables esté situado sobre un lado del triángulo?
Describe cuándo ocurre y bajo qué condiciones.
f) Y con un vértice ¿puede coincidir alguno de los puntos notables? Indica de qué punto o
puntos se trata y describe si hay alguna relación con el tipo de triángulo dibujado.
g) Describe qué ocurre cuando la recta de Euler pasa por un vértice.
h) ¿Pueden coincidir los cuatro puntos notables? ¿Qué ocurre en este caso en el triángulo?
i) Uno de los puntos está siempre situado entre dos, ¿cuál es?
j) ¿Qué relación hay entre las distancias del baricentro al circuncentro y al ortocentro?
k) Al trazar una mediana dividimos el triángulo en dos nuevos triángulos. ¿Qué relación hay
entre las áreas de estos dos triángulos? ¿Y qué relación existe entre las áreas de estos triángulos
y el área del triángulo original?
Proyecto ESTALMAT
Castilla-La Mancha